高中函數(shù)與方程教案

2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)。

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)”，僅供參考，大家一起來看看吧。

第九章圓錐曲線與方程

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；
4.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；
5.理解數(shù)形結(jié)合的思想；
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.
本章難點(diǎn)：1.對(duì)圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識(shí)結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

9.1橢圓

典例精析
題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為453和
253，過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需要考慮兩種情形，有時(shí)也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時(shí)，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識(shí).
【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個(gè)點(diǎn)(每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn))，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：
據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為.
【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(xiàn)(3，－23).
通過觀察可知道點(diǎn)F，O，D可能是拋物線上的點(diǎn).而A，C，E是橢圓上的點(diǎn)，這時(shí)正好點(diǎn)B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點(diǎn)
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因?yàn)閽佄锞€的解析式形式比橢圓簡(jiǎn)單一些.
不妨設(shè)有兩點(diǎn)y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點(diǎn).
而D(2，－22)，F(xiàn)(3，－23)正好符合.
又因?yàn)闄E圓的交點(diǎn)在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同時(shí)出現(xiàn).故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個(gè)點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，
因?yàn)閙＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào))，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).
【點(diǎn)撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.
【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點(diǎn)，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點(diǎn)，則|PQ|＋|PR|的最小值是.
【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點(diǎn)，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心，
則|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值為9.
題型三有關(guān)橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國(guó)新課標(biāo))設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1||PF2|＝e，則e的值是()
A.32B.33C.22D.63
【解析】設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x＝－a2c，拋物線準(zhǔn)線為x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)c2a2＝13e＝33.故選B.
總結(jié)提高
1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時(shí)要防止遺漏.確定橢圓需要三個(gè)條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會(huì)根據(jù)定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，另一方面，會(huì)利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數(shù)進(jìn)行計(jì)算推理.
3.焦點(diǎn)三角形包含著很多關(guān)系，解題時(shí)要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
9.2雙曲線

典例精析
題型一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知?jiǎng)訄AE與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設(shè)動(dòng)圓E的半徑為r，則由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.
因?yàn)閍＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點(diǎn)E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29－y216＝1的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為()
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)P(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當(dāng)x＝a時(shí)，P與A重合，不符合題意，舍去；
當(dāng)x＝2a3－ab2a2＋b2時(shí)，滿足題意的點(diǎn)P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡(jiǎn)得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(2)若過點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y＝y(tǒng)1x1＋2(x＋2)，①
直線A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，|x|＜2.
而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是A1P與A2Q的交點(diǎn)，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A1，A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過點(diǎn)(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組得x＝2，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2.
故軌跡E不過點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過點(diǎn)(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設(shè)過點(diǎn)H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)，
聯(lián)立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h(huán)2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h(huán)2－12＝－1，故h＝3.
過點(diǎn)A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h(huán)2)＝－1，得h＝2.
此時(shí)，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2等于()
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.
據(jù)題意設(shè)|AF1|＝x，則|AB|＝x，|BF1|＝2x.
由雙曲線定義有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定義可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結(jié)提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點(diǎn)，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|時(shí)，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線；當(dāng)
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時(shí)，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個(gè)問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝±bax，可將雙曲線方程設(shè)為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法.

9.3拋物線

典例精析
題型一拋物線定義的運(yùn)用
【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線過點(diǎn)P(2，－4)；
(2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝|AF|＝|m＋p2|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0)(a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝|PA|＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因?yàn)閍＞0，x0≥0，
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡(jiǎn)得y2＝4x(x＞0).
(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y(tǒng)24，于是不等式②等價(jià)于y214y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1＜4t2.④
對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則1y1＋1y2＝.
【解析】y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y(tǒng)1＋y2y1y2＝12.
題型三有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.
(1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達(dá)定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k4，k28).
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB，
又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因?yàn)镸N⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使＝0.
【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長(zhǎng)公式.
【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為M、N，則|MN|的最小值是.
【解析】455.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中，焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)長(zhǎng)為2p.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

