高中概率與統(tǒng)計(jì)教案

2012屆高三數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)。

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。您知道教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編為大家整理的“2012屆高三數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

高三特長班數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)（一）
一、知識(shí)梳理
1.三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別：
類別共同點(diǎn)不同點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍
簡單隨機(jī)抽樣都是等概率抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中個(gè)體比較少
系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成若干部分；按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分采用簡單隨機(jī)抽樣總體中個(gè)體比較多
分層抽樣將總體分成若干層，按個(gè)體個(gè)數(shù)的比例抽取在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體中個(gè)體有明顯差異
（1）從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取n個(gè)個(gè)體的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
（2）系統(tǒng)抽樣的步驟：①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；②將編號(hào)分段；③在第1段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本.
（3）分層抽樣的步驟：①分層；②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；③各層抽樣；④匯合成樣本.
（4）要懂得從圖表中提取有用信息
如：在頻率分布直方圖中①小矩形的面積=組距=頻率②眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)③中位數(shù)的左邊與右邊的直方圖的面積相等，可以由此估計(jì)中位數(shù)的值
2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的數(shù)字特征，一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其平均數(shù)為則方差，標(biāo)準(zhǔn)差
3.古典概型的概率公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件包含個(gè)結(jié)果，那么事件的概率P=
特別提醒：古典概型的兩個(gè)共同特點(diǎn)：
○1，即試中有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即樣本空間Ω中的元素個(gè)數(shù)是有限的；
○2，即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。
4.幾何概型的概率公式：P（A）=
特別提醒：幾何概型的特點(diǎn)：試驗(yàn)的結(jié)果是無限不可數(shù)的；○2每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。
二、夯實(shí)基礎(chǔ)
（1）某單位有職工160名，其中業(yè)務(wù)人員120名，管理人員16名，后勤人員24名.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員的人數(shù)應(yīng)分別為____________.
（2）某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了
11場(chǎng)比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖2所示的莖葉圖表示，
則甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)分別為（）
A．19、13B．13、19C．20、18D．18、20
（3）統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績，
得到樣本頻率分布直方圖如右圖示，規(guī)定不低于60分為
及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)是；
優(yōu)秀率為。
（4）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：
9.48.49.49.99.69.49.7
去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值
和方差分別為（）
A．9.4,0.484B．9.4,0.016C．9.5,0.04D．9.5,0.016
（5）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=27的內(nèi)部的概率________.
（6）在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并且以線段AM為邊的正方形，則這正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為（）
三、高考鏈接
07、某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒
；第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．右圖
是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設(shè)成績小于17秒
的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為，成績大于等于15秒
且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為，則從頻率分布直方圖中可分析
出和分別為（）
08、從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為（）
分?jǐn)?shù)54321
人數(shù)2010303010

09、在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為().
08、現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．
（Ⅰ）求被選中的概率；（Ⅱ）求和不全被選中的概率．
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2012屆高三特長班數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？小編收集并整理了“2012屆高三特長班數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

