高中圓的方程教案

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義。

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是小編精心為您整理的“蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義”，希望能為您提供更多的參考。

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義總課時(shí)第66課時(shí)
分課題2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義分課時(shí)第1課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
預(yù)習(xí)導(dǎo)讀(文)閱讀選修1-1第52--54頁(yè)，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
(理)閱讀選修2-1第55--57頁(yè)，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義；
2.掌握根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的方法；
3.通過學(xué)習(xí)圓錐曲線的方程的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手和總結(jié)的能力．
一、預(yù)習(xí)檢查
(1)完成下表:
標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程
二、問題探究
探究1:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一個(gè)定直線（不在上）的距離的比等于1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．當(dāng)這個(gè)比值是一個(gè)不等于１的常數(shù)時(shí)，定點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

探究2:在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們?cè)玫竭@樣一個(gè)方程，
將其變形為，你能解釋這個(gè)方程的幾何意義嗎？
在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們也得到一個(gè)類似的方程，你能寫出來并解釋其幾何意義嗎？

探究３:根據(jù)問題１與問題２，你能得出什么結(jié)論呢？

例1．已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡．

探究４:例１中若括號(hào)中條件變?yōu)?，點(diǎn)的軌跡是何種曲線？
探究５:焦點(diǎn)在軸上的橢圓與雙曲線其準(zhǔn)線方程是什么？

例２．已知雙曲線上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是，求點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離。
三、思維訓(xùn)練
１.試寫出下列曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程：
（１）；（2）（２）；（３）．
２.若動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且圓與直線相切，則此動(dòng)圓恒過定
點(diǎn)．
３.已知點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上求一點(diǎn)，使最?。?br> 四、課后鞏固
1．橢圓的離心率為．

2．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率，則．

3．若橢圓過點(diǎn)，則其焦距為．

4．的一條準(zhǔn)線是，則．

5．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為．

6．已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為．

７.是拋物線的一條弦，若的中點(diǎn)到軸的距離為１，則弦的長(zhǎng)度的最大值為．

８.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

延伸閱讀

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.7圓錐曲線復(fù)習(xí)（1）

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.7圓錐曲線復(fù)習(xí)（1）》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題圓錐曲線總課時(shí)第課時(shí)
分課題圓錐曲線復(fù)習(xí)分課時(shí)第1課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
預(yù)習(xí)導(dǎo)讀
學(xué)習(xí)目標(biāo)1．回顧與梳理圓錐曲線舊有知識(shí)體系，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)；
2．掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)和常用題型，并能熟練應(yīng)用于綜合類題型；
3．進(jìn)一步提高、提升解決應(yīng)用類問題和運(yùn)用解析思想的能力。
一、預(yù)習(xí)檢查
1．命題“≤”的否定是．
2．雙曲線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ON的長(zhǎng)為．
3．已知以橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)及短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則橢圓C的離心率為．
4．中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（3，0），一條漸近線方程為2x-3y=0的雙曲線方程是．
5．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1,y1）、B（x2,y2）兩點(diǎn)，若=6，則弦的長(zhǎng)為．
6．電影放映機(jī)上的聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一部分（如右圖），
燈絲在焦點(diǎn)F2處，而且燈絲與反光鏡的頂點(diǎn)A的距離F2A=1.5cm，
橢圓的通徑BC=5.4cm，為了使電影機(jī)的片門F1（橢圓的另一焦點(diǎn)）
獲得最強(qiáng)的光線，燈泡應(yīng)安在距片門cm的地方．

二、問題探究
1．回顧本章知識(shí)點(diǎn)，梳理成體系：

2．回顧本章題型，總結(jié)基本方法：

例1．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)，并與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為.
（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（2）若雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求雙曲線方程．

例2．如圖，過拋物線：的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）求圓的方程．

例3．已知點(diǎn)在橢圓上,以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn).
（1）若圓與軸相切,求橢圓的離心率；
（2）若圓與軸相交于兩點(diǎn),且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求橢圓的方程.

三、思維訓(xùn)練：
1．焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在該雙曲線上，若是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為．
3．已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓（＞＞0）的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．．
4．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②P是拋物線x2＝－4y上的動(dòng)點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(12,－6)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則PA＋PF的最小值是13；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線有相同的焦點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)為___________．
四、課后鞏固
1．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、兩點(diǎn)，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率
2．給出下列命題：①“＞2”是“≥2”的必要不充分條件；②“若，則”的逆否命題是假命題；③“9＜＜15”是“方程表示橢圓”的充要條件．其中真命題的個(gè)數(shù)是個(gè).
3．已知命題：≤，命題：≤，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
4．橢圓，右焦點(diǎn)F（c,0），方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，則點(diǎn)P（x1,x2）與圓的位置關(guān)系是．
5．已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）；
（Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

6．如圖，過點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn)，AD、BC
垂直于直線，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值.

