小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

2012屆高考理科數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)平面向量教案。

2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題五平面向量
【重點(diǎn)知識回顧】
向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既具有代數(shù)特征，又具有幾何特征，因此我們要借助于向量可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又可將某些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，在復(fù)習(xí)中要體會向量的數(shù)形結(jié)合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關(guān)概念，如：共線向量、相等向量等，它關(guān)系到我們今后在解決一些相關(guān)問題時能否靈活應(yīng)用的問題。這就要求我們在復(fù)習(xí)中應(yīng)首先立足課本，打好基礎(chǔ)，形成清晰地知識結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式法則等，正確掌握這些是學(xué)好本專題的關(guān)鍵
在解決關(guān)于向量問題時，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。
在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問題的能力
因此，在復(fù)習(xí)中，要注意分層復(fù)習(xí)，既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，又要把向量知識與其它知識，如：曲線，數(shù)列，函數(shù)，三角等進(jìn)行橫向聯(lián)系，以體現(xiàn)向量的工具性
平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一組基底。
向量的坐標(biāo)表示
.平面向量的數(shù)量積
數(shù)量積的幾何意義：
（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則

【典型例題】
1.向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理
例1.(2008湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)c=（）
A.(－15,12)B.0C.－3D.－11
解：(a+2b)，(a+2b)c，選C
點(diǎn)評：本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個數(shù)字
例2、(2008廣東文)已知平面向量，且∥，則=（）
A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）
解：由∥，得m＝－4，所以，
＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故選（C）。
點(diǎn)評：兩個向量平行，其實(shí)是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，注意運(yùn)算的公式，容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆
例3．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，，，表示出來。
（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可
因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，
所以，=＋，==+，
由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=＋=+=++=2+，
同樣在平行四邊形BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－
點(diǎn)評：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用，表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為，，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。
例4．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求。
解析：設(shè)D(x,y)，則
∵
得
所以。
2.向量與三角函數(shù)的綜合問題
例5、（2008深圳福田等）已知向量,函數(shù)
(1)求的最小正周期;(2)當(dāng)時,若求的值．
解：(1).
所以，T＝.
(2)由得，
∵，∴∴∴
點(diǎn)評：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點(diǎn).
例6、（2007山東文）在中，角的對邊分別為．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）
又解得．
，是銳角．．
（2）由，，．
又．．
．．
點(diǎn)評：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。
3.平面向量與函數(shù)問題的交匯
例7．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).
(1)若存在實(shí)數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關(guān)系式k＝f(t)；
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū)間
解：（1）法一：由題意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故xy＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(,),∴.＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴xy＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2)由(1)知：k＝f(t)＝t3－t∴kˊ＝fˊ(t)＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[歸納]第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用
[變式]已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角α，使向量＝＋(sinα－3),＝－k＋(sinα),且⊥，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
[點(diǎn)撥]將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k＝(sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
∴當(dāng)sinα＝－1時，k取最大值1；sinα＝1時，k取最小值－.
又∵k≠0∴k的取值范圍為.

4.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用
例8、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值
解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0（方向相同）時，的值最大，其最大值為0.
點(diǎn)評：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識，平面向量與幾何問題的融合?？疾閷W(xué)生運(yùn)用向量知識解決綜合問題的能力。
例9、已知A、B為拋物線(p0)上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，
（1）若，求拋物線的方程。
（2）CD是否恒存在一點(diǎn)K，使得

DKC
解：（1）提示：記A（）、B（）設(shè)直線AB方程為代入拋物線方程得
（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T，
則
＝－＝－＝0
故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T，使得
[實(shí)質(zhì)：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切]
[變式]（2004全國湖南文21）如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；

解：依題意，可設(shè)直線AB的方程為代入拋物線方程得
①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、x2是方程①的兩根.
所以
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，
得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.
所以

【模擬演練】
一、選擇題
1．已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點(diǎn)分有向線段M1M2的比為3：2，則的值為（）
A．B．C．D．4
2．已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是（）
A．B．C．D．
3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），則向量與向量的夾角的范圍為（）
A．［0，］B．［，］C．［，］D．［，］
4．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則=（）
A．B．C．3D．－3
5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足=+λ()，，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
6．已知平面上直線l的方向向量e=（,），點(diǎn)O（0，0）和A(1,－2)在上的射影分別是O/和A/，則，其中λ=（）
A．B．C．2D．－2
7、（）
A．B.C.D.1
8、已知，，則向量與（）
A.互相平行B.夾角為C.夾角為D.互相垂直
9、已知向量的夾角是（）
A．B．C．D．
10、若向量，，則等于（）
A.B.C.D.
11、已知非零向量若且又知則實(shí)數(shù)的值為（）
A.B.C.3D.6
12.把函數(shù)y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數(shù)解析式為
A．y＝B．y＝
C．y＝D．y＝

二、填空題
13．已知向量a、b的夾角為，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋b||a－b|的值是.
14.已知M、N是△ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且＝,＝,設(shè)＝，＝，則＝.
15.△ABC中，,其中A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，則△ABC是三角形。
16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，其中且，則的軌跡方程為.
三、解答題
17.已知向量，.（1）若，試判斷與能否平行
（2）若，求函數(shù)的最小值.
18.設(shè)函數(shù)，其中向量，.
（1）求函數(shù)的最大值和最小正周期；
（2）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，求長度最小的.
19.如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ＝2ｒ，問：當(dāng)P、Q取什么位置時，有最大值?
20.已知定點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長MP至點(diǎn)N，且
（1）求動點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）直線l與動點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若且4≤≤，求直線l的斜率的取值范圍
21.已知點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求向量和夾角的最大值，并求此時點(diǎn)的坐標(biāo)
jab88.coM

22.在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個雷達(dá)觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷
它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.