高三特長班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——復(fù)數(shù)
一、知識(shí)梳理：
1、復(fù)數(shù)定義：，其中i滿足。
2、復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P一一對(duì)應(yīng)，記向量是一一對(duì)應(yīng)的.與虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，與實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做。
3、復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)：
4、熟練記憶掌握運(yùn)用以下結(jié)論：
（1）復(fù)數(shù)相等的充要條件：a+bi=c+di等價(jià)于。
（2）復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是實(shí)數(shù)的充要條件：，是純虛數(shù)的充要條件：，是虛數(shù)的充要條件：，是零的充要條件：。
（3）復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作。
5、復(fù)數(shù)運(yùn)算：（1）復(fù)數(shù)加法：(a+bi)+(c+di)=
（2）復(fù)數(shù)減法：(a+bi)-(c+di)=
（3）乘法：(a+bi)(c+di)=
(a+bi)(a-bi)=(a+bi)2=(a-bi)2=
（4）除法：
牛刀小試：(6-5i)+(3+2i)(6-5i)-(3+2i)(6-5i)(3+2i)
二、高考鏈接
1、復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）A.-2B.2C.3D.4
2、設(shè)的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于（）
A．B．C．D．
3、復(fù)數(shù)等于（）..
A．B.C.D.
4、已知（a,b∈R），其中i為虛數(shù)單位，則a+b=（）
(A)-1(B)1(C)2(D)3
三、搶分演練：
1、下列n的取值中，使=1(i是虛數(shù)單位）的是（）
A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5
2、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限.
3．若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)Z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）
A．EB.FC.GD.H
4、若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C．D．或.
5、設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）
A．B．C．D．
6、i是虛數(shù)單位，i(1+i)等于（）
A．1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i
7、復(fù)數(shù)（）
A．2B．－2C．D．
8、已知復(fù)數(shù)，那么＝（）
（A）（B）（C）（D）
9、是虛數(shù)單位，（）
A、B、C、D、
10、已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則=（）
（A）1（B）-1（C）（D）-

11、i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是（）（）
（A）－15（B）－3（C）3（D）15
12、復(fù)數(shù)的實(shí)部是。
13、若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(I是虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)=__________________.

高三數(shù)學(xué)教案：《概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)

俗話說，磨刀不誤砍柴工。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么如何寫好我們的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“高三數(shù)學(xué)教案：《概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)”希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

本文題目：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

一、 知識(shí)梳理

1.三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別：

類別 共同點(diǎn) 不同點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍

簡單隨機(jī)抽樣 都是等概率抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中個(gè)體比較少

系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成若干部分;按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中個(gè)體比較多

分層抽樣 將總體分成若干層，按個(gè)體個(gè)數(shù)的比例抽取 在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體中個(gè)體有明顯差異

(1)從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取n個(gè)個(gè)體的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為

(2)系統(tǒng)抽樣的步驟： ①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào);②將編號(hào)分段;③在第1段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào);④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本.

(3)分層抽樣的步驟：①分層;②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù);③各層抽樣;④匯合成樣本.

(4) 要懂得從圖表中提取有用信息

如：在頻率分布直方圖中①小矩形的面積=組距 =頻率②眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)③中位數(shù)的左邊與右邊的直方圖的面積相等，可以由此估計(jì)中位數(shù)的值

2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的數(shù)字特征，一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) ， ，…， ，其平均數(shù)為 則方差 ，標(biāo)準(zhǔn)差

3.古典概型的概率公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件 包含 個(gè)結(jié)果，那么事件 的概率P=

特別提醒：古典概型的兩個(gè)共同特點(diǎn)：

○1 ，即試中有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即樣本空間Ω中的元素個(gè)數(shù)是有限的;

○2 ，即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

4. 幾何概型的概率公式： P(A)=

特別提醒：幾何概型的特點(diǎn)：試驗(yàn)的結(jié)果是無限不可數(shù)的;○2每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。

二、夯實(shí)基礎(chǔ)

(1)某單位有職工160名，其中業(yè)務(wù)人員120名，管理人員16名，后勤人員24名.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員的人數(shù)應(yīng)分別為____________.

(2)某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了

11場(chǎng)比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖2所示的莖葉圖表示，

則甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)分別為( )

A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20

(3)統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績，

得到樣本頻率分布直方圖如右圖示，規(guī)定不低于60分為

及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)是 ;

優(yōu)秀率為 。

(4)在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：

9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7

去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值

和方差分別為( )

A.9.4, 0.484 B.9.4, 0.016 C.9.5, 0.04 D.9.5, 0.016

(5)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=27的內(nèi)部的概率________.

(6)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并且以線段AM為邊的正方形，則這正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為( )

三、高考鏈接

07、某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒;第二組，成績大于等于14秒且小于15秒

; 第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒.右圖

是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒

的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為 ，成績大于等于15秒

且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為 ，則從頻率分布直方圖中可分析

出 和 分別為( )

08、從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為( )

分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1

人數(shù) 20 10 30 30 10

09、在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x， 的值介于0到 之間的概率為( ).