7．一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線l:上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問在軸上是否存在兩定點(diǎn)、，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.7圓錐曲線復(fù)習(xí)（2）

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。我們要如何寫好一份值得稱贊的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.7圓錐曲線復(fù)習(xí)（2）”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題圓錐曲線總課時(shí)第課時(shí)
分課題圓錐曲線復(fù)習(xí)(2)分課時(shí)第2課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
一、預(yù)習(xí)檢查
1．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為____________
2．橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為____________
3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是____________

4．若拋物線y2=2px(p0)上橫坐標(biāo)為－6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是____________
5．已知?jiǎng)訄AM與y軸相切，且與定圓C：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為
6．方程表示的曲線是____________

二、問題探究
例1．(1)已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（－，0）和F2（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)6，設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，求雙曲線方程.
例2．已知圓A：與軸負(fù)半軸交于B點(diǎn)，過B的弦BE與軸正半軸交于D點(diǎn)，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點(diǎn)且過D點(diǎn)的橢圓。
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PQ+PD的最大值。

例3．已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，它們?cè)谳S上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）求這三條曲線的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。

例4．在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．
（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；
（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

三、思維訓(xùn)練
1．給出下列結(jié)論,其中正確的是___________
(1)漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是
(2)拋物線的準(zhǔn)線方程是
(3)等軸雙曲線的離心率是
(4)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
2．已知，B是圓F：(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。

3．已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是

4．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米,測(cè)量水面寬度為8米.當(dāng)水面上升1米后,水面寬度為米

5．橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)頂點(diǎn)為，以為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是____________

四、課后鞏固
1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是.

2．已知中心在原點(diǎn)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是____.

3．（文）若方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．

（理）如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，
A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，則矩形APBQ
的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為___________．
4．如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A、B，以A為圓心，OA為半徑的圓與以B為圓心，OB為半徑的圓相交于點(diǎn)O、P．
⑴若點(diǎn)P在直線上，求橢圓的離心率；
⑵在⑴的條件下，設(shè)M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)N（0，1）到橢圓上點(diǎn)的最近距離為3，求橢圓的方程．

5．已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值．并求出這個(gè)定值．

6．已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值

高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)(8)---圓錐曲線

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容復(fù)習(xí)(8)---圓錐曲線”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

一、選擇題(每題3分)1)如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是（）A、B、C、D、2)若直線與圓相切，則的值為（）A、B、C、D、3)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦AB過點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)為（）（A）10（B）20（C）2（D）4)橢圓上的點(diǎn)P到它的左準(zhǔn)線的距離是10，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是（）（A）15（B）12（C）10（D）85)橢圓的焦點(diǎn)、，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則△的面積為（）（A）9（B）12（C）10（D）86)橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（）（A）3（B）（C）（D）7)以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、漸近線互相垂直、兩準(zhǔn)線間距離為2的雙曲線方程是（）（A）（B）（C）或（D）或8)雙曲線右支點(diǎn)上的一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為2，則P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為（）（A）6（B）8（C）10（D）129)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2有一條弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦點(diǎn)，那么△F1PQ的周長(zhǎng)為（）（A）28（B）（C）（D）10)雙曲線虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)為M,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，，則雙曲線的離心率為（）（A）（B）（C）（D）11)過拋物線(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則等于（）（A）2a（B）（C）（D）12)如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是（）

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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第十一章圓錐曲線)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第十一章圓錐曲線)”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第十一章圓錐曲線

