高中三角函數(shù)的教案

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案(含答案)。

學(xué)案19三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間－π2，π2內(nèi)的單調(diào)性．
自主梳理
1．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx
圖象

定義域
值域
周期性
奇偶性
單調(diào)性在______________________上增，在__________________________________上減在__________________________上增，在______________________________上減在定義域的每一個(gè)區(qū)間________________________________內(nèi)是增函數(shù)
2.正弦函數(shù)y＝sinx
當(dāng)x＝____________________________________時(shí)，取最大值1；
當(dāng)x＝____________________________________時(shí)，取最小值－1.
3．余弦函數(shù)y＝cosx
當(dāng)x＝__________________________時(shí)，取最大值1；
當(dāng)x＝__________________________時(shí)，取最小值－1.
4．y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的對(duì)稱中心分別為_(kāi)___________、___________、______________.
5．y＝sinx、y＝cosx的對(duì)稱軸分別為_(kāi)_____________和____________，y＝tanx沒(méi)有對(duì)稱軸．
自我檢測(cè)
1．(2010十堰月考)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A0，ω0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω為()
A．1B．2C．3D．4
2．函數(shù)y＝sin2x＋π3圖象的對(duì)稱軸方程可能是()
A．x＝－π6B．x＝－π12
C．x＝π6D．x＝π12
3．(2010湖北)函數(shù)f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期為()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2010北京海淀高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x的最小正周期為()
A．4πB．3πC．2πD．π
5．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)4π3，0中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為()
A.π6B.π4C.π3D.π2
探究點(diǎn)一求三角函數(shù)的定義域
例1(2011衡水月考)求函數(shù)y＝2＋log12x＋tanx的定義域．

變式遷移1函數(shù)y＝1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定義域?yàn)開(kāi)_______________________．
探究點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性
例2求函數(shù)y＝2sinπ4－x的單調(diào)區(qū)間．

變式遷移2(2011南平月考)(1)求函數(shù)y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)y＝3tanπ6－x4的周期及單調(diào)區(qū)間．

探究點(diǎn)三三角函數(shù)的值域與最值
例3已知函數(shù)f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定義域?yàn)閇0，π2]，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．
變式遷移3設(shè)函數(shù)f(x)＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，試確定g(x)＝bsin(ax＋π3)的周期．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；
(2)y＝3cosx－3sinx，x∈[0，π2]；
(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.
【答題模板】
解(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx
＝2(cosx＋12)2－12，cosx∈[－1,1]．
當(dāng)cosx＝1時(shí)，ymax＝4，
當(dāng)cosx＝－12時(shí)，ymin＝－12，故函數(shù)值域?yàn)閇－12，4]．[4分]
(2)y＝3cosx－3sinx＝23cos(x＋π6)
∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，
∵y＝cosx在[π6，2π3]上單調(diào)遞減，
∴－12≤cos(x＋π6)≤32
∴－3≤y≤3，故函數(shù)值域?yàn)閇－3，3]．[8分]
(3)令t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.
∴y＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1；
當(dāng)t＝2時(shí)，ymax＝12＋2.
∴函數(shù)值域?yàn)閇－1，12＋2]．[12分]
【突破思維障礙】
1．對(duì)于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函數(shù)在求值域時(shí)，需先確定ωx＋φ的范圍，再求值域．同時(shí)，對(duì)于形
如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函數(shù)，可借助輔助角公式，將函數(shù)化為y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，從而求得函數(shù)的最值．
2．關(guān)于y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)型或可以為此型的函數(shù)求值域，一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題．
提醒：不論用什么方法，切忌忽略函數(shù)的定義域．
1．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是研究三角問(wèn)題的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡(jiǎn)單的三角不等式(組)．
2．三角函數(shù)的值域問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題．
3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看作一個(gè)整體，利用y＝sinx的單調(diào)區(qū)間來(lái)求．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011黃山月考)已知函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇－1，12]，則b－a的值不可能是()
A.π3B.2π3C．πD.4π3
2．(2010安徽6校高三聯(lián)考)已知函數(shù)y＝tanωx(ω0)與直線y＝a相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|最小值為π，則函數(shù)f(x)＝3sinωx－cosωx的單調(diào)增區(qū)間是()
A.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)
B.2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)
C.2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)
D.2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)
3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω0)的圖象的相鄰的兩支截直線y＝π4所得線段長(zhǎng)為π4，則fπ4的值是()
A．0B．1C．－1D.π4
4．函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是圖中()
5．(2011三明模擬)若函數(shù)y＝sinx＋f(x)在[－π4，3π4]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)可以是()
A．1B．cosx
C．sinxD．－cosx
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸的距離的最小值是π8，則f(x)的最小正周期是________．
7．函數(shù)f(x)＝2sinx4對(duì)于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值為_(kāi)_______．
8．(2010江蘇)定義在區(qū)間0，π2上的函數(shù)y＝6cosx的圖象與y＝5tanx的圖象的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y＝sinx的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011廈門月考)已知函數(shù)f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x，求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性．

