高中函數(shù)的應(yīng)用教案

實(shí)際問題的函數(shù)建模。

俗話說，磨刀不誤砍柴工。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的實(shí)際問題的函數(shù)建模，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

【必修1】第四章
第二節(jié)實(shí)際問題的函數(shù)建模（1）
實(shí)際問題的函數(shù)刻畫
學(xué)時(shí):1學(xué)時(shí)
【學(xué)習(xí)引導(dǎo)】
一、自主學(xué)習(xí)
1.閱讀課本頁
2.回答問題：
（1）課本內(nèi)容分成幾個(gè)層次？每個(gè)層次的中心內(nèi)容是什么？
（2）層次間有什么聯(lián)系？
（3）怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)刻畫實(shí)際問題（怎樣解答應(yīng)用題）？
（4）本節(jié)的重點(diǎn)，難點(diǎn)是什么？
3.完成頁練習(xí).
4.小結(jié).
二、方法指導(dǎo)
1.讀題是解決實(shí)際問題的重要環(huán)節(jié)，一般的實(shí)際問題的敘述都比較長，需要逐字逐句地把問題看懂，這是建立數(shù)學(xué)模型的前提
2.同學(xué)們應(yīng)注意在解決問題時(shí)應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型進(jìn)行擬合實(shí)現(xiàn)問題解決
3.同學(xué)們學(xué)習(xí)過程中應(yīng)了解一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，分段函數(shù)等函數(shù)模型．
【思考引導(dǎo)】
一、提問題
1.為什么要用函數(shù)來刻畫實(shí)際問題？

2.用函數(shù)來刻畫應(yīng)用題應(yīng)注意哪些問題，具體步驟是什么?

二、變題目
1．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分種分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng)過()
小時(shí)小時(shí)小時(shí)小時(shí)
2.一根彈簧,掛重100N的重物時(shí),伸長20cm,當(dāng)掛重150N的重物時(shí),彈簧長()
3.今有一組數(shù)據(jù)如下表
1.99345.16.12
1.54.047.51218.01
則選取擬合函數(shù)時(shí),最好選()
4.一等要三角形的周長是20,則其底邊長關(guān)于其腰長的函數(shù)關(guān)系式是____________________
5.下表顯示出函數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù),由此判斷它最可能的函數(shù)模型是()
45678910
15171921232527
一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型
6.某家報(bào)刊銷售點(diǎn)從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.35元,賣出的價(jià)格是每份0.50元,賣不掉的報(bào)紙還可以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月(30天)里,有20天每天可以賣出400份,其余10天每天只能賣出250份,設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙數(shù)量相同,則應(yīng)該每天從報(bào)社買進(jìn)多少份,才能使每月所獲得的利潤最大?并計(jì)算該銷售點(diǎn)每天最多可賺多少元?

7.某桶裝水經(jīng)營部每天房租,工作人員工資等固定成本為200元,每桶水進(jìn)價(jià)為5元,銷售單價(jià)與日銷售量的關(guān)系如下表:
銷售單價(jià)(元)6789101112
日銷售量(桶)480440400360320280240
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
【總結(jié)引導(dǎo)】
1.本節(jié)課的重點(diǎn)是了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本思想．
2.數(shù)學(xué)建模與傳統(tǒng)應(yīng)用題的區(qū)別：題設(shè)不同，過程不同，結(jié)論不同．
3.實(shí)際問題的函數(shù)刻畫主要有以下步驟:
(1)_____________________,審清題意.
(2)設(shè)_________________________,表示題目中的有關(guān)量.
(3)根據(jù)題目中的等量關(guān)系用相關(guān)的符號(hào)來建立_____________,并用函數(shù)的觀點(diǎn)解答問題
4.常用的一些實(shí)際生產(chǎn),生活中的等量關(guān)系如下:
(1)利潤=_________________;
(2)矩形的面積=_______________;
(3)平均增長率=________________.

【拓展引導(dǎo)】
1.一種商品連續(xù)兩次降價(jià)后,現(xiàn)又想通過兩次提價(jià)恢復(fù)原價(jià),你知道每次應(yīng)提價(jià)多少嗎?