專題訓(xùn)練答案
一、選擇題
1.D2.B3.D4.B5.B6.D7．A8．A9．D10．B
11．D12．A
二、填空題
13．14.；15.直角16.
三、解答題
17.解：（1）若與平行，則有，因?yàn)?，，所以得，這與相矛盾，故與不能平行.
（2）由于，又因?yàn)椋?，于是，?dāng)，即時取等號.故函數(shù)的最小值等于.
18．解：（1）由題意得，f(x)＝a(b+c)=(sinx,－cosx)(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.
（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（―，―2）即為所求.
19.解：＝（）（）
＝（）（－）
＝－r2＋
設(shè)∠BAC＝α，PA的延長線與BC的延長線相交于D，∠PDB＝θ，則
＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均為定值，
∴當(dāng)cosθ＝1，即AP∥BC時，有最大值.
20.略解（1）y2＝4x(x＞0)
（2）先證明l與x軸不垂直，再設(shè)l的方程為
y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線與拋物線方程，得
ky2－4y＋4b＝0,由，得.
又故而
解得直線l的斜率的取值范圍是
21.解析：（1）設(shè)，，則，，
.
（2）設(shè)向量與的夾角為，則，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即點(diǎn)坐標(biāo)為時，等號成立.
22.解:（I）如圖，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）.
（2）解法一如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有，x1=y1=AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會進(jìn)入警戒水域.

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2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)平面向量教案

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)平面向量教案”，希望能為您提供更多的參考。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第三講平面向量
【最新考綱透析】
1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念
（1）了解向量的實(shí)際背景。
（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3）理解向量的幾何意義。
2．向量的線性運(yùn)算
（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。
（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。
3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意義。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。
（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。
（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
4．平面向量的數(shù)量積
（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。
（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
5．向量的應(yīng)用
（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：向量的有關(guān)概念及運(yùn)算
考情聚焦：1．向量的有關(guān)概念及運(yùn)算，在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。
2．該類問題多數(shù)是單獨(dú)命題，考查有關(guān)概念及其基本運(yùn)算；有時作為一種數(shù)學(xué)工具，在解答題中與其他知識點(diǎn)交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有關(guān)會滲透在解答題中。
考向鏈接：向量的有關(guān)概念及運(yùn)算要注意以下幾點(diǎn)：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤。
（2）正確理解平面向量的運(yùn)算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎(chǔ)，除了用向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯(lián)系其他知識。
例1：（2010山東高考理科Ｔ12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下，對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是（）
A.若與共線，則⊙B.⊙⊙
C.對任意的，有⊙⊙D.(⊙)2
【命題立意】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給定義逐個驗(yàn)證.
【規(guī)范解答】選B，若與共線，則有⊙，故A正確；因?yàn)椤?，而⊙，所以有⊙⊙，故選項(xiàng)B錯誤，故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點(diǎn)：該類問題的特點(diǎn)是背景新穎，信息量大，是近幾年高考的熱點(diǎn)題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯(lián)想類比，仔細(xì)分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
要點(diǎn)考向2：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
考情聚焦：1．與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點(diǎn)。
2．該類問題多數(shù)是單獨(dú)命題，有時與其他知識交匯命題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時會滲透在解答題中。
考向鏈接：與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
1．解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題：，特別地。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據(jù)
例2：1.（2010湖南高考理科Ｔ4）在中，=90°AC=4，則等于（）
A、-16B、-8C、8D、16
【命題立意】以直角三角形為依托，考查平面向量的數(shù)量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點(diǎn)撥】由于=90，因此選向量CA，CB為基底.
【規(guī)范解答】選D.=(CB-CA)(-CA)=-CBCA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.
2.（2010廣東高考文科Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)=30，則x=()
A．6B．5C．4D．3
【命題立意】本題考察向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算.
【思路點(diǎn)撥】先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】選.，所以
.即：，解得：，故選.
要點(diǎn)考向3：向量與三角函數(shù)的綜合
考情聚集：1．向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)。
例3．在直角坐標(biāo)系
（I）若；
（II）若向量共線，當(dāng)
【解析】（1）…………2分
又
解得………………4分
或…………6分
（II）………………8分
…………10分
………………12分
注：向量與三角函數(shù)的綜合，實(shí)質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。

