高中函數(shù)與方程教案

圓錐曲線與方程導(dǎo)學(xué)案。

§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．從具體情境中抽象出橢圓的模型；
2．掌握橢圓的定義；
3．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：過兩點(diǎn),的直線方程．

復(fù)習(xí)2：方程表示以為圓心,為半徑的．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
取一條定長的細(xì)繩，
把它的兩端都固定在圖板的同一個點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是一個．
如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

思考：移動的筆尖（動點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？

經(jīng)過觀察后思考：在移動筆尖的過程中，細(xì)繩的保持不變，即筆尖等于常數(shù)．

新知１：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．

反思：若將常數(shù)記為，為什么？
當(dāng)時，其軌跡為；
當(dāng)時，其軌跡為．

試試：
已知，，到，兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是．
小結(jié)：應(yīng)用橢圓的定義注意兩點(diǎn)：
①分清動點(diǎn)和定點(diǎn)；
②看是否滿足常數(shù)．
新知２：焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
其中

若焦點(diǎn)在軸上，兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
※典型例題
例1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴，焦點(diǎn)在軸上；
⑵，焦點(diǎn)在軸上；
⑶．
變式：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的范圍．
小結(jié)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中：；．

例2已知橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：橢圓過點(diǎn)，，，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

小結(jié)：由橢圓的定義出發(fā)，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

※動手試試
練1.已知的頂點(diǎn)、在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（）．
A．B．6C．D．12

練2．方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的范圍．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.橢圓的定義：
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

※知識拓展
1997年初，中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球，過4月以后,又將漸漸離去,并預(yù)測3000年后,它還將光臨地球上空1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象天文學(xué)家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時間呢？原來，海爾波普彗星運(yùn)行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程，從而算出它運(yùn)行周期及軌道的的周長．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）．
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為（）．
A．橢圓B．圓
C．無軌跡D．橢圓或線段或無軌跡
2．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．
A．B．
C．D．
3．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離是（）．
A．4B．14C．12D．8
4．橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
是．
5．如果點(diǎn)在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，點(diǎn)的軌跡是，它的方程是．

課后作業(yè)
1.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)在軸上，焦距等于，并且經(jīng)過點(diǎn)；
⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；
⑶．

2.橢圓的焦距為，求的值．
§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握點(diǎn)的軌跡的求法；
2．進(jìn)一步掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：橢圓上一點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為，則到橢圓右焦點(diǎn)的距離
是．
復(fù)習(xí)2：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,,,則橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
問題：圓的圓心和半徑分別是什么?
問題：圓上的所有點(diǎn)到(圓心)的距離都等于(半徑)；

反之,到點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在
圓上．

※典型例題
例1在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？

變式：若點(diǎn)在的延長線上，且，則點(diǎn)的軌跡又是什么？
小結(jié)：橢圓與圓的關(guān)系：圓上每一點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)不變，而縱（橫）坐標(biāo)伸長或縮短就可得到橢圓．

例2設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)的軌跡方程．

變式：點(diǎn)的坐標(biāo)是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的商是，點(diǎn)的軌跡是什么？

※動手試試
練1．求到定點(diǎn)與到定直線的距離之比為的動點(diǎn)的軌跡方程．

練2．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.①注意求哪個點(diǎn)的軌跡，設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出含有點(diǎn)相關(guān)等式；

②相關(guān)點(diǎn)法：尋求點(diǎn)的坐標(biāo)與中間的關(guān)系，然后消去，得到點(diǎn)的軌跡方程．

※知識拓展
橢圓的第二定義：
到定點(diǎn)與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．
定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)；
定直線是橢圓的準(zhǔn)線；
常數(shù)是橢圓的離心率．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．若關(guān)于的方程所表示的曲線是橢圓，則在（）．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若的個頂點(diǎn)坐標(biāo)、，的周長為，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）．
A．B．C．D．
3．設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（）．
A．橢圓B．線段
C．不存在D．橢圓或線段
4．與軸相切且和半圓內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程是．
5.設(shè)為定點(diǎn)，||=，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是．

課后作業(yè)
1．已知三角形的一邊長為，周長為，求頂點(diǎn)的軌跡方程．
2．點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，求點(diǎn)的軌跡方程式，并說明軌跡是什么圖形．

§2.2.2橢圓及其簡單幾何性質(zhì)（1）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形；
2．根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，畫圖．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是，那么它到右焦點(diǎn)的距離是．