10．(12分)(2010福建改編)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋π6)＋a(ω0)與g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)當(dāng)x∈[0，π2]時(shí)，f(x)的最小值為－2，求a的值．

11．(14分)(2010安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sinx，23sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定義f(x)＝ab－3.
(1)求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x＋θ)(0θπ2)為偶函數(shù)，求θ的值．

答案自主梳理
1．RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)
2．2kπ＋π2(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)3.2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)4.(kπ，0)(k∈Z)kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)5.x＝kπ＋π2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)
自我檢測(cè)
1．C2.D3.D4.D5.A
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引求三角函數(shù)的定義域時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解，常常借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時(shí)可以利用單位圓，對(duì)于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可．
解要使函數(shù)有意義，
則2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2k∈Z，
得0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?br> x|0xπ2或π≤x≤4.
變式遷移1π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z
解析由題意得
1－2cosx≥02sinx－10cosx≤12sinx12，
解得π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Zπ6＋2kπx5π6＋2kπ，k∈Z，
即x∈π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.
例2解題導(dǎo)引求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ωx＋φ(ω0)”視為一個(gè)“整體”；②A0(A0)時(shí)，所列不等式的方向與y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．
解y＝2sinπ4－x可看作是由y＝2sinu與u＝π4－x復(fù)合而成的．
又∵u＝π4－x為減函數(shù)，
∴由2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2(k∈Z)，
即2kπ－π2≤π4－x≤2kπ＋π2(k∈Z)，
得－2kπ－π4≤x≤－2kπ＋3π4(k∈Z)，
即－2kπ－π4，－2kπ＋3π4(k∈Z)為
y＝2sinπ4－x的遞減區(qū)間．
由2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
即2kπ＋π2≤π4－x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，
得－2kπ－5π4≤x≤－2kπ－π4(k∈Z)，
即－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)為
y＝2sinπ4－x的遞增區(qū)間．
綜上可知，y＝2sinπ4－x的遞增區(qū)間為
－2kπ－5π4，－2kπ－π4(k∈Z)；
遞減區(qū)間為－2kπ－π4，－2kπ＋3π4(k∈Z)．
變式遷移2解(1)由y＝sinπ3－2x，
得y＝－sin2x－π3，
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.
∴函數(shù)y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.
(2)函數(shù)y＝3tanπ6－x4的周期
T＝π－14＝4π.
由y＝3tanπ6－x4
得y＝－3tanx4－π6，
由－π2＋kπx4－π6π2＋kπ得
－43π＋4kπx83π＋4kπ，k∈Z，
∴函數(shù)y＝3tanπ6－x4的單調(diào)遞減區(qū)間為－43π＋4kπ，83π＋4kπ(k∈Z)．
例3解題導(dǎo)引解決此類問(wèn)題，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解決問(wèn)題．
解∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，
∴－32≤sin(2x－π3)≤1，
若a0，則2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123；
若a0，則2a＋b＝－5－3a＋b＝1，
解得a＝－12＋63b＝19－123.
綜上可知，a＝12－63，b＝－23＋123
或a＝－12＋63，b＝19－123.
變式遷移3解∵x∈R，
∴cosx∈[－1,1]，
若a0，則a＋b＝1－a＋b＝－3，解得a＝2b＝－1；
若a0，則a＋b＝－3－a＋b＝1，解得a＝－2b＝－1.
所以g(x)＝－sin(2x＋π3)或g(x)＝－sin(－2x＋π3)，周期為π.
課后練習(xí)區(qū)
1．A[畫出函數(shù)y＝sinx的草圖(圖略)，分析知b－a的取值范圍為[2π3，4π3]，故選A.]
2．B[由題意知，函數(shù)的最小正周期為π，則ω＝1，
故f(x)＝3sinωx－cosωx
＝2sinx－π6的單調(diào)增區(qū)間滿足：
2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3.]
3．A
4．D
5．D[因?yàn)閥＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，－π2≤x－π4≤π2，即－π4≤x≤3π4，滿足題意，所以函數(shù)f(x)可以是－cosx．]
6.π2
解析依題意得T4＝π8，所以最小正周期T＝π2.
7．4π
解析由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，而當(dāng)x4＝2kπ－π2，即x＝8kπ－2π(k∈Z)時(shí)，f(x)取最小值；而x4＝2kπ＋π2，即x＝8kπ＋2π(k∈Z)時(shí)，f(x)取最大值，
∴|x1－x2|的最小值為4π.
8.23
解析線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx＝5tanx，x∈0，π2，解得sinx＝23.所以線段P1P2的長(zhǎng)為23.
9．解由題意知cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，
解得x≠kπ2＋π4(k∈Z)．
∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x
＝2cos2x－1cos2x－12cos2x－1
＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分)
又∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f(x)是偶函數(shù)．…………………………………………………………………………(8分)
顯然－sin2x∈[－1,0]，
又∵x≠kπ2＋π4，k∈Z，
∴－sin2x≠－12.
∴原函數(shù)的值域?yàn)?br> y|－1≤y－12或－12y≤0.……………………………………………………………(12分)
10．解(1)∵f(x)和g(x)的對(duì)稱軸完全相同，
∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a(3分)
∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)
(2)當(dāng)2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，
即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分)
(3)當(dāng)x∈[0，π2]時(shí)，2x＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)
∴2sin(2π2＋π6)＋a＝－2，
∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分)
11．解f(x)＝2sinxcosx＋23sin2x－3
＝sin2x＋231－cos2x2－3
＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，
解得單調(diào)遞減區(qū)間是kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x＋θ)＝2sin2x＋2θ－π3.
根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知，
y＝f(x＋θ)0θπ2在x＝0處取最值，
∴sin2θ－π3＝±1，
∴2θ－π3＝kπ＋π2，θ＝kπ2＋5π12，k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0θπ2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)
jab88.cOM