【高考真題探究】
1．（2010重慶高考理科Ｔ2）已知向量，滿足，則（）
A．0B．C．4D．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎(chǔ)知識、數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)，考查向量運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算，或數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B（方法一）
；（方法二）數(shù)形結(jié)合法：由條件知，以向量
，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因?yàn)?，所以?br> 則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應(yīng)用公式，
方法二：熟記向量及向量和的三角形法則
2．（2010全國高考卷Ⅱ理科Ｔ8）△ABC中，點(diǎn)D在
邊AB上，CD平分∠ACB，若=,
=,，則=（）
（A）+（B）+（C）+（D）+
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD=CB:CA=1:2
這樣可以用向量,表示。
【規(guī)范解答】選B，由題意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則
3．（2010浙江高考文科Ｔ13）已知平面向量則的值是。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點(diǎn)撥】本題先把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知，結(jié)合，解得，
所以2=，開方可知答案為.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
4．（2009江西高考）已知向量，，，若則=．
【解析】因?yàn)樗?
答案：
5．（2009廣東高考）已知向量與互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵與互相垂直，則，即，
代入得，
又，∴.
（2）∵，，
∴，則，
∴.
6．（2009海南寧夏高考）已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.
【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以于是，?br> （Ⅱ）由知，所以
從而，即，
于是.又由知，，
所以，或.因此，或

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1.若，且，則向量與的夾角為()
A．30°B．60°C．120°D．150°
2.已知O，A，M，B為平面上四點(diǎn)，且，則（）
A．點(diǎn)M在線段AB上B．點(diǎn)B在線段AM上
C．點(diǎn)A在線段BM上D．O、A、M、B四點(diǎn)一定共線
3.平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若=（2，4），=（1，3），則等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
4.已知為不共線的非零向量，且，則以下四個向量中模最小者為……（）
（A）（B）（C）（D）
5.已知向量夾角為120°，且則等于（）
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.平面向量的集合A到A的映射f()＝－()，其中為常向量．若映射f滿足f()f()＝對任意的，∈A恒成立，則的坐標(biāo)可能是（）
A．(，)B．(，－)C．(，)D．(－，)
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7.已知e1、e2是兩個不共線的向量，a=k2e1+（k）e2和b=2e1+3e2是兩個共線向量，則實(shí)數(shù)k=
8.已知向量，滿足，，與的夾角為，則_________，若，則實(shí)數(shù)_________．
9.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動。若其中，則的最大值是．
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10.已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11.設(shè)函數(shù)，其中向量，.
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）設(shè)，
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8.3，3
9.2
三、解答題
10.解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得．
即．
所以．
因?yàn)椋?br> 所以．
因?yàn)椋?br> 所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
則.
．

11.解：（I）
（II）由，
得

12.解：（I）若，則
（II）
(1)令得，，
又，，即（0，是的單調(diào)增區(qū)間
(2)將函數(shù)的圖像向上平移1個單位，再向左平移個單位，即得函數(shù)
的圖像，而為奇函數(shù)
(左、右平移的單位數(shù)不唯一，只要正確，就給分.)

【備課資源】

2012屆高考?xì)v史第二輪專題復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的教案呢？小編特地為大家精心收集和整理了“2012屆高考?xì)v史第二輪專題復(fù)習(xí)教案”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

2012屆高考文科數(shù)學(xué)第二輪概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考文科數(shù)學(xué)第二輪概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)教案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題八概率統(tǒng)計(jì)

【重點(diǎn)知識回顧】

二、重點(diǎn)知識回顧
概率
（1）事件與基本事件：
基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡單的“單位”隨機(jī)事件；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個基本事件；任意兩個基本事件都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示．
（2）頻率與概率：隨機(jī)事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動幅度會越來越小．隨機(jī)事件的概率是一個常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．
（3）互斥事件與對立事件：
事件定義集合角度理解關(guān)系
互斥事件事件與不可能同時發(fā)生兩事件交集為空事件與對立，則與必為互斥事件；
事件與互斥，但不一是對立事件
對立事件事件與不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生兩事件互補(bǔ)
（4）古典概型與幾何概型：
古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個基本事件”的概率模型．
幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例．
兩種概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個．
（5）古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式：
古典概型的概率計(jì)算公式：．
幾何概型的概率計(jì)算公式：．
兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．
（6）概率基本性質(zhì)與公式
①事件的概率的范圍為：．
②互斥事件與的概率加法公式：．
③對立事件與的概率加法公式：．
（7）如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k)=Cpk(1―p)n―k.實(shí)際上，它就是二項(xiàng)式[(1―p)+p]n的展開式的第k+1項(xiàng).
（8）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
①．一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意這里強(qiáng)調(diào)了三點(diǎn)：（1）相同條件；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨(dú)立；
②．二項(xiàng)分布的概念：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為．此時稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
統(tǒng)計(jì)
（1）三種抽樣方法
①簡單隨機(jī)抽樣
簡單隨機(jī)抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回．我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽?。?br> 簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個數(shù)有限．從總體中逐個進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時，每個個體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．
實(shí)施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解．隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個數(shù)字的數(shù)表．隨機(jī)數(shù)表中各個位置上出現(xiàn)各個數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時抽取到總體中各個個體序號的等可能性．
②系統(tǒng)抽樣
系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況．
系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣．
系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機(jī)的方式將總體中的個體編號；第二步，將總體的編號分段，要確定分段間隔，當(dāng)（Ｎ為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體個數(shù)Ｎ能被n整除，這時；第三步，在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個體編號，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個編號，將加上k，得到第3個編號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本．
③分層抽樣
當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣．
分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個數(shù)的比；第二步，計(jì)算出各層需抽取的個體數(shù)；第三步，采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體；第四步，將各層中抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本．
（2）用樣本估計(jì)總體
樣本分布反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時也利用莖葉圖來描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，總體一定時，樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確．
①用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時，通常要對給定一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．
②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時不夠方便．
③平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的波動程度，其計(jì)算公式為．有時也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方———方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，兩者實(shí)質(zhì)上是一樣的．
（3）兩個變量之間的關(guān)系
變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時,我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計(jì)求出回歸直線方程．通常我們使用散點(diǎn)圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點(diǎn)圖．然后從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計(jì)算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用科學(xué)計(jì)算器．
（4）求回歸直線方程的步驟：
第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出；
第二步：計(jì)算回歸系數(shù)的a，b，公式為
第三步：寫出回歸直線方程．
（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)
①列聯(lián)表：列出的兩個分類變量和，它們的取值分別為和的樣本頻數(shù)表稱為列聯(lián)表1
分類1
2
總計(jì)
1

