小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題復(fù)習(xí)教案。

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫好我們的高中教案呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高考數(shù)學(xué)圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題復(fù)習(xí)教案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題剪輯
例1,弧ADB為半圓，AB為直徑，O為半圓的圓心，且OD垂直于AB，Q為半徑OD的中點(diǎn)，已知AB長為4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且始終保持/PA/+/PB/的值不變。過點(diǎn)D的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求三角形OMN面積的最大值。
例2：已知雙曲線x2-y2/2=1，過點(diǎn)M(1,1)作直線L，使L與已知雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段Q1Q2的中點(diǎn)，問：這樣的直線是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，說明理由。
解：假設(shè)存在滿足題意的直線L，設(shè)Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)
代人已知雙曲線的方程，得x12-y12/2=1①，x22-y22/2=1②
②-①，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。
當(dāng)x1=x2時(shí)，直線L的方程為x=1，此時(shí)L與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)(1,0)不滿足題意；
當(dāng)x1≠x2時(shí)，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.
故直線L的方程為y-1=2(x-1)
檢驗(yàn)：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判別式
⊿=-8﹤0，此時(shí)L與雙曲線無交點(diǎn)。綜上，不存在滿足題意的直線

例3,已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－1，0）（1，0）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。

（Ⅰ）解由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為。
因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）證明設(shè)直線ＡＥ方程：得，代入得
設(shè)Ｅ（，），Ｆ（，）．因?yàn)辄c(diǎn)Ａ（1，）在橢圓上，
所以，。
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得
，。
所以直線EF的斜率。
即直線EF的斜率為定值，其值為。
4,已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；

解方法一（1）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為
故橢圓的方程為
（2）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，
從而，由得0，
設(shè)則得，從而
即又
由得故
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立
時(shí)，線段的長度取最小值（精選范文網(wǎng) Www.547118.COm）

例5．已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為
(1)證明線段是圓的直徑;
(2)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值
解析：(I)證明1:
整理得:，
設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則
即
整理得:
故線段是圓的直徑
證明2:
整理得:
……..(1)
設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則
即
去分母得:
點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:
故線段是圓的直徑
證明3:
整理得:
……(1)
以線段AB為直徑的圓的方程為
展開并將(1)代入得:
故線段是圓的直徑
(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
所以圓心的軌跡方程為
設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則
當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得
.
解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
所以圓心的軌跡方程為
設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則
因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),
所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為
將(2)代入(3)得
解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