擴(kuò)展閱讀

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)函數(shù)y＝asin(ωx＋φ)的圖象及性質(zhì)學(xué)案

學(xué)案20函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及
三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題．
自主梳理
1．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)．如下表所示．

X
Ωx＋φ
y＝
Asin(ωx＋φ)0A0－A0

2.圖象變換：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象作如下變換得到：
（1）相位變換：y＝sinxy＝sin(x＋φ)，把y＝sinx圖象上所有的點(diǎn)向____(φ0)或向____(φ0)平行移動(dòng)__________個(gè)單位．
（2）周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)____(0ω1)或____(ω1)到原來(lái)的________倍(縱坐標(biāo)不變)．
（3）振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)______(A1)或______(0A1)到原來(lái)的____倍(橫坐標(biāo)不變)．
3．當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈(－∞，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做頻率，________叫做相位，____叫做初相．
函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為_(kāi)___________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為_(kāi)_______．
自我檢測(cè)
1．(2011池州月考)要得到函數(shù)y＝sin2x－π4的圖象，可以把函數(shù)y＝sin2x的圖象()
A．向左平移π8個(gè)單位
B．向右平移π8個(gè)單位
C．向左平移π4個(gè)單位
D．向右平移π4個(gè)單位
2．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期為π.將y＝f(x)的圖象向左平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的一個(gè)值是()
A.π2B.3π8C.π4D.π8
3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象()
A．向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度
4．(2011太原高三調(diào)研)函數(shù)y＝sin2x－π3的一條對(duì)稱軸方程是()
A．x＝π6B．x＝π3
C．x＝π12D．x＝5π12
5．(2011六安月考)若動(dòng)直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為()
A．1B.2C.3D．2
探究點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及變換
例1已知函數(shù)y＝2sin2x＋π3.
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說(shuō)明y＝2sin2x＋π3的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到．

變式遷移1設(shè)f(x)＝12cos2x＋3sinxcosx＋32sin2x(x∈R)．
(1)畫出f(x)在－π2，π2上的圖象；
(2)求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間；
(3)如何由y＝sinx的圖象變換得到f(x)的圖象？

探究點(diǎn)二求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的圖象的一部分如圖所示．求函數(shù)f(x)的解析式．

變式遷移2(2011寧波模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)若銳角θ滿足cosθ＝13，求f(4θ)的值．

探究點(diǎn)三三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例3已知海灣內(nèi)海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t)．下表是某日各時(shí)刻記錄的浪高數(shù)據(jù)：
t03691215182124
y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8∶00至晚上20∶00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

變式遷移3交流電的電壓E(單位：伏)與時(shí)間t(單位：秒)的關(guān)系可用E＝2203sin100πt＋π6表示，求：
(1)開(kāi)始時(shí)的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次取得最大值時(shí)的時(shí)間．