總計(jì)

構(gòu)造隨機(jī)變量（其中）
得到的觀察值常與以下幾個臨界值加以比較：
如果，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果低于，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系．
②三維柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖
由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對角線上的頻數(shù)的積的差的絕對值
較大，說明兩分類變量和是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的．
重點(diǎn)：一方面考察對角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思路方法。
③二維條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知要比小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，兩個比值相差越大兩分類變量和有關(guān)的可能性也越的．否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法。

④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)
要比小得多，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，
否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個角度來理解。
【典型例題】
考點(diǎn)：概率
【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對課本原題進(jìn)行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例1、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為。
解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。
答案
點(diǎn)評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。
例2某公交公司對某線路客源情況統(tǒng)計(jì)顯示，公交車從每個?？奎c(diǎn)出發(fā)后，車上的乘客人數(shù)及頻率如下表：
人數(shù)0~67~1213~1819~2425~3031人以上
頻率0.10.150.250.200.200.1
（I）從每個停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？
（II）全線途經(jīng)10個?？奎c(diǎn)，若有2個以上（含2個）停靠點(diǎn)出發(fā)后，車上乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個班次，請問該線路需要增加班次嗎？
解：（Ⅰ）每個停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為
0.1+0.15+0.25+0.2=0.7
0.(Ⅱ)從每個?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5
1.途經(jīng)10個?？奎c(diǎn)，沒有一個?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為
途經(jīng)10個停靠點(diǎn)，只有一個停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
所以，途經(jīng)10個?？奎c(diǎn)，有2個以上（含2個）?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
P=1－－C（）（1－）9=1－=
∴該線路需要增加班次。
答：（Ⅰ）每個停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.7
(Ⅱ)該線路需要增加班次
考點(diǎn)四：統(tǒng)計(jì)
【內(nèi)容解讀】理解簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點(diǎn)及步驟．會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．會利用散點(diǎn)圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與方法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對課本原題進(jìn)行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例3（1）（2009湖南卷文）一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為.
答案120
解析設(shè)總體中的個體數(shù)為，則
（2）（2009四川卷文）設(shè)矩形的長為，寬為，其比滿足∶＝，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：
甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639
乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620
根據(jù)上述兩個樣本來估計(jì)兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是
A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
C.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同
D.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定
答案A
解析甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613