08、現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者 通曉日語， 通曉俄語， 通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組.

(Ⅰ)求 被選中的概率;(Ⅱ)求 和 不全被選中的概率.

2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡單方便，下面是小編整理的“2012屆高三理科數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程總復(fù)習(xí)”，僅供參考，大家一起來看看吧。

第九章圓錐曲線與方程

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；
4.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；
5.理解數(shù)形結(jié)合的思想；
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.
本章難點(diǎn)：1.對(duì)圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識(shí)結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

9.1橢圓

典例精析
題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為453和
253，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需要考慮兩種情形，有時(shí)也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時(shí)，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識(shí).
【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個(gè)點(diǎn)(每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn))，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：
據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為.
【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(xiàn)(3，－23).
通過觀察可知道點(diǎn)F，O，D可能是拋物線上的點(diǎn).而A，C，E是橢圓上的點(diǎn)，這時(shí)正好點(diǎn)B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點(diǎn)
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因?yàn)閽佄锞€的解析式形式比橢圓簡單一些.
不妨設(shè)有兩點(diǎn)y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點(diǎn).
而D(2，－22)，F(xiàn)(3，－23)正好符合.
又因?yàn)闄E圓的交點(diǎn)在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同時(shí)出現(xiàn).故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個(gè)點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，
因?yàn)閙＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào))，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【點(diǎn)撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|PF1||PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.
【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點(diǎn)，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點(diǎn)，則|PQ|＋|PR|的最小值是.
【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點(diǎn)，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心，
則|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－12)＋(|PF2|－12)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.
所以|PQ|＋|PR|的最小值為9.
題型三有關(guān)橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國新課標(biāo))設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1||PF2|＝e，則e的值是()
A.32B.33C.22D.63
【解析】設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x＝－a2c，拋物線準(zhǔn)線為x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)c2a2＝13e＝33.故選B.
總結(jié)提高
1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時(shí)要防止遺漏.確定橢圓需要三個(gè)條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會(huì)根據(jù)定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，另一方面，會(huì)利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數(shù)進(jìn)行計(jì)算推理.
3.焦點(diǎn)三角形包含著很多關(guān)系，解題時(shí)要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
9.2雙曲線

典例精析
題型一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知?jiǎng)訄AE與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設(shè)動(dòng)圓E的半徑為r，則由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，
所以|AE|－|BE|＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,22＜|AB|.
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.
因?yàn)閍＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點(diǎn)E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29－y216＝1的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為()
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
【例2】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)P(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即(x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當(dāng)x＝a時(shí)，P與A重合，不符合題意，舍去；
當(dāng)x＝2a3－ab2a2＋b2時(shí)，滿足題意的點(diǎn)P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三有關(guān)雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(2)若過點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y＝y(tǒng)1x1＋2(x＋2)，①
直線A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，|x|＜2.
而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是A1P與A2Q的交點(diǎn)，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A1，A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過點(diǎn)(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組得x＝2，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2.
故軌跡E不過點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過點(diǎn)(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設(shè)過點(diǎn)H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)，
聯(lián)立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h(huán)2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h(huán)2－12＝－1，故h＝3.
過點(diǎn)A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h(huán)2)＝－1，得h＝2.
此時(shí)，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2等于()
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.
據(jù)題意設(shè)|AF1|＝x，則|AB|＝x，|BF1|＝2x.
由雙曲線定義有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|.
故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
又由定義可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結(jié)提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點(diǎn)，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|時(shí)，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線；當(dāng)
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時(shí)，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個(gè)問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝±bax，可將雙曲線方程設(shè)為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法.