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
例(12分)設(shè)關(guān)于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)求α＋β的值．
【答題模板】
解(1)原方程可化為sin(θ＋π3)＝－a2，
作出函數(shù)y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的圖象．
[3分]
由圖知，方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α，β的充要條件是－1－a21－a2≠32.
即－2a－3或－3a2.[6分]
(2)由圖知：當(dāng)－3a2，即－a2∈(－1，32)時(shí)，直線y＝－a2與三角函數(shù)y＝sin(x＋π3)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為76π，∴α＋β2＝7π6，
∴α＋β＝7π3.[8分]
當(dāng)－2a－3，即－a2∈(32，1)時(shí)，直線y＝－a2與三角函數(shù)y＝sin(x＋π3)的圖象有兩交點(diǎn)A、B，
由對(duì)稱性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分]
綜上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π.[12分]
【突破思維障礙】
在解決三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)理關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種有效的解題策略．
圖象的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：①比較大??；②求單調(diào)區(qū)間；③解不等式；④確定方程根的個(gè)數(shù)．如判斷方程sinx＝x的實(shí)根個(gè)數(shù)；⑤對(duì)稱問(wèn)題等．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
此題若不用數(shù)形結(jié)合法，用三角函數(shù)有界性求a的范圍，不僅過(guò)程繁瑣，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a＝－3時(shí)，方程只有一解．
1．從“整體換元”的思想認(rèn)識(shí)、理解、運(yùn)用“五點(diǎn)法作圖”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間、解析式等相關(guān)問(wèn)題中要充分理解基本函數(shù)y＝sinx的作用．
2．三角函數(shù)自身綜合問(wèn)題：要以課本為主，充分掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，從函數(shù)名稱、角度、式子結(jié)構(gòu)等方面觀察，尋找聯(lián)系，結(jié)合單位圓或函數(shù)圖象等分析解決問(wèn)題．
3．三角函數(shù)模型應(yīng)用的解題步驟：
(1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象．
(2)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型．
(3)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．將函數(shù)y＝sinx－π3的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移π3個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是()
A．y＝sin12xB．y＝sin12x－π2
C．y＝sin12x－π6D．y＝sin2x－π6
2．(2011銀川調(diào)研)如圖所示的是某函數(shù)圖象的一部分，則此函數(shù)是()
A．y＝sinx＋π6
B．y＝sin2x－π6
C．y＝cos4x－π3
D．y＝cos2x－π6
3．為得到函數(shù)y＝cos2x＋π3的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象()
A．向左平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度
4．(2009遼寧)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的圖象如圖所示，f(π2)＝－23，則f(0)等于()
A．－23B．－12
C.23D.12
5．(2011煙臺(tái)月考)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A0，ω0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為π2，直線x＝π3是其圖象的一條對(duì)稱軸，則它的解析式是()
A．y＝4sin4x＋π6B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3＋2D．y＝2sin4x＋π6＋2
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π≤φπ)的圖象如圖所示，則φ＝________.
7．(2010濰坊五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝cos2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，則g(x)＝______.
8．(2010福建)已知函數(shù)f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈0，π2，則f(x)的取值范圍是____________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的圖象的一部分如下圖所示．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)當(dāng)x∈[－6，－23]時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．

10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，0ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)M(0,2)．又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)N3π4，0對(duì)稱且在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，求f(x)的解析式．

11．(14分)(2010山東)已知函數(shù)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期為π，
(1)求ω的值；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間0，π16上的最小值．

答案自主梳理
1.0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω0π2π3π22π2.(1)左右|φ|(2)伸長(zhǎng)縮短1ω(3)伸長(zhǎng)縮短A3.A2πω1Tωx＋φφ2π|ω|π|ω|
自我檢測(cè)
1．B2.D3.A4.D5.B
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩邊伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象；
(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω來(lái)確定平移單位．
解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.
(2)令X＝2x＋π3，則y＝2sin2x＋π3＝2sinX.
列表：
X－π6
π12
π3
7π12
5π6