精選閱讀

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問題復(fù)習(xí)教案

§9.8圓錐曲線的綜合問題
★知識梳理★
1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系：
將直線的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①當(dāng)a＝0或a≠0，⊿＝0時(shí),曲線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)a≠0,⊿0時(shí),曲線和直線有兩個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)⊿0時(shí),曲線和直線沒有交點(diǎn)。
(2)弦長公式：
2.對稱問題：
曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對稱的條件：①曲線上兩點(diǎn)所在的直線與已知直線垂直（得出斜率）②曲線上兩點(diǎn)所在的直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)（⊿0）③曲線上兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱直線上。
3.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
①軌跡類型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動(dòng)點(diǎn)滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的,一般用直接法；③一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn)：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法及弦長公式；掌握弦中點(diǎn)軌跡的求法；理解和掌握求曲線方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值
難點(diǎn)：軌跡方程的求法及圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值問題
重難點(diǎn)：綜合運(yùn)用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識解決相關(guān)問題
1.體會(huì)“設(shè)而不求”在解題中的簡化運(yùn)算功能
①求弦長時(shí)用韋達(dá)定理設(shè)而不求;②弦中點(diǎn)問題用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求.
2.體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運(yùn)用
問題1：已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則的最小值為.
點(diǎn)撥：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，利用定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，，當(dāng)共線時(shí)最小，最小值為
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
題型1：交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題
[例1]設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解題思路】解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的通法為判別式法
[解析]易知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q(－2,0)，
于是，可設(shè)過點(diǎn)Q(－2,0)的直線的方程為，
聯(lián)立
其判別式為，可解得，應(yīng)選C.
【名師指引】（1）解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線與圓錐曲線有唯一交點(diǎn)，不等價(jià)于直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行于對稱軸（拋物線）或平行于漸近線（雙曲線）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對進(jìn)行討論，還要對二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論
【新題導(dǎo)練】
1.（09摸底）已知將圓上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來的,對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C；設(shè)，平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),直線與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求曲線的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)為壓縮后對應(yīng)的點(diǎn)為，則，
代入圓的方程得曲線C的方程：
（2）∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m,又,
∴直線的方程為.由,得
∵直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴
解得.∴m的取值范圍是.
題型2：與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，.直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為－2.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn),且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線的方程.
【解題思路】弦中點(diǎn)問題用“點(diǎn)差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解
[解析](Ⅰ)設(shè)，
因?yàn)?所以化簡得:
(Ⅱ)設(shè)
當(dāng)直線⊥x軸時(shí),的方程為,則,它的中點(diǎn)不是N,不合題意
設(shè)直線的方程為將代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直線的方程為即所求直線的方程為
解法二:當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,
其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,
將其代入化簡得
由韋達(dá)定理得,
又由已知N為線段CD的中點(diǎn),得,解得,
將代入(1)式中可知滿足條件.
此時(shí)直線的方程為,即所求直線的方程為
【名師指引】通過將C、D的坐標(biāo)代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點(diǎn)相減．這里，代點(diǎn)相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求（即點(diǎn)差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對簡化運(yùn)算的作用明顯，用“點(diǎn)差法”解決弦中點(diǎn)問題更簡潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓的弦被點(diǎn)所平分，求此弦所在直線的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則
，，兩式相減得：，
化簡得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
3.已知直線y＝－x＋1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析]設(shè)，AB的中點(diǎn)為,
代入橢圓方程得，,兩式相減,得.
AB的中點(diǎn)為在直線上，，
，而
題型3：與弦長有關(guān)的問題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線被拋物線截得的弦長為20，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）問點(diǎn)位于拋物線弧上何處時(shí)，△面積最大？

【解題思路】用“韋達(dá)定理”求弦長；考慮△面積的最大值取得的條件
[解析]（1）將代入得，
由△可知，弦長AB，解得；
（2）當(dāng)時(shí)，直線為，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，
則只須使得，即，即位于（4，4）點(diǎn)處．
【名師指引】用“韋達(dá)定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4.(山東省濟(jì)南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦的長度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以橢圓方程為：
（2），由，得
∴∴
（文）已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長．
（文）解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為．設(shè)，，
聯(lián)立得．則．
所以．
故線段DE的長為．
考點(diǎn)2：對稱問題
題型：對稱的幾何性質(zhì)及對稱問題的求法（以點(diǎn)的對稱為主線，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4]若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓＝1于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程．
[解析]，設(shè)，則
又，，兩式相減得：，
化簡得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
所以直線l的方程為：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
求證：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱；
[解析]設(shè)，，，
，即，
，，，故點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱
6.在拋物線y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
[解析]（1）當(dāng)時(shí)，曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)拋物線y2＝4x上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為，則直線直線的斜率為直線，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點(diǎn)3圓錐曲線中的范圍、最值問題
題型：求某些變量的范圍或最值
[例5]已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)橢圓的離心率滿足，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍．
【解題思路】通過“韋達(dá)定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由，得
由，得此時(shí)
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以橢圓長軸長的取值范圍為
【名師指引】求范圍和最值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的最值．
【新題導(dǎo)練】
7.已知P是橢圓C：的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是B，若|PB|的最小值為，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。