復(fù)習(xí)2：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是．
※學(xué)習(xí)探究
問題1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它有哪些幾何性質(zhì)呢？
范圍：：：

對稱性：橢圓關(guān)于軸、軸和都對稱；

頂點(diǎn)：（），（），（），（）；

長軸，其長為；短軸，其長為；

離心率：刻畫橢圓程度．
橢圓的焦距與長軸長的比稱為離心率，
記，且．
試試：橢圓的幾何性質(zhì)呢？
圖形：
范圍：：：

對稱性：橢圓關(guān)于軸、軸和都對稱；

頂點(diǎn)：（），（），（），（）；

長軸，其長為；短軸，其長為；

離心率：=．
反思：或的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎？

※典型例題
例1求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

變式：若橢圓是呢？

小結(jié)：①先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出，求出；
②注意焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸．
例2點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡．

小結(jié)：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)（小于1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓．

※動手試試
練1．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)在軸上，，；
⑵焦點(diǎn)在軸上，，；
⑶經(jīng)過點(diǎn)，；
⑷長軸長等到于，離心率等于．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓的幾何性質(zhì)：
圖形、范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率；

2．理解橢圓的離心率．

※知識拓展
（數(shù)學(xué)與生活）已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓，且籃球與地面的接觸點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．若橢圓的離心率，則的值是（）．
A．B．或C．D．或
2．若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為，，則其離心率為（）．
A．B．C．D．
3．短軸長為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長為（）．
A．B．C．D．
4．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．
5．某橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長軸長為，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是．

課后作業(yè)
1．比較下列每組橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？
⑴與；
⑵與．

2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴經(jīng)過點(diǎn)，；
⑵長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)；
⑶焦距是，離心率等于．

§2.2.2橢圓及其簡單幾何性質(zhì)(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)；
2．橢圓與直線的關(guān)系．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）（）；長軸長、短軸長；離心率．
復(fù)習(xí)2：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何判定？
二、新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
問題1：想想生活中哪些地方會有橢圓的應(yīng)用呢？
問題2：橢圓與直線有幾種位置關(guān)系？又是如何確定？
反思：點(diǎn)與橢圓的位置如何判定？
典型例題
例1已知橢圓，直線：
。橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最?。孔钚【嚯x是多少？

變式：最大距離是多少？

動手試試
練1已知地球運(yùn)行的軌道是長半軸長
，離心率的橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上，求地球到太陽的最大和最小距離．

練2．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的長．
三、總結(jié)提升
學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓在生活中的運(yùn)用；
2．橢圓與直線的位置關(guān)系：
相交、相切、相離（用判定）．
※知識拓展直線與橢圓相交，得到弦，
弦長
其中為直線的斜率，是兩交點(diǎn)坐標(biāo)．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．設(shè)是橢圓，到兩焦點(diǎn)的距離之差為，則是（）．
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
2．設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）．
A.B.C.D.
3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（）．
A.B.3C.D.
4．橢圓的焦距、短軸長、長軸長組成一個等到比數(shù)列，則其離心率為．
5．橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過原點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的面積是，則直線的方程式是．
課后作業(yè)
1．求下列直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．若橢圓，一組平行直線的斜率是
⑴這組直線何時與橢圓相交？
⑵當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)是否在一直線上？

§2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握雙曲線的定義；
2．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P52~P55，文P45~P48找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

復(fù)習(xí)2：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有何關(guān)系？若，則寫出符合條件的橢圓方程．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
問題1：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會怎樣？

如圖2-23，定點(diǎn)是兩個按釘，是一個細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)移動時，
是常數(shù)，這樣就畫出一條曲線；
由是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

新知1：雙曲線的定義：
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。
兩定點(diǎn)叫做雙曲線的，
兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的．

反思：設(shè)常數(shù)為，為什么？
時，軌跡是；
時，軌跡．
試試：點(diǎn)，，若，則點(diǎn)的軌跡是．

新知2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（焦點(diǎn)在軸）
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．

思考：若焦點(diǎn)在軸，標(biāo)準(zhǔn)方程又如何？

※典型例題
例1已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，，雙曲線上任意點(diǎn)到的距離的差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：已知雙曲線的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為．

例2已知兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．

變式：如果兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)在什么曲線上？為什么？

小結(jié)：采用這種方法可以確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．

動手試試
練1：求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式：
（1）焦點(diǎn)在軸上，，；
（2）焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．