9.3拋物線

典例精析
題型一拋物線定義的運(yùn)用
【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線過點(diǎn)P(2，－4)；
(2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝|AF|＝|m＋p2|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0)(a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝|PA|＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因?yàn)閍＞0，x0≥0，
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡得y2＝4x(x＞0).
(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).
＜0(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y(tǒng)24，于是不等式②等價(jià)于y214y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1＜4t2.④
對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則1y1＋1y2＝.
【解析】y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y(tǒng)1＋y2y1y2＝12.
題型三有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.
(1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達(dá)定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k4，k28).
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB，
又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因?yàn)镸N⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使＝0.
【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長公式.
【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為M、N，則|MN|的最小值是.
【解析】455.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中，焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

9.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

典例精析
題型一直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題
【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，方程組恰有一組解為
(2)當(dāng)a≠0時(shí)，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0，
方程組恰有一組解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，這時(shí)直線與曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點(diǎn)撥】本題設(shè)計(jì)了一個(gè)思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項(xiàng)系數(shù)＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗(yàn)證一下：①當(dāng)a＝0時(shí)，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時(shí)與已知直線y＝x－1恰有交點(diǎn)(1,0)；②當(dāng)a＝－1時(shí)，直線y＝－1與拋物線的對(duì)稱軸平行，恰有一個(gè)交點(diǎn)(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零)；③當(dāng)a＝－45時(shí)直線與拋物線相切.
【變式訓(xùn)練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，結(jié)合直線過定點(diǎn)(0，－1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.
題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，＝2.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果|AB|＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因?yàn)閨AB|＝1＋13|y2－y1|，所以2343ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.
【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32，則ab的值為.
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0ax0－by0＝0.
故ab＝y(tǒng)0x0＝32.
題型三對(duì)稱問題
【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝kx＋3對(duì)稱，求k的取值范圍.
【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，由題意知k≠0.
設(shè)直線AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯(lián)立消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋414kb＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1kx1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點(diǎn)為E(k(2k＋b)，－2k).
因?yàn)閘過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點(diǎn)撥】(1)本題的關(guān)鍵是對(duì)稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對(duì)稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l的方程；
(2)對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對(duì)稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.
【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則|AB|等于()
A.3B.4C.32D.42
【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點(diǎn)為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故選C.
總結(jié)提高
1.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點(diǎn)問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時(shí)要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點(diǎn)問題的處理既可以用判別式法，也可以用點(diǎn)差法；使用點(diǎn)差法時(shí)，要特別注意驗(yàn)證“相交”的情形.

9.5圓錐曲線綜合問題

典例精析
題型一求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點(diǎn)M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋12.
聯(lián)立消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝12x2，求導(dǎo)得y′＝x.
所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2＝x2.
因?yàn)閗1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時(shí)y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝－12.
【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌.
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因?yàn)锳，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面積S＝32|AC|2.
又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)(－433＜n＜433).
所以當(dāng)n＝0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是.
【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBPkPQ＝－1，得x2P－1xP＋1x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因?yàn)閨xP－1＋1xP－1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)橹本€l：x－my－m22＝0經(jīng)過F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因?yàn)閙＞1，所以m＝2.
故直線l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點(diǎn)，
由＝2，＝2，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因?yàn)閙＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合，則a的取值范圍為.
【解析】設(shè)B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法，是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).

2012屆高考文科數(shù)學(xué)第二輪概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)教案

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“2012屆高考文科數(shù)學(xué)第二輪概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)教案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題八概率統(tǒng)計(jì)