[解析]由，設(shè)
，
，，解得或
又或
8.定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
[解析]設(shè)，，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為，
將它代入得
由得即
，
將代入得
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，此時(shí)，
所以，點(diǎn)M為或時(shí)，到y(tǒng)軸的最短距離最小，最小值為．
9.直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)P（－2，0）和線段AB的中點(diǎn)M，求在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析]由消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點(diǎn)共線
令上為減函數(shù).
10.已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值為
（2）最大值為10＋|BC|＝；最小值為10－|BC|＝．
考點(diǎn)4定點(diǎn)，定值的問題
題型：論證曲線過定點(diǎn)及圖形（點(diǎn)）在變化過程中存在不變量
[例6]已知P、Q是橢圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上一定點(diǎn)，是其左焦點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動(dòng)點(diǎn)間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè)知
同理
①當(dāng)，
從而有設(shè)PQ的中點(diǎn)為，
得線段PQ的中垂線方程為
②當(dāng)
線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)
【名師指引】定點(diǎn)與定值問題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)和定值，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無關(guān);
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，則拋物線C恒過定點(diǎn)
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
[解析]雙曲線上任意一點(diǎn)為，
它到兩漸近線的距離之積
考點(diǎn)6曲線與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線C：y2＝4x，若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；
【解題思路】探求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線y2＝4x,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點(diǎn)B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡得P點(diǎn)軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[名師指引]求曲線方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是.
[解析][相關(guān)點(diǎn)法]
14.過雙曲線C:的右焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，,求點(diǎn)M的軌跡方程．
[解析]右焦點(diǎn)（2，0），設(shè)
得，，直線l的斜率
又,,兩式相減得,
把，，代入上式得
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中半焦距為，
點(diǎn)P在y軸上時(shí)最大，由余弦定理得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
16.(廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知圓C:.
(1)直線過點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；
(2)過圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
(3)若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值.
解析（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿足題意……1分
②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即…2分
設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得
∴，，………4分故所求直線方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線為3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直線m//y軸，所以，,∴點(diǎn)的軌跡方程是()……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示
（A）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（B）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
（C）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（D）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
1.[解析]B.由知，
2.已知點(diǎn)M（3，4）在一橢圓上，則以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（）
（A）12（B）24（C）48（D）與橢圓有關(guān)
2.[解析]C[由橢圓的對稱性可知];
3.已知點(diǎn)F（，直線，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（）
A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣的直線有___________條.
4.[解析]3；垂直于實(shí)軸的弦長為4,實(shí)軸長為2.
5.是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若雙曲線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
6.[解析][]
綜合提高訓(xùn)練
7.已知拋物線的弦AB經(jīng)過點(diǎn)P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB所在直線的方程為
7.[解析]12x—23y—2＝0記住結(jié)論：
8.已知橢圓，直線l到原點(diǎn)的距離為求證：直線l與橢圓必有兩上交點(diǎn).
8.[解析]證明：當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，由題意知：
不妨取代入曲線E的方程得：
即G（，），H（，－）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：
由題意知：
由
∴直線l與橢圓E交于兩點(diǎn),綜上，直線l必與橢圓E交于兩點(diǎn)
9.求過橢圓內(nèi)一點(diǎn)A（1，1）的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為，設(shè)P（），Q（），M（），則：①②
①－②得：
當(dāng)時(shí)，
由題意知，即③
③式與聯(lián)立消去k，得④
當(dāng)時(shí)，k不存在，此時(shí)，，也滿足④．
故弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為：
10.已知拋物線．過動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B．若,求a的取值范圍．
10.[解析]直線的方程為，將，
得:．
設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，
則又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.過拋物線的焦點(diǎn)作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿足：①弦長不超過8；②弦所在的直線與橢圓3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范圍．
11.解析：拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)弦所在直線方程為
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范圍是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)A（－2，0）及B（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫出點(diǎn)P的軌跡T的方程；