9.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

典例精析
題型一直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題
【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，方程組恰有一組解為
(2)當(dāng)a≠0時(shí)，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0，
方程組恰有一組解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，這時(shí)直線與曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點(diǎn)撥】本題設(shè)計(jì)了一個(gè)思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項(xiàng)系數(shù)＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗(yàn)證一下：①當(dāng)a＝0時(shí)，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時(shí)與已知直線y＝x－1恰有交點(diǎn)(1,0)；②當(dāng)a＝－1時(shí)，直線y＝－1與拋物線的對(duì)稱軸平行，恰有一個(gè)交點(diǎn)(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零)；③當(dāng)a＝－45時(shí)直線與拋物線相切.
【變式訓(xùn)練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，結(jié)合直線過定點(diǎn)(0，－1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.
題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，＝2.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果|AB|＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因?yàn)閨AB|＝1＋13|y2－y1|，所以2343ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長(zhǎng)問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.
【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32，則ab的值為.
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0ax0－by0＝0.
故ab＝y(tǒng)0x0＝32.
題型三對(duì)稱問題
【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝kx＋3對(duì)稱，求k的取值范圍.
【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，由題意知k≠0.
設(shè)直線AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯(lián)立消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋414kb＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1kx1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點(diǎn)為E(k(2k＋b)，－2k).
因?yàn)閘過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點(diǎn)撥】(1)本題的關(guān)鍵是對(duì)稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對(duì)稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l的方程；
(2)對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對(duì)稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.
【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則|AB|等于()
A.3B.4C.32D.42
【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點(diǎn)為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故選C.
總結(jié)提高
1.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點(diǎn)問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時(shí)要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點(diǎn)問題的處理既可以用判別式法，也可以用點(diǎn)差法；使用點(diǎn)差法時(shí)，要特別注意驗(yàn)證“相交”的情形.

9.5圓錐曲線綜合問題

典例精析
題型一求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點(diǎn)M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋12.
聯(lián)立消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝12x2，求導(dǎo)得y′＝x.
所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2＝x2.
因?yàn)閗1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時(shí)y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝－12.
【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌.
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因?yàn)锳，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面積S＝32|AC|2.
又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)(－433＜n＜433).
所以當(dāng)n＝0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是.
【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBPkPQ＝－1，得x2P－1xP＋1x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因?yàn)閨xP－1＋1xP－1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)橹本€l：x－my－m22＝0經(jīng)過F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因?yàn)閙＞1，所以m＝2.
故直線l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點(diǎn)，
由＝2，＝2，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因?yàn)閙＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合，則a的取值范圍為.
【解析】設(shè)B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法，是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).

精選閱讀

圓錐曲線與方程導(dǎo)學(xué)案

§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．從具體情境中抽象出橢圓的模型；
2．掌握橢圓的定義；
3．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：過兩點(diǎn),的直線方程．

復(fù)習(xí)2：方程表示以為圓心,為半徑的．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，
把它的兩端都固定在圖板的同一個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是一個(gè)．
如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

思考：移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？

經(jīng)過觀察后思考：在移動(dòng)筆尖的過程中，細(xì)繩的保持不變，即筆尖等于常數(shù)．

新知１：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．

反思：若將常數(shù)記為，為什么？
當(dāng)時(shí)，其軌跡為；
當(dāng)時(shí)，其軌跡為．

試試：
已知，，到，兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是．
小結(jié)：應(yīng)用橢圓的定義注意兩點(diǎn)：
①分清動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)；
②看是否滿足常數(shù)．
新知２：焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
其中

若焦點(diǎn)在軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
※典型例題
例1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴，焦點(diǎn)在軸上；
⑵，焦點(diǎn)在軸上；
⑶．
變式：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的范圍．
小結(jié)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中：；．

例2已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：橢圓過點(diǎn)，，，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

小結(jié)：由橢圓的定義出發(fā)，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

※動(dòng)手試試
練1.已知的頂點(diǎn)、在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是（）．
A．B．6C．D．12

練2．方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的范圍．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.橢圓的定義：
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

※知識(shí)拓展
1997年初，中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球，過4月以后,又將漸漸離去,并預(yù)測(cè)3000年后,它還將光臨地球上空1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象天文學(xué)家是如何計(jì)算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)間呢？原來，海爾波普彗星運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程，從而算出它運(yùn)行周期及軌道的的周長(zhǎng)．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）．
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為（）．
A．橢圓B．圓
C．無軌跡D．橢圓或線段或無軌跡
2．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．
A．B．
C．D．
3．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）．
A．4B．14C．12D．8
4．橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
是．
5．如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，點(diǎn)的軌跡是，它的方程是．