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即
(0e1).
第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。
2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(ab0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(ab0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
，
a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a,0),(0,±b),(±c,0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0e1.
橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長(zhǎng)軸、短軸。
4．橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．幾個(gè)常用結(jié)論：1）過橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過焦點(diǎn)F2(c,0)傾斜角為θ的弦的長(zhǎng)為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的點(diǎn)P的軌跡；
第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點(diǎn)的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
(a,b0),
a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a,0),(a,0).左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）,F2(c,0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2)過焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長(zhǎng)是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0,y0)為拋物線上任一點(diǎn)，
1）焦半徑|PF|=；
2）過點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為。
12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若0e1，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e1，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問題。
例1已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
[解]見圖11-1，由題設(shè)a=5,b=4,c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)?，所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為
例2已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長(zhǎng)線交雙曲線于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明]記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?/PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問題。
例3已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。
[解法一]利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（ab0）.F坐標(biāo)為(-c,0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二]相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(x1,y1)，則，即x1=2x+c,y1=2y.又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。
例4長(zhǎng)為a,b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。
[解]設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA||OB|=|OC||OD|，用坐標(biāo)表示為，即
當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)ab時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)ab時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。
例5在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l:x=3上移動(dòng)，求三角形AOB的外心的軌跡方程。
[解]設(shè)∠xOB=θ,并且B在A的上方，則點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M。
由外心性質(zhì)知再由得
×tanθ=-1。結(jié)合上式有
tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。
3．定值問題。
例6過雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明]設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,),(c,)，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。
[證明]設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，，，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因?yàn)?，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。
例8橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。
[證明]設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值問題。
例9設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。
[解]由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因?yàn)椋襛2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。
例10設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。
[解]設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因?yàn)?；所以可設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t,則當(dāng)sinθ=時(shí)，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。
[解]拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。
例12若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí)，求b的值。
[解]二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ0，得b；設(shè)兩交點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韋達(dá)定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時(shí)，|PQ|最大。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．A為半徑是R的定圓⊙O上一定點(diǎn)，B為⊙O上任一點(diǎn)，點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是________.
2．一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(0)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________.
3．橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為________.
7．ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為________.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2，求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。
四、高考水平測(cè)試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.
2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________.
4．橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_________.
8．過雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長(zhǎng)為6的直線有_________條.
9．過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個(gè).
11．求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
（2）問：是否存在過C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.
2．設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_________.
3．給定橢圓，如果存在過左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_________.
5．ΔABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R+),則|AT|的最小值為_________.
6．長(zhǎng)為l(l1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_________.
7．已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1，M2，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_________.
8．已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_________.
9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D，E，直線DB與直線CE交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P的軌跡。