12.解：）連結(jié)PB∵線段BQ的垂直平分線與AQ交于點(diǎn)P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB||AB|，從而P點(diǎn)的軌跡T是中心在原點(diǎn)，以A、B為兩個(gè)焦點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線最經(jīng)典題型研究教案

圓錐曲線最經(jīng)典題型研究
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查

1、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那么此雙曲線的離心率為
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文數(shù)）8.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為y28x。
4、（2010全國卷2理數(shù)）（15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．若，則．
若雙曲線-=1(b0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____。
6、已知點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重慶理數(shù)）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點(diǎn)，排除B
9、（2010四川理數(shù)）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是
（A）（B）（C）（D）
解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，
即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理數(shù)）若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀區(qū)2010年4月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶}）已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為，且它們在第一象限的交點(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.
12、（2010年4月北京市西城區(qū)高三抽樣測試?yán)砜疲┮阎p曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為___________.
13、（北京市東城區(qū)2010屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)理科）直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是．

14、（2010全國卷1文數(shù)）已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠=，則
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全國卷1理數(shù)）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重慶理數(shù)）(14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.
解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知
中，AC=2m,AB=4m,
直線AB方程為
與拋物線方程聯(lián)立消y得
所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為
17、（2010上海文數(shù)）已知橢圓的方程為，、和為的三個(gè)頂點(diǎn).
（1）若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過中點(diǎn)的直線，使得與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)、滿足？令，，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點(diǎn)、滿足，求點(diǎn)、的坐標(biāo).
解析：(1)；
(2)由方程組，消y得方程，
因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，
所以0，即，
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，
則，
由方程組，消y得方程(k2k1)xp，
又因?yàn)椋裕?br> 故E為CD的中點(diǎn)；
(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線OF的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全國卷2理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）
己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．

19、（2010安徽文數(shù)）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，
焦點(diǎn)在軸上，離心率。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、（2010全國卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為D.
（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；
（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.

21、（2010江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。

22、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當(dāng)時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn).
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為…………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得
…………5分
因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，
所以①
設(shè)，則
②…………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①
當(dāng)b=2k時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)（-2，0）點(diǎn).
即直線經(jīng)過點(diǎn)A，與題意不符.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為
顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)…………13分

23、（北京市朝陽區(qū)2010年4月高三年級第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜疲ū拘☆}滿分13分）
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3））是否存過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.
解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為.……………………4分
（Ⅱ）因?yàn)檫^點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由得.①
因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以
整理，得解得[
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為…………9分
（Ⅲ）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得
因?yàn)橹本€l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
所以.
又，
因?yàn)榧矗?br> 所以.
即
所以，解得
因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以.
于是存在直線1滿足條件，其方程為………………………………13分
24、直線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
答案：.解：（Ⅰ）將直線
……①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由①式得
……②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）.
則由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化簡得
解得
可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn).

圓錐曲線

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？下面是小編為大家整理的“圓錐曲線”，希望能對您有所幫助，請收藏。

高考數(shù)學(xué)圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)教案

圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩定義：
第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：
（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（），焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）。
（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上：=1，焦點(diǎn)在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。
（3）拋物線：開口向右時(shí)，開口向左時(shí)，開口向上時(shí)，開口向下時(shí)。

3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。
（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；
（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。
提醒：在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。

4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：
（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對稱性：兩條對稱軸，一個(gè)對稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。
（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對稱性：兩條對稱軸，一個(gè)對稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。
（3）拋物線（以為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。
5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)

6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。

提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過雙曲線＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。
7、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；對于雙曲線。如（1）短軸長為，
8、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。

9、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。特別地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。
拋物線：
在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。
提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！

11．了解下列結(jié)論
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。
（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；
（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，，則①；②
（7）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)