練2．點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們斜率之積是，試求點(diǎn)的軌跡方程式，并由點(diǎn)的軌跡方程判斷軌跡的形狀．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．雙曲線的定義；
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
※知識拓展
GPS(全球定位系統(tǒng))：雙曲線的一個重要應(yīng)用．
在例2中，再增設(shè)一個觀察點(diǎn)，利用，兩處測得的點(diǎn)發(fā)出的信號的時間差，就可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．

學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．動點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（）．
A.雙曲線B.雙曲線的一支
C.兩條射線D.一條射線
2．雙曲線的一個焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為（）．
A．B．C．D．
3．雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，若，則（）．
A.5B.13C.D.
4．已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足條件.則動點(diǎn)的軌跡方程為．
5．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍．

課后作業(yè)
1．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式：
（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過點(diǎn)；
（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，．

2．相距兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差，已知聲速是，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，為什么？

§2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備：
（預(yù)習(xí)教材理P56~P58，文P49~P51找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：寫出滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
①，焦點(diǎn)在軸上；
②焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，．
復(fù)習(xí)2：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？

二、新課導(dǎo)學(xué)：
※學(xué)習(xí)探究
問題1：由橢圓的哪些幾何性質(zhì)出發(fā)，類比探究雙曲線的幾何性質(zhì)?

范圍：：：

對稱性：雙曲線關(guān)于軸、軸及都對稱．

頂點(diǎn)：（），（）．
實(shí)軸，其長為；虛軸，其長為．
離心率：．
漸近線：
雙曲線的漸近線方程為：．

問題2：雙曲線的幾何性質(zhì)?
圖形：

范圍：：：

對稱性：雙曲線關(guān)于軸、軸及都對稱．

頂點(diǎn)：（），（）
實(shí)軸，其長為；虛軸，其長為．

離心率：．
漸近線：
雙曲線的漸近線方程為：．
新知：實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫雙曲線．
典型例題
例1求雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的方程．

變式：求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

例2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴實(shí)軸的長是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在x軸上；
⑵離心率，經(jīng)過點(diǎn)；
⑶漸近線方程為，經(jīng)過點(diǎn)．
※動手試試
練1．求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．

練2．對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等到軸雙曲線的一個焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．

三、總結(jié)提升：
※學(xué)習(xí)小結(jié)
雙曲線的圖形、范圍、頂點(diǎn)、對稱性、離心率、漸近線．
※知識拓展
與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線系方程式為
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．雙曲線實(shí)軸和虛軸長分別是（）．
A．、B．、
C．4、D．4、
2．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）．
A．B．C．D．（）
3．雙曲線的離心率為（）．
A．1B．C．D．2
4．雙曲線的漸近線方程是．
5．經(jīng)過點(diǎn)，并且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程是．

課后作業(yè)
1．求焦點(diǎn)在軸上，焦距是16，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

2．求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程．

§2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．從具體情境中抽象出橢圓的模型；
2．掌握橢圓的定義；
3．掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P58~P60，文P51~P53找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：說出雙曲線的幾何性質(zhì)?

復(fù)習(xí)2：雙曲線的方程為，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)是()，()；

漸近線方程．

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：橢圓的焦點(diǎn)是？

探究2：雙曲線的一條漸近線方程是，則可設(shè)雙曲線方程為？

問題：若雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是，則雙曲線的方程是？

※典型例題
例1雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程．
例2點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡．

（理）例3過雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式：求？
思考：的周長？
※動手試試
練1．若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，則=____.
練2．若雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．雙曲線的綜合應(yīng)用：與橢圓知識對比，結(jié)合；

2．雙曲線的另一定義；

3．（理）直線與雙曲線的位置關(guān)系．

※知識拓展

雙曲線的第二定義：

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比大于1的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．

學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．若橢圓和雙曲線的共同焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點(diǎn)，則的值為（）．
A．B．C．D．
2．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線的方程（）．
A.B.
C.或D.以上都不對
3．過雙曲線的一個焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線，交雙曲線于、，是另一焦點(diǎn)，若∠，則雙曲線的離心率等于（）．
A.B.C.D.
4．雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_______________.
5．方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則的取值范圍．

課后作業(yè)
1．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，方程為，兩頂點(diǎn)的距離為，一漸近線上有點(diǎn)，試求此雙曲線的方程．