例4下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生
產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)
3456
y2.5344.5
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散點(diǎn)圖略.
(2),,,
由所提供的公式可得,故所求線性回歸方程為10分
(3)噸.
例5、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)．
(Ⅰ)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計(jì)該校新生的近視率的大小.
解：由題意知：，
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比
∴.
∵=13,
∴，
∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得，
∴＝87，
，，
=,
(或=)
答:估計(jì)該校新生近視率為91%.
例6、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
晝夜溫差x(°C)1011131286
就診人數(shù)y(個)222529261612
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式:)
解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選
取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的
其中,抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得
由公式求得
再由
所以關(guān)于的線性回歸方程為
(Ⅲ)當(dāng)時,,；
同樣,當(dāng)時,,
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.
模擬演練
3.已知事件“三位中國選手均進(jìn)入亞運(yùn)會體操決賽”，事件“三位中國選手均未進(jìn)入亞運(yùn)會體操決賽”，那么事件和是（）
Ａ．等可能性事件Ｂ．不互斥事件
Ｃ．互斥但不是對立事件Ｄ．對立事件
3．C提示：根據(jù)兩事件不能同時發(fā)生，且當(dāng)一個不發(fā)生時不一定發(fā)生另一個，因此兩事件
是互斥但不是對立事件.
4．若對于變量與的組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)，又知?dú)埐钇椒胶蜑?，那么的值為（）?br> A．B.C.D.
4.A提示：根據(jù)表示總偏差平方和，得.
5.①既然拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某種彩票的中獎概
率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎；③在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過讓運(yùn)
動員猜上拋均勻塑料圓板著地是正面還是反面來決定哪一方先發(fā)球，這樣做不公平；④一個
骰子擲一次得到2的概率是，這說明一個骰子擲6次會出現(xiàn)一次2.其中不正確的說法是
（）
A①②③④B①②④C③④D③
5.A提示：概率是一個隨即性的規(guī)律，具有不確定性，因此①②④錯誤，而③拋擲均勻塑料
圓板出現(xiàn)正面與方面的概率相等，是公平的.因此均為不正確的說法.
6.若，則方程有實(shí)根的概率為（）
A．B.C.D.
6．C提示：若方程有實(shí)根，則有.因?yàn)椋鶕?jù)幾何概型“有實(shí)根的”概率為.
7.(專題七文科第7題)
8.下圖是2010年渥太華冬奧會上，七位評委為某冰舞
運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個最低分和一
個最高分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）
A．，B．，
C．，D．，
8．D提示:根據(jù)莖葉圖，所剩數(shù)據(jù)為，因此，
.
9．某高校調(diào)查詢問了56名男女大學(xué)生，在課余時間是否參加運(yùn)動，得到下表所示的數(shù)據(jù).
從表中數(shù)據(jù)分析，①有以上的把握認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動有關(guān)；
②在100個參加運(yùn)動的大學(xué)生中有95個男生；
③認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動有關(guān)出錯的可能性小于；
④在100個參加運(yùn)動的大學(xué)生中有5個女生；其中正確命題的個數(shù)為（）.
A．1B．2C．3D．4
9．B提示：根據(jù)，因此有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)系，出錯的可能性小于5%.①③正確.
10.（(專題七文科第10題)）
11.2010年3月“十一屆全國人大三次會議及十一屆全國政協(xié)三次會議”在北京隆重召開，
針對中國的中學(xué)教育現(xiàn)狀，現(xiàn)場的2500名人大代表對其進(jìn)行了綜合評分，得到如下“頻率
分布直方圖”（如圖），試根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)平均分為（）.
ABCD
11．B提示：找到每個矩形的中點(diǎn)和頻率，從而利用平均數(shù)公式求解.要注意頻率分布直方圖中每個小矩形面積表示該段的頻率.
12.(專題七文科第12題)
13．半徑為10cm的圓周上有兩只螞蟻，它們分別從兩個不同的點(diǎn)A、B出發(fā)，沿劣弧相向而行，速度分別為10mm/s與8mm/s，則這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為.
13.提示：5s內(nèi)兩只螞蟻相遇時所行走的最大距離為mm，而兩只螞蟻初始時的最大距離為半個圓周，即mm，所以這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為．
14．（(專題七文科第14題)）
15.已知現(xiàn)有編號為①②③④⑤的5個圖形,它們分別是兩個直角邊長為3、3的直角三角形；兩個邊長為3的正方形；一個半徑為3的圓.則以這些圖形中的三個圖形為一個立體圖形的三視圖的概率為.
15.提示：①②③；②③④；③④⑤可構(gòu)成一個立體圖形的三視圖，而從這5個圖形選取3個共有個基本事件，因此概率為.
16.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電腦進(jìn)入了越來越多的家庭，為了解電腦對生活的影響，就平均每天看電腦的時間，一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地居民調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），為了分析該地居民平均每天看電視的時間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層柚樣方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在（小時）時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是.
16.提示：根據(jù)頻率分布直方圖可得，在之間的人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣特點(diǎn)得在之間抽取的人數(shù)為.
17.輸血是重要的搶救生命的措施之一，但是要注意同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．
黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：
血型ABABO
該血型的人所占比/%2829835
2010年4月14日玉樹地震，小王不幸被建筑物壓在下面，失血過多，需要輸血，已知小王是B型血，問：
(1)任找一個人，其血可以輸給小王的概率是多少？
(2)任找一個人，其血不能輸給小王的概率是多少？
17.提示：（1）對任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為它們是互斥的．
由已知，有．…………3分
因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件．
根據(jù)互斥事件的加法公式，有……6分．
（2）由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件
，且．…………10分
答：任找一人，其血可以輸給小明的概率為0.64，其血不能輸給小明的概率為0.36．
………12分
18.某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的體重與身高之間的關(guān)系,隨機(jī)抽測了20人,得到如下數(shù)據(jù):
序號12345678910
身高x(厘米)182164170176177159171166182166
體重y(公斤)76606176775862607857
序號11121314151617181920
身高x(厘米)169178167174168179165170162170
體重y(公斤)76746877637859756473
(1)若“身高大于175厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”；“體重大于75(公斤)”的為“胖子”，“體重小于等于75(公斤)”的為“非胖子”.請根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的聯(lián)列表:
高個非高個合計(jì)
胖子
非胖子12
合計(jì)20
(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系?
18.解:(1)
高個非高個合計(jì)
胖子527
非胖子11213
合計(jì)61420
………4分
(2)假設(shè)兩變量沒有關(guān)系，依題題意
………8分
由表知:認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)的可能性為………10分
所以有理由認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系.………12分
19.為從甲乙兩運(yùn)動員中選拔一人，參加2010年廣州亞運(yùn)會體操項(xiàng)目，對甲、乙兩運(yùn)動員進(jìn)行培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取6次，得出莖葉圖如下：
(1)現(xiàn)要從中選拔一人參加亞運(yùn)會，從平均成績及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？
(2)從甲運(yùn)動員預(yù)賽成績中任取一次記為,從乙運(yùn)動員預(yù)賽成績中任取一次記為,求
的概率.
解：根據(jù)莖葉圖，可得甲乙成績?nèi)缦拢?br> 甲817978959384
乙929580758385
…………1分
(1)派甲參賽比較合適.理由如下：…………2分
，
，…………3分
，
…………5分
∵，，∴甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適.…………6分
（2）記“甲運(yùn)動員預(yù)賽成績,大于乙運(yùn)動員預(yù)賽成績”為事件A，…………7分
列表:
甲乙929580758385
8181，9281，9581，8081，7581，8381，85
7979，9279，9579，8079，7579，8379，85
7878，9278，9578，8078，7578，8378，85
9595，9295，9595，8095，7595，8395，85
9393，9293，9593，8093，7593，8393，85
8484，9284，9584，8084，7584，8384，85
因此基本事件共有36個，其中發(fā)生事件A的有17個，…………9分
根據(jù)古典概型，.…………10分
答：選擇甲參加比賽更合適，的概率為.………………………………………12分
20.設(shè)，在線段上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)除外），將線段分成了三條線段，
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．
解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：
共3種情況，其中只有三條線段為時能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率．………6分
（2）設(shè)其中兩條線段長度分別為，則第三條線段長度為，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
，，，
即：，，
所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?；……?分
若三條線段能構(gòu)成三角形，則還要滿足，即為，所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切巍?0分
由幾何概型知，所求的概率為．………12分
21.下表抄錄了2010年1至4月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期1月10日2月10日3月10日4月10日
晝夜溫差x(°C)1113128
就診人數(shù)y(個)25292616
（1）已知兩變量、具有線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的線性回歸方程；
（2）通過相關(guān)指數(shù)判斷回歸方程擬合效果.
解：（1）制表如下
1234合計(jì)
111312844
2529261696
2753773121281092
12116914464498
6258416762562398
；；