X0π2
π3π2
2π
y＝sinX010－10
y＝2sin2x＋π3
020－20
描點(diǎn)連線，得圖象如圖所示：
(3)將y＝sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的12倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin2x的圖象；再將y＝sin2x的圖象向左平移π6個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的圖象；再將y＝sin2x＋π3的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)＝2sin2x＋π3的圖象．
變式遷移1解y＝121＋cos2x2＋32sin2x＋321－cos2x2
＝1＋32sin2x－12cos2x＝1＋sin2x－π6.
(1)(五點(diǎn)法)設(shè)X＝2x－π6，
則x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，
于是五點(diǎn)分別為π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描點(diǎn)連線即可得圖象，如下圖．
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
得單調(diào)增區(qū)間為－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.
由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得單調(diào)減區(qū)間為π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.
(3)把y＝sinx的圖象向右平移π6個(gè)單位；再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍(縱坐標(biāo)不變)；最后把所得圖象向上平移1個(gè)單位即得y＝sin2x－π6＋1的圖象．
例2解題導(dǎo)引確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步驟：
(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.確定函數(shù)的周期T，則ω＝2πT.(3)求參數(shù)φ是本題的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求φ時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn)．
解由圖象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝2πT＝2π8＝π4.
方法一由圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，
得2sinπ4×1＋φ＝2，
∴sinπ4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
方法二∵點(diǎn)(1,2)對(duì)應(yīng)“五點(diǎn)”中的第二個(gè)點(diǎn)．
∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，
∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.
變式遷移2解(1)由題意可得：
A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，
f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sinφ＝1，
由|φ|π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(12x＋π6)．
f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，
所以12x0＋π6＝2kπ＋π2，x0＝4kπ＋2π3(k∈Z)，
又∵x0是最小的正數(shù)，∴x0＝2π3.
(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π6
＝3sin2θ＋cos2θ，
∵θ∈0，π2，cosθ＝13，∴sinθ＝223，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，
sin2θ＝2sinθcosθ＝429，
∴f(4θ)＝3×429－79＝46－79.
例3解題導(dǎo)引(1)三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是已知函數(shù)模型，如本例，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則，二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模．(2)如何從表格中得到A、ω、b的值是解題的關(guān)鍵也是易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)第二問(wèn)中解三角不等式也是易錯(cuò)點(diǎn)．(3)對(duì)于三角函數(shù)模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)中參數(shù)的確定有如下結(jié)論：①A＝y(tǒng)max－ymin2；②k＝y(tǒng)max＋ymin2；③ω＝2πT；④φ由特殊點(diǎn)確定．
解(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12，
∴ω＝2πT＝2π12＝π6，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cosπ6t＋1.
(2)由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，
∴12cosπ6t＋11，∴cosπ6t0，
∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，k∈Z，
即12k－3t12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分別為0,1,2，
得0≤t3，或9t15，或21t≤24.
∴在規(guī)定時(shí)間上午8∶00至晚上20∶00之間，有6個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9∶00至下午3∶00.
變式遷移3解(1)t＝0時(shí)，E＝2203sinπ6＝1103(伏)．
(2)T＝2π100π＝0.02(秒)．
(3)當(dāng)100πt＋π6＝π2，t＝1300秒時(shí)，第一次取得最大值，電壓的最大值為2203伏．
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.D3.A4.C5.D
6.9π10
7．－sin2x
8.－32，3
9．解(1)由圖象知A＝2，
∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)
又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.
∵|φ|π2，∴φ＝π4.
∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．………………………………………………………………………(5分)
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)
＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x.……………………………………………………………(8分)
∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x≤－π6.
∴當(dāng)π4x＝－π6，即x＝－23時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；
當(dāng)π4x＝－π，即x＝－4時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.………………………(12分)
10．解根據(jù)f(x)是R上的偶函數(shù)，圖象過(guò)點(diǎn)M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，
則有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，
即sinωxcosφ＝0，
∴cosφ＝0，即φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)＝2sin(－ωx＋π2)＝2cosωx的圖象關(guān)于點(diǎn)N3π4，0對(duì)稱，f(3π4)＝2cos(3ω4π)＝0
∴cos3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)
即3ω4π＝kπ＋π2(k∈Z)，ω＝43k＋12(k∈Z)．
又0ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)
最后根據(jù)f(x)在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，
可知只有ω＝23滿足條件．
所以f(x)＝2cos23x.………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx
＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2
＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12
＝22sin2ωx＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)
由于ω0，依題意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，
所以g(x)＝f(2x)
＝22sin4x＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)
當(dāng)0≤x≤π16時(shí)，π4≤4x＋π4≤π2.
所以22≤sin4x＋π4≤1.
因此1≤g(x)≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此區(qū)間內(nèi)的最小值為1.…………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)案（附答案）

學(xué)案22簡(jiǎn)單的三角恒等變換
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向變換及有關(guān)變形
(1)sinαcosα＝____________________cosα＝sin2α2sinα；
(2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升冪公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
變形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我檢測(cè)
1．(2010陜西)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx是()
A．最小正周期為2π的奇函數(shù)
B．最小正周期為2π的偶函數(shù)
C．最小正周期為π的奇函數(shù)
D．最小正周期為π的偶函數(shù)
2．函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分別為()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函數(shù)f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011清遠(yuǎn)月考)已知A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角，則sinAsinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，無(wú)最大值
C．既無(wú)最大值也無(wú)最小值
D．有最大值12，無(wú)最小值
探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例1求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

變式遷移1(2011泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)當(dāng)x∈0，π4時(shí)，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．

探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值
例2已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．

變式遷移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．

探究點(diǎn)三三角恒等式的證明
例3(2011蘇北四市模擬)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．
(1)求證：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表達(dá)式；
(3)若角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．

變式遷移3求證：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)(2010江西)已知函數(shù)f(x)＝
1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)當(dāng)m＝0時(shí)，求f(x)在區(qū)間π8，3π4上的取值范圍；
(2)當(dāng)tanα＝2時(shí)，f(α)＝35，求m的值．
【答題模板】
解(1)當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
從而得f(x)的值域?yàn)?，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思維障礙】
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡(jiǎn)潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的基本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等．
1．求值中主要有三類求值問(wèn)題：
(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．
(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．
2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：
(1)在化簡(jiǎn)求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁為簡(jiǎn)：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式，化無(wú)理式為有理式．
消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011平頂山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，則cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011石家莊模擬)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，則sinα的值為()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，則fπ12的值為()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010福建廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，則sinB的值是()
A.12B.22C.32D．1
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010全國(guó)Ⅰ)已知α為第二象限的角，且sinα＝35，則tan2α＝________.
7．函數(shù)y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，則cosα＋sinα的值為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)化簡(jiǎn)：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.