§2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形．

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P64~P67，文P56~P59找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：函數(shù)的圖象是，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（），對稱軸是．

復(fù)習(xí)2：點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，則點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：若一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等，這個點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是怎么樣的呢？

新知1：拋物線
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的
距離的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．

點(diǎn)叫做拋物線的；
直線叫做拋物線的．

新知2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
定點(diǎn)到定直線的距離為（）．

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)形式：

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程
試試：
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），
準(zhǔn)線方程是；
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），
準(zhǔn)線方程是．

※典型例題
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
變式：根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,4)；
⑵準(zhǔn)線方程是；
⑶焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
例2一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)的射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑為，深度為，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
※動手試試
練1．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是；
(2)焦點(diǎn)在直線上．
練2．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離是，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的定義；
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形．
※知識拓展
焦半徑公式：
設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則線段叫做拋物線的焦半徑．
若在拋物線上，則
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．對拋物線，下列描述正確的是（）．
A．開口向上，焦點(diǎn)為
B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為
D．開口向右，焦點(diǎn)為
2．拋物線的準(zhǔn)線方程式是（）．
A．B．
C．D．
3．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）．
A.B.C.D.
4．拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
5．拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為．
課后作業(yè)
1．點(diǎn)到的距離比它到直線的距離大1，求點(diǎn)的軌跡方程．

2．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握拋物線的幾何性質(zhì)；
2．根據(jù)幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

復(fù)習(xí)2：雙曲線有哪些幾何性質(zhì)？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，拋物線又會有怎樣的幾何性質(zhì)？

新知：拋物線的幾何性質(zhì)

圖形

試試：畫出拋物線的圖形，
頂點(diǎn)坐標(biāo)（）、焦點(diǎn)坐標(biāo)（）、
準(zhǔn)線方程、對稱軸、
離心率．
※典型例題
例1已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線有幾條？求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程．

小結(jié)：一般，過一點(diǎn)的拋物線會有兩條，根據(jù)其開口方向，用待定系數(shù)法求解．
例2斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求線段的長．

變式：過點(diǎn)作斜率為的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．

小結(jié)：求過拋物線焦點(diǎn)的弦長：可用弦長公式，也可利用拋物線的定義求解．
※動手試試
練1.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)
，；
⑵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是；
⑶焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是．

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的幾何性質(zhì)；
2．求過一點(diǎn)的拋物線方程；
3．求拋物線的弦長．

※知識拓展
拋物線的通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的直線，與拋物線相交所得的弦叫拋物線的通徑．
其長為．

學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．下列拋物線中，開口最大的是（）．
A．B．
C．D．
2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是的拋物線方程（）．
A．B．
C．D．
3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（）．
A．B．C．D．
4．拋物線的準(zhǔn)線方程是．
5．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，則=．

課后作業(yè)
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫出
圖形：
⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等到于；
⑵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是軸，并且經(jīng)過點(diǎn)．

2是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，，求．

§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握拋物線的幾何性質(zhì)；
2．拋物線與直線的關(guān)系．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
復(fù)習(xí)1：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，且過點(diǎn)的拋物線的方程為（）．
A．B.或
C.D.或
復(fù)習(xí)2：已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的左焦點(diǎn)，則=．
二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究1：拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，這點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為10，則：
①這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；
②焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；
③拋物線方程；
④這點(diǎn)的坐標(biāo)是；
⑤此拋物線過焦點(diǎn)的最短的弦長為．
※典型例題
例1過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，通過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對稱軸．

（理）例2已知拋物線的方程，直線過定點(diǎn)，斜率為為何值時，直線與拋物線：只有一個公共點(diǎn)；有兩個公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？
小結(jié)：
①直線與拋物線的位置關(guān)系：相離、相交、相切；
②直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時，
它們可能相切，也可能相交．
※動手試試
練1.直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求證：．

2．垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．拋物線的幾何性質(zhì)；
2．拋物線與直線的關(guān)系．
※知識拓展
過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則為定值，其值為．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）．
A.B.C.D.無法確定
2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）．
A.B.C.D.
3．過點(diǎn)且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有（）．
A．條B．條C．條D．條
4．若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是______．
5．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
課后作業(yè)
1．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，=，求拋物線的方程．

2．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

第二章圓錐曲線與方程（復(fù)習(xí)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
2．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；
3．能解決直線與圓錐曲線的一些問題．
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材理P78~P81，文P66~P69找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：完成下列表格：
橢圓雙曲線拋物線
定義

