高中函數(shù)與方程教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程學(xué)案有答案。

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，使教師有一個(gè)簡單易懂的教學(xué)思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程學(xué)案有答案”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

學(xué)案11函數(shù)與方程
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值．
自主梳理
1．函數(shù)零點(diǎn)的定義
(1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．
(2)方程f(x)＝0有實(shí)根函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)有________．
2．函數(shù)零點(diǎn)的判定
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理．
3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ0Δ＝0Δ0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c
(a0)的圖象

與x軸的交點(diǎn)________，
________________無交點(diǎn)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)________________________
4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟
第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證________________，給定精確度ε；
第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；
第三步，計(jì)算______：
①若________，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若________，則令b＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c)]；
③若________，則令a＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)]；
第四步，判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步．
自我檢測(cè)
1．(2010福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A．0B．1C．2D．3
2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)()
A．至少有一個(gè)B．至多有一個(gè)
C．有且只有一個(gè)D．可能有無數(shù)個(gè)
3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()
A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程的根所在的區(qū)間是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能確定
5．(2011福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)＝4x＋2x－2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則f(x)可以是()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判斷
例1判斷函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

變式遷移1(2011煙臺(tái)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()
A．多于4個(gè)B．4個(gè)
C．3個(gè)D．2個(gè)
探究點(diǎn)二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)近似解(精確度0.1)．

變式遷移2(2011淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋lnx＋12的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0，0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()
A.0，12B．(0,1)f12
C.12，1D.0，12
探究點(diǎn)三利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)
例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．
變式遷移3若函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
1．全面認(rèn)識(shí)深刻理解函數(shù)零點(diǎn)：
(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x；
(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；
(4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)．
2．求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的方法：
(1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；
(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)f(b)0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)．
3．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論：
(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；
(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010天津)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－13x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，則f(x1)的值()
A．恒為負(fù)B．等于零
C．恒為正D．不小于零
3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()
4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，且x1x2，則()
A．x12,2x25
B．x12，x25
C．x12，x25
D．2x15，x25
5．(2011廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()
A．4B．3C．2D．1
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝2006x＋log2006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．
7．(2011深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________．
8．(2009山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
證明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.

10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
11．(14分)(2011杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求證：
(1)a0且－3ba－34；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則2≤|x1－x2|574.

答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點(diǎn)2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個(gè)一個(gè)無4.f(a)f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)f(c)0③f(c)f(b)0
自我檢測(cè)
1．C[當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
當(dāng)x0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．]
2．B3.B4.B5.A
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧．
解方法一設(shè)f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均為增函數(shù)，
∴f(x)也是增函數(shù)．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，
∴f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn)．又f(x)為增函數(shù)，
∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn)．
方法二在同一坐標(biāo)系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個(gè)零點(diǎn)．
變式遷移1B[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右
邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個(gè)．]
例2解題導(dǎo)引①用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過程所得的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來表示這一過程；
②在確定方程近似解所在的區(qū)間時(shí)，轉(zhuǎn)化為求方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長度盡可能小，且滿足f(a)f(b)0；
③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度ε，是指在計(jì)算過程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|ε時(shí)，可停止計(jì)算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任一實(shí)數(shù)，結(jié)果不唯一．
解設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3.
經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－30，f(1)＝20，
所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．
取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)0，
又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解，
如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.
(a，b)(a，b)
的中點(diǎn)fa＋b2

