高中三角函數(shù)教案

2012屆高三理科數(shù)學(xué)三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案。

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容要寫(xiě)些什么更好呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《2012屆高三理科數(shù)學(xué)三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案》，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

2012屆高三理科數(shù)學(xué)三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫(huà)出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在(－,)上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫(huà)出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.
7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題，能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運(yùn)算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運(yùn)用三角公式化簡(jiǎn)、求值、證明；3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題.三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在高考中主要考查對(duì)三角函數(shù)概念的理解；運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問(wèn)題往往與其他知識(shí)(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

5.1任意角的三角函數(shù)的概念

典例精析
題型一象限角與終邊相同的角
【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、的終邊所在的象限.
【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?br> 所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).
因?yàn)?k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.
因?yàn)閗180°＋45°＜α2＜k180°＋90°(k∈Z)，
當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n360°＋45°＜α2＜n360°＋90°，
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n360°＋225°＜α2＜n360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角.
【點(diǎn)撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定α2所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則α12、α22、α32、α42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問(wèn)題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是()
A.第一象限角B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角
【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，α是第三象限角.
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，α是第一象限角.故選C.
題型二弧長(zhǎng)公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值？并求出這個(gè)最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，
因?yàn)棣粒?0°＝π3，R＝10cm，所以l＝10π3cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin60°＝50(π3－32)cm2.
(2)因?yàn)镃＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22αα2＋4α＋4＝C221α＋4α＋4≤C216，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝4α?xí)r，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形的面積有最大值為C216.
【點(diǎn)撥】用弧長(zhǎng)公式l＝|α|R與扇形面積公式S＝12lR＝12R2|α|時(shí)，α的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)C有最小值？并求出最小值.
【解析】因?yàn)镾＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周長(zhǎng)C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時(shí)，C＝4S，
所以當(dāng)α＝lR＝2時(shí)，周長(zhǎng)C有最小值4S.

題型三三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sinα；(2)求滿足sinx≤32的角x的集合.
【解析】(1)由交點(diǎn)為(－55，－255)或(55，255)，
所以sinα＝±255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)(0，32)，過(guò)該點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的角.
②畫(huà)區(qū)域：畫(huà)出角x的終邊所在位置的陰影部分.
③寫(xiě)集合：所求角x的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問(wèn)題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡(jiǎn)潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lgsinx＋cosx－12的定義域?yàn)?
【解析】
2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
總結(jié)提高
1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k360°＋π3的錯(cuò)誤書(shū)寫(xiě).
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.

5.2同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式

典例精析
題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題
【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，則f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝.
【解析】f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝1－sin2θ＋1＋sin2θ＝(sinθ－cosθ)2＋(sinθ＋cosθ)2＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.
因?yàn)棣取?3π4，π)，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.
所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cosθ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.
題型二三角函數(shù)式的求值問(wèn)題
【例2】已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.
【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【變式訓(xùn)練2】已知tanα＝12，則2sinαcosα＋cos2α等于()
A.45B.85C.65D.2
【解析】原式＝2sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα＋11＋tan2α＝85.故選B.
題型三三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題
【例3】已知－π2＜x＜0且sinx＋cosx＝15，求：
(1)sinx－cosx的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sinxcosx＝－2425，且sinx＜0＜cosx，
所以sinx－cosx＝－(sinx－cosx)2＝－1－2sinxcosx＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cosx－sinx)(cos2x＋cosxsinx＋sin2x)
＝75×(1－1225)＝91125.
【點(diǎn)撥】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sinx±cosx取值符號(hào).
【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
總結(jié)提高
1.對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個(gè)角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.

5.3兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)（www.277433.COM 正能量句子）

典例精析
題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
【例1】化簡(jiǎn)(0＜θ＜π).
【解析】因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
＝＝－cosθ.
【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成θ2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2θ2－cos2θ2＝－cosθ.
【變式訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos2x.
題型二三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sinx2－2cosx2＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求cos2x2cos(π4＋x)sinx的值.
【解析】(1)由sinx2－2cosx2＝0tanx2＝2，所以tanx＝＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cosx－22sinx)sinx
＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)(cosx－sinx)sinx＝cosx＋sinxsinx＝1tanx＋1＝(－34)＋1＝14.
【變式訓(xùn)練2】2cos5°－sin25°sin65°＝.
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.
題型三已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因?yàn)閠an2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tanβ1－tan2(α－β)tanβ＝1，
又tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)tanβ＝13，
因?yàn)棣痢?0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.
【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sinα，則α與β的大小關(guān)系是()
A.α＝βB.α＜β
C.α＞βD.以上都有可能
【解析】方法一：因?yàn)?sinα＝sin(α＋β)≤1，所以sinα≤12，又α是銳角，所以α≤30°.
又當(dāng)α＝30°，β＝60°時(shí)符合題意，故選B.
方法二：因?yàn)?sinα＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，
所以sinα＜sinβ.
又因?yàn)棣?、β是銳角，所以α＜β，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題；
(2)對(duì)公式會(huì)“正用”、“逆用”、“變形使用”；
(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通過(guò)運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.

5.4三角恒等變換

典例精析
題型一三角函數(shù)的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tanα2＝1－tan2α2，得tanα＝＝12.
由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.
又因?yàn)棣痢ⅵ隆?0，π4)，所以α＋β＝π4.
【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的主要過(guò)程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.
【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于()
A.1318B.1322C.723D.318
【解析】因?yàn)棣粒?＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故選C.