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對稱軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
離心率
（以上每類選取一種情形填寫）
復(fù)習(xí)2：
①若橢圓的離心率為，則它的長半軸長為__________；
②雙曲線的漸近線方程為，焦距為，則雙曲線的方程為；
③以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程為．
二、新課導(dǎo)學(xué)
※典型例題
例1當(dāng)從到變化時，方程
表示的曲線的形狀怎樣變化？
變式：若曲線表示橢圓，則的取值范圍是．

小結(jié)：掌握好每類標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．
例2設(shè)，分別為橢圓C：=1
的左、右兩個焦點(diǎn)．
⑴若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．

變式：雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求雙曲線的方程．

※動手試試
練1．已知的兩個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于，試探求頂點(diǎn)的軌跡．

練2．斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
2．橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；
3．直線與圓錐曲線．

※知識拓展
圓錐曲線具有統(tǒng)一性：
⑴它們都是平面截圓錐得到的截口曲線；
⑵它們都是平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離和到一條定直線（不經(jīng)過定點(diǎn)）距離的比值是一個常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，比值的取值范圍不同形成了不同的曲線；
⑶它們的方程都是關(guān)于，的二次方程．
學(xué)習(xí)評價
※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1．曲線與曲線
的（）．
A．長軸長相等B．短軸長相等
C．離心率相等D．焦距相等
2．與圓及圓都外切的圓的圓心在（）．
A．一個橢圓上B．雙曲線的一支上
C．一條拋物線上D．一個圓上
3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（）．
A．B．C．D．
4．直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍．
5．到直線的距離最短的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

課后作業(yè)
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲線的形狀．

2．拋物線與過點(diǎn)的直線相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，若和的斜率之和為，求直線的方程．

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第二章圓錐曲線與方程(曲線方程、橢圓)教學(xué)設(shè)計

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“第二章圓錐曲線與方程(曲線方程、橢圓)教學(xué)設(shè)計”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

2.1曲線與方程
2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程
一、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點(diǎn)
使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的軌跡以及求動點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識的能力．
(三)學(xué)科滲透點(diǎn)
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．
二、教材分析
1．重點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法．
(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法．)2．難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方法．
(解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解．)
教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。
教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神．
三、教學(xué)過程
學(xué)生探究過程：
(一)復(fù)習(xí)引入
大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：
(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；
(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．
我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析．
(二)幾種常見求軌跡方程的方法
1．直接法
由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．
例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡．
對(1)分析：
動點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．
對(2)分析：
題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．由學(xué)生演板完成，解答為：
設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，
則OM⊥AM．
∵kOMkAM=-1，
其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))．
2．定義法
利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．
直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：
∵點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半徑OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義
寫出P點(diǎn)的軌跡方程．
解：連接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半徑OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．
由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．
3．相關(guān)點(diǎn)法
若動點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．
例3已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：
P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系．
解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)．
4．待定系數(shù)法
求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．
例4已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲
曲線方程．
分析：
因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由學(xué)生完成)
由弦長公式得：
即a2b2=4b2-a2．
(三)鞏固練習(xí)
用十多分鐘時間作一個小測驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出．
1．△ABC一邊的兩個端點(diǎn)是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的
2．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？
3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程．
答案：
義法)
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

(四)、教學(xué)反思
求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．

五、布置作業(yè)
1．兩定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)M的軌跡方程．
2．動點(diǎn)P到點(diǎn)F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點(diǎn)的軌跡．
3．已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A(2，0)，過定點(diǎn)A作弦AB，并延長到點(diǎn)P，使3|AB|=2|AB|，求動點(diǎn)P的軌跡方程．作業(yè)答案：
1．以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點(diǎn)只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線
六、板書設(shè)計

幾何圓錐曲線

第十章圓錐曲線
★知識網(wǎng)絡(luò)★

第1講橢圓
★知識梳理★
1.橢圓定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).
當(dāng)時,的軌跡為橢圓;;
當(dāng)時,的軌跡不存在;
當(dāng)時,的軌跡為以為端點(diǎn)的線段
（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓
（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.