(0,1)0.5f(0.5)0
(0.5,1)0.75f(0.75)0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1
至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點(diǎn)0.6875作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個(gè)近似解．
變式遷移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及l(fā)nx＋12在－12，＋∞上是增函數(shù)，故f(x)在－12，＋∞上也是增函數(shù)，
故f(x)在0，12上存在零點(diǎn)，所以x0∈0，12，
第二次計(jì)算應(yīng)計(jì)算0和12在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)
x1＝0＋122＝14.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點(diǎn)，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①當(dāng)a＝－3－72時(shí)，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
當(dāng)a＝－3＋72時(shí)，f(x)＝0的重根x＝3＋72[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在[－1,1]上；
②當(dāng)f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)0，
即1a5時(shí)，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)y＝f(x)在[－1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則
a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，
解得a≥5或a－3－72.
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1或a≤－3－72.
變式遷移3解方法一(換元)
設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實(shí)數(shù)根．
(1)當(dāng)方程①有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，
a應(yīng)滿足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1t2＝a＋10，
解得：－1a≤2－22；
(2)當(dāng)方程①有一正根一負(fù)根時(shí)，只需t1t2＝a＋10，
即a－1；
(3)當(dāng)方程①有一根為0時(shí)，a＝－1，此時(shí)方程①的另一根為1.
綜上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，
解得－1a≤2－22；
(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(－∞，0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0)＝a＋10，
解得a－1；
(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時(shí)可以求得函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1.
綜上(1)(2)(3)知a≤2－22.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[因?yàn)閒(－1)＝12－30，f(0)＝10，
所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．]
2．A
3．C[能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)0，D中函數(shù)不連續(xù)．]
4．C
5．B[當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，可得函數(shù)h(x)有1個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)h(x)共有3個(gè)零點(diǎn)．]
6．3
解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝2006x＋log2006x在區(qū)間(0，12006)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.
7．x1x2x3
解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設(shè)y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
設(shè)y＝lnx，y＝－x.
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x10x21，令x－x－1＝0，則(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋521，所以x1x2x3.
8．a(chǎn)1
解析設(shè)函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0a1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a1)的圖象過點(diǎn)(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1.
9．證明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)g(12)0.……………………………………………………………………………(8分)
又函數(shù)g(x)在(0，12)上連續(xù)，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)
10．解二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，
使f(c)0的否定是：對(duì)于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)≤0.……………………(4分)
此時(shí)f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是
－3p32.…………………………………………………………………………………(12分)
11．證明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a2c2b，∴3a0,2b0，
∴a0，b0.
又2c＝－3a－2b，由3a2c2b，
∴3a－3a－2b2b.
∵a0，∴－3ba－34.……………………………………………………………………(4分)
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①當(dāng)c0時(shí)，∵a0，
∴f(0)＝c0且f(1)＝－a20，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………………………………(7分)
②當(dāng)c≤0時(shí)，
∵a0，
∴f(1)＝－a20且f(2)＝a－c0，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………………………………(10分)
(3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝－ba2－4－32－ba
＝ba＋22＋2.(12分)
∵－3ba－34，
∴2≤|x1－x2|574.……………………………………………………………………(14分)

延伸閱讀

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)曲線與方程學(xué)案含答案

學(xué)案55曲線與方程

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：了解曲線的方程與方程的曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
自主梳理
1．曲線的方程與方程的曲線
在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1)__________________都是這個(gè)方程的______．
(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是________________，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
2．平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問題
(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；
(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)．
3．求曲線方程的一般方法(五步法)
求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示________________________；
(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝____________；
(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0為________；
(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在________．
自我檢測(cè)
1．(2011湛江月考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2－y＝0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，－1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)的軌跡方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一動(dòng)圓與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()
A．雙曲線的一支B．橢圓
C．拋物線D．圓
3．(2011佛山模擬)已知直線l的方程是f(x，y)＝0，點(diǎn)M(x0，y0)不在l上，則方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲線是()
A．直線lB．與l垂直的一條直線
C．與l平行的一條直線D．與l平行的兩條直線
4．若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且|MN|＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿足PM→PN→＝0，則P點(diǎn)的軌跡是()
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
5．(2011江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究點(diǎn)一直接法求軌跡方程
例1動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線．

變式遷移1已知兩點(diǎn)M(－2,0)、N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為______________．
探究點(diǎn)二定義法求軌跡方程
例2(2011包頭模擬)已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．

變式遷移2在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B－a2，0，Ca2，0，且滿足條件sinC－sinB＝12sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程
例3如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

變式遷移3已知長為1＋2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且AP→＝22PB→.求點(diǎn)P的軌跡C的方程．