………4分
根據(jù)兩變量、具有線性相關(guān)關(guān)系
由公式求得………6分
再由
所以關(guān)于的線性回歸方程為………8分
(2)∵
………10分
∴因此擬合效果比較好.
………12分
22.為選拔學(xué)生做亞運(yùn)會志愿者，對某班50名學(xué)生進(jìn)行了一次體育測試，成績?nèi)拷橛?0與100之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組，第二組，……，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（I）若成績大于或等于60且小于80，認(rèn)為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的人數(shù)；
（II）從測試成績在內(nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測試成績分別為、，求事件“”的概率.
解：（I）由直方圖知，成績在內(nèi)的人數(shù)為：
.
所以該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的有29人.………4分
（II）由直方圖知，成績在的人數(shù)為，設(shè)為、，
成績在的人數(shù)為，設(shè)為………6分
若時，只有1種情況，………7分
若時，有3種情況，………8分
若分別在和內(nèi)時，有

xx
x
x

yy
y
y

共有6種情況.所以基本事件總數(shù)為10種，………12分
事件“”所包含的基本事件個數(shù)有6種
∴P（）………14分

2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪數(shù)列備考復(fù)習(xí)教案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪數(shù)列備考復(fù)習(xí)教案》，相信能對大家有所幫助。

2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題三數(shù)列（教師版）
【考綱解讀】
1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.等差（比）數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.
2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點(diǎn).
3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應(yīng)用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.
因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：
1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.
2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時，要及時總結(jié)歸納.
5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.
6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果.
7．?dāng)?shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識的應(yīng)用.
【要點(diǎn)梳理】
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法：為常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：.
2.證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法：(非零常數(shù))；（2）等差中項(xiàng)法：.
3.常用性質(zhì):(1)等差數(shù)列中,若,則;
(2)等比數(shù)列中,若,則.
4.求和:
(1)等差等比數(shù)列,用其前n項(xiàng)和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì).
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)1等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì)
在等差、等比數(shù)列中，已知五個元素或，中的任意三個，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時需抓住首項(xiàng)和公差（或公比）。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如
（1）等差數(shù)列中，若，則；等比數(shù)列中，若，則.
（2）等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。其中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列中（），成等比數(shù)列。其中是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）在等差數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng)也稱等差數(shù)列.
（4）在等差數(shù)列中，；.
在復(fù)習(xí)時，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
例1.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，，則
.
【答案】74
【解析】，故
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì).
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的概念與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)2數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用
在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時，要對其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若且；我們可把各個差列出來進(jìn)行求和，可得到數(shù)列的通項(xiàng).
再看“逐商法”即且，可把各個商列出來求積。
另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題.
例2.（2011年高考四川卷文科9)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=()
（A）3×44（B）3×44+1
(C)44（D）44+1
【答案】A
【解析】由題意，得a2=3a1=3.當(dāng)n≥1時，an+1=3Sn(n≥1)①，所以an+2=3Sn+1②，
②-①得an+2=4an+1，故從第二項(xiàng)起數(shù)列等比數(shù)列，則a6=3×44.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查與的關(guān)系：，數(shù)列前n項(xiàng)和和通項(xiàng)是數(shù)列中兩個重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式時，一定要注意條件，求通項(xiàng)時一定要驗(yàn)證是否適合。解決含與的式子問題時，通常轉(zhuǎn)化為只含或者轉(zhuǎn)化為只的式子.
【備考提示】：遞推數(shù)列也是高考的內(nèi)容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點(diǎn).
練習(xí)2.（2011年高考遼寧卷文科5)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n，則公比為（）[Z
（A）2（B）4（C）8（D）16
【答案】B
【解析】設(shè)公比是q，根據(jù)題意a1a2=16①，a2a3=162②，②÷①，得q2=16.因?yàn)閍12q=160,a120，則q0，q=4.
考點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（），因此可以改寫為是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，.
例3.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.
【答案】
【解析】由題意：，
【答案】A
【解析】通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
考點(diǎn)4.數(shù)列求和
例4.(山東省濟(jì)南市2011年2月高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研理科20題)
已知為等比數(shù)列，；為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求.
【解析】（1）設(shè)的公比為,由,得所以
設(shè)的公差為，由得,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.
【備考提示】：熟練數(shù)列的求和方法等基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.
練習(xí)4.（2010年高考山東卷文科18）
已知等差數(shù)列滿足：，.的前n項(xiàng)和為.
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以?br> 考點(diǎn)5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)(),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（Ⅱ）記，，當(dāng)時，試比較與的大小.[
當(dāng)時，即；
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解決本類問題的關(guān)鍵.
練習(xí)5.(2011年高考天津卷文科20)
已知數(shù)列與滿足,,且.
（Ⅰ）求的值;
(Ⅱ)設(shè),,證明是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)為的前n項(xiàng)和,證明.
【解析】（Ⅰ）由,可得
,,
當(dāng)n=1時,由,得;