10．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0a時(shí)，試求ΔOAP面積的最大值（用a表示）。
11．已知直線l過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線的方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G，求證：∠GAC=∠EAC。
2．求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，每段長(zhǎng)都為1的閉折線，它的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。
3．以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與ΔAB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長(zhǎng)線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長(zhǎng)線于P1；B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長(zhǎng)線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1，交AB0的延長(zhǎng)線于。求證：（1）點(diǎn)與點(diǎn)P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圓。
4．在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間的夾角）α(α∈[0,π],α≠)射出的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個(gè)拋物線族，若兩條拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這個(gè)交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明：此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變量取值范圍）。
5．直角ΔABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點(diǎn)，AD交內(nèi)切圓于P點(diǎn)。若CPBP，求證：PD=AE+AP。
6．已知BCCD，點(diǎn)A為BD中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點(diǎn)R，使BR=2RQ，CQ上找一點(diǎn)S，使QS=RQ，求證：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．圓。設(shè)AO交圓于另一點(diǎn)是A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。則因?yàn)锳B，所以P在以為直徑的圓上。
2．圓或橢圓。設(shè)給定直線為y=±kx(k0),P(x,y)為軌跡上任一點(diǎn)，則?；?jiǎn)為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)k=1時(shí)，表示圓。
3．12．由題設(shè)a=10,b=6,c=8，從而P到左焦點(diǎn)距離為10e=10×=8,所以P到右焦點(diǎn)的距離為20-8=12。
4．-2k2或k5.由(|k|-2)(5-k)0解得k5或-2k2.
5.設(shè)兩條焦半徑分別為m,n，則因?yàn)閨F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則兩式相減得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由，得。故方程y+1=(x-3).
7.-4.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則=0，所以y1+y2=-8，故直線BC的斜率為
8．=1。由漸近線交點(diǎn)為雙曲線中心，解方程組得中心為(2,1)，又準(zhǔn)線為，知其實(shí)軸平行于y軸，設(shè)其方程為=1。其漸近線方程為=0。所以y-1=(x-1).由題設(shè)，將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為=1。由平移公式平移后準(zhǔn)線為，再結(jié)合，解得a2=9，b2=16，故雙曲線為=1。
9．2．曲線y2=ax關(guān)于點(diǎn)（1，1）的對(duì)稱曲線為(2-y)2=a(2-x),
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,從而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。設(shè)P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。因，所以，所以即2t≤2.
11.解：由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題設(shè)|F1F2|2=4=4c2，又根據(jù)橢圓與雙曲線定義
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
從而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直線AB為x軸，AT的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則由定義知M，N兩點(diǎn)既在拋物線y2=4ax上，又在圓[x-(a+r)]2+y2=r2上，兩方程聯(lián)立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，設(shè)點(diǎn)M，N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得證。
13．解：若直線l垂直于x軸，因其過點(diǎn)A(2,1)，根據(jù)對(duì)稱性，P1P2的中點(diǎn)為（2，0）。
若l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k.①
將①代入雙曲線方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.②
這里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)0,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根，由韋達(dá)定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=④
設(shè)P1P2的中點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y)，由中點(diǎn)公式及③，④得
消去k得
點(diǎn)（2，0）滿足此方程，故這就是點(diǎn)P的軌跡方程。
高考水平測(cè)試題
1．由橢圓方程得焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程，漸近線為由題設(shè)，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。見圖1，由定義得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，M為PF1中點(diǎn)，則|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以兩圓外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時(shí)，同理得兩圓內(nèi)切。
4．與F1對(duì)應(yīng)的另一條準(zhǔn)線為x=-11，因|MF1|與M到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①
若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，則直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)。
6．y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m)2=4(x-m)，焦點(diǎn)為它在直線y=2(x-1)上。
7．1≤m5。直線過定點(diǎn)(0,1)，所以0≤1.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以5m,所以1≤m5。
8．3．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為6，通徑為4，故線段端點(diǎn)在異支上一條，在同支上有二條，一共有三條。
9．或。設(shè)直線l:y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韋達(dá)定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以傾斜角為或
10．3．首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè)A，B分別位于y軸左、右兩側(cè)，設(shè)CA斜率為k(k0)，CA的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由題設(shè)，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對(duì)于①，當(dāng)1a時(shí)，①無解；當(dāng)時(shí)，k=1；當(dāng)a時(shí)，①有兩個(gè)不等實(shí)根，故最多有3個(gè)。
11．解設(shè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上任一點(diǎn)為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，則4c2=(2a)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),再將|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ為減函數(shù)，故0
當(dāng)2b2a2即時(shí)，，arccos，sinθ為增函數(shù)，sinθ取最大值；當(dāng)2b2≤a2時(shí)，arccos,θ∈[0,π]，則sinθ最大值為1。
12．解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不為0，設(shè)為k，直線AB方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①
則x1,x2為方程①的兩根，由韋達(dá)定理得
②
③
因?yàn)閥1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)0，即k2(a2c2-b4)-a2b20對(duì)任意k∈R成立，等價(jià)于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0e≤
若斜率不存在，問題等價(jià)于即，綜上