2.某服裝公司從2007年1月份開始投產(chǎn)，前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件和1.36萬件。由于產(chǎn)品質(zhì)地優(yōu)良，款式新穎，前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況較好，為使銷售部在接受訂單時(shí)不至于過多或過少，需要預(yù)測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量?，F(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型可用于模擬產(chǎn)品的產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系：（其中a,b,m,n,p均為常數(shù)），選用那個(gè)模型更能合理預(yù)測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？
參考答案
【思考引導(dǎo)】
一．提問題
1.把復(fù)雜的文字語言轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)字，符號(hào)語言上來，從而利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．
2.①認(rèn)真讀題，縝密審題②引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型
【變題目】
1.C2.D3.C
4．5.A
6.每天從應(yīng)從報(bào)社賣400份,獲得利潤最大,每天可賺1170元
7.每桶水的價(jià)格為11.5元時(shí).利潤最大為1490元
【總結(jié)引導(dǎo)】
3.(1)認(rèn)真讀題(2)有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)(3)函數(shù)關(guān)系
4.(1)收入-支出(2)長寬(3)
【拓展引導(dǎo)】
（１）（或11.11%）
（2）設(shè)，將點(diǎn)（1，1），（2，1.2），（3，1.3）分別代入，有，解之得
所以
則，與實(shí)際產(chǎn)量差距為0.01
綜上所述，選用較合理。

延伸閱讀

自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡單易懂的教學(xué)思路。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是小編幫大家編輯的《自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題》，僅供參考，希望能為您提供參考！

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例
第二課時(shí)自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：知道5種基本初等函數(shù)及其性質(zhì)
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
函數(shù)圖像定義域值域性質(zhì)
一次函數(shù)
二次函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)
冪函數(shù)
三．提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請(qǐng)?zhí)钤谙旅娴谋砀裰?br> 疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠通過題意，自建模型，解決實(shí)際的問題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實(shí)際問題。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，建立起函數(shù)模型，并進(jìn)行模型修正。
二、探究過程：
例1、某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、工作人員等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元。銷售單價(jià)與日銷售量的關(guān)系如圖所示:
銷售單價(jià)/元6789101112
日均銷售量/桶480[來440400360320280240
請(qǐng)根據(jù)以上的數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤？
探索以下問題：
（1）隨著銷售價(jià)格的提升，銷售量怎樣變化？成一個(gè)什么樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）最大利潤怎么表示？潤大利潤=收入-支出

本題的解答過程：
解：

本題總結(jié)

例2．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表
（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。
2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？
探索以下問題：
1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點(diǎn)圖；

2）觀察所作散點(diǎn)圖，你認(rèn)為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近？

3）你認(rèn)為選擇何種函數(shù)來描述這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系比較合適？

4）確定函數(shù)模型，并對(duì)所確定模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)和評(píng)價(jià).

5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？
解答過程：解：
變式.將沸騰的水倒入一個(gè)杯中，然后測(cè)得不同時(shí)刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間（S）60120180240300
溫度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
時(shí)間（S）360420480540600
溫度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36

1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，描點(diǎn)畫出水溫隨時(shí)間變化的圖象；
2）建立一個(gè)能基本反映該變化過程的水溫（℃）關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點(diǎn)畫出的圖象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會(huì)降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會(huì)降到10℃？對(duì)此結(jié)果，你如何評(píng)價(jià)？
解：

課堂檢測(cè)
課本121頁B組第1題
課后鞏固練習(xí)與提高
1、一輛中型客車的營運(yùn)總利潤y（單位：萬元）與營運(yùn)年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，則客車的運(yùn)輸年數(shù)為（）時(shí)該客車的年平均利潤最大。
（A）4（B）5（C）6（D）7
x年468…
（萬元）7117…

2、某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？
觀測(cè)時(shí)間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底
該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001
3、（2003北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.
（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？
（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

參考答案
1、B
故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。
3、（2003北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.
（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？
（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時(shí)租出了88輛車.
（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.

應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

§3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例
第一課時(shí)應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一．預(yù)習(xí)目標(biāo)：熟悉幾種常見的函數(shù)增長型
二．預(yù)習(xí)內(nèi)容：閱讀課本內(nèi)容思考：主要的函數(shù)增長性有哪些
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠找出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會(huì)應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型.
二．學(xué)習(xí)過程
解決實(shí)際問題的步驟
1）首先建立直角坐標(biāo)系，畫出散點(diǎn)圖；
2）根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型：
一次函數(shù)模型：
二次函數(shù)模型：
冪函數(shù)模型：
指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對(duì)各模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計(jì)算量較多，可同桌兩個(gè)同學(xué)分工合作，最后再一起討論確定.