題型二等式的證明
【例2】求證：sinβsinα＝sin(2α＋β)sinα－2cos(α＋β).
【證明】證法一：
右邊＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinαsinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinαsinα
＝sin[(α＋β)－α]sinα＝sinβsinα＝左邊.
證法二：sin(2α＋β)sinα－sinβsinα＝sin(2α＋β)－sinβsinα＝2cos(α＋β)sinαsinα＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.
【點(diǎn)撥】證法一將2α＋β寫(xiě)成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問(wèn)題法”證明，簡(jiǎn)捷而新穎.
【變式訓(xùn)練2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tanβ＝0.
【證明】因?yàn)?sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，
所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.
即tan(α－β)＋4tanβ＝0.
題型三三角恒等變換的應(yīng)用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求證：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，求證：tanC＝sin2B3－cos2B；
(3)在(2)的條件下，求tanC的最大值.
【解析】(1)因?yàn)镃＝π－(A＋B)，
所以tanC＝－tan(A＋B)＝－(tanA＋tanB)1－tanAtanB，
所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，
即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(2)由(1)知tanC＝－(tanA＋tanB)1－tanAtanB＝tanB1＋2tan2B＝sinBcosBcos2B＋2sin2B＝
＝sin2B2(2－1＋cos2B2)＝sin2B3－cos2B.
(3)由(2)知tanC＝tanB1＋2tan2B＝12tanB＋1tanB≤122＝24，
當(dāng)且僅當(dāng)2tanB＝1tanB，即tanB＝22時(shí)，等號(hào)成立.
所以tanC的最大值為24.
【點(diǎn)撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運(yùn)用來(lái)解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，要有較明確的目標(biāo)意識(shí).
【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，試判斷△ABC的形狀.
【解析】由已知得tanB＋tanC＝3(1－tanBtanC)，
3(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，
即tanB＋tanC1－tanBtanC＝3，tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因?yàn)?＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是頂角為2π3的等腰三角形.
總結(jié)提高
三角恒等式的證明，一般考慮三個(gè)“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個(gè)角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.

5.5三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

典例精析
題型一三角函數(shù)的周期性與奇偶性
【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判斷g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2.
所以g(x)為偶函數(shù).
【點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題，常常要化簡(jiǎn)三角函數(shù).
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T等于()
A.2πB.πC.π2D.π3
【解析】y＝1－cos2x2＋12sin2x＝22(22sin2x－22cos2x)＋12
＝22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故選B.
題型二求函數(shù)的值域
【例2】求下列函數(shù)的值域：
(1)f(x)＝sin2xsinx1－cosx；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cosx.
【解析】(1)f(x)＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx(1－cos2x)1－cosx＝2cos2x＋2cosx
＝2(cosx＋12)2－12，
當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)max＝4，但cosx≠1，所以f(x)＜4，
當(dāng)cosx＝－12時(shí)，f(x)min＝－12，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－12，4).
(2)f(x)＝2(cosπ3cosx－sinπ3sinx)＋2cosx
＝3cosx－3sinx＝23cos(x＋π6)，
所以函數(shù)的值域?yàn)閇－23，23].
【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，分析函數(shù)式的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析，是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2】求y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域.
【解析】令t＝sinx＋cosx，則有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
從而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2＋12].
題型三三角函數(shù)的單調(diào)性
【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】(1)由圖可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sinφ＝－1.
因?yàn)閨φ|＜π，所以φ＝－π2.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos2x.
所以g(x)＝(－cos2x)[－cos(2x－π2)]＝cos2xsin2x＝12sin4x.
所以當(dāng)2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)時(shí)g(x)單調(diào)遞增.
故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【點(diǎn)撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.
【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是()
A.[0，π3]B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6]D.[5π6，π]
【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C.
總結(jié)提高
1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.
3.求三角函數(shù)的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對(duì)值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?
4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱性.

5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象和性質(zhì)

典例精析
題型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)的周期為π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；
(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.
【解析】(1)f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2(12sinωx＋32cosωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因?yàn)門(mén)＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函數(shù)f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)的振幅為2，初相為π3.
(2)列出下表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象如圖所示.
(3)把y＝sinx圖象上的所有點(diǎn)向左平移π3個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋π3)的圖象，再把
y＝sin(x＋π3)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋π3)的圖象，然后把y＝sin(2x＋π3)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋π3)的圖象.
【點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.

【變式訓(xùn)練1】函數(shù)

的圖象如圖所示，則()
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝12.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T(mén)＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.將點(diǎn)(5π3，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.
題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與值域
【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6.
(1)求ω的值；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，將x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
當(dāng)x＝4kπ＋43π，k∈Z時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.
【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱，則|φ|的最小值是()
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的圖象.
因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值π4，故選A.
題型三三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因?yàn)閥＝f(x)的最大值為2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因?yàn)閥＝f(x)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因?yàn)?＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因?yàn)棣眨溅?，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sinπ2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.
方法二：因?yàn)閒(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.
【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問(wèn)題可畫(huà)出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝.
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos2ωx2＋2＝Acos2ωx2＋A2＋2，則由題意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cosπ4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
總結(jié)提高
1.用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫(huà)出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.
2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長(zhǎng)度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無(wú)論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.
3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將ωx＋φ視為一個(gè)整體x后再與基本函數(shù)
y＝sinx的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.