10．(12分)(2011南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當(dāng)∈0，π2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．

11．(14分)(2010北京)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我檢測(cè)
1．C2.C3.B4.D
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引化簡(jiǎn)的原則是形式簡(jiǎn)單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．本題要充分利用倍角公式進(jìn)行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函數(shù)z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故當(dāng)sin2x＝－1時(shí)，y取得最大值10，
當(dāng)sin2x＝1時(shí)，y取得最小值6.
變式遷移1解(1)f(x)
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴當(dāng)x＝π8時(shí)，g(x)max＝2，
當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)min＝1.
例2解題導(dǎo)引(1)這類問(wèn)題一般是先化簡(jiǎn)再求值；化簡(jiǎn)后目標(biāo)更明確；
(2)如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù)．
解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
變式遷移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α32π，
∴3π4≤α＋π474π.
又cos(α＋π4)＝350，
故可知32πα＋π474π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
從而cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解題導(dǎo)引本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對(duì)于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證．對(duì)于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第(3)小題則利用基本不等式求解即可．
(1)證明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，
∴0α≤π3，0x≤3，
設(shè)g(x)＝2x＋1x，則g(x)＝2x＋1x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)x＝22時(shí)取“＝”)．
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，24]．
變式遷移3證明因?yàn)樽筮叄?br> 2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]
＝2sinxcosxsin2x－cosx－12
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx
＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右邊．
所以原等式成立．
課后練習(xí)區(qū)
1．D[∵0απ，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因?yàn)棣粒?＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡(jiǎn)變形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵謘inα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴當(dāng)sin(2x＋π4)＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值1－2.
8.12
解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分)
(2)因?yàn)?≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以當(dāng)2x－π6＝π2，即x＝π3時(shí)，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
當(dāng)2x－π6＝－π6，即x＝0時(shí)，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因?yàn)閏osx∈[－1,1]，
所以，當(dāng)cosx＝－1時(shí)，f(x)取得最大值6；
當(dāng)cosx＝23時(shí)，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的圖象學(xué)案附答案

學(xué)案10函數(shù)的圖象
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法：描點(diǎn)法，圖象變換法.2.掌握?qǐng)D象變換的規(guī)律，能利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．
自主梳理
1．應(yīng)掌握的基本函數(shù)的圖象有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．
2．利用描點(diǎn)法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(__________、__________、__________)；④畫出函數(shù)的圖象．
3．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
(1)平移變換：函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象可由y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個(gè)單位得到；函數(shù)y＝f(x)＋a的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個(gè)單位得到．
(2)伸縮變換：函數(shù)y＝f(ax)(a0)的圖象可由y＝f(x)的圖象沿x軸伸長(zhǎng)(0a1)或縮短(____)到原來(lái)的1a倍得到；函數(shù)y＝af(x)(a0)的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿y軸伸長(zhǎng)(____)或縮短(________)為原來(lái)的____倍得到．(可以結(jié)合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解)
(3)對(duì)稱變換：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
②f(x)與f(－x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
③f(x)與－f(x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
④f(x)與－f(－x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；
⑤f(x)與f(2a－x)的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱；
⑥曲線f(x，y)＝0與曲線f(2a－x,2b－y)＝0關(guān)于點(diǎn)________對(duì)稱；
⑦|f(x)|的圖象先保留f(x)原來(lái)在x軸________的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；
⑧f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸________的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到．
自我檢測(cè)
1．(2009北京)為了得到函數(shù)y＝lgx＋310的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點(diǎn)()
A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
2．(2011煙臺(tái)模擬)已知圖1是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖2中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是
()

A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)
3．函數(shù)f(x)＝1x－x的圖象關(guān)于()
A．y軸對(duì)稱B．直線y＝－x對(duì)稱
C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．直線y＝x對(duì)稱
4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范圍是()
A．(－1,0)B．[－1,0)
C．(－2,0)D．[－2,0)
5．(2011濰坊模擬)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是()
探究點(diǎn)一作圖
例1(1)作函數(shù)y＝|x－x2|的圖象；
(2)作函數(shù)y＝x2－|x|的圖象；
(3)作函數(shù)的圖象．