分類討論思想的應(yīng)用

例(12分)
過定點(diǎn)A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與y軸交于點(diǎn)N，如圖所示，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．
多角度審題要求點(diǎn)P坐標(biāo)，必須先求M、N兩點(diǎn)，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點(diǎn)且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再消去k1即得點(diǎn)P軌跡方程．
【答題模板】
解(1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為k1，則k1≠0.因?yàn)閘1⊥l2，
所以l2的斜率為－1k1，
l1的方程為y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程為y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1＝b＋ak1，[6分]
設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，MN中點(diǎn)為a2，b2，其坐標(biāo)滿足方程③.
綜合(1)(2)知所求MN中點(diǎn)P的軌跡方程為2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思維障礙】
引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，AM的斜率不存在，此時(shí)MN中點(diǎn)為a2，b2，易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點(diǎn)a2，b2.
1．求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達(dá)成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)，列式，代換，化簡，證明五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略．(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表達(dá)或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法．(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
2．本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時(shí)，應(yīng)考慮是否符合曲線的定義．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果M是線段F1P的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()
A．圓B．橢圓
C．雙曲線的一支D．拋物線
2．(2011唐山模擬)已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，則點(diǎn)C的軌跡為()
A．雙曲線B．雙曲線的一支
C．橢圓D．線段
3．長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，AC→＝2CB→，則點(diǎn)C的軌跡是()
A．線段B．圓C．橢圓D．雙曲線
4．(2011銀川模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是()
A．雙曲線B．橢圓
C．拋物線D．圓
5．已知F1、F2是橢圓x24＋y23＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()
A．雙曲線B．雙曲線的一個(gè)分支
C．兩條射線D．一條射線
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為______________．
8．平面上有三點(diǎn)A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為__________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知拋物線y2＝4px(p0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

10．(12分)(2009寧夏，海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，|OP||OM|＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

11．(14分)(2011石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，－3)和F2(0，3)為焦點(diǎn)、離心率為32的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)|OM→|的最小值．
學(xué)案55曲線與方程
自主梳理
1．(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)解(2)曲線上的點(diǎn)3.(1)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(2){M|p(M)}(4)最簡形式(5)曲線上
自我檢測(cè)
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
當(dāng)m＝0時(shí)，C2：y＝0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m≠0時(shí)，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m＝±33，
即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意，
則－33m0或0m33.
綜上知－33m0或0m33.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引①在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時(shí)，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；
②由于已知條件中，直線PA、PB的斜率存在，因此軌跡曲線應(yīng)除去A、B兩點(diǎn)；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲線有以下幾種情況：
1°AB0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
2°A＝B0，表示圓；
3°0AB，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
4°A0B，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；
5°A0B，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；
6°A，B0，無軌跡．
解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則kAP＝y(tǒng)x－a，kBP＝y(tǒng)x＋a.
由題意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴點(diǎn)P的軌跡方程為kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式即y＝0，點(diǎn)P的軌跡是直線AB(除去A、B兩點(diǎn))．
(2)當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點(diǎn))．
②若k0，(*)式可化為x2a2＋y2－ka2＝1.
1°當(dāng)－1k0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))；
2°當(dāng)k＝－1時(shí)，(*)式即x2＋y2＝a2，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點(diǎn))；
3°當(dāng)k－1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))．
變式遷移1y2＝－8x
解析由題意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移項(xiàng)兩邊平方，化簡得y2＝－8x.
例2解題導(dǎo)引(1)由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實(shí)軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化；
(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)．
解
如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則
由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1；
由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴點(diǎn)M的軌跡方程為4x29－4y27＝1(x0)．
變式遷移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A點(diǎn)軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線右支，其中實(shí)半軸長為a4，焦距為|BC|＝a.
∴虛半軸長為a22－a42＝34a，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得為16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解題導(dǎo)引相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法．其題目特征是：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程)，只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中，整理即可得點(diǎn)A的軌跡方程．
解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直線x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直線x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
聯(lián)立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又點(diǎn)Q在雙曲線x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
變式遷移3解設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因?yàn)閨AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化簡得x22＋y2＝1.∴點(diǎn)P的軌跡方程為x22＋y2＝1.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[
如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a(設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
連接MO，由三角形的中位線可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓．]
2．B[A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以點(diǎn)C軌跡為雙曲線的一支．]
3．C[設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線上，
所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN(如圖所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
過O作OR⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓．]
5．D[因?yàn)閨F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以軌跡為一條射線．]
6．4π
解析設(shè)P(x，y)，由題知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圓的面積為4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
設(shè)A(x，y)，y≠0，則Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化簡得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，
∴A不能落在x軸上，即y≠0.
方法二
定義法．如圖所示，
設(shè)A(x，y)，D為AB的中點(diǎn)，過A作AE∥CD交x軸于E，
則E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距離為常數(shù)6.
∴A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共線，故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y≠0.
故A點(diǎn)軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解設(shè)M(x，y)，直線AB斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證也符合上式．
故M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以橢圓C的方程為x216＋y27＝1.(4分)
(2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①當(dāng)λ＝34時(shí)，化簡得9y2＝112，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)．
軌跡是兩條平行于x軸的線段．(7分)
②當(dāng)λ≠34時(shí)，方程變形為x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
當(dāng)0λ34時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分．
當(dāng)34λ1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓．(12分)
11．解(1)橢圓的方程可寫為y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲線C的方程為x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)镻在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切線AB的方程為y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
設(shè)A(x,0)和B(0，y)，由切線方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，
由x0，y0滿足C的方程，得點(diǎn)M的軌跡方程為1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x2－1＝4x2－1，即x＝3時(shí)，上式取等號(hào)．
故|OM→|的最小值為3.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)學(xué)案含答案