12、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點(diǎn);
（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);
（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;
（5）給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線.
（6）給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角,給出,等于已知是銳角,
（8）給出,等于已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；
（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；
（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；
（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；
（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線;
（3）已知A,B為拋物線x2=2py(p0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2p）
（1）求證：A,B,C三點(diǎn)共線；
（2）若＝（）且試求點(diǎn)M的軌跡方程。
（1）證明：設(shè)，由得
，又
，，即A,B,C三點(diǎn)共線。
（2）由（1）知直線AB過定點(diǎn)C，又由及＝（）知OMAB，垂足為M，所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。

13.圓錐曲線中線段的最值問題：
例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________
(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。
分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。
（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）（2）（）
1、已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。
(1)求雙曲線C2的方程；
(2)若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。
解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C2的方程為，則
故C2的方程為（II）將
由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得
即①
.由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得
解此不等式得③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y=-3上，M點(diǎn)滿足MB//OA，MAAB=MBBA，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值。
(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.
所以曲線C的方程式為y=x-2.(Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點(diǎn)，因?yàn)閥=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。
則O點(diǎn)到的距離.又，所以
當(dāng)=0時(shí)取等號，所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為2.
設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于()
設(shè)雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為().
過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為
已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.則＝()0

已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，則()

已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（）

設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線l的方程為_____________.
橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓上，若，則；的大小為.

過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則________________
【解析】設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又解得:
雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.
∴＝
【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為直線
恒過定點(diǎn)P.如圖過分別作于,于,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn).連結(jié),則,
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故點(diǎn)的坐標(biāo)為
,故選D
1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.
2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).
3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.
4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.
5.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
6.若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.
7.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.
8.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：
,(,).
9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.
10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.
11.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，
即。
12.若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.
13.若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.
二、雙曲線
1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.
2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).
3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.
4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）
5.若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.
7.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.
8.雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,
當(dāng)在右支上時(shí)，,.
當(dāng)在左支上時(shí)，,
9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.
10.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.
11.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。
12.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.
13.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.
橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)--（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）
橢圓
1.橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.
2.過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.
3.若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則.
4.設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.
5.若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).
6.P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.
7.橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.
8.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.
9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
10.已知橢圓（a＞b＞0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則.
11.設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).
12.設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13.已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).
14.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.
15.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.
16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）
17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.
18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).
雙曲線
1.雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.
2.過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.
3.若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則（或）.
4.設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.
5.若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).
6.P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號成立.
7.雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.
8.已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.
9.過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.
10.已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則或.
11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).
12.設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).
(2).(3).
13.已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).
14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.
15.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.
16.雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).
17.雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.
18.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).

其他常用公式：
1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：
2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式。
3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)
與直線垂直的直線可表示為。
4、兩平行線間的距離為。
5、若直線與直線平行
則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）
6、圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。
7、圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；
8、為直徑端點(diǎn)的圓方程
切線長：過圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長為（）
9、弦長問題：①圓的弦長的計(jì)算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。

攻克圓錐曲線解答題的策略
摘要:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個(gè)方面著手：知識儲(chǔ)備、方法儲(chǔ)備、思維訓(xùn)練、強(qiáng)化訓(xùn)練。
關(guān)鍵詞：知識儲(chǔ)備方法儲(chǔ)備思維訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練
第一、知識儲(chǔ)備：
1.直線方程的形式
（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。
（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容
①傾斜角與斜率
②點(diǎn)到直線的距離③夾角公式：
（3）弦長公式
直線上兩點(diǎn)間的距離：
或
（4）兩條直線的位置關(guān)系
①=-1②
2、圓錐曲線方程及性質(zhì)
(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）
標(biāo)準(zhǔn)方程：
距離式方程：
參數(shù)方程：
(2)、雙曲線的方程的形式有兩種
標(biāo)準(zhǔn)方程：
距離式方程：
(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？
(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？
如：已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）
A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線
(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：
（其中）
(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。
（2）
（3）
(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？
第二、方法儲(chǔ)備
1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）
設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有
，；兩式相減得
=
2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？
設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到○1○2兩個(gè)式子，然后○1-○2，整體消元，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。
例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.
分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出AB⊥AC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；
解：（1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有
兩式作差有(1)
F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線BC的方程為
2)由AB⊥AC得（2）
設(shè)直線BC方程為，得
，
代入（2）式得
，解得或
直線過定點(diǎn)（0，，設(shè)D（x,y），則，即
所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。
4、設(shè)而不求法
例2、如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。
分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，若設(shè)C，代入，求得，進(jìn)而求得再代入，建立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,
建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡.
解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD⊥軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱
依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得
，
設(shè)雙曲線的方程為，則離心率
由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得
，①
②
由①式得，③
將③式代入②式，整理得
，
故
由題設(shè)得，
解得
所以雙曲線的離心率的取值范圍為
分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫坐標(biāo)表示，回避的計(jì)算,達(dá)到設(shè)而不求的解題策略．
解法二：建系同解法一，，
，又，代入整理，由題設(shè)得，
解得
所以雙曲線的離心率的取值范圍為
5、判別式法
例3已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。
分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：
解題過程略.
分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：