課后作業(yè)
1.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)在軸上，焦距等于，并且經(jīng)過點(diǎn)；
⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；
⑶．

2.橢圓的焦距為，求的值．
§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握點(diǎn)的軌跡的求法；
2．進(jìn)一步掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：橢圓上一點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為，則到橢圓右焦點(diǎn)的距離
是．
復(fù)習(xí)2：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,,,則橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
問題：圓的圓心和半徑分別是什么?
問題：圓上的所有點(diǎn)到(圓心)的距離都等于(半徑)；

反之,到點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在
圓上．

※典型例題
例1在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？

變式：若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的軌跡又是什么？
小結(jié)：橢圓與圓的關(guān)系：圓上每一點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)不變，而縱（橫）坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短就可得到橢圓．

例2設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)的軌跡方程．

變式：點(diǎn)的坐標(biāo)是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的商是，點(diǎn)的軌跡是什么？

※動(dòng)手試試
練1．求到定點(diǎn)與到定直線的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

練2．一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.①注意求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出含有點(diǎn)相關(guān)等式；

②相關(guān)點(diǎn)法：尋求點(diǎn)的坐標(biāo)與中間的關(guān)系，然后消去，得到點(diǎn)的軌跡方程．

※知識(shí)拓展
橢圓的第二定義：
到定點(diǎn)與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．
定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)；
定直線是橢圓的準(zhǔn)線；
常數(shù)是橢圓的離心率．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．若關(guān)于的方程所表示的曲線是橢圓，則在（）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若的個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)、，的周長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）．
A．B．C．D．
3．設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（）．
A．橢圓B．線段
C．不存在D．橢圓或線段
4．與軸相切且和半圓內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是．
5.設(shè)為定點(diǎn)，||=，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是．

課后作業(yè)
1．已知三角形的一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，求頂點(diǎn)的軌跡方程．
2．點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，求點(diǎn)的軌跡方程式，并說明軌跡是什么圖形．

§2.2.2橢圓及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形；
2．根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，畫圖．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是，那么它到右焦點(diǎn)的距離是．

復(fù)習(xí)2：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是．
※學(xué)習(xí)探究
問題1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它有哪些幾何性質(zhì)呢？
范圍：：：

對(duì)稱性：橢圓關(guān)于軸、軸和都對(duì)稱；

頂點(diǎn)：（），（），（），（）；

長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)為；短軸，其長(zhǎng)為；

離心率：刻畫橢圓程度．
橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為離心率，
記，且．
試試：橢圓的幾何性質(zhì)呢？
圖形：
范圍：：：

對(duì)稱性：橢圓關(guān)于軸、軸和都對(duì)稱；

頂點(diǎn)：（），（），（），（）；

長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)為；短軸，其長(zhǎng)為；

離心率：=．
反思：或的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎？

※典型例題
例1求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

變式：若橢圓是呢？

小結(jié)：①先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出，求出；
②注意焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸．
例2點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡．

小結(jié)：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)（小于1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓．

※動(dòng)手試試
練1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)在軸上，，；
⑵焦點(diǎn)在軸上，，；
⑶經(jīng)過點(diǎn)，；
⑷長(zhǎng)軸長(zhǎng)等到于，離心率等于．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓的幾何性質(zhì)：
圖形、范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率；

2．理解橢圓的離心率．

※知識(shí)拓展
（數(shù)學(xué)與生活）已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓，且籃球與地面的接觸點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．若橢圓的離心率，則的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為，，則其離心率為（）．
A．B．C．D．
3．短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）．
A．B．C．D．
4．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．
5．某橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是．

課后作業(yè)
1．比較下列每組橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？
⑴與；
⑵與．

2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴經(jīng)過點(diǎn)，；
⑵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過點(diǎn)；
⑶焦距是，離心率等于．

§2.2.2橢圓及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)；
2．橢圓與直線的關(guān)系．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）（）；長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)；離心率．
復(fù)習(xí)2：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何判定？
二、新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
問題1：想想生活中哪些地方會(huì)有橢圓的應(yīng)用呢？
問題2：橢圓與直線有幾種位置關(guān)系？又是如何確定？
反思：點(diǎn)與橢圓的位置如何判定？
典型例題
例1已知橢圓，直線：
。橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最小？最小距離是多少？

變式：最大距離是多少？

動(dòng)手試試
練1已知地球運(yùn)行的軌道是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)
，離心率的橢圓，且太陽(yáng)在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，求地球到太陽(yáng)的最大和最小距離．