學(xué)案9冪函數(shù)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的圖象，了解它們的變化情況．
自主梳理
1．冪函數(shù)的概念
形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下：
定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點(diǎn)
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在第____象限無圖象．
(3)α0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)________________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α0時(shí)，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象________原點(diǎn)．
自我檢測(cè)
1．(2011石家莊月考)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±12四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號(hào)的正確對(duì)應(yīng)順序是()

A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011滄州模擬)設(shè)α∈{－1,1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α值為()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．與函數(shù)y＝xx＋1的圖象形狀一樣的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知點(diǎn)(33，33)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究點(diǎn)一冪函數(shù)的定義與圖象
例1已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(diǎn)(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求當(dāng)x為何值時(shí)：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．

變式遷移1若點(diǎn)(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間．

探究點(diǎn)二冪函數(shù)的單調(diào)性
例2比較下列各題中值的大?。?br> (1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.

變式遷移2(1)比較下列各組值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，則m的取值范圍是__________________________．
探究點(diǎn)三冪函數(shù)的綜合應(yīng)用
例3(2011葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的范圍．

變式遷移3已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn)(2，2)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．
2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．右圖是函數(shù)y＝(m，n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則()
A．m，n是奇數(shù)，且mn1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且mn1
2．(2010陜西)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對(duì)任意的x0，y0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．冪函數(shù)B．對(duì)數(shù)函數(shù)
C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)
3．下列函數(shù)圖象中，正確的是()
4．(2010安徽)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)cbB．a(chǎn)bc
C．cabD．bca
5．下列命題中正確的是()
①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；
②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；
③當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；
④冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n0時(shí)是增函數(shù)；
⑤冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n0時(shí)在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。?br> A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011邯鄲模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小順序是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0α1)，對(duì)于下列命題：①若x1，則f(x)1；②若0x1，則0f(x)1；③當(dāng)x0時(shí)，若f(x1)f(x2)，則x1x2；④若0x1x2，則f(x1)x1f(x2)x2.
其中正確的命題序號(hào)是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當(dāng)－1≤x1時(shí)，y＝f(x)的表達(dá)式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點(diǎn)(12，18)．求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達(dá)式．

10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．

11．(14分)(2011荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式；
(2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域?yàn)閇－4，178]？若存在，求出q；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函數(shù)不過
自我檢測(cè)
1．B[方法一由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n0時(shí)不過原點(diǎn)，故C3，C4對(duì)應(yīng)的n值均為負(fù)，C1，C2對(duì)應(yīng)的n值均為正；
由增(減)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次為
2，12，－12，－2.
方法二作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點(diǎn)A1，A2，A3，A4，則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)顯然為22,，，2－2，故n值分別為2，12，－12，－2.]
2．D[第一個(gè)圖象過點(diǎn)(0,0)，與④對(duì)應(yīng)；第二個(gè)圖象為反比例函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二個(gè)圖象對(duì)應(yīng)③；
第三個(gè)圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三個(gè)圖象對(duì)應(yīng)①；
第四個(gè)圖象為對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個(gè)圖象對(duì)應(yīng)②.
∴四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)序號(hào)的對(duì)應(yīng)順序?yàn)棰堍邰佗?]
3．A4.C5.B
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解(1)設(shè)f(x)＝xα，
∵圖象過點(diǎn)(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(diǎn)(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．