簡解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為：
于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.
由于，所以，從而有
于是關(guān)于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于
.
由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得.
點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.
例4已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.
分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.
由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.
通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).

在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。
簡解：設(shè)，則由可得：，
解之得：（1）
設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化簡得：(3)
與聯(lián)立，消去得：
在（2）中，由，解得，結(jié)合（3）可求得
故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：（）.
點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.
6、求根公式法
例5設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.
分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.
分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量——直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;
當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
解之得
因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.
當(dāng)時(shí)，，，
所以===.
由,解得，
所以，
綜上.
分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.

簡解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
（*）
則
令，則，
在（*）中，由判別式可得，
從而有，所以，解得.
結(jié)合得.
綜上，.
點(diǎn)評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.
解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.
第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。
例6橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。
思維流程：

解題過程：
（Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則
又∵即，∴
故橢圓方程為
（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則
設(shè)，∵，故，
于是設(shè)直線為，由得，
∵又
得即
由韋達(dá)定理得
解得或（舍）經(jīng)檢驗(yàn)符合條件．
點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．
例7、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)Δ內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求Δ內(nèi)心的坐標(biāo)；
思維流程：
（Ⅰ）

解題過程：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，將、、代入橢圓E的方程，得
解得.∴橢圓的方程．
（Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為
當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為．
設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)棣さ闹荛L為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.
點(diǎn)石成金：
例8、已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
思維流程：
（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
將代入，消去整理得
設(shè)
則
由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，解得，符合題意。
所以直線的方程為，或.
（Ⅱ）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù).
①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知
所以
將代入，整理得
注意到是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，此時(shí)
②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)，亦有
綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).
點(diǎn)石成金：
例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
思維流程：
解：（1）設(shè)橢圓方程為
則∴橢圓方程為
（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=
由
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，
（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可
設(shè)
則
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形
例10、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
思維流程：
解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得.
設(shè)的中點(diǎn)是，則
即
故所求k=±.
點(diǎn)石成金:C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD;
例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
思維流程：
解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得：，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（II）設(shè)．
聯(lián)立
得，則
又．
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，
，即.．
．．
解得：，且均滿足．
當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)．
所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)CA⊥CB;
例12、已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線右支上.
（Ⅰ）若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),,求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程.
思維流程：
解：（Ⅰ）(法一)由題意知,,,
,（1分）
解得.由雙曲線定義得:
,
所求雙曲線的方程為:
(法二)因,由斜率之積為,可得解.
（Ⅱ）設(shè),
(法一)設(shè)P的坐標(biāo)為,由焦半徑公式得,,，
的最大值為2,無最小值.此時(shí),
此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程為
(法二)設(shè),.
(1)當(dāng)時(shí),,
此時(shí).
(2)當(dāng),由余弦定理得:
,
,,綜上,的最大值為2,但無最小值.(以下法一)