13．解（1）由雙曲線方程得，所以F1(,0)，拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a20，所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根，設(shè)為x1,x2,由韋達(dá)定理得x1x2=-a20，所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為x1,把x1代入①得y2=,所以（因?yàn)閤1≠0），所以C1，C2總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（2）設(shè)過F1(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因?yàn)棣?48m2a2+48a20，設(shè)y1,y2分別為A，B的縱坐標(biāo)，則y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2||OF1|=aa，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，SΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時(shí)，SΔAOB→+∞，無最大值。所以存在過F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．m5.由已知得，說明(x,y)到定點(diǎn)（0,-1）與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù)，由橢圓定義1，所以m5.
2.因?yàn)閎=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-r2sinθ,r2cosθ)，因?yàn)镻，Q在橢圓上，可得，RtΔOPQ斜邊上的高為≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1.
4.以O(shè)為圓心，a為半徑的圓。延長(zhǎng)F1M交PF2延長(zhǎng)線于N，則F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]時(shí)|AT|min=,t1時(shí)|AT|min=|t-2|.由題設(shè)kABkAC=-,設(shè)A(x,y)，則(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因?yàn)閨x|≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時(shí)取x=2t,|AT|取最小值。當(dāng)t1時(shí)，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，直線AB傾斜角為θ，并設(shè)A(x0-),B(x0+),因?yàn)锳，B在拋物線上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因?yàn)閘21，所以函數(shù)f(x)=.在（0，1]在遞減，
所以。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時(shí)，距離取最小值
7．設(shè)，由A，M，M1共線得y1=，同理B，M，M2共線得，設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點(diǎn)，則y1y2=y(y1+y2)-2px，將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y=時(shí)上式恒成立，即定點(diǎn)為
8．。由題設(shè)且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解設(shè)A(2cosθ,),B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，這里α≠β，則過A，B的直線為lAB：，由于直線AB過點(diǎn)F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2,故，即。又lBD:(x+2)=，同理得。lCE:(x-2)=
(x-2).
兩直線方程聯(lián)立，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，消去得點(diǎn)P(x,y)在橢圓上（除去點(diǎn)(-2,0),(2,0)）.
10.解（1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：
10．Δ=0，得，此時(shí)xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a-a2a即0a1時(shí)適合；20。f(a)f(-a)0，當(dāng)且僅當(dāng)-ama時(shí)適合；30。f(-a)=0得m=a，此時(shí)xp=a-2a2，當(dāng)且僅當(dāng)-aa-2a2a即0a1時(shí)適合。令f(a)=0得m=-a，此時(shí)xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，從而m≠-a.綜上當(dāng)0a1時(shí)，或-am≤a；當(dāng)a≥1時(shí)，-ama.
(2)ΔOAP的面積因?yàn)?a,故當(dāng)-am≤a時(shí)，0-a2+,由唯一性得xp=-a2+.當(dāng)m=a時(shí)，xp取最小值。由于xp0，從而時(shí)取值最大，此時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，xp=-a2，yp=,此時(shí)以下比較與的大小。令，得，故當(dāng)0a≤時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)
11．解：設(shè)A，B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1(x2,y2),B1(x1,y1)，則AA1中點(diǎn)在l上，
所以y2=k(x2-1)①
又lAA1,所以
②
由①，②得
同理，由BB1中點(diǎn)在l上，且lBB1,解得
設(shè)拋物線方程為y2=2px，將A1，B1坐標(biāo)代入并消去p得k2-k-1=0.
所以，由題設(shè)k0，所以，從而
所以直線l的方程為，拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．以A為原點(diǎn)，直線AC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，則直線DF的方程為
①
直線BC的方程為②
c×①-f×②得
(c-f)x+③
③表示一條直線，它過原點(diǎn)，也過DF與BC的交點(diǎn)G，因而③就是直線AG的方程。
同理
，直線AE的方程為
(c-f)x+④
③，④的斜率互為相反數(shù)，所以∠GAC=∠EAC。
2．證明假設(shè)這樣的閉折線存在，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)是其中一個(gè)頂點(diǎn)，記它為A0，其他頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，…，，其中都是既約分?jǐn)?shù)，并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同，則記p≡q，否則記p≠q，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時(shí)，由，得，因?yàn)閍1,b1互質(zhì)，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，從而不可能都是偶數(shù)（否則b1也是偶數(shù)，與互質(zhì)矛盾）；不可能都是奇數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對(duì)k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
這里是既約分?jǐn)?shù)，因?yàn)槊恳欢蔚拈L(zhǎng)為1，所以=1，與k=1情況類似：a≡c,d≡b≡1，又因?yàn)椋謹(jǐn)?shù)既約，所以bm是bbm-1的一個(gè)因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，結(jié)論成立，于是在頂點(diǎn)數(shù)n+1為奇數(shù)時(shí)，an+1+cn+1≠a0+c0，故折線不可能是閉的。
3．證明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點(diǎn)Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延長(zhǎng)線上，有B0P0=B0，從而可知點(diǎn)與點(diǎn)P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0，圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點(diǎn)P0。
（2）現(xiàn)分別過點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T。又過點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點(diǎn)R1和S1，連接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圓。
4．證明引理：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明：設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.①
又
故①可化簡(jiǎn)成(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②
因?yàn)棰谥挥幸粋€(gè)實(shí)根，所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點(diǎn)，則它是由線y=xtanx2與y=xtanx2的交點(diǎn)，則兩條切線的斜率分別為（由引理）
又由題設(shè)k1k2=-1，所以
③
又因?yàn)镻(x0,y0)在兩條拋物線上，所以代入③式得
（※）
又因?yàn)閠anα1,tanα2是方程t2-t+=0的兩根，所以
tanα1+tanα2=④
tanα1tanα2=。⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．證明以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠ADC=θ，|PD|=r.各點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為，即x1x+x0cotθy-x1x0=0,因?yàn)閘AB與圓相切，可得x1=x0x1cotθ-x1x0|，約去x1,再兩邊平方得
，所以x1.①
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化簡(jiǎn)得r=2x1sin.②
要證DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.③
又因?yàn)?，所?br> 因?yàn)?(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.④
把②代入④化簡(jiǎn)得
⑤
由①得x0=x1
代入⑤并約去x1,化簡(jiǎn)得4sin22-3sin2=0，因?yàn)閟in2≠0，所以sin2=，又因?yàn)閟in==cos，所以sin-cos0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．證明設(shè)BC=d，CD=b，BD=c，則AC=CQ=，取BC中點(diǎn)M，則AMBC，以M為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，因?yàn)椋渣c(diǎn)，所以
因?yàn)?∠DRC，0∠ASQπ，所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化簡(jiǎn)得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，顯然成立。所以命題得證。