由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(diǎn)(－1，1)和(1,1)．
∴①當(dāng)x1，或x－1時(shí)，f(x)g(x)；
②當(dāng)x＝1，或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；
③當(dāng)－1x1且x≠0時(shí)，f(x)g(x)．
變式遷移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，
如例1圖所示，
則有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解題導(dǎo)引比較兩個(gè)冪的大小關(guān)鍵是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同，若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同，利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不相同，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋”進(jìn)行分組．
解(1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30.830.7.
(2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
變式遷移2(1)①②
(2)m0
解析根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象，
當(dāng)0x1時(shí)，0y1，∴00.71.31.
又根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.7的圖象，
當(dāng)x1時(shí)，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
對(duì)于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，當(dāng)x0時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m0.
例3解∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m2－2m－3是偶數(shù)，
而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，
12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，
∴等價(jià)于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范圍為{a|a－1或23a32}．
變式遷移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m與m＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)，
∴m(m＋1)為偶數(shù)．
∴函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范圍為[1，32)．
課后練習(xí)區(qū)
1．C[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)，
∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．
又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴冪函數(shù)f(x)＝xα不具有此性質(zhì)．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax不具有此性質(zhì)．
∵ax＋y＝axay，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax具有此性質(zhì)．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函數(shù)y＝cosx不具有此性質(zhì)．]
3．C[對(duì)A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B圖象不正確；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax應(yīng)為減函數(shù)，D錯(cuò)．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)遞增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)遞減，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
經(jīng)檢驗(yàn)m＝1或2都適合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限內(nèi)的圖象，如圖所示，
可判定①②③正確，
又fxx表示圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
當(dāng)0x1x2時(shí)應(yīng)有fx1x1fx2x2，故④錯(cuò)．
9．解設(shè)在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由點(diǎn)(12，18)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由條件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
當(dāng)n＝0,2時(shí)，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上單調(diào)遞增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函數(shù)．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
當(dāng)k＝0或k＝1時(shí)，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假設(shè)存在q0滿足題設(shè)，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(－1，g(－1))和頂點(diǎn)(2q－12q，4q2＋14q)處取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)直線及其方程學(xué)案帶答案

第九章解析幾何
學(xué)案47直線及其方程

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．
自主梳理
1．直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為________．
②傾斜角的范圍為______________．
(2)直線的斜率
①定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝______________________.
2．直線的方向向量
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的一個(gè)方向向量為P1P2→，其坐標(biāo)為________________，當(dāng)斜率k存在時(shí)，方向向量的坐標(biāo)可記為(1，k)．
3．直線的方程和方程的直線
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐標(biāo)平面上的直線l，如果直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一個(gè)解作為點(diǎn)的坐標(biāo)都在__________，就稱直線l是方程Ax＋By＋C＝0的直線，稱方程Ax＋By＋C＝0是直線l的方程．
4．直線方程的五種基本形式
名稱方程適用范圍
點(diǎn)斜式不含直線x＝x0
斜截式不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
5.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝，y＝，此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
自我檢測(cè)
1．(2011銀川調(diào)研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三點(diǎn)共線，則m的值為()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直線l與兩條直線x－y－7＝0，y＝1分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為(1，－1)，則直線l的斜率為()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四個(gè)命題中，假命題是()
A．經(jīng)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)來表示
C．與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．經(jīng)過點(diǎn)Q(0，b)的直線都可以表示為y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．已知直線l的方向向量與向量a＝(1,2)垂直，且直線l過點(diǎn)A(1,1)，則直線l的方程為()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究點(diǎn)一傾斜角與斜率

例1已知兩點(diǎn)A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率．

變式遷移1直線xsinα－y＋1＝0的傾斜角的變化范圍是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究點(diǎn)二直線的方程
例2(2011武漢模擬)過點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程．

變式遷移2求適合下列條件的直線方程：
(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；
(2)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍．

探究點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用

例3過點(diǎn)P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：
(1)△AOB面積最小時(shí)l的方程；
(2)|PA||PB|最小時(shí)l的方程．
變式遷移3為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？
探究點(diǎn)四數(shù)形結(jié)合思想
例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
試求y＋3x＋2的最大值與最小值．

變式遷移4直線l過點(diǎn)M(－1,2)且與以點(diǎn)P(－2，－3)、Q(4,0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則l的斜率范圍是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°≤α180°，熟記斜率公式k＝y(tǒng)2－y1x2－x1，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)．已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1≠x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，而x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.
2．當(dāng)直線沒有斜率(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式y(tǒng)－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直線方程，但都可以寫成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式或截距式．
3．使用直線方程時(shí)，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011臨沂月考)已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直線l：y＝kx－3與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌調(diào)研)點(diǎn)A(a＋b，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0不經(jīng)過的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．(2011包頭期末)經(jīng)過點(diǎn)P(2，－1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．過兩點(diǎn)A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m＝________.
7．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是________．
8．設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是________________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直線AB的斜率k；
(2)求直線AB的方程；
(3)已知實(shí)數(shù)m∈－33－1，3－1，求直線AB的傾斜角α的范圍．