變式遷移1作函數(shù)y＝1|x|－1的圖象．

探究點(diǎn)二識(shí)圖
例2(1)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象如圖，
則函數(shù)y＝f(x)g(x)的圖象可能是()
(2)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(1－x)的圖象為()
變式遷移2(1)(2010山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()
(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝cosxx
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)
探究點(diǎn)三圖象的應(yīng)用
例3若關(guān)于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國(guó)Ⅰ)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
例(5分)(2010北京東城區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱，若s，t滿足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，ts的取值范圍是()
A.－14，1B.－14，1
C.－12，1D.－12，1
【答題模板】
答案D
解析因函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱，所以該函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位后的解析式為y＝f(x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)．又y＝f(x)是R上的減函數(shù)，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
圖象的對(duì)稱軸為x＝1，
當(dāng)1≤s≤4時(shí)，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
當(dāng)t≥1時(shí)，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；
當(dāng)t1時(shí)，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2組成的不等式組的可行域.ts為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，易知－12≤ts1.綜上可知選D.
【突破思維障礙】
當(dāng)s，t位于對(duì)稱軸x＝1的兩邊時(shí)，如何由s2－2s≥t2－2t判斷s，t之間的關(guān)系式，這時(shí)s，t與對(duì)稱軸x＝1的距離的遠(yuǎn)近決定著不等式s2－2s≥t2－2t成立與否，通過(guò)數(shù)形結(jié)合判斷出關(guān)系式s－1≥1－t，從而得出s＋t≥2，此時(shí)有一個(gè)隱含條件為t1，再結(jié)合1≤s≤4及要求的式子的取值范圍就能聯(lián)想起線性規(guī)劃，從而突破了難點(diǎn)．要畫出s，t所在區(qū)域時(shí)，要結(jié)合ts的幾何意義為點(diǎn)(s，t)和原點(diǎn)連線的斜率，確定s為橫軸，t為縱軸．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
當(dāng)?shù)玫讲坏仁絪2－2s≥t2－2t后，如果沒(méi)有函數(shù)的思想將無(wú)法繼續(xù)求解，得到二次函數(shù)后也容易只考慮s，t都在二次函數(shù)y＝x2－2x的增區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，忽略考慮s，t在二次函數(shù)對(duì)稱軸兩邊的情況，考慮了s，t在對(duì)稱軸的兩邊，也容易漏掉隱含條件t1及聯(lián)想不起來(lái)線性規(guī)劃．
1．掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法(描點(diǎn)法，圖象變換法)，在畫函數(shù)圖象時(shí)，要特別注意到用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)解決問(wèn)題．
2．合理處理識(shí)圖題與用圖題
(1)識(shí)圖．對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．
(2)用圖．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法，常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)函數(shù)f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
C．關(guān)于x軸對(duì)稱D．關(guān)于y軸對(duì)稱
2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關(guān)于直線x＝－12對(duì)稱，則t的值為()
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(2011北京海淀區(qū)模擬)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()
4．(2011深圳模擬)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為
()
5．設(shè)b0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()
A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．為了得到函數(shù)y＝3×(13)x的圖象，可以把函數(shù)y＝(13)x的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度．
7．(2011黃山月考)函數(shù)f(x)＝2x－1x＋1的圖象對(duì)稱中心是________．
8．(2011沈陽(yáng)調(diào)研)如下圖所示，向高為H的水瓶A、B、C、D同時(shí)以等速注水，注滿為止．
(1)若水量V與水深h函數(shù)圖象是下圖的(a)，則水瓶的形狀是________；
(2)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖的(b)，則水瓶的形狀是________．
(3)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖的(c)，則水瓶的形狀是________；
(4)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)的圖象是圖中的(d)，則水瓶的形狀是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；
(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)0的解集；
(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

10．(12分)(2011三明模擬)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范圍．

11．(14分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．

答案自主梳理
2．③奇偶性單調(diào)性周期性3.(1)左右|a|上下|a|(2)a1a10a1a(3)①原點(diǎn)y②y③x④原點(diǎn)⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方⑧右方
自我檢測(cè)
1．C[A項(xiàng)y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，
B項(xiàng)y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，
C項(xiàng)y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，
D項(xiàng)y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]
2．C
3．C[∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)，即f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．]
4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象知滿足條件的x∈(－1,0)．]
5．B[由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，
即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，
其圖象如圖所示．
(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其圖象如圖所示．
(3)
作出y＝12x的圖象，保留y＝12x圖象中x≥0的部分，加上y＝12x的圖象中x0的部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，
即得y＝12|x|的圖象．
變式遷移1解定義域是{x|x∈R且x≠±1}，且函數(shù)是偶函數(shù)．
又當(dāng)x≥0且x≠1時(shí)，y＝1x－1.
先作函數(shù)y＝1x的圖象，并將圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝1x－1(x≥0且x≠1)的圖象(如圖(a)所示)．
又函數(shù)是偶函數(shù)，作關(guān)于y軸對(duì)稱圖象，
得y＝1|x|－1的圖象(如圖(b)所示)．
例2解題導(dǎo)引對(duì)于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．
（1）?A?[從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B.又x0時(shí)，g(x)為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù)，故f(x)g(x)為增函數(shù)，且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù)，注意到x→（從小于0趨向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因?yàn)閒(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的圖象可以由y=f(x)的圖象按照如下變換得到：先將y=f(x)的圖象關(guān)于y軸翻折，得y=f(-x)的圖象，然后將y=f(-x)?的圖象向右平移一個(gè)單位，即得y=f(-x+1)的圖象.］
變式遷移2(1)A[考查函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖象可知：
當(dāng)x0時(shí)，方程2x－x2＝0僅有一個(gè)零點(diǎn)，
且→－∞；
當(dāng)x0時(shí)，方程2x－x2＝0有兩個(gè)零點(diǎn)2和4，
且→＋∞.]
(2)C[由圖象知f(x)為奇函數(shù)，排除D；
又0，±π2，±32π為方程f(x)＝0的根，故選C.]
例3解題導(dǎo)引原方程重新整理為|x2－4x＋3|＝x＋a，將兩邊分別設(shè)成一個(gè)函數(shù)并作出它們的圖象，即求兩圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．
方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了《考綱》中函數(shù)與方程的重要思想方法．