練2．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
三、總結(jié)提升
學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓在生活中的運(yùn)用；
2．橢圓與直線的位置關(guān)系：
相交、相切、相離（用判定）．
※知識(shí)拓展直線與橢圓相交，得到弦，
弦長(zhǎng)
其中為直線的斜率，是兩交點(diǎn)坐標(biāo)．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．設(shè)是橢圓，到兩焦點(diǎn)的距離之差為，則是（）．
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
2．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）．
A.B.C.D.
3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（）．
A.B.3C.D.
4．橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)組成一個(gè)等到比數(shù)列，則其離心率為．
5．橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過原點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的面積是，則直線的方程式是．
課后作業(yè)
1．求下列直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．若橢圓，一組平行直線的斜率是
⑴這組直線何時(shí)與橢圓相交？
⑵當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)是否在一直線上？

§2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握雙曲線的定義；
2．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P52~P55，文P45~P48找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

復(fù)習(xí)2：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有何關(guān)系？若，則寫出符合條件的橢圓方程．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
問題1：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？

如圖2-23，定點(diǎn)是兩個(gè)按釘，是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，
是常數(shù)，這樣就畫出一條曲線；
由是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

新知1：雙曲線的定義：
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。
兩定點(diǎn)叫做雙曲線的，
兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的．

反思：設(shè)常數(shù)為，為什么？
時(shí)，軌跡是；
時(shí)，軌跡．
試試：點(diǎn)，，若，則點(diǎn)的軌跡是．

新知2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（焦點(diǎn)在軸）
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．

思考：若焦點(diǎn)在軸，標(biāo)準(zhǔn)方程又如何？

※典型例題
例1已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，，雙曲線上任意點(diǎn)到的距離的差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：已知雙曲線的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為．

例2已知兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．

變式：如果兩處同時(shí)聽到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)在什么曲線上？為什么？

小結(jié)：采用這種方法可以確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．

動(dòng)手試試
練1：求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式：
（1）焦點(diǎn)在軸上，，；
（2）焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．

練2．點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們斜率之積是，試求點(diǎn)的軌跡方程式，并由點(diǎn)的軌跡方程判斷軌跡的形狀．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．雙曲線的定義；
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
※知識(shí)拓展
GPS(全球定位系統(tǒng))：雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用．
在例2中，再增設(shè)一個(gè)觀察點(diǎn)，利用，兩處測(cè)得的點(diǎn)發(fā)出的信號(hào)的時(shí)間差，就可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（）．
A.雙曲線B.雙曲線的一支
C.兩條射線D.一條射線
2．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為（）．
A．B．C．D．
3．雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，若，則（）．
A.5B.13C.D.
4．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
5．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍．

課后作業(yè)
1．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式：
（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過點(diǎn)；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，．

2．相距兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差，已知聲速是，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，為什么？

§2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備：
（預(yù)習(xí)教材理P56~P58，文P49~P51找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：寫出滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
①，焦點(diǎn)在軸上；
②焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，．
復(fù)習(xí)2：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？

二、新課導(dǎo)學(xué)：
※學(xué)習(xí)探究
問題1：由橢圓的哪些幾何性質(zhì)出發(fā)，類比探究雙曲線的幾何性質(zhì)?

范圍：：：

對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于軸、軸及都對(duì)稱．

頂點(diǎn)：（），（）．
實(shí)軸，其長(zhǎng)為；虛軸，其長(zhǎng)為．
離心率：．
漸近線：
雙曲線的漸近線方程為：．

問題2：雙曲線的幾何性質(zhì)?
圖形：

范圍：：：

對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于軸、軸及都對(duì)稱．

頂點(diǎn)：（），（）
實(shí)軸，其長(zhǎng)為；虛軸，其長(zhǎng)為．

離心率：．
漸近線：
雙曲線的漸近線方程為：．
新知：實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫雙曲線．
典型例題
例1求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的方程．

變式：求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

例2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴實(shí)軸的長(zhǎng)是10，虛軸長(zhǎng)是8，焦點(diǎn)在x軸上；
⑵離心率，經(jīng)過點(diǎn)；
⑶漸近線方程為，經(jīng)過點(diǎn)．
※動(dòng)手試試
練1．求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．

練2．對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等到軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．