【重點(diǎn)知識(shí)回顧】

二、重點(diǎn)知識(shí)回顧
概率
（1）事件與基本事件：
基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡單的“單位”隨機(jī)事件；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個(gè)基本事件；任意兩個(gè)基本事件都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示．
（2）頻率與概率：隨機(jī)事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動(dòng)幅度會(huì)越來越?。S機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．
（3）互斥事件與對(duì)立事件：
事件定義集合角度理解關(guān)系
互斥事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生兩事件交集為空事件與對(duì)立，則與必為互斥事件；
事件與互斥，但不一是對(duì)立事件
對(duì)立事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生兩事件互補(bǔ)
（4）古典概型與幾何概型：
古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個(gè)基本事件”的概率模型．
幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例．
兩種概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個(gè)．
（5）古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式：
古典概型的概率計(jì)算公式：．
幾何概型的概率計(jì)算公式：．
兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．
（6）概率基本性質(zhì)與公式
①事件的概率的范圍為：．
②互斥事件與的概率加法公式：．
③對(duì)立事件與的概率加法公式：．
（7）如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k)=Cpk(1―p)n―k.實(shí)際上，它就是二項(xiàng)式[(1―p)+p]n的展開式的第k+1項(xiàng).
（8）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
①．一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意這里強(qiáng)調(diào)了三點(diǎn)：（1）相同條件；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨(dú)立；
②．二項(xiàng)分布的概念：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為．此時(shí)稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
統(tǒng)計(jì)
（1）三種抽樣方法
①簡單隨機(jī)抽樣
簡單隨機(jī)抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個(gè)體的方法有兩種：放回和不放回．我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽?。?br> 簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限．從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．
實(shí)施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解．隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個(gè)位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字的數(shù)表．隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)位置上出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時(shí)抽取到總體中各個(gè)個(gè)體序號(hào)的等可能性．
②系統(tǒng)抽樣
系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況．
系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個(gè)體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡單隨機(jī)抽樣．
系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，將總體的編號(hào)分段，要確定分段間隔，當(dāng)（Ｎ為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體個(gè)數(shù)Ｎ能被n整除，這時(shí)；第三步，在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào)，將加上k，得到第3個(gè)編號(hào)，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本．
③分層抽樣
當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣．
分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比；第二步，計(jì)算出各層需抽取的個(gè)體數(shù)；第三步，采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個(gè)體；第四步，將各層中抽取的個(gè)體合在一起，就是所要抽取的樣本．
（2）用樣本估計(jì)總體
樣本分布反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時(shí)也利用莖葉圖來描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，總體一定時(shí)，樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確．
①用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．
②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)不夠方便．
③平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)程度，其計(jì)算公式為．有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方———方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，兩者實(shí)質(zhì)上是一樣的．
（3）兩個(gè)變量之間的關(guān)系
變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計(jì)求出回歸直線方程．通常我們使用散點(diǎn)圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點(diǎn)圖．然后從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計(jì)算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)應(yīng)用科學(xué)計(jì)算器．
（4）求回歸直線方程的步驟：
第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出；
第二步：計(jì)算回歸系數(shù)的a，b，公式為
第三步：寫出回歸直線方程．
（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)
①列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量和，它們的取值分別為和的樣本頻數(shù)表稱為列聯(lián)表1
分類1
2
總計(jì)
1

總計(jì)

構(gòu)造隨機(jī)變量（其中）
得到的觀察值常與以下幾個(gè)臨界值加以比較：
如果，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果低于，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系．
②三維柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖
由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對(duì)角線上的頻數(shù)的積的差的絕對(duì)值
較大，說明兩分類變量和是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的．
重點(diǎn)：一方面考察對(duì)角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思路方法。
③二維條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知要比小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，兩個(gè)比值相差越大兩分類變量和有關(guān)的可能性也越的．否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法。