例1某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間.若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？

變式：某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系式，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程.

例2要建一個(gè)容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，試求應(yīng)當(dāng)怎樣設(shè)計(jì)，才能使水池總造價(jià)最低？并求此最低造價(jià).

變式：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.

課后練習(xí)與提高
一．選擇題
1.客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)丙地，下列描述客車從甲地出發(fā).經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時(shí)間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是（）
A.B.C.D.
2．一種商品連續(xù)兩次降價(jià)10%后，欲通過兩次連續(xù)提價(jià)恢復(fù)原價(jià)，則每次應(yīng)提價(jià)（）
A．10%B．20%C．5%D．11.1%
3．今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）
A．B．C．D．
二．填空題
4.假設(shè)某商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=，那么廣告效應(yīng)為，當(dāng)A=時(shí)，取得最大廣告效應(yīng).
5．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為2個(gè)）經(jīng)過3小時(shí)后，這種細(xì)菌可由1個(gè)分裂成__________個(gè)
三．解答題
6.某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時(shí)，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.?
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)；?
（2）若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).?

參考答案

《用函數(shù)模型解決實(shí)際問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，使教師有一個(gè)簡單易懂的教學(xué)思路。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“《用函數(shù)模型解決實(shí)際問題》教學(xué)設(shè)計(jì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義

3.2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義
教學(xué)過程：
一、主要知識(shí)點(diǎn)：
1.基本方法：
（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).
（2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.
（3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值.
（4）求函數(shù)f（x）的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）.②求方程f（x）＝0的根.③用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值.
（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值.
2、基本思想：學(xué)習(xí)的目的，就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用，本講主要是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)，思想方法以及能力.
解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.
根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化區(qū)間，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，是這部分的主要技巧．

二、典型例題
例1、在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？
思路一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)：，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？
變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個(gè)無蓋的箱子，箱子的高是這個(gè)正方形邊長的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？
提示：答案：．
評(píng)注：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡單，對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.可見，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.

例2、（2006年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，
要耗油（升）．
答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，
依題意得
令得
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，取到極小值
因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值．
答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

例3、求拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn).
解：設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，
則.
與同時(shí)取到極值.
令.
由得是唯一的駐點(diǎn).
當(dāng)或時(shí)，是的最小值點(diǎn)，此時(shí).
即拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（2，2）.

例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境.已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小.
解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設(shè)AC＝，
于是點(diǎn)C的煙塵濃度為，
其中為比例系數(shù).
令，有，
即.
解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點(diǎn).
由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，
在惟一駐點(diǎn)處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小.

例5、已知拋物線y＝－x2+2，過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程.
解：設(shè)切點(diǎn)P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l(xiāng)的方程為y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面積為S＝（x02+2）＝.
∴S′＝.令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.
∴當(dāng)0＜x0＜時(shí)，S′＜0;當(dāng)x0＞時(shí)，S′＞0.
∴x0＝時(shí)，S取極小值∵只有一個(gè)極值，
∴x＝時(shí)S最小，此時(shí)k1＝－，切點(diǎn)為（，）.
∴l(xiāng)的方程為y－＝－（x－），即2x+3y－8＝0.

例6、在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？
解：設(shè)∠BCD＝Q，則BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，
∴AC＝50－40cotθ
設(shè)總的水管費(fèi)用為f（θ），依題意，有
f（θ）＝3a（50－40cotθ）+5a
＝150a+40a
∴f′（θ）＝40a
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cosθ＝時(shí)，函數(shù)取得最小值，
此時(shí)sinθ＝，∴cotθ＝，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.

例7、（2006年江蘇卷）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？
解：設(shè)OO1為，則
由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，
故底面正六邊形的面積為：
＝，（單位：）
帳篷的體積為：
（單位：）
求導(dǎo)得．
令，解得（不合題意，舍去），，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．
∴當(dāng)時(shí)，最大．
答：當(dāng)OO1為時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
三、小結(jié)：
⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義．
⑵根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較．
⑶相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單
四、課后作業(yè)：