10．(12分)(2011秦皇島模擬)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍．
11．(14分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．

學(xué)案47直線及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直線l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)5.x1＋x22y1＋y22
自我檢測(cè)
1．A2.D3.D4.C5.D
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型．
解設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α，
由題意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直線l的斜率為13.
變式遷移1D[直線xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
當(dāng)0≤k≤1時(shí)，傾斜角的范圍是0，π4，
當(dāng)－1≤k0時(shí)，傾斜角的范圍是3π4，π.]
例2解題導(dǎo)引(1)對(duì)直線問題，要特別注意斜率不存在的情況．
(2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法．
待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)．
解過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是0，103和(0,8)，
顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件．
故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵點(diǎn)M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直線方程為x＋4y－4＝0.
變式遷移2解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，
若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，
∴l(xiāng)的方程為y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，則設(shè)l的方程為xa＋ya＝1，
∵l過點(diǎn)(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，
則所求直線的傾斜角為2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解題導(dǎo)引先設(shè)出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出△ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值．
確定直線方程可分為兩個(gè)類型：一是根據(jù)題目條件確定點(diǎn)和斜率或確定兩點(diǎn)，進(jìn)而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法．
解設(shè)直線的方程為xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2時(shí)，S△AOB取最小值4，
此時(shí)直線l的方程為x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3時(shí)，|PA||PB|取最小值4.
此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
變式遷移3解如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，
∴線段EF的方程為x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，
作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，
PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值，這時(shí)|EP||PF|＝30－55＝5.
所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大．
例4解題導(dǎo)引解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡化了運(yùn)算過程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x，y)的直線的斜率k，由圖可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值為8，最小值為43.
變式遷移4C
[如圖，過點(diǎn)M作y軸的平行線與線段PQ相交于點(diǎn)N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
當(dāng)直線l從MP開始繞M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到MN時(shí)，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時(shí)，k≥5.當(dāng)直線l從MN開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到MQ時(shí)，
∵正切函數(shù)在(π2，π)上仍為增函數(shù)，
∴斜率從－∞開始增加，增大到kMQ＝－25，
故直線l的斜率范圍是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
課后練習(xí)區(qū)
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，
直線AB的斜率不存在；(1分)
當(dāng)m≠－1時(shí)，k＝1m＋1.(3分)
(2)當(dāng)m＝－1時(shí)，AB的方程為x＝－1，(5分)
當(dāng)m≠－1時(shí)，AB的方程為y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直線AB的方程為x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①當(dāng)m＝－1時(shí)，α＝π2；
②當(dāng)m≠－1時(shí)，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
綜合①②，知直線AB的傾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直線x＋my＋m＝0恒過A(0，－1)點(diǎn)．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
則－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0時(shí)直線x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，
∴所求m的范圍是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)證明直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－1＋2kk，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依題意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此時(shí)l：x－2y＋4＝0.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案帶答案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案帶答案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

學(xué)案8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a0，a≠1)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．

自主梳理
1．對(duì)數(shù)的定義
如果________________，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作__________，其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，______叫做真數(shù)．
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a0且a≠1)
①＝____；②＝____；
③＝____；④＝____.
(2)對(duì)數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②＝，推廣＝________.
(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
如果a0且a≠1，M0，N0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④＝nmlogaM.
3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a10a1
圖
象

性
質(zhì)(1)定義域：______
(2)值域：______
(3)過點(diǎn)______，即x＝____時(shí)，y＝____
(4)當(dāng)x1時(shí)，______
當(dāng)0x1時(shí)，______(5)當(dāng)x1時(shí)，______當(dāng)0x1時(shí)，______
(6)是(0，＋∞)上的______函數(shù)(7)是(0，＋∞)上的______函數(shù)

4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)____________互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線______對(duì)稱．
自我檢測(cè)
1．(2010四川)2log510＋log50.25的值為()
A．0B．1C．2D．4
2．(2010遼寧)設(shè)2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，則m的值為()
A.10B．10C．20D．100
3．(2009遼寧)已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝12x；當(dāng)x4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為()
A.124B.112C.18D.38
4．(2010安慶模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f(13)＝0，則滿足0的x的取值范圍是()
A．(0，＋∞)B．(0，12)∪(2，＋∞)
C．(0，18)∪(12，2)D．(0，12)
5．(2011臺(tái)州期末)已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，則m與n的大小關(guān)系是______.
探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡與求值
例1計(jì)算：(1)；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245；
(3)已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.