④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)
要比小得多，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，
否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個(gè)角度來理解。
【典型例題】
考點(diǎn)：概率
【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對(duì)等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例1、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為。
解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。
答案
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。
例2某公交公司對(duì)某線路客源情況統(tǒng)計(jì)顯示，公交車從每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，車上的乘客人數(shù)及頻率如下表：
人數(shù)0~67~1213~1819~2425~3031人以上
頻率0.10.150.250.200.200.1
（I）從每個(gè)?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？
（II）全線途經(jīng)10個(gè)?？奎c(diǎn)，若有2個(gè)以上（含2個(gè)）?？奎c(diǎn)出發(fā)后，車上乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個(gè)班次，請(qǐng)問該線路需要增加班次嗎？
解：（Ⅰ）每個(gè)?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為
0.1+0.15+0.25+0.2=0.7
0.(Ⅱ)從每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5
1.途經(jīng)10個(gè)?？奎c(diǎn)，沒有一個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為
途經(jīng)10個(gè)?？奎c(diǎn)，只有一個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
所以，途經(jīng)10個(gè)?？奎c(diǎn)，有2個(gè)以上（含2個(gè)）停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
P=1－－C（）（1－）9=1－=
∴該線路需要增加班次。
答：（Ⅰ）每個(gè)?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.7
(Ⅱ)該線路需要增加班次
考點(diǎn)四：統(tǒng)計(jì)
【內(nèi)容解讀】理解簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點(diǎn)及步驟．會(huì)用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會(huì)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．會(huì)利用散點(diǎn)圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與方法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。
例3（1）（2009湖南卷文）一個(gè)總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，則總體中的個(gè)體數(shù)為.
答案120
解析設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為，則
（2）（2009四川卷文）設(shè)矩形的長為，寬為，其比滿足∶＝，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：
甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639
乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620
根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是
A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近
C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同
D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定
答案A
解析甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613