三、總結(jié)提升：
※學(xué)習(xí)小結(jié)
雙曲線的圖形、范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率、漸近線．
※知識(shí)拓展
與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線系方程式為
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．雙曲線實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)分別是（）．
A．、B．、
C．4、D．4、
2．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）．
A．B．C．D．（）
3．雙曲線的離心率為（）．
A．1B．C．D．2
4．雙曲線的漸近線方程是．
5．經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程是．

課后作業(yè)
1．求焦點(diǎn)在軸上，焦距是16，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

2．求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程．

§2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．從具體情境中抽象出橢圓的模型；
2．掌握橢圓的定義；
3．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P58~P60，文P51~P53找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：說出雙曲線的幾何性質(zhì)?

復(fù)習(xí)2：雙曲線的方程為，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)是()，()；

漸近線方程．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：橢圓的焦點(diǎn)是？

探究2：雙曲線的一條漸近線方程是，則可設(shè)雙曲線方程為？

問題：若雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是，則雙曲線的方程是？

※典型例題
例1雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程．
例2點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡．

（理）例3過雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式：求？
思考：的周長(zhǎng)？
※動(dòng)手試試
練1．若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則=____.
練2．若雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．雙曲線的綜合應(yīng)用：與橢圓知識(shí)對(duì)比，結(jié)合；

2．雙曲線的另一定義；

3．（理）直線與雙曲線的位置關(guān)系．

※知識(shí)拓展

雙曲線的第二定義：

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比大于1的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．若橢圓和雙曲線的共同焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（）．
A．B．C．D．
2．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線的方程（）．
A.B.
C.或D.以上都不對(duì)
3．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線，交雙曲線于、，是另一焦點(diǎn)，若∠，則雙曲線的離心率等于（）．
A.B.C.D.
4．雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_______________.
5．方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則的取值范圍．

課后作業(yè)
1．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，方程為，兩頂點(diǎn)的距離為，一漸近線上有點(diǎn)，試求此雙曲線的方程．

§2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P64~P67，文P56~P59找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：函數(shù)的圖象是，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（），對(duì)稱軸是．

復(fù)習(xí)2：點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，則點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等，這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是怎么樣的呢？

新知1：拋物線
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的
距離的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．

點(diǎn)叫做拋物線的；
直線叫做拋物線的．

新知2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
定點(diǎn)到定直線的距離為（）．

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)形式：

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程
試試：
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），
準(zhǔn)線方程是；
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），
準(zhǔn)線方程是．

※典型例題
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
變式：根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,4)；
⑵準(zhǔn)線方程是；
⑶焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
例2一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)的射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑為，深度為，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
※動(dòng)手試試
練1．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是；
(2)焦點(diǎn)在直線上．
練2．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離是，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的定義；
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形．
※知識(shí)拓展
焦半徑公式：
設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則線段叫做拋物線的焦半徑．
若在拋物線上，則
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．對(duì)拋物線，下列描述正確的是（）．
A．開口向上，焦點(diǎn)為
B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為
D．開口向右，焦點(diǎn)為
2．拋物線的準(zhǔn)線方程式是（）．
A．B．
C．D．
3．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）．
A.B.C.D.
4．拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
5．拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為．
課后作業(yè)
1．點(diǎn)到的距離比它到直線的距離大1，求點(diǎn)的軌跡方程．

2．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握拋物線的幾何性質(zhì)；
2．根據(jù)幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

復(fù)習(xí)2：雙曲線有哪些幾何性質(zhì)？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，拋物線又會(huì)有怎樣的幾何性質(zhì)？

新知：拋物線的幾何性質(zhì)

圖形

試試：畫出拋物線的圖形，
頂點(diǎn)坐標(biāo)（）、焦點(diǎn)坐標(biāo)（）、
準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、
離心率．
※典型例題
例1已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線有幾條？求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程．

小結(jié)：一般，過一點(diǎn)的拋物線會(huì)有兩條，根據(jù)其開口方向，用待定系數(shù)法求解．
例2斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．

變式：過點(diǎn)作斜率為的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．

小結(jié)：求過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)：可用弦長(zhǎng)公式，也可利用拋物線的定義求解．
※動(dòng)手試試
練1.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)
，；
⑵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是；
⑶焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的幾何性質(zhì)；
2．求過一點(diǎn)的拋物線方程；
3．求拋物線的弦長(zhǎng)．