當(dāng)n=2時,可得.
(Ⅱ)證明:對任意,--------①
---------------②
②-①得:,即,于是,所以是等比數(shù)列.
(Ⅲ)證明:,由(Ⅱ)知,當(dāng)且時,
=2+3(2+)=2+,故對任意,,
由①得所以,,
因此,,于是,
故=,
所以.
【易錯專區(qū)】
問題：已知,求時,易忽視的情況
例.（2010年高考上海卷文科21）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).
【考題回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（）
（A）15(B)12(C)(D)
【答案】A
【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；
法二：，故.故選A.
2.（2011年高考江西卷文科5)設(shè){}為等差數(shù)列，公差d=-2，為其前n項(xiàng)和.若，則=（）
A.18B.20C.22D.24
【答案】B
【解析】.
3.(2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：，且=1．那么=（）
A．1B．9C.10D．55
【答案】A
【解析】因?yàn)?所以令,可得;令,可得;同理可得,,,
,所以=,故選A.
4.(2011年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且.若則，，則()
（A）0（B）3（C）8（D）11
【答案】B
【解析】由已知知由疊加法.
5．（2010年高考全國Ⅰ卷文科4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=（）
(A)(B)7(C)6(D)
【答案】A
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以.
6．（2010年高考全國卷Ⅱ文科6）如果等差數(shù)列中，++=12，那么++…+=（）
（A）14(B)21(C)28(D)35
【答案】C
【解析】∵，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5題）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是高.（）
【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B
9．（2009年高考湖南卷文科第3題）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于()
A．13B．35C．49D．63
【答案】C
【解析】故選C.
或由,
所以故選C.
10.（2009年高考福建卷理科第3題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=6，=4，則公差d等于()
A．1BC.-2D3
【答案】C
【解析】∵且.故選C
11．（2009年高考江西卷理科第8題）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于以3為周期,故
故選A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）
A.1升B.升C.升D.升
【答案】D
【解析】設(shè)9節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1,a2,……a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得：，所以選B.
13.(2011年高考湖南卷理科12)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則.
【答案】25
【解析】因?yàn)椋?，所以，則.故填25
14.(2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則.
【答案】10
【解析】由題得.
【解析】則
于是令得，則，時遞增，令得，則，時遞減，故是最大項(xiàng)，即.
17.（2011年高考江西卷文科21)(本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數(shù)列，滿足，
若數(shù)列唯一，求的值；
（2）是否存在兩個等比數(shù)列，使得成公差為
的等差數(shù)列？若存在，求的通項(xiàng)公式；若存在，說明理由．
【解析】（1）要唯一，當(dāng)公比時，由且，
，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根）
，此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。
當(dāng)公比時，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，唯一，此時由，可推得符合
綜上：。
（2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得：
要使該式成立，則=或此時數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列.
18.（2011年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為,則,由，可得，解得
,從而.
（II）由（I）可知,所以,由Sk=-35，可得,
即,解得或,又,故.
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（I）求第n年初M的價值的表達(dá)式；
（II）設(shè)若大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．
【解析】（I）當(dāng)時，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列．
因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又
所以須在第9年初對M更新．
20.（2011年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知﹛﹜是以為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前項(xiàng)和.
（Ⅰ）當(dāng)成等差數(shù)列時，求q的值；
(Ⅱ)當(dāng)，，成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)也成等差數(shù)列.
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，解得，因?yàn)?，故?br> 當(dāng)時，，由成等差數(shù)列得，得，即，.
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小題滿分14分）
在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記，證明.
【解析】（I）證明：由題設(shè)可知，，，，，.從而，所以，，成等比數(shù)列.
（II）解：由題設(shè)可得
所以
.
由，得，從而.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，?br> （III）證明：由（II）可知，，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)。
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小題共13分）
已知為等差數(shù)列，且，。
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和公式
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實(shí)數(shù)數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
（2）當(dāng)為何值時，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和．
【解析】證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則．
用反證法證明這些都是無理數(shù)．
假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，
故．，與矛盾，
所以都是無理數(shù)，即數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
方法二：因?yàn)?，?dāng)?shù)媚┪粩?shù)字是3,4,8,9時，的末位數(shù)字是3和7，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時不是有理數(shù)，因這種有無窮多，故這種無理項(xiàng)也有無窮多．
（2）要使為整數(shù)，由可知：同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有或當(dāng)時，有又必為偶數(shù)，所以滿足
即時，為整數(shù)；同理有
也滿足
即時，為整數(shù)；顯然和是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)和時，為整數(shù)；由有，
由有．
設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為，則
．
24.(2010年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足+15=0.
（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解：由題意知S6==-3,
A6=S6-S5=-8所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7
(Ⅱ)解：因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為()
（A）15(B)16(C)49（D）64
【答案】A
【解析】.
3．（2010年高考山東卷文科7）設(shè)是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的()
（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋杂?，解得又，所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比數(shù)列中，，，，則
A．B．C．D．
5．（2010年高考遼寧卷文科3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則公比()
（A）3（B）4（C）5（D）6
【答案】B
【解析】兩式相減得，，.