2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):
標(biāo)準(zhǔn)方程

性

質(zhì)參數(shù)關(guān)系

焦點(diǎn)

焦距

范圍

頂點(diǎn)

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱
離心率

準(zhǔn)線

3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系:
當(dāng)時,點(diǎn)在橢圓外;當(dāng)時,點(diǎn)在橢圓內(nèi);當(dāng)時,點(diǎn)在橢圓上;
4.直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn):掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會用定義和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
難點(diǎn):橢圓的幾何元素與參數(shù)的轉(zhuǎn)換
重難點(diǎn):運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點(diǎn)三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)換成參數(shù)的關(guān)系
1.要有用定義的意識
問題1已知為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則=______________。
[解析]的周長為，=8
2.求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位
問題2橢圓的離心率為，則
[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，
綜上或3
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
題型1:橢圓定義的運(yùn)用
[例1](湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時，小球經(jīng)過的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:
(1),此時小球經(jīng)過的路程為2(a－c);
(2),此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);
(3)此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D
【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面
【新題導(dǎo)練】
1.（2007佛山南海）短軸長為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為（）
A.3B.6C.12D.24
[解析]C.長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=12
2.(廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（）
A．5B．7C．13D．15
[解析]B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，，的最小值為10-1-2=7
題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例2]設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為－4，求此橢圓方程.
【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來
[解析]設(shè)橢圓的方程為或，
則，
解之得：，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為或.
【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系．
［警示］易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況．
【新題導(dǎo)練】
3.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.
[解析](0,1).橢圓方程化為+=1.焦點(diǎn)在y軸上，則2，即k1.
又k0，∴0k1.
4.已知方程,討論方程表示的曲線的形狀
[解析]當(dāng)時，，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
當(dāng)時，，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，
當(dāng)時，，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
5.橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個橢圓方程.
[解析]，，所求方程為+=1或+=1.
考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)
題型1:求橢圓的離心率（或范圍）
[例3]在中，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率．
【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率
[解析]，
，
【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定
（2）只要列出的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）
（3）“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注
【新題導(dǎo)練】
6.(執(zhí)信中學(xué)2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期高三期中考試)如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為
....
[解析]選
7.（江蘇鹽城市三星級高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考）已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為
[解析]由，橢圓的離心率為
8.(山東濟(jì)寧2007—2008學(xué)年度高三第一階段質(zhì)量檢測)
我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地球運(yùn)行的軌跡是以地球的地心為焦點(diǎn)的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點(diǎn)到地心的距離為m，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點(diǎn)是指衛(wèi)星距離地面最近的點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)是距離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率（）
A．不變B.變小C.變大D.無法確定
[解析]，，選A
題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）
[例4]已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值
【解題思路】把看作的函數(shù)
[解析]由得,
當(dāng)時,取得最小值,當(dāng)時,取得最大值6
【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時不出差錯
【新題導(dǎo)練】
9.已知點(diǎn)是橢圓（，）上兩點(diǎn),且,則=
[解析]由知點(diǎn)共線,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱,
10.如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點(diǎn)，是橢圓的一個焦點(diǎn)
則________________
［解析］由橢圓的對稱性知：．
考點(diǎn)3橢圓的最值問題
題型:動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時涉及的距離、面積的最值
[例5]橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為___________．
【解題思路】把動點(diǎn)到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)
[解析]在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P().那么點(diǎn)P到直線l的距離為：
【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn)，用表示后，把動點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”
【新題導(dǎo)練】
11.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
[解析]設(shè)內(nèi)接矩形的一個頂點(diǎn)為，
矩形的面積
12.是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求的最大值與最小值
[解析]
當(dāng)時，取得最大值，
當(dāng)時，取得最小值
13.（2007惠州）已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，
是原點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是_________．
[解析]設(shè)，則
考點(diǎn)4橢圓的綜合應(yīng)用
題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題
[例6]已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個長軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍．
【解題思路】通過，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個關(guān)于m的不等式
[解析]（1）由題意可知橢圓為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可設(shè)
由條件知且，又有，解得
故橢圓的離心率為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14時，上式不成立；m2≠14時，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1
容易驗(yàn)證k22m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（－1，－12）∪（12，1）
【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能
【新題導(dǎo)練】
14.(2007廣州四校聯(lián)考)設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）
A.B.
C.D.
[解析]，選A.
15.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點(diǎn)C，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。