5.7正弦定理和余弦定理

典例精析
題型一利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cosC＝34.
(1)求sinA的值；(2)求的值.
【解析】(1)由cosC＝34得sinC＝74.
所以sinA＝BCsinCAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cosA＝528.
所以cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC
＝－15232＋7232＝－24.
所以＝(＋)＝＋
＝－1＋1×2×cosB＝－1－12＝－32.
【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).
【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2＋b2－c24，則∠C＝.
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absinC.
所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC.所以tanC＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
題型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題
【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因?yàn)閟in2A＝(32cosB＋12sinB)(32cosB－12sinB)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A為銳角，所以A＝π3.
(2)由＝12可得cbcosA＝12.①
由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，將a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個(gè)根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力.
【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2a－c)cosB＝
bcosC.
(1)求角B的大??；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面積.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入(2a－c)cosB＝bcosC，
整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，
即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，
在△ABC中，sinA＞0,2cosB＝1，
因?yàn)椤螧是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac－2accosB，
將b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsinB＝32sin60°＝334.
題型三正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距203海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？
【解析】由題意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝＝
＝＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝3030＝1(小時(shí)).
所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).
【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是：
(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；
(2)確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；
(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)mkm后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍nkm范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝mcosαsin(α－β)，要使船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90°－β)＝mcosαcosβsin(α－β)＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcosαcosβ＞nsin(α－β)時(shí)，船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
總結(jié)提高
1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sinA＞sinB是一種等價(jià)關(guān)系.
2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會(huì)漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.

5.8三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例精析
題型一利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題
【例1】如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地.一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值.
【解析】如圖，連接AP，過(guò)P作PM⊥AB于M.
設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤π2，
則PM＝90sinα，AM＝90cosα，
所以PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，
于是S四邊形PQCR＝PQPR
＝(100－90cosα)(100－90sinα)
＝8100sinαcosα－9000(sinα＋cosα)＋10000.
設(shè)t＝sinα＋cosα，則1≤t≤2，sinαcosα＝t2－12.
S四邊形PQCR＝8100t2－12－9000t＋10000
＝4050(t－109)2＋950(1≤t≤2).
當(dāng)t＝2時(shí)，(S四邊形PQCR)max＝14050－90002m2；
當(dāng)t＝109時(shí)，(S四邊形PQCR)min＝950m2.
【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sinθcosθ，sinθ±cosθ的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sinθ±cosθ＝t，把sinθcosθ用t表示，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意t的取值范圍.
【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜π2，則4x與sin3x的大小關(guān)系是()
A.4x＞sin3xB.4x＜sin3x
C.4x≥sin3xD.與x的值有關(guān)
【解析】令f(x)＝4x－sin3x，則f′(x)＝4－3cos3x.因?yàn)閒′(x)＝4－3cos3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin3x＞0.所以4x＞sin3x.故選A.
題型二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用
【例2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù).
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；
(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放.請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？
【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為12.所以y＝12cosπ6t＋1.
(2)由題知，當(dāng)y＞1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，
所以12cosπ6t＋1＞1，所以cosπ6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因?yàn)?≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00至下午15：00.
【點(diǎn)撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.
【變式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10m的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為dm(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時(shí)間t(s)之間滿足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且當(dāng)點(diǎn)P從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.
【解析】①②④.
題型三正、余弦定理的應(yīng)用
【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：(1)指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N間距離的步驟.
【解析】(1)如圖所示：①測(cè)AB間的距離a；②測(cè)俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得
BM＝ABsinφsin∠AMB＝asinφsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsinθsin∠ANB＝asinθsin(θ＋γ)，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN＝
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sinθsinφcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見(jiàn)正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是海里/小時(shí).
【解析】本題考查實(shí)際模型中的解三角形問(wèn)題.依題意作出簡(jiǎn)圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我們只需計(jì)算出OC的長(zhǎng)，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC＝tan∠OCB＝tan60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan75°－tan60°)，即有
OC＝ABtan75°－tan60°＝10tan75°－tan60°
＝10tan(30°＋45°)－tan60°
＝10tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°－tan60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度為5海里÷0.5小時(shí)＝10海里/小時(shí).
總結(jié)提高
1.解三角形的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意：
(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)將所有已知條件化入同一個(gè)三角形中求解；
(3)方程思想在解題中的運(yùn)用.
2.解三角函數(shù)的綜合題時(shí)應(yīng)注意：
(1)與已知基本函數(shù)對(duì)應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個(gè)整體X；
(2)將已知三角函數(shù)化為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；
(3)換元方法在解題中的運(yùn)用.

相關(guān)閱讀

2012屆高三理科數(shù)學(xué)數(shù)列總復(fù)習(xí)

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠聽(tīng)懂教師所講的內(nèi)容，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的教案呢？下面是小編為大家整理的“2012屆高三理科數(shù)學(xué)數(shù)列總復(fù)習(xí)”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

第六章數(shù)列

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法?
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；?（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).?
2.等差數(shù)列、等比數(shù)列?
（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；?
（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；?
（3）能在具體問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；?
（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及有關(guān)性質(zhì);
2.注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯(cuò)位相減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、分組求和法、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系.?
本章難點(diǎn)：1.數(shù)列概念的理解；2.等差等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用；3.數(shù)列通項(xiàng)與求和方法的運(yùn)用.仍然會(huì)以客觀題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，在解答題中，會(huì)保持以前的風(fēng)格，注重?cái)?shù)列與其他分支的綜合能力的考查，在高考中，數(shù)列常考常新，其主要原因是它作為一個(gè)特殊函數(shù)，使它可以與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角函數(shù)等綜合起來(lái)，命出開(kāi)放性、探索性強(qiáng)的問(wèn)題，更體現(xiàn)了知識(shí)交叉命題原則得以貫徹；又因?yàn)閿?shù)列與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，使數(shù)列應(yīng)用題也倍受歡迎.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