※知識(shí)拓展
拋物線的通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的直線，與拋物線相交所得的弦叫拋物線的通徑．
其長(zhǎng)為．

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．下列拋物線中，開口最大的是（）．
A．B．
C．D．
2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是的拋物線方程（）．
A．B．
C．D．
3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（）．
A．B．C．D．
4．拋物線的準(zhǔn)線方程是．
5．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，則=．

課后作業(yè)
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫出
圖形：
⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等到于；
⑵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，并且經(jīng)過點(diǎn)．

2是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，，求．

§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握拋物線的幾何性質(zhì)；
2．拋物線與直線的關(guān)系．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過點(diǎn)的拋物線的方程為（）．
A．B.或
C.D.或
復(fù)習(xí)2：已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的左焦點(diǎn)，則=．
二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，這點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為10，則：
①這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；
②焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；
③拋物線方程；
④這點(diǎn)的坐標(biāo)是；
⑤此拋物線過焦點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為．
※典型例題
例1過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，通過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．

（理）例2已知拋物線的方程，直線過定點(diǎn)，斜率為為何值時(shí)，直線與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？
小結(jié)：
①直線與拋物線的位置關(guān)系：相離、相交、相切；
②直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
它們可能相切，也可能相交．
※動(dòng)手試試
練1.直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求證：．

2．垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的幾何性質(zhì)；
2．拋物線與直線的關(guān)系．
※知識(shí)拓展
過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則為定值，其值為．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）．
A.B.C.D.無法確定
2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）．
A.B.C.D.
3．過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）．
A．條B．條C．條D．條
4．若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是______．
5．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
課后作業(yè)
1．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，=，求拋物線的方程．

2．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

第二章圓錐曲線與方程（復(fù)習(xí)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
2．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；
3．能解決直線與圓錐曲線的一些問題．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P78~P81，文P66~P69找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：完成下列表格：
橢圓雙曲線拋物線
定義

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
離心率
（以上每類選取一種情形填寫）
復(fù)習(xí)2：
①若橢圓的離心率為，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為__________；
②雙曲線的漸近線方程為，焦距為，則雙曲線的方程為；
③以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程為．
二、新課導(dǎo)學(xué)
※典型例題
例1當(dāng)從到變化時(shí)，方程
表示的曲線的形狀怎樣變化？
變式：若曲線表示橢圓，則的取值范圍是．

小結(jié)：掌握好每類標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．
例2設(shè)，分別為橢圓C：=1
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
⑴若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．

變式：雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求雙曲線的方程．

※動(dòng)手試試
練1．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于，試探求頂點(diǎn)的軌跡．

練2．斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
2．橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；
3．直線與圓錐曲線．

※知識(shí)拓展
圓錐曲線具有統(tǒng)一性：
⑴它們都是平面截圓錐得到的截口曲線；
⑵它們都是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線（不經(jīng)過定點(diǎn)）距離的比值是一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，比值的取值范圍不同形成了不同的曲線；
⑶它們的方程都是關(guān)于，的二次方程．
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1．曲線與曲線
的（）．
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．短軸長(zhǎng)相等
C．離心率相等D．焦距相等
2．與圓及圓都外切的圓的圓心在（）．
A．一個(gè)橢圓上B．雙曲線的一支上
C．一條拋物線上D．一個(gè)圓上
3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（）．
A．B．C．D．
4．直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍．
5．到直線的距離最短的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

課后作業(yè)
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲線的形狀．

2．拋物線與過點(diǎn)的直線相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，若和的斜率之和為，求直線的方程．

高三數(shù)學(xué)教案：《圓錐曲線的方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

高考要求

求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問題、弦長(zhǎng)問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法

重難點(diǎn)歸納

一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟

定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置

定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小

典型題例示范講解

例1某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程

命題意圖 本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力

知識(shí)依托 待定系數(shù)法求曲線方程；點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積

同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程

命題意圖 本題利用對(duì)稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)

知識(shí)依托 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對(duì)稱問題

錯(cuò)解分析 不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤 恰當(dāng)?shù)乩煤脤?duì)稱問題是解決好本題的關(guān)鍵

技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式 解法二，用韋達(dá)定理

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)教案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

90題突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線
1.如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。
（1）若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）（理）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。
（文）若為x軸上一點(diǎn),求證:

2.如圖所示，已知圓定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足，點(diǎn)N的軌跡為曲線E。
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足的取值范圍。
3.設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q，且
⑴求橢圓C的離心率；
⑵若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線
l：相切，求橢圓C的方程.
4.設(shè)橢圓的離心率為e=
（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2、A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程.
（2）求b為何值時(shí)，過圓x2+y2=t2上一點(diǎn)M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點(diǎn)，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲線上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
6.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（Ⅰ）當(dāng)m＋n0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；
（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．
7.有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.
（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積
8.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
9.橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)與點(diǎn)的距離為。
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由。
10.橢圓方程為的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足，求。
11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B，過F,B,C三點(diǎn)作，其中圓心P的坐標(biāo)為．
(1)若橢圓的離心率，求的方程；
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
12.已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求證：曲線是一個(gè)圓；
（Ⅱ）若，當(dāng)且時(shí)，求曲線的離心率的取值范圍．
13.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．
14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)的切線方程為為常數(shù)）.
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B（A、B兩點(diǎn)不同），且滿足，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當(dāng)時(shí)，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且
設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為c。
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）若t=2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)Q
坐標(biāo)為求△QMN的面積S的最大值。
16.設(shè)上的兩點(diǎn)，
已知，，若且橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由
17.如圖，F(xiàn)是橢圓(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1：相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l2與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且，求直線l2的方程．
18.如圖，橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.
19.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).直線交橢圓于兩不同的點(diǎn).
20.設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且
（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)是曲線上的點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).
21.已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足
（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；
（2）已知點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.
22.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．
23.過直角坐標(biāo)平面中的拋物線的焦點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)。
（1）用表示A，B之間的距離；
（2）證明：的大小是與無關(guān)的定值，
并求出這個(gè)值。
24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)
(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)
(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。
25.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.
26.如圖所示，已知橢圓：，、為
其左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，過的直線：與橢圓相交于、
兩點(diǎn)，且有：（為橢圓的半焦距）
（1）求橢圓的離心率的最小值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若,，
求證：、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
27.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓，其中圓心的坐標(biāo)為
（1）當(dāng)＞時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍
（2）直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論
28.已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.
（I）證明:為定值;
（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(Ⅲ)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).
29.已知橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.
（1）請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線,使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件（O為原點(diǎn)）,若存在,求出的方程,若不存在請(qǐng)說是理由。
30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使的值與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
31.直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，并與其相交于A、B兩點(diǎn)。Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)．O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(I)求的取值范圍；
(Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分剮作此撒物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)．求證：∥;
(Ⅲ)若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)，△ABN的面積的取值范圍為時(shí)，求該拋物線的方程．
32.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
33.已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)滿足：,且存在正常數(shù)，使得。
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。
（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且與y軸的交點(diǎn)為D。若求的值。
34.已知橢圓的右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（I）求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說明理由.
35.已知橢圓C：(.
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率k的取值范圍;
（3）如圖，過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形一邊的距離為，試求時(shí)滿足的條件.
36.已知若過定點(diǎn)、以()為法向量的直線與過點(diǎn)以為法向量的直線相交于動(dòng)點(diǎn)．
(1)求直線和的方程;
(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)使得恒為定值；
(3)在（2）的條件下，若是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問當(dāng)取最小值時(shí)，向量與是否平行，并說明理由。
37.已知點(diǎn),點(diǎn)(其中)，直線、都是圓的切線．
（Ⅰ）若面積等于6，求過點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)在軸右邊，求面積的最小值．
38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。
（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。
（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線
（m、n不同時(shí)為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1d2的值。
（3）試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。
39.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求的面積范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．
40.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.
41.已知以向量為方向向量的直線過點(diǎn)，拋物線：的頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作平行于軸的直線，直線與直線交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)，、異于點(diǎn)），試求點(diǎn)的軌跡方程。
42.如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，
與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，
試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
43.設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率且過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
(Ⅲ)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MNAB，求證：為定值．
44.設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(－1，0)且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點(diǎn)。
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若與的夾角為，求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)滿足，證明為定值，并求此時(shí)△的面積
45.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且1,0,，求實(shí)數(shù)，
使，且.
46.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C上任一點(diǎn)，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。
（1）已知橢圓的離心率；
（2）若的最大值為49，求橢圓C的方程.

圓錐曲線

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？下面是小編為大家整理的“圓錐曲線”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。