解原方程變形為|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，設(shè)y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐標(biāo)系下分別作出它們的圖象．如圖．則當(dāng)直線y＝x＋a過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)a＝－1；當(dāng)直線y＝x＋a與拋物線y＝－x2＋4x－3相切時(shí)，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.
由圖象知當(dāng)a∈[－1，－34]時(shí)方程至少有三個(gè)根．
變式遷移3(1，54)
解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14，x0.
當(dāng)其圖象如圖所示時(shí)滿足題意．

由圖知a1，a－141，解得1a54.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[f(x)＝2x＋2－x，因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．]
2.D[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐標(biāo)系中作出其圖象，
如圖，所以t＝1.]
3．D[選項(xiàng)A、B、C中直線方程中的a的范圍與對(duì)數(shù)函數(shù)中的a的范圍矛盾．]
4．C[函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y＝－f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位即得到函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象．]
5．B[∵b0，∴前兩個(gè)圖象不是給出的二次函數(shù)圖象，又后兩個(gè)圖象的對(duì)稱軸都在y軸右邊，∴－b2a0，∴a0，又∵圖象過(guò)原點(diǎn)，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右1
解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，
∴y＝(13)x向右平移1個(gè)單位便得到y(tǒng)＝(13)x－1.
7．(－1,2)
解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，
∴函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(－1,2)．
8．(1)A(2)D(3)B(4)C
9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)

f(x)的圖象如右圖所示．
(3)由圖可知，f(x)的減區(qū)間是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由圖象可知f(x)0的解集為
{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝54，
由圖象知，函數(shù)在[1,5)上的值域?yàn)閇0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解設(shè)f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可．
當(dāng)0a1時(shí)，由圖象知顯然不成立．……………………………………………………(4分)
當(dāng)a1時(shí)，如圖，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等號(hào)成立的條件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二作出g(x)＝x＋e2x的圖象如圖：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，則只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等價(jià)于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出g(x)＝x＋e2x(x0)的圖象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其對(duì)稱軸為x＝e，開(kāi)口向下，
最大值為m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故當(dāng)m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1時(shí)，
g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式學(xué)案

學(xué)案18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：____________________.
(2)商數(shù)關(guān)系：______________________________.
2．誘導(dǎo)公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：
上述過(guò)程體現(xiàn)了化歸的思想方法．
自我檢測(cè)
1．(2010全國(guó)Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陜西)若3sinα＋cosα＝0，則1cos2α＋sin2α的值為()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，則sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清遠(yuǎn)月考)已知cos(π6－α)＝23，則sin(α－2π3)＝________.
探究點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

變式遷移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值
例2(2011合肥模擬)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

變式遷移2設(shè)f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，則f－23π6＝________.
探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．

變式遷移3(2011安陽(yáng)模擬)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tanA的值．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出來(lái)，并求其值．
多角度審題由sinα＋cosα＝15應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答題模板】
解(1)聯(lián)立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思維障礙】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sinα再求cosα.(1)問(wèn)切化弦即可求．(2)問(wèn)應(yīng)弦化切，這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在求解sinα，cosα的過(guò)程中，若消去cosα得到關(guān)于sinα的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解．
1．由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍．
2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)．注意“1”的靈活代換．
3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011荊州模擬)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，則cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α為第二象限角，則sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011許昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，則f(－313π)的值為()
A.12B．－13C．－12D.13
4．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2002)＝－1，則f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全國(guó)Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010全國(guó)Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，則cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tanα＝2，則sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化簡(jiǎn)：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇島模擬)已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我檢測(cè)
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對(duì)符號(hào)的判斷．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，則2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
則sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，則tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
變式遷移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除轉(zhuǎn)化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解題導(dǎo)引三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：k2π＋α的本質(zhì)是：奇變偶不變(對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負(fù)角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
變式遷移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解題導(dǎo)引先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，再利用平方關(guān)系求得cosA．求角時(shí)，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)當(dāng)cosA＝22時(shí)，cosB＝32，
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)當(dāng)cosA＝－22時(shí)，cosB＝－32.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝34π，B＝56π，不合題意．
綜上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
變式遷移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A為鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[∵A為△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A為鈍角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α為第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解當(dāng)k為偶數(shù)2n(n∈Z)時(shí)，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
當(dāng)k為奇數(shù)2n＋1(n∈Z)時(shí)，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴當(dāng)k∈Z時(shí)，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判別式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，則a2－2a－1＝0，(6分)
從而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)