例4下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生
產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
3456
y2.5344.5
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散點(diǎn)圖略.
(2),,,
由所提供的公式可得,故所求線性回歸方程為10分
(3)噸.
例5、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)．
(Ⅰ)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計(jì)該校新生的近視率的大小.
解：由題意知：，
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比
∴.
∵=13,
∴，
∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得，
∴＝87，
，，
=,
(或=)
答:估計(jì)該校新生近視率為91%.
例6、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
晝夜溫差x(°C)1011131286
就診人數(shù)y(個(gè))222529261612
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式:)
解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選
取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的
其中,抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得
由公式求得
再由
所以關(guān)于的線性回歸方程為
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,；
同樣,當(dāng)時(shí),,
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.
模擬演練
3.已知事件“三位中國選手均進(jìn)入亞運(yùn)會(huì)體操?zèng)Q賽”，事件“三位中國選手均未進(jìn)入亞運(yùn)會(huì)體操?zèng)Q賽”，那么事件和是（）
Ａ．等可能性事件Ｂ．不互斥事件
Ｃ．互斥但不是對(duì)立事件Ｄ．對(duì)立事件
3．C提示：根據(jù)兩事件不能同時(shí)發(fā)生，且當(dāng)一個(gè)不發(fā)生時(shí)不一定發(fā)生另一個(gè)，因此兩事件
是互斥但不是對(duì)立事件.
4．若對(duì)于變量與的組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)，又知?dú)埐钇椒胶蜑椋敲吹闹禐椋ǎ?br> A．B.C.D.
4.A提示：根據(jù)表示總偏差平方和，得.
5.①既然拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某種彩票的中獎(jiǎng)概
率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)；③在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過讓運(yùn)
動(dòng)員猜上拋均勻塑料圓板著地是正面還是反面來決定哪一方先發(fā)球，這樣做不公平；④一個(gè)
骰子擲一次得到2的概率是，這說明一個(gè)骰子擲6次會(huì)出現(xiàn)一次2.其中不正確的說法是
（）
A①②③④B①②④C③④D③
5.A提示：概率是一個(gè)隨即性的規(guī)律，具有不確定性，因此①②④錯(cuò)誤，而③拋擲均勻塑料
圓板出現(xiàn)正面與方面的概率相等，是公平的.因此均為不正確的說法.
6.若，則方程有實(shí)根的概率為（）
A．B.C.D.
6．C提示：若方程有實(shí)根，則有.因?yàn)?，根?jù)幾何概型“有實(shí)根的”概率為.
7.(專題七文科第7題)
8.下圖是2010年渥太華冬奧會(huì)上，七位評(píng)委為某冰舞
運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最低分和一
個(gè)最高分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）
A．，B．，
C．，D．，
8．D提示:根據(jù)莖葉圖，所剩數(shù)據(jù)為，因此，
.
9．某高校調(diào)查詢問了56名男女大學(xué)生，在課余時(shí)間是否參加運(yùn)動(dòng)，得到下表所示的數(shù)據(jù).
從表中數(shù)據(jù)分析，①有以上的把握認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動(dòng)有關(guān)；
②在100個(gè)參加運(yùn)動(dòng)的大學(xué)生中有95個(gè)男生；
③認(rèn)為性別與是否參加運(yùn)動(dòng)有關(guān)出錯(cuò)的可能性小于；
④在100個(gè)參加運(yùn)動(dòng)的大學(xué)生中有5個(gè)女生；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）.
A．1B．2C．3D．4
9．B提示：根據(jù)，因此有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)系，出錯(cuò)的可能性小于5%.①③正確.
10.（(專題七文科第10題)）
11.2010年3月“十一屆全國人大三次會(huì)議及十一屆全國政協(xié)三次會(huì)議”在北京隆重召開，
針對(duì)中國的中學(xué)教育現(xiàn)狀，現(xiàn)場(chǎng)的2500名人大代表對(duì)其進(jìn)行了綜合評(píng)分，得到如下“頻率
分布直方圖”（如圖），試根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)平均分為（）.
ABCD
11．B提示：找到每個(gè)矩形的中點(diǎn)和頻率，從而利用平均數(shù)公式求解.要注意頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形面積表示該段的頻率.
12.(專題七文科第12題)
13．半徑為10cm的圓周上有兩只螞蟻，它們分別從兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B出發(fā)，沿劣弧相向而行，速度分別為10mm/s與8mm/s，則這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為.
13.提示：5s內(nèi)兩只螞蟻相遇時(shí)所行走的最大距離為mm，而兩只螞蟻初始時(shí)的最大距離為半個(gè)圓周，即mm，所以這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為．
14．（(專題七文科第14題)）
15.已知現(xiàn)有編號(hào)為①②③④⑤的5個(gè)圖形,它們分別是兩個(gè)直角邊長為3、3的直角三角形；兩個(gè)邊長為3的正方形；一個(gè)半徑為3的圓.則以這些圖形中的三個(gè)圖形為一個(gè)立體圖形的三視圖的概率為.
15.提示：①②③；②③④；③④⑤可構(gòu)成一個(gè)立體圖形的三視圖，而從這5個(gè)圖形選取3個(gè)共有個(gè)基本事件，因此概率為.
16.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電腦進(jìn)入了越來越多的家庭，為了解電腦對(duì)生活的影響，就平均每天看電腦的時(shí)間，一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某地居民調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），為了分析該地居民平均每天看電視的時(shí)間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層柚樣方法抽出100人做進(jìn)一步調(diào)查，則在（小時(shí)）時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是.
16.提示：根據(jù)頻率分布直方圖可得，在之間的人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣特點(diǎn)得在之間抽取的人數(shù)為.
17.輸血是重要的搶救生命的措施之一，但是要注意同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．
黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：
血型ABABO
該血型的人所占比/%2829835
2010年4月14日玉樹地震，小王不幸被建筑物壓在下面，失血過多，需要輸血，已知小王是B型血，問：
(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小王的概率是多少？
(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小王的概率是多少？
17.提示：（1）對(duì)任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為它們是互斥的．
由已知，有．…………3分
因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件．
根據(jù)互斥事件的加法公式，有……6分．
（2）由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件
，且．…………10分
答：任找一人，其血可以輸給小明的概率為0.64，其血不能輸給小明的概率為0.36．
………12分
18.某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的體重與身高之間的關(guān)系,隨機(jī)抽測(cè)了20人,得到如下數(shù)據(jù):
序號(hào)12345678910
身高x(厘米)182164170176177159171166182166
體重y(公斤)76606176775862607857
序號(hào)11121314151617181920
身高x(厘米)169178167174168179165170162170
體重y(公斤)76746877637859756473
(1)若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”；“體重大于75(公斤)”的為“胖子”，“體重小于等于75(公斤)”的為“非胖子”.請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的聯(lián)列表:
高個(gè)非高個(gè)合計(jì)
胖子
非胖子12
合計(jì)20
(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系?
18.解:(1)
高個(gè)非高個(gè)合計(jì)
胖子527
非胖子11213
合計(jì)61420
………4分
(2)假設(shè)兩變量沒有關(guān)系，依題題意
………8分
由表知:認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)的可能性為………10分
所以有理由認(rèn)為體重與身高之間有關(guān)系.………12分
19.為從甲乙兩運(yùn)動(dòng)員中選拔一人，參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)體操項(xiàng)目，對(duì)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取6次，得出莖葉圖如下：
(1)現(xiàn)要從中選拔一人參加亞運(yùn)會(huì)，從平均成績及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？
(2)從甲運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績中任取一次記為,從乙運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績中任取一次記為,求
的概率.
解：根據(jù)莖葉圖，可得甲乙成績?nèi)缦拢?br> 甲817978959384
乙929580758385
…………1分
(1)派甲參賽比較合適.理由如下：…………2分
，
，…………3分
，
…………5分
∵，，∴甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適.…………6分
（2）記“甲運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績,大于乙運(yùn)動(dòng)員預(yù)賽成績”為事件A，…………7分
列表:
甲乙929580758385
8181，9281，9581，8081，7581，8381，85
7979，9279，9579，8079，7579，8379，85
7878，9278，9578，8078，7578，8378，85
9595，9295，9595，8095，7595，8395，85
9393，9293，9593，8093，7593，8393，85
8484，9284，9584，8084，7584，8384，85
因此基本事件共有36個(gè)，其中發(fā)生事件A的有17個(gè)，…………9分
根據(jù)古典概型，.…………10分
答：選擇甲參加比賽更合適，的概率為.………………………………………12分
20.設(shè)，在線段上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)除外），將線段分成了三條線段，
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．
解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：
共3種情況，其中只有三條線段為時(shí)能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率．………6分
（2）設(shè)其中兩條線段長度分別為，則第三條線段長度為，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?
，，，
即：，，
所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?；……?分
若三條線段能構(gòu)成三角形，則還要滿足，即為，所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切巍?0分
由幾何概型知，所求的概率為．………12分
21.下表抄錄了2010年1至4月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期1月10日2月10日3月10日4月10日
晝夜溫差x(°C)1113128
就診人數(shù)y(個(gè))25292616
（1）已知兩變量、具有線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的線性回歸方程；
（2）通過相關(guān)指數(shù)判斷回歸方程擬合效果.
解：（1）制表如下
1234合計(jì)
111312844
2529261696
2753773121281092
12116914464498
6258416762562398
；；

………4分
根據(jù)兩變量、具有線性相關(guān)關(guān)系
由公式求得………6分
再由
所以關(guān)于的線性回歸方程為………8分
(2)∵
………10分
∴因此擬合效果比較好.
………12分
22.為選拔學(xué)生做亞運(yùn)會(huì)志愿者，對(duì)某班50名學(xué)生進(jìn)行了一次體育測(cè)試，成績?nèi)拷橛?0與100之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組，第二組，……，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（I）若成績大于或等于60且小于80，認(rèn)為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績合格的人數(shù)；
（II）從測(cè)試成績?cè)趦?nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測(cè)試成績分別為、，求事件“”的概率.
解：（I）由直方圖知，成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為：
.
所以該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績合格的有29人.………4分
（II）由直方圖知，成績?cè)诘娜藬?shù)為，設(shè)為、，
成績?cè)诘娜藬?shù)為，設(shè)為………6分
若時(shí)，只有1種情況，………7分
若時(shí)，有3種情況，………8分
若分別在和內(nèi)時(shí)，有

xx
x
x

yy
y
y

共有6種情況.所以基本事件總數(shù)為10種，………12分
事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6種
∴P（）………14分