小學(xué)三角形教案

2012屆高考數(shù)學(xué)知識梳理復(fù)習(xí)三角恒等變換教案。

學(xué)生們有一個(gè)生動(dòng)有趣的課堂，離不開老師辛苦準(zhǔn)備的教案，大家開始動(dòng)筆寫自己的教案課件了。用心制定好教案課件的工作計(jì)劃，才能更好地安排接下來的工作！你們會寫教案課件的范文嗎？請您閱讀小編輯為您編輯整理的《2012屆高考數(shù)學(xué)知識梳理復(fù)習(xí)三角恒等變換教案》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

教案42三角恒等變換
一、課前檢測
1.若為第三象限角，且，則等于__________。答案：

2.函數(shù)的最大值是____________。答案：3

3.函數(shù)的值域是___________。答案：

二、知識梳理
1．基本公式
解讀：

2．二倍角切化弦公式

解讀：

3．降冪公式

解讀：

三、典型例題分析
例1．已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－β∈(0，π)
得β∈(,π)①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝α∈(0，π)
得0＜α＜∴0＜2α＜π
由tan2α＝＞0∴知0＜2α＜②
∵tan(2α－β)＝＝1
由①②知2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－
(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)

變式訓(xùn)練：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面積．
解：∵sinA＋cosA＝①
∵2sinAcosA＝－
從而cosA＜0A∈()
∴sinA－cosA＝
＝②
據(jù)①②可得sinA＝cosA＝
∴tanA＝－2－
S△ABC＝

小結(jié)與拓展：

例2．求證：＝
證明：左邊＝
＝＝右邊

變式訓(xùn)練：化簡sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.
解方法一（復(fù)角→單角，從“角”入手）
原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)
=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-
=sin2sin2+cos2sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二（從“名”入手，異名化同名）
原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2
=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2cos2
=cos2-sin2cos2-cos2cos2
=cos2-cos2
=-cos2
=-cos2=.
方法三（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）
原式=+-cos2cos2
=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.

方法四（從“形”入手，利用配方法，先對二次項(xiàng)配方）
原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2
=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2
=cos2(+)-cos(2+2)
=cos2(+)-［2cos2(+)-1］=.

小結(jié)與拓展：

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯(cuò)點(diǎn)：

4.教學(xué)反思（不足并查漏）：

相關(guān)閱讀

2015屆高考數(shù)學(xué)教材知識點(diǎn)復(fù)習(xí)簡單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2.能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).
預(yù)習(xí)案
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；
(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．半角公式：(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；
(3)tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.
3．二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝；α2＝；3α＝都適用．
4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降冪公式：cos2α＝；sin2α＝；升冪公式cos2α＝＝.
【預(yù)習(xí)自測】
1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°為()
A.1＋m2B.1－m2C．±1＋m2D.1＋m2

2．設(shè)sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，則tan2α的值是________．

3．函數(shù)f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．

4．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值為________．

5．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()
A．－45B．－35C.35D.45
探究案
題型一：求值
例1.求值：
(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20°

(3)sin10°sin50°sin70°.(4)1＋cos20°2sin20°－2sin10°tan80°

例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，則cos2αsinπ4＋α＝________.
(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2α－π2.則cos(2α－π4)=

(3)若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．

題型二化簡
例3.（1）已知函數(shù)f(x)＝1－x1＋x.若α∈(π2，π)，則f(cosα)＋f(－cosα)可化簡為________．

(2)化簡sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.

(3)已知f(x)＝1＋cosx－sinx1－sinx－cosx＋1－cosx－sinx1－sinx＋cosx且x≠2kπ＋π2，k∈Z，且x≠kπ＋π，k∈Z.
①化簡f(x)；

②是否存在x，使得tanx2f(x)與1＋tan2x2sinx相等？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

題型三：證明
例4.已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求證：tan(α＋β)＝3tanα.

拓展：(1)求證：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x
(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1.