變式遷移1計(jì)算：
(1)log2748＋log212－12log242－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.

探究點(diǎn)二含對(duì)數(shù)式的大小比較
例2(1)比較下列各組數(shù)的大小．
①log323與log565；
②log1.10.7與log1.20.7.
(2)已知log12blog12alog12c，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系．

變式遷移2(1)(2009全國Ⅱ)設(shè)a＝log3π，b＝log23，c＝log32，則()
A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cb
C．bacD．bca
(2)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝，(12)b＝，(12)c＝log2c，則()
A．a(chǎn)bcB．cba0
C．cabD．bac
探究點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例3已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果對(duì)于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是()
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a0，a≠1)．
(1)解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)f(1)；
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率小于0.
【答題模板】
(1)解∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a0.∴0a1.
∴不等式可化為loga(1－ax)loga(1－a)．
∴1－ax0，1－ax1－a.，即ax1，axa.∴0x1.
∴不等式的解集為(0,1)．[4分]
(2)證明設(shè)x1x2，則f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1－ax0，∴ax1.
∴a1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)；[6分]
0a1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
當(dāng)0a1時(shí)，∵x2x10，∴.
∴1.∴0.
∴f(x2)f(x1)，即y2y1.
同理可證，當(dāng)a1時(shí)，也有y2y1.[10分]
綜上：y2y1，即y2－y10.∴kAB＝y(tǒng)2－y1x2－x10.
∴直線AB的斜率小于0.[12分]
【突破思維障礙】
解決含參數(shù)的對(duì)數(shù)問題，不可忽視對(duì)底數(shù)a的分類討論，即a1或0a1，其次要看定義域，如果將函數(shù)變換，務(wù)必保證等價(jià)性．
1．求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：
(1)確定定義域；
(2)弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”．
2．用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
(1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較
例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，
其中a0且a≠1.
①若a1，則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.
②若0a1，則logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)．
(2)同真數(shù)的對(duì)數(shù)值大小關(guān)系如圖：
圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0cd1ab.
3．常見對(duì)數(shù)方程式或?qū)?shù)不等式的解法
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a0且a≠1)等價(jià)于f(x)＝g(x)，但要注意驗(yàn)根．對(duì)于logaf(x)logag(x)等價(jià)于0a1時(shí)，a1時(shí)，
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用換元法求解．

(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010北京市豐臺(tái)區(qū)高三一調(diào))設(shè)M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N等于()
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010全國Ⅰ)設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，則()
A．a(chǎn)bcB．bca
C．cabD．cba
3．(2010天津)若函數(shù)f(x)＝log2x，x0，log12(－x)，x0，若f(a)f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx，則有()
A．f(13)f(2)f(12)
B．f(12)f(2)f(13)
C．f(12)f(13)f(2)
D．f(2)f(12)f(13)
5．(2011青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()
A.12B.14C．2D．4
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．2lg5＋23lg8＋lg5lg20＋lg22＝________.
7．(2011湖南師大附中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝lgax＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值時(shí)x的值．

10．(12分)(2011北京東城1月檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；
(3)若a1時(shí)，求使f(x)0的x的解集．

11．(14分)(2011鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸；
(3)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

