小學(xué)教案比的應(yīng)用

正、余弦定理的應(yīng)用舉例。

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“正、余弦定理的應(yīng)用舉例”歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

2.2.2正、余弦定理的應(yīng)用舉例（2）
知識(shí)梳理
2.解斜三角形的應(yīng)用問題，通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來解決實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。
3.解題應(yīng)根據(jù)已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡(jiǎn)潔、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確。
典例剖析
題型一正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用
例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值
解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴當(dāng)θ－＝即θ＝時(shí)，ｙmax＝2＋
評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)予以重視?
題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用
例2如圖，有兩條相交成角的直線、，交點(diǎn)是，甲、乙分別在、上，
起初甲離點(diǎn)千米，乙離點(diǎn)千米，后來兩人同時(shí)用每小時(shí)千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用包含的式子表示小時(shí)后兩人的距離；
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？
解：（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是、，
則
，
∴起初，兩人的距離是．
（2）設(shè)甲、乙兩人小時(shí)后的位置分別是，
則，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，．
（3），
∴當(dāng)時(shí)，即在第分鐘末，最短。
答：在第分鐘末，兩人的距離最短。
評(píng)析：（2）中，分0t和t兩種情況進(jìn)行討論，但對(duì)兩種情形的結(jié)果進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)有統(tǒng)一的表達(dá)式，從而（3）中求最值是對(duì)這個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的。
備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G，設(shè)MGA＝（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為的函數(shù)，
（2）求y＝的最大值與最小值。
解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
則S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因?yàn)椋?br> 所以當(dāng)＝或＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)。
點(diǎn)擊雙基
1．在△ABC中，，則△ABC的面積為（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C

2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測(cè)得對(duì)面一塔頂C的仰角為60,塔基D的俯角為45,則這座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以這座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100°
C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°
解：A,B可根據(jù)余弦定理求解，只有一解，選項(xiàng)C中，A為銳角，且ab,只有一解.
選項(xiàng)D中所以有兩個(gè)解。
答案：D
4.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時(shí)航行____。
解：10海里
5．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車與第三輛車的距離之間的關(guān)系為（）
A.B.
C.D.不能確定大小
解：依題意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
課后作業(yè)
1.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.邊長(zhǎng)分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中間的角為60.
答案：B
3.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購(gòu)買這種草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150購(gòu)買這種草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）
A．分鐘B．分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘
解：設(shè)航行時(shí)間為t小時(shí)，則兩船相距
=
t=-小時(shí)=分鐘
答案：A
7.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為60°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米

解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大
答案：C
二．填空題
9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測(cè)得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西方向。這時(shí)燈塔C與D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為
km
答案：
三．解答題
12.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？

解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
則sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
從而有MB=MC-BC=15
答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。
13．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，
（勵(lì)志的句子 wWW.dJz525.cOM）

14.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，
，又的面積為.（1）求角C的大??；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因?yàn)?，所以?br> 又因?yàn)?，所?br> 所以，===5
●思悟小結(jié)
1.三角形中的邊角問題的求解，或三角形的形狀的判定，及其與三角