典例精析
題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)
【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫(xiě)出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)7,77,777,7777，…
(2)23，－415，635，－863，…
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…
【解析】(1)將數(shù)列變形為79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n－1)，
故an＝79(10n－1).
(2)分開(kāi)觀察，正負(fù)號(hào)由(－1)n＋1確定，分子是偶數(shù)2n，分母是1×3,3×5,5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝(－1)n＋1.
(3)將已知數(shù)列變?yōu)?＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋.
【點(diǎn)撥】聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關(guān)鍵是通過(guò)分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)序數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng).
【變式訓(xùn)練1】如下表定義函數(shù)f(x)：
x12345
f(x)54312
對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，則a2008的值是()
A.1B.2C.3D.4
【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an.
所以a2008＝a4＝2，故選B.
題型二應(yīng)用an＝求數(shù)列通項(xiàng)
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，分別求其通項(xiàng)公式：
(1)Sn＝3n－2；
(2)Sn＝18(an＋2)2(an＞0).
【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，
又a1＝1不適合上式，
故an＝
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得a1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2，
所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，
又an＞0，所以an－an－1＝4，
可知{an}為等差數(shù)列，公差為4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)4＝4n－2，
a1＝2也適合上式，故an＝4n－2.
【點(diǎn)撥】本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an＝求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證a1的值是否滿足“n≥2”的一般性通項(xiàng)公式.
【變式訓(xùn)練2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()
A.2n－1B.(n＋1n)n－1C.n2D.n
【解析】由an＝n(an＋1－an)an＋1an＝n＋1n.
所以an＝anan－1×an－1an－2×…×a2a1＝nn－1×n－1n－2×…×32×21＝n，故選D.
題型三利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)
【例3】已知在數(shù)列{an}中a1＝1，求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(1)an＋1＝an1＋2an；(2)an＋1＝2an＋2n＋1.
【解析】(1)因?yàn)閷?duì)于一切n∈N*，an≠0，
因此由an＋1＝an1＋2an得1an＋1＝1an＋2，即1an＋1－1an＝2.
所以{1an}是等差數(shù)列，1an＝1a1＋(n－1)2＝2n－1，即an＝12n－1.
(2)根據(jù)已知條件得an＋12n＋1＝an2n＋1，即an＋12n＋1－an2n＝1.
所以數(shù)列{an2n}是等差數(shù)列，an2n＝12＋(n－1)＝2n－12，即an＝(2n－1)2n－1.
【點(diǎn)撥】通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系是給出數(shù)列的常用方法，尤其是后者，可以通過(guò)進(jìn)一步的計(jì)算，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)，進(jìn)而可以求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【變式訓(xùn)練3】設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.
【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，
所以anan＋1≠0，所以(n＋1)an＋1an－nanan＋1＋1＝0，
令an＋1an＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0，
所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，
得t＝nn＋1或t＝－1(舍去)，即an＋1an＝nn＋1.
所以a2a1a3a2a4a3a5a4…anan－1＝12233445…n－1n，所以an＝1n.
總結(jié)提高
1.給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，常用特征分析法與化歸法，所求通項(xiàng)不唯一.
2.由Sn求an時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況.
3.給出Sn與an的遞推關(guān)系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.

6.2等差數(shù)列

典例精析
題型一等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算
【例1】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n.
(1)求證：{an}為等差數(shù)列；(2)記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn的表達(dá)式.
【解析】(1)證明：n＝1時(shí)，a1＝S1＝－8，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，
當(dāng)n＝1時(shí)，也適合該式，所以an＝2n－10(n∈N*).
當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2，所以{an}為等差數(shù)列.
(2)因?yàn)閚≤5時(shí)，an≤0，n≥6時(shí)，an＞0.
所以當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝－Sn＝9n－n2，
當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝a1＋a2＋…＋a5＋a6＋…＋an
＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an
＝Sn－2S5＝n2－9n－2×(－20)＝n2－9n＋40，

所以，

【點(diǎn)撥】根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運(yùn)用求和公式.
【變式訓(xùn)練1】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S21＝42，若記bn＝，則數(shù)列{bn}()
A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列
【解析】本題考查了兩類常見(jiàn)數(shù)列，特別是等差數(shù)列的性質(zhì).根據(jù)條件找出等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差之間的關(guān)系從而確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng)是解決問(wèn)題的突破口.{an}是等差數(shù)列，則S21＝21a1＋21×202d＝42.
所以a1＋10d＝2，即a11＝2.所以bn＝＝22－(2a11)＝20＝1，即數(shù)列{bn}是非0常數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.答案為C.
題型二公式的應(yīng)用
【例2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
【解析】(1)依題意，有
S12＝12a1＋12×(12－1)d2＞0，S13＝13a1＋13×(13－1)d2＜0，
即
由a3＝12，得a1＝12－2d.③
將③分別代入①②式，得
所以－247＜d＜－3.
(2)方法一：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0，
則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
方法二：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0，
則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，a2008，a2009是方程x2－3x－5＝0的兩個(gè)根，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，那么滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝.
【解析】由題意知又因?yàn)楣頳＞0，所以a2008＜0，a2009＞0.當(dāng)
n＝4015時(shí)，S4015＝a1＋a40152×4015＝a2008×4015＜0；當(dāng)n＝4016時(shí)，S4016＝a1＋a40162×4016＝a2008＋a20092×4016＞0.所以滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝4015.
題型三性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】某地區(qū)2010年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天增加40人；但從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門(mén)采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天減少10人.
(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；
(2)該地區(qū)9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人？
【解析】(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為40，公差為40的等差數(shù)列.
所以9月10日的新感染者人數(shù)為40＋(10－1)×40＝400(人).
所以9月11日的新感染者人數(shù)為400－10＝390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人數(shù)和為S10＝10(40＋400)2＝2200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者的人數(shù)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為390，公差為－10的等差數(shù)列.
所以后20天新感染者的人數(shù)和為T(mén)20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5900(人).
所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).
【變式訓(xùn)練3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為
.
【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4≥10，S5≤15，

所以5＋3d2≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1，
所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.
總結(jié)提高
1.在熟練應(yīng)用基本公式的同時(shí)，還要會(huì)用變通的公式，如在等差數(shù)列中，am＝an＋(m－n)d.
2.在五個(gè)量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運(yùn)算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的.
3.已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列這類問(wèn)題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運(yùn)算量，如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，除了設(shè)a，a＋d，a＋2d外，還可設(shè)a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)為a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.
4.在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應(yīng)用.