解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0）
由題設(shè)可得
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為，
則
∴曲線E方程為
（2）直線MN的方程為
由
∴方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根
∵∠MBN是鈍角
即
解得：
又M、B、N三點(diǎn)不共線
綜上所述，k的取值范圍是
★～～搶分頻道★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1.如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為()
ABCD
[解析]B.
2.（廣東省四校聯(lián)合體2007-2008學(xué)年度聯(lián)合考試）設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2面積為1時，的值為
A、0B、1C、2D、3
[解析]A.，P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0，
3.(廣東廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是
A．B．C．D．
[解析]D.,,兩式相減得：，，
4.在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率．
[解析]
5.已知為橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若,則此橢圓的離心率為_________.
[解析][三角形三邊的比是]
6.(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=．
[解析]
綜合提高訓(xùn)練
7、已知橢圓與過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率．求橢圓方程
[解析]直線l的方程為：
由已知①
由得：
∴，即②
由①②得：
故橢圓E方程為
8.(廣東省汕頭市金山中學(xué)2008－2009學(xué)年高三第一次月考)
已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)
∴是△的中位線
又∴
∴
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1
（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點(diǎn)
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9.(海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二)已知長方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

圓錐曲線學(xué)案練習(xí)題

§2.1圓錐曲線
一、知識要點(diǎn)
1.通過用平面截圓錐面，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓；拋物線模型的過程；
2.橢圓的定義：
3.雙曲線的定義：
4.拋物線的定義：
5.圓錐曲線的概念：
二、例題
例1.試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鲆詢蓚€定點(diǎn)為焦點(diǎn)的一個橢圓。
例2.已知：
⑴到兩點(diǎn)距離之和為9的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？
⑵到兩點(diǎn)距離之差的絕對值等于6的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？
⑶到點(diǎn)的距離和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

例3.(參選)在等腰直角三角形中，，，以為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，求的周長。

三、課堂檢測
1.課本P262
2.課本P263
3.已知中，且成等差數(shù)列。
⑴求證：點(diǎn)在一個橢圓上運(yùn)動；
⑵寫出這個橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

四、歸納小結(jié)

五、課后作業(yè)
1.已知是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線的距離為，則=
。
2.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是。
3.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足(為正常數(shù))。若點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，則常數(shù)的取值范圍是。
4.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是。
5.若動圓與圓外切，對直線相切，則動圓圓心的軌跡是。
6.已知中，，且成等差數(shù)列。
⑴求證：點(diǎn)在一個橢圓上運(yùn)動；⑵寫出這個橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

7.已知中，長為6，周長為16，那么頂點(diǎn)在怎樣的曲線上運(yùn)動？

8.如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)上。把筆尖放在點(diǎn)處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線，這條曲線是雙曲線的一支，試說明理由。

9.若一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值，試確定動點(diǎn)的軌跡。

10.動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，試確定的軌跡。

六、預(yù)習(xí)作業(yè)
1.方程表示橢圓則的取值范圍。
2.方程表示焦點(diǎn)在軸上。
3.方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)”，僅供參考，大家一起來看看吧。

第九章圓錐曲線與方程

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；
4.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；
5.理解數(shù)形結(jié)合的思想；
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.
本章難點(diǎn)：1.對圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系.圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

知識網(wǎng)絡(luò)

9.1橢圓

典例精析
題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為453和
253，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識.
【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個點(diǎn)(每條曲線上至少取兩個點(diǎn))，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點(diǎn)既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：
據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為.
【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(xiàn)(3，－23).
通過觀察可知道點(diǎn)F，O，D可能是拋物線上的點(diǎn).而A，C，E是橢圓上的點(diǎn)，這時正好點(diǎn)B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點(diǎn)
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因?yàn)閽佄锞€的解析式形式比橢圓簡單一些.
不妨設(shè)有兩點(diǎn)y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點(diǎn).
而D(2，－22)，F(xiàn)(3，－23)正好符合.
又因?yàn)闄E圓的交點(diǎn)在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同時出現(xiàn).故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，
因?yàn)閙＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【點(diǎn)撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.
【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點(diǎn)，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點(diǎn)，則|PQ|＋|PR|的最小值是.
【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點(diǎn)，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心，
則|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值為9.
題型三有關(guān)橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國新課標(biāo))設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個交點(diǎn)，若|PF1||PF2|＝e，則e的值是()
A.32B.33C.22D.63
【解析】設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x＝－a2c，拋物線準(zhǔn)線為x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)c2a2＝13e＝33.故選B.
總結(jié)提高
1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點(diǎn)的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數(shù)進(jìn)行計算推理.
3.焦點(diǎn)三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
9.2雙曲線

典例精析
題型一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知動圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.
因?yàn)閍＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點(diǎn)E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29－y216＝1的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為()
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)P(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當(dāng)x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去；
當(dāng)x＝2a3－ab2a2＋b2時，滿足題意的點(diǎn)P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn).
(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(2)若過點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y＝y(tǒng)1x1＋2(x＋2)，①
直線A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，|x|＜2.
而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是A1P與A2Q的交點(diǎn)，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A1，A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過點(diǎn)(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組得x＝2，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2.
故軌跡E不過點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過點(diǎn)(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設(shè)過點(diǎn)H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)，
聯(lián)立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h(huán)2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h(huán)2－12＝－1，故h＝3.
過點(diǎn)A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h(huán)2)＝－1，得h＝2.
此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個交點(diǎn)(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2等于()
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.
據(jù)題意設(shè)|AF1|＝x，則|AB|＝x，|BF1|＝2x.
由雙曲線定義有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定義可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結(jié)提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點(diǎn)，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|時，P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線；當(dāng)
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|時，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝±bax，可將雙曲線方程設(shè)為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法.

9.3拋物線

典例精析
題型一拋物線定義的運(yùn)用
【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線過點(diǎn)P(2，－4)；
(2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝|AF|＝|m＋p2|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0)(a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝|PA|＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因?yàn)閍＞0，x0≥0，
所以當(dāng)0＜a＜1時，此時有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當(dāng)a≥1時，此時有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡得y2＝4x(x＞0).
(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y(tǒng)24，于是不等式②等價于y214y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④
對任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則1y1＋1y2＝.
【解析】y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y(tǒng)1＋y2y1y2＝12.
題型三有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.
(1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達(dá)定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k4，k28).
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB，
又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因?yàn)镸N⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使＝0.
【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長公式.
【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為M、N，則|MN|的最小值是.
【解析】455.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中，焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

9.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

典例精析
題型一直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題
【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當(dāng)a＝0時，方程組恰有一組解為
(2)當(dāng)a≠0時，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0，
方程組恰有一組解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，這時直線與曲線相切，只有一個公共點(diǎn).
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點(diǎn)撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項(xiàng)系數(shù)＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗(yàn)證一下：①當(dāng)a＝0時，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時與已知直線y＝x－1恰有交點(diǎn)(1,0)；②當(dāng)a＝－1時，直線y＝－1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(diǎn)(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零)；③當(dāng)a＝－45時直線與拋物線相切.
【變式訓(xùn)練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，結(jié)合直線過定點(diǎn)(0，－1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.
題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，＝2.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果|AB|＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因?yàn)閨AB|＝1＋13|y2－y1|，所以2343ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.
【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32，則ab的值為.
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0ax0－by0＝0.
故ab＝y(tǒng)0x0＝32.
題型三對稱問題
【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)，由題意知k≠0.
設(shè)直線AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯(lián)立消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋414kb＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1kx1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點(diǎn)為E(k(2k＋b)，－2k).
因?yàn)閘過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點(diǎn)撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l的方程；
(2)對于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.
【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對稱的兩點(diǎn)A，B，則|AB|等于()
A.3B.4C.32D.42
【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點(diǎn)為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故選C.
總結(jié)提高
1.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點(diǎn)問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點(diǎn)的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(diǎn)(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點(diǎn)問題的處理既可以用判別式法，也可以用點(diǎn)差法；使用點(diǎn)差法時，要特別注意驗(yàn)證“相交”的情形.

9.5圓錐曲線綜合問題

典例精析
題型一求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點(diǎn)M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋12.
聯(lián)立消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝12x2，求導(dǎo)得y′＝x.
所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2＝x2.
因?yàn)閗1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯(lián)立這兩個方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝－12.
【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌.
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60°時，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因?yàn)锳，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面積S＝32|AC|2.
又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)(－433＜n＜433).
所以當(dāng)n＝0時，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個動點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是.
【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBPkPQ＝－1，得x2P－1xP＋1x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因?yàn)閨xP－1＋1xP－1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時，求直線l的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)橹本€l：x－my－m22＝0經(jīng)過F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因?yàn)閙＞1，所以m＝2.
故直線l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點(diǎn)，
由＝2，＝2，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因?yàn)閙＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合，則a的取值范圍為.
【解析】設(shè)B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法，是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識.