答案自主梳理
1．a(chǎn)x＝N(a0，且a≠1)x＝logaNaN2.(1)①N②0③N④1(2)①logaNlogab②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0y0(6)增(7)減4.y＝logaxy＝x
自我檢測(cè)
1．C2.A
3．A[因?yàn)?2＋log234，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log234，故f(3＋log23)＝123＋log23＝12313＝124.]
4．B[由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|log18x|13，解得x的取值范圍是(0，12)∪(2，＋∞)．]
5．mn
解析∵m0，n0，∵mn＝logaclogcb＝logablogaa＝1，∴mn.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化．
解(1)方法一利用對(duì)數(shù)定義求值：
設(shè)＝x，
則(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，
∴x＝－1.
方法二利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解：
＝
＝＝－1.
(2)原式＝12(lg32－lg49)－43lg812＋
12lg245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5
＝12lg(2×5)＝12lg10＝12.
(3)由已知得lg(x－y2)2＝lgxy，
∴(x－y2)2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.
∵x－y0，x0，y0，∴xy1，∴xy＝3＋22，
∴l(xiāng)og(3－22)xy＝log(3－22)(3＋22)
＝log3－2213－22＝－1.
變式遷移1解(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22
＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25
＝21g2＋lg25＝lg100＝2.
例2解題導(dǎo)引比較對(duì)數(shù)式的大小或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較．
解(1)①∵log323log31＝0，
而log565log51＝0，∴l(xiāng)og323log565.
②方法一∵00.71,1.11.2，
∴0log0.71.1log0.71.2.
∴1log0.71.11log0.71.2，
由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.
方法二作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，
如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.
(2)∵y＝log12x為減函數(shù)，
且log12blog12alog12c，∴bac.
而y＝2x是增函數(shù)，∴2b2a2c.
變式遷移2(1)A[a＝log3π1，b＝12log23，則12b1，c＝12log3212，∴abc.]
(2)A[∵a，b，c均為正，
∴l(xiāng)og12a＝2a1，log12b＝(12)b∈(0,1)，
log2c＝(12)c∈(0,1)．
∴0a12，12b1,1c2.
故abc.]
例3解題導(dǎo)引本題屬于函數(shù)恒成立問題，即對(duì)于x∈[13，2]時(shí)，|f(x)|恒小于等于1，恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題．由于本題底數(shù)a為參數(shù)，需對(duì)a分類討論．
解∵f(x)＝logax，

則y＝|f(x)|的圖象如右圖．
由圖示，可使x∈[13，2]時(shí)恒有|f(x)|≤1，
只需|f(13)|≤1，即－1≤loga13≤1，
即logaa－1≤loga13≤logaa，
亦當(dāng)a1時(shí)，得a－1≤13≤a，即a≥3；
當(dāng)0a1時(shí)，得a－1≥13≥a，得0a≤13.
綜上所述，a的取值范圍是(0，13]∪[3，＋∞)．
變式遷移3C
[畫出函數(shù)f(x)＝|lgx|的圖象如圖所示．∵0ab，f(a)＝f(b)，∴0a1，b1，∴l(xiāng)ga0，lgb0.由f(a)＝f(b)，
∴－lga＝lgb，ab＝1.
∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，
又0a1，函數(shù)t＝a＋2a在(0,1)上是減函數(shù)，
∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.]
課后練習(xí)區(qū)
1．C[∵x≥0，∴y＝(12)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
當(dāng)0x≤1時(shí)，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．]
2．C[∵1a＝log231，1b＝log2e1，log23log2e.
∴1a1b1，∴0ab1.
∵a＝log32log33＝12，∴a12.
b＝ln2lne＝12，∴b12.
c＝5－12＝1512，∴cab.]
3．C[①當(dāng)a0時(shí)，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)f(－a)，即log2a＝log21a，
∴a1a，解得a1.
②當(dāng)a0時(shí)，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)f(－a)，即log2(－a)＝，
∴－a1－a，解得－1a0，
由①②得－1a0或a1.]
4．C[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2－x＋x2＝1對(duì)稱，又當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx，所以離對(duì)稱軸x＝1距離大的x的函數(shù)值大，
∵|2－1||13－1||12－1|，
∴f(12)f(13)f(2)．]
5．C[當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
6．3
7．(1,2)
解析因?yàn)閒(x)＝lga＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以g(x)＝a＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，且g(1)0，于是a－20，且2a－20，即1a2.
8．2008
解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008.
9．解∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9]，
∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
當(dāng)log3x＝1，即x＝3時(shí)，ymax＝13.
∴當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則x＋10，1－x0，解得－1x1.
故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－1x1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閧x|－1x1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．………………………………………………………………(8分)
(3)因?yàn)楫?dāng)a1時(shí)，f(x)在定義域{x|－1x1}內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)0x＋11－x1.
解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是{x|0x1}．…………………………………(12分)
11．解(1)由ax－bx0，得(ab)x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1x20，a1b0，則0，，所以0，
即．故f(x1)f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．………………………………………………………(8分)
假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾．
故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸．…………(10分)
(3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當(dāng)a≥b＋1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)