6.3等比數(shù)列

典例精析
題型一等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定
【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…).求證：
(1)數(shù)列{Snn}是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.
【解析】(1)因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn).
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以Sn＋1n＋1＝2Snn，
故{Snn}是以2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知Sn＋1n＋1＝4Sn－1n－1＝4ann＋1(n≥2)，
于是Sn＋1＝4(n＋1)Sn－1n－1＝4an(n≥2).
又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4.
因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1，都有Sn＋1＝4an.
【點(diǎn)撥】①運(yùn)用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量a1、q的方程是求解等比數(shù)列問(wèn)題的常用方法之一，同時(shí)應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)充分討論公比q是否等于1；②應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列可用an＋1an＝q(常數(shù))恒成立，也可用a2n＋1＝anan＋2恒成立，若判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列則只需舉出反例即可，也可以用反證法.
【變式訓(xùn)練1】等比數(shù)列{an}中，a1＝317，q＝－12.記f(n)＝a1a2…an，則當(dāng)f(n)最大時(shí)，n的值為()
A.7B.8C.9D.10
【解析】an＝317×(－12)n－1，易知a9＝317×1256＞1，a10＜0,0＜a11＜1.又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9的值最大，此時(shí)n＝9.故選C.
題型二性質(zhì)運(yùn)用
【例2】在等比數(shù)列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).
(1)求an；
(2)若Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan，求Tn.
【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a6＝a3a4＝32，
又a1＋a6＝33，a1＞a6，解得a1＝32，a6＝1，
所以a6a1＝132，即q5＝132，所以q＝12，
所以an＝32(12)n－1＝26－n.
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，{lgan}是等差數(shù)列，
因?yàn)閘gan＝lg26－n＝(6－n)lg2，lga1＝5lg2，
所以Tn＝(lga1＋lgan)n2＝n(11－n)2lg2.
【點(diǎn)撥】歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握.
【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，若a15＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？
【解析】由題設(shè)可知，如果am＝0，在等差數(shù)列中有
a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立，
我們知道，如果m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，
而對(duì)于等比數(shù)列{bn}，則有若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，
所以可以得出結(jié)論：
若bm＝1，則有b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立.
在本題中則有b1b2…bn＝b1b2…b37－n(n＜37，n∈N*).
題型三綜合運(yùn)用
【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝1－Sn，問(wèn)是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，則求出a1的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】(1)由題意可得2Sn＝an＋1－a1.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，有
兩式相減得an＋1＝3an(n≥2).
又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以{an}是以首項(xiàng)為a1，公比為q＝3的等比數(shù)列.
所以an＝a13n－1.
(2)因?yàn)镾n＝a1(1－qn)1－q＝－12a1＋12a13n，所以bn＝1－Sn＝1＋12a1－12a13n.
要使{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1＋12a1＝0，即a1＝－2，此時(shí)bn＝3n.
所以{bn}是首項(xiàng)為3，公比為q＝3的等比數(shù)列.
所以{bn}能為等比數(shù)列，此時(shí)a1＝－2.
【變式訓(xùn)練3】已知命題：若{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m、n∈N*)，則am＋n＝bn－amn－m.現(xiàn)在已知數(shù)列{bn}(bn＞0，n∈N*)為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，類比上述結(jié)論得bm＋n＝.
【解析】n－mbnam.
總結(jié)提高
1.方程思想，即等比數(shù)列{an}中五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通過(guò)求和與通項(xiàng)兩公式列方程組求解.
2.對(duì)于已知數(shù)列{an}遞推公式an與Sn的混合關(guān)系式，利用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，再引入輔助數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題求解.
3.分類討論思想：當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；q＜0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列；q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列.