6．（2010年高考廣東卷文科4）已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，
且與的等差中項(xiàng)為，則S5=w()
A．35B．33C．31D．29
7．（2010年高考重慶卷文科2）在等差數(shù)列中，，則的值為()
（A）5（B）6
（C）8（D）10
【答案】A
【解析】由角標(biāo)性質(zhì)得，所以=5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比數(shù)列{}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則()
A.B.C.D
【答案】C
二．填空題：
13．（2009年高考北京卷文科第10題）若數(shù)列滿足：，則
；前8項(xiàng)的和.（用數(shù)字作答）
【答案】255
【解析】，
易知.
14．（2010年高考遼寧卷文科14）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則。
【答案】15
【解析】由,解得，
15．(浙江省溫州市2011年高三第一次適應(yīng)性測試?yán)砜?已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，集合，從中選出4個不同的數(shù)，使這4個數(shù)成等比數(shù)列，這樣得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有．
【答案】
【解析】以公比為的等比數(shù)列有…共組；
以公比為的等比數(shù)列有…共組；
以公比為的等比數(shù)列有共組.
再考慮公比分別為的情形，可得得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有個.
三．解答題：
17.（2009年高考山東卷理科第20題）（本小題滿分12分）
等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(理科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記,證明：對任意的，不等式成立
【解析】(Ⅰ)由題意知:,
當(dāng)時,,
由于且所以當(dāng)時,{}是以為公比的等比數(shù)列,
又,,即解得.
(理科)(Ⅱ)∵,∴當(dāng)時,,
又當(dāng)時,,適合上式,∴,,
∴,
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式:
證明:(1)當(dāng)時,左邊=右邊,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,即,
則當(dāng)時,
不等式左邊=
所以當(dāng)時,不等式也成立,
綜上(1)(2)可知:當(dāng)時,不等式恒成立,
所以對任意的,不等式成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,所以=,
,
+,
兩式相減得:
,
故=.
（Ⅱ）因?yàn)?，?0分
所以
．…14分
19．（天津市南開中學(xué)2011年3月高三月考文科）已知數(shù)列的前以項(xiàng)和為且對于任意的恒有設(shè)
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和
(3)若證明：
【解析】(1)當(dāng)n=l時，得
當(dāng)時，兩式相減得：
是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由為正項(xiàng)數(shù)列，所以也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而所以數(shù)列遞減，
所以…12分
另證：由
所以
20．(天津市紅橋區(qū)2011屆高三一模文科)（本題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：。
【解析】（1）由,
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，公差
從而
從而
21.(山東省濟(jì)南市2011年2月高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研文科)
已知{an}是遞增的等差數(shù)列，滿足a2a4=3,a1+a5=4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}對n∈N*均有成立，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
22.(山東省青島市2011年3月高考第一次模擬理科)已知數(shù)列滿足，且，為的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)如果對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)對任意,都有，所以
則成等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為…………2分
所以，…………4分
(Ⅱ)因?yàn)?br> 所以…………6分
因?yàn)椴坏仁?，化簡得對任意恒成立………?分
設(shè)，則…………8分
當(dāng),,為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng),,為單調(diào)遞增數(shù)列
,所以,時,取得最大值…………11分
所以,要使對任意恒成立，…………12分