我的學(xué)習(xí)總結(jié)：
（1）我對知識的總結(jié).
（2）我對數(shù)學(xué)思想及方法的總結(jié)

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第二講三角變換與解三角形
【最新考綱透析】
1．會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。
2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。
3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角各的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
4．能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。
6．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：三角變換及求值
考情聚焦：1．利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值是高考必考內(nèi)容。
2．該類問題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與新知識的交匯題。
3．該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
考向鏈接：1．在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí)，常用到如下變形
（1）；
（2）角的變換；
（3）。
2．利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值求角問題，常見有以下三種類型：
（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；
（2）“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；
（3）“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域
解析：（Ⅰ）由題意得mn=sinA-2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤R,所以.當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)有最小值-3
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
要點(diǎn)考向2：正、余弦定理的應(yīng)用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解決涉及三角形的問題，在近3年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn)，預(yù)計(jì)將會成為今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
2．該類問題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡與證明。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn)。
考向鏈接：1．在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它重要性：一是作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口。
2．在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量避免求正弦值。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且
（Ⅰ）求A的大??；
（Ⅱ）求的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值。
【思路點(diǎn)撥】（I）根據(jù)正統(tǒng)定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進(jìn)而求出最值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故當(dāng)B＝30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要點(diǎn)考向3：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1．有關(guān)解三角形及實(shí)際應(yīng)用在高考中有時(shí)出現(xiàn)。
2．該類問題以實(shí)際問題為背景，其建模后為解三角形問題，與三角函數(shù)及三角變換等知識交匯。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，題目不會太難。
例3：（2010江蘇高考Ｔ１7）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)該小組已測得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】（1）分別利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【規(guī)范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的電視塔的高度H是124m。
（2）由題設(shè)知，得，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號）
故當(dāng)時(shí)，最大。
因?yàn)?，則，由的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，-最大。
故所求的是m。

【高考真題探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）計(jì)算的結(jié)果等于（）
A.B.C.D.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降冪公式，并進(jìn)行三角的化簡求值。
【思路點(diǎn)撥】直接套用倍角公式的逆用公式，即降冪公式即可。
【規(guī)范解答】選B，。
【方法技巧】對于三角公式的學(xué)習(xí)，要注意靈活掌握其變形公式，才能進(jìn)行靈活的恒等變換。如倍角公式：，的逆用公式為“降冪公式”，即為，，在三角函數(shù)的恒等變形中，降冪公式的起著重要的作用。
2．（2010海南寧夏高考理科T16）在中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=DC,=120°，AD=2，若的面積為，則=.
【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應(yīng)用.
【思路點(diǎn)撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關(guān)系式求解.
【規(guī)范解答】設(shè)，則，由的面積為可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關(guān)系，利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關(guān)系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，，則A=()
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化。
【規(guī)范解答】選A，根據(jù)正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，則a=。
【命題立意】本題考查解三角形中的余弦定理。
【思路點(diǎn)撥】對利用余弦定理，通過解方程可解出。
【規(guī)范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時(shí)，用余弦定理比較好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式；變角，
【規(guī)范解答】（1）由，得
所以函數(shù)的最小正周期為
因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又
，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1
（Ⅱ）由（1）可知又因?yàn)?，所?br> 由，得從而
所以
6．（2010陜西高考理科Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距
海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°
的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？
【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形問題的能力，屬于中檔題。
【思路點(diǎn)撥】解三角形
【規(guī)范解答】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，總分36分）
1．（2010屆山東省實(shí)驗(yàn)高三一診（文））已知點(diǎn)在第四象限,則角的終邊在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若，則的值為()
A．B．C．D．
3．函數(shù)的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)：（1）最小正周期為π，（2）圖象關(guān)于直線對稱；（3）在區(qū)間上是增函數(shù)，則y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010屆廣東高三六校聯(lián)考（理））如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在邊AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，則AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，總分18分）
7．在中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，則的面積等于_____
8．若定義在區(qū)間上的函數(shù)對上的任意個(gè)值，，…，，總滿足≤，則稱為上的凸函數(shù)．已知函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，則在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,則A=_______.
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．（本小題滿分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對稱中心的坐標(biāo).
12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且
(Ⅰ)確定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面積為,求a＋b的值。
參考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】選A.依題意，畫出圖形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
過O作OH⊥AC于H點(diǎn)，則
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的內(nèi)角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，最小值為
（2）令，得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足要求的對稱中心為
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是銳角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面積公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②變形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【備課資源】

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換教案

高二數(shù)學(xué)下冊《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

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三角恒等變換知識點(diǎn)：

知識結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點(diǎn)：通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡單的三角恒等變換

重點(diǎn)：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會三角變換的特點(diǎn).

難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用.

三角函數(shù)幾點(diǎn)說明：

1.對弧長公式只要求了解，會進(jìn)行簡單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計(jì)算，熟練配角和sin和cos的計(jì)算.

3.已知三角函數(shù)值求角問題，達(dá)到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱點(diǎn)、特殊點(diǎn)和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習(xí)，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習(xí)題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D