6.4數(shù)列求和

典例精析
題型一錯(cuò)位相減法求和
【例1】求和：Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.
【解析】(1)a＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.
(2)a≠1時(shí)，因?yàn)閍≠0，
Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①
1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1.②
由①－②得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1＝1a(1－1an)1－1a－nan＋1，
所以Sn＝a(an－1)－n(a－1)an(a－1)2.
綜上所述，Sn＝
【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法；
(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論；
(3)當(dāng)將Sn與qSn相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào).
【變式訓(xùn)練1】數(shù)列{2n－32n－3}的前n項(xiàng)和為()
A.4－2n－12n－1B.4＋2n－72n－2C.8－2n＋12n－3D.6－3n＋22n－1
【解析】取n＝1，2n－32n－3＝－4.故選C.
題型二分組并項(xiàng)求和法
【例2】求和Sn＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n－1).
【解析】和式中第k項(xiàng)為ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－(12)k1－12＝2(1－12k).
所以Sn＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n)]
＝－(12＋122＋…＋12n)]
＝2[n－12(1－12n)1－12]＝2[n－(1－12n)]＝2n－2＋12n－1.
【變式訓(xùn)練2】數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和為()
A.2n－1B.n2n－n
C.2n＋1－nD.2n＋1－n－2
【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故選D.
題型三裂項(xiàng)相消法求和
【例3】數(shù)列{an}滿足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝1n(14－an)(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若對(duì)任意非零自然數(shù)n，Tn＞m32恒成立，求m的最大整數(shù)值.
【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
從而可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d＝a4－a14－1＝－2，
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)bn＝1n(14－an)＝12n(n＋2)＝14(1n－1n＋2)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14[(11－13)＋(12－14)＋…＋(1n－1n＋2)]
＝14(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝38－14(n＋1)－14(n＋2)＞m32，
上式對(duì)一切n∈N*恒成立.
所以m＜12－8n＋1－8n＋2對(duì)一切n∈N*恒成立.
對(duì)n∈N*，(12－8n＋1－8n＋2)min＝12－81＋1－81＋2＝163，
所以m＜163，故m的最大整數(shù)值為5.
【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和.
(2)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).
【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和為An，Bn，記cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為()
A.A10＋B10B.A10＋B102C.A10B10D.A10B10
【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10項(xiàng)和為A10B10，故選C.
總結(jié)提高
1.常用的基本求和法均對(duì)應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)的特殊結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列通項(xiàng)公式的特征聯(lián)想相應(yīng)的求和方法既是根本，也是關(guān)鍵.
2.數(shù)列求和實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對(duì)學(xué)生的知識(shí)和思維有很高的要求，應(yīng)充分重視并系統(tǒng)訓(xùn)練.

6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用

典例精析
題型一函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題
【例1】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.
(1)設(shè)a是常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a＝2時(shí)，求Sn.
【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，所以an＝a2n＋2，
所以anan－1＝a2n＋2a2n＝a2(n≥2)為定值，所以{an}為等比數(shù)列.
(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2，
當(dāng)a＝2時(shí)，bn＝(2n＋2)(2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2，
Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2，
2Sn＝224＋325＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3，
兩式相減得
－Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3＝16＋24(1－2n－1)1－2－(n＋1)2n＋3，
所以Sn＝n2n＋3.
【點(diǎn)撥】本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過(guò)由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而問(wèn)題得到求解.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項(xiàng)和是()
A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn＋1D.n＋1n
【解析】由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x，則1f(n)＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.

所以Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.故選C.
題型二數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2009年底全縣的綠化率已達(dá)30%，從2010年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.
(1)設(shè)全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1＝310，經(jīng)過(guò)n年綠化面積為an＋1，求證：an＋1＝45an＋425；
(2)至少需要多少年(取整數(shù))的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？
【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an＋1可表示為an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%，
即an＋1＝80%an＋16%＝45an＋425.
(2)由an＋1＝45an＋425有，an＋1－45＝45(an－45)，
又a1－45＝－12≠0，所以an＋1－45＝－12(45)n，即an＋1＝45－12(45)n，
若an＋1≥35，則有45－12(45)n≥35，即(45)n－1≤12，(n－1)lg45≤－lg2，
(n－1)(2lg2－lg5)≤－lg2，即(n－1)(3lg2－1)≤－lg2，
所以n≥1＋lg21－3lg2＞4，n∈N*，
所以n取最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.
【點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題.
【變式訓(xùn)練2】規(guī)定一機(jī)器狗每秒鐘只能前進(jìn)或后退一步，現(xiàn)程序設(shè)計(jì)師讓機(jī)器狗以“前進(jìn)3步，然后再后退2步”的規(guī)律進(jìn)行移動(dòng).如果將此機(jī)器狗放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向正方向，以1步的距離為1單位長(zhǎng)移動(dòng)，令P(n)表示第n秒時(shí)機(jī)器狗所在的位置坐標(biāo)，且P(0)＝0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A.P(2006)＝402B.P(2007)＝403
C.P(2008)＝404D.P(2009)＝405
【解析】考查數(shù)列的應(yīng)用.構(gòu)造數(shù)列{Pn}，由題知P(0)＝0，P(5)＝1，P(10)＝2，P(15)＝3.所以P(2005)＝401，P(2006)＝401＋1＝402，P(2007)＝401＋1＋1＝403，P(2008)＝401＋
3＝404，P(2009)＝404－1＝403.故D錯(cuò).
題型三數(shù)列中的探索性問(wèn)題
【例3】{an}，{bn}為兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)M(1,2)，An(2，an)，Bn(n－1n，2n)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).
(1)對(duì)n∈N*，若點(diǎn)M，An，Bn在同一直線上，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足log2Cn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbna1＋a2＋…＋an，其中{Cn}是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，求證：點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.
【解析】(1)由an－22－1＝2n－2n－1n－1，得an＝2n.
(2)由已知有Cn＝22n－3，由log2Cn的表達(dá)式可知：
2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1)(2n－3)，①
所以2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n－5).②
①－②得bn＝3n－4，所以{bn}為等差數(shù)列.
故點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共線，直線方程為y＝3x－4.
【變式訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*).若a1＞1，a4＞3，S3≤9，則通項(xiàng)公式an＝.
【解析】本題考查二元一次不等式的整數(shù)解以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
由a1＞1，a4＞3，S3≤9得
令x＝a1，y＝d得
在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域如圖所示.符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以an＝2＋n－1＝n＋1.故答案填n＋1.
總結(jié)提高
1.數(shù)列模型應(yīng)用問(wèn)題的求解策略
(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意；
(2)依據(jù)問(wèn)題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)求解，或通過(guò)探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解；
(3)驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符.
2.數(shù)列綜合問(wèn)題的求解策略
(1)數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問(wèn)題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列的知識(shí)求解；
(2)數(shù)列的幾何型綜合問(wèn)題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問(wèn)題.

高三數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽(tīng)課，幫助高中教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。寫(xiě)好一份優(yōu)質(zhì)的高中教案要怎么做呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高三數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

高三數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y），過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A（1，0）作單位圓的切線

設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則有向線段MP、OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線，正切線，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT

三角函數(shù)常考題型：

1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。

(1)常值代換：特別是用1的代換，如等。

(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊,學(xué)習(xí)效率。

如分拆項(xiàng)：

配湊角：=()-，=-等。

(3)降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。

(4)化弦(切)法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦(切)。

(5)引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。

(6)萬(wàn)能代換法。巧用萬(wàn)能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。

2.證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。

3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

4.解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的差異分析。

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。

三角函數(shù)公式：

銳角三角函數(shù)公式

sinα=∠α的對(duì)邊/斜邊

cosα=∠α的鄰邊/斜邊

tanα=∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊

cotα=∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3α=4sinα,學(xué)習(xí)方法?sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα?cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana?tan(π/3+a)?tan(π/3-a)

三倍角公式推導(dǎo)

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

輔助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函數(shù)記憶口訣：

三角函數(shù)是函數(shù),象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓,周期奇偶增減現(xiàn)。

同角關(guān)系很重要,化簡(jiǎn)證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處,從上到下弦切割；

中心記上數(shù)字1,連結(jié)頂點(diǎn)三角形；向下三角平方和,倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角,

頂點(diǎn)任意一函數(shù),等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好,負(fù)化正后大化小,

變成銳角好查表,化簡(jiǎn)證明少不了。二的一半整數(shù)倍,奇數(shù)化余偶不變,

將其后者視銳角,符號(hào)原來(lái)函數(shù)判。兩角和的余弦值,化為單角好求值,

余弦積減正弦積,換角變形眾公式。和差化積須同名,互余角度變名稱。

計(jì)算證明角先行,注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名,保持基本量不變,繁難向著簡(jiǎn)易變。

逆反原則作指導(dǎo),升冪降次和差積。條件等式的證明,方程思想指路明。

萬(wàn)能公式不一般,化為有理式居先。公式順用和逆用,變形運(yùn)用加巧用；

1加余弦想余弦,1減余弦想正弦,冪升一次角減半,升冪降次它為范；

三角函數(shù)反函數(shù),實(shí)質(zhì)就是求角度,先求三角函數(shù)值,再判角取值范圍；

利用直角三角形,形象直觀好換名,簡(jiǎn)單三角的方程,化為最簡(jiǎn)求解集。

2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。教案的內(nèi)容要寫(xiě)些什么更好呢？下面是小編為大家整理的“2015屆高考數(shù)學(xué)（文科）一輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)、解三角形”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

第四篇三角函數(shù)、解三角形
第1講弧度制及任意角的三角函數(shù)
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí)：40分鐘)
一、填空題
1．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第________象限角．
解析∵sinα＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案三
2．若1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于________．
解析設(shè)圓的半徑為r，由題意知rsin12＝1，
∴r＝1sin12，∴弧長(zhǎng)l＝αr＝1sin12.
答案1sin12
3．(2014蘇中聯(lián)考)若α角與8π5角終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與α4角終邊相同的角是________．
解析由題意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.
答案2π5，9π10，7π5，19π10
4．已知點(diǎn)Psin3π4，cos3π4落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為_(kāi)_______．
解析由sin3π4＞0，cos3π4＜0知角θ是第四象限的角，
∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案7π4
5．有下列命題：
①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；
②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；
③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－xx2＋y2.
其中正確的命題是________．
解析①正確，②不正確，
∵sinπ3＝sin2π3，而π3與2π3角的終邊不相同．
③不正確．sinα＞0，α的終邊也可能在y軸的正半軸上．
④不正確．在三角函數(shù)的定義中，cosα＝xr＝xx2＋y2，不論角α在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立．
答案①
6．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－255，則y＝______.
解析因?yàn)閟inθ＝y(tǒng)42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案－8
7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為45，則cosα＝____.

解析因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝45，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－35，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－35.
答案－35
8．函數(shù)y＝2cosx－1的定義域?yàn)開(kāi)_______．
解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.
由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．
∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)
二、解答題
9．(1)寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤α720°的元素α寫(xiě)出來(lái)：
①60°；②－21°.
(2)試寫(xiě)出終邊在直線y＝－3x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180°≤α180°的元素α寫(xiě)出來(lái)．
解(1)①S＝{α|α＝60°＋k360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α720°的元素α為－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k360°，k∈Z}，其中適合不等式－360°≤α720°的元素α為－21°，339°，699°.
(2)終邊在y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝k360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k180°＋120°，k∈Z}，其中適合不等式－180°≤α180°的元素α為－60°，120°.
10．(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角；
(2)一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.
解(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則
2r＋rθ＝10，12θr2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．
∴扇形的圓心角為12.
(2)設(shè)圓的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，
則12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.
∴圓心角α＝lr＝2.
如圖，過(guò)O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
能力提升題組
(建議用時(shí)：25分鐘)
一、填空題
1．(2014杭州模擬)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
答案(－2,3]
2．給出下列命題：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；
③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無(wú)關(guān)；
④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；
⑤若cosθ0，則θ是第二或第三象限的角．
其中正確命題是________．
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sinπ6＝sin5π6，但π6與5π6的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)θ＝π，cosθ＝－10時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．
答案③
3．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝________.
解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由題意知角α的終邊在第二、四象限，sinα與cosα的符號(hào)相反，所以原式＝0.
答案0
二、解答題
4．已知sinα＜0，tanα＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α2終邊所在的象限；
(3)試判斷tanα2sinα2cosα2的符號(hào)．
解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合為
α|2k＋1π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.
(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋3π2，
得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
故α2終邊在第二、四象限．
(3)當(dāng)α2在第二象限時(shí)，tanα2＜0，sinα2＞0，cosα2＜0，
所以tanα2sinα2cosα2取正號(hào)；
當(dāng)α2在第四象限時(shí)，tanα2＜0，sinα2＜0，cosα2＞0，
所以tanα2sinα2cosα2也取正號(hào)．
因此，tanα2sinα2cosα2取正號(hào).

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量教案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。寫(xiě)好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？以下是小編為大家收集的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量教案”歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
階段質(zhì)量評(píng)估（二）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．已知向量均為單位向量，若它們的夾角是60°，則等于（）
A．B．C．D．4
2．已知為第三象限角，則所在的象限是（）
A．第一或第二象限B.第二或第三象限
C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限
3．函數(shù)的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．（）
A．B．C．D．
5．在中，，則（）
（A）（B）（C）（D）
6．平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若=（2，4），=（1，3），則等于（）
A．6B．8C．-8D．-6
7．函數(shù)是（）
A．最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)
C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)
8．設(shè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．把的圖象向右平移個(gè)單位，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象
D．的最小正周期為上為增函數(shù)
9．已知中，的對(duì)邊分別為，，，則（）
A.2B．4＋C．4—D．
10．在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（）
A.B.
C.D.
11．已知平面內(nèi)任一點(diǎn)O滿足則“”是“點(diǎn)P在直線AB上”的（）
A．必要但不充分條件B．充分但不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
12．將函數(shù)的圖象向左平移m個(gè)單位（m0），若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．設(shè)向量，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)=。
14．已知=2，則的值為．
15．在銳角中，則的值等于，
的取值范圍為.
16．在ABC中，已知，且，
則ABC的形狀是。

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．(本小題12分)已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；
（II）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合。

18．(本小題12分)設(shè)函數(shù)，，，
且以為最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．

19．（本小題滿分12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面積.

20．（本小題滿分12分）
已知A、B、C是△ABC三內(nèi)角，向量
（1）求角A的大小；
（2）若AB+AC=4，求△ABC外接圓面積的取值范圍。

21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求k的取值范圍.

22．(本小題滿分14分）向量滿足，.
(1)求關(guān)于k的解析式；
(2)請(qǐng)你分別探討⊥和∥的可能性,若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由,若可能,求出k的值；
(3)求與夾角的最大值.
參考答案
一、選擇題
1．【解析】選A
2．【解析】選D.
3．【解析】選B.
4．【解析】選C..
5．【解析】選A.
6．【解析】選B因?yàn)?（2，4），=（1，3），
所以
7．【解析】選A.因?yàn)闉槠婧瘮?shù),,所以選A.
8．【解析】選C.因?yàn)榈膱D像的對(duì)稱中心在X軸上，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最值，
又。所以A、B不正確；對(duì)于C：把的圖象向右平移個(gè)單位，則為奇函數(shù)。故C正確。
9．【解析】選A.
由可知,,所以,
由正弦定理得,故選A
10．答案：C
11．【解析】選C根據(jù)平面向量基本定理知：且
P在直線AB上.
12．【解析】選A.，
二、填空題
13．【解析】因?yàn)?，所以因向量與向量共
線，所以
答案：2
14．【解析】∵tan=2,∴;
所以==.
答案：
15．【解析】設(shè)由正弦定理得
由銳角得，
又，故，
所以
答案：2
16．答案：等邊三角形
三、解答題
17.解析:【命題立意】考查三角函數(shù)的基本公式和基本性質(zhì).
【思路點(diǎn)撥【首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式，再考查三角函數(shù)的基本性質(zhì).
【規(guī)范解答】（1）因?yàn)閒(x)=
=2sin(2x+,
所以，當(dāng)2x+=2k,即x=k
（2）方法1由(1)及f(x)=0得sin(2x+,所以
2x+
故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為{x|x=k.
方法2由f(x)=0得2
由sinx=0可知x=k
故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為{x|x=k.
【方法技巧】1、一般首先利用三組公式把散形化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一組是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二組是誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式.三組是倍角公式、半角公式和兩角和公式的逆運(yùn)算.2、考查基本性質(zhì)，包括單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性和函數(shù)值域等.
18.解析:【命題立意】本題考察三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角變換.
【思路點(diǎn)撥】（2）由已知條件求出，從而求出的解析式；
（3）由
【規(guī)范解答】（1）
（2），，所以的解析式為：
（3）由得，即
，
【方法技巧】三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，往往都要先化成的形式再求解.
19.解析：（Ⅰ）因?yàn)?，?br> 所以.
由已知得.
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以且.
由正弦定理得.
又因?yàn)椋?br> 所以，.
所以.
20.解析：（1）
即
（2）由（1）得
當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=2時(shí)上式取“=”
又
………………10分
設(shè)△ABC外接圓半徑為R，
則
∴△ABC外接圓面積的取值范圍是
21.【解析】（Ⅰ）.
據(jù)題意，，即，所以，即.
從而，故.
（Ⅱ）因?yàn)?，，則
當(dāng)時(shí)，.
據(jù)題意，，所以，解得.

22.解析:(1)由已知有,
又∵,則可得
即.
(2)∵,故與不可能垂直.
若∥,又,則與同向,
故有.
即,又,故
∴當(dāng)時(shí),∥.
(3)設(shè),的夾角為,則
當(dāng),即時(shí),,
又,則的最大值為.
注:此處也可用均值不等式或?qū)?shù)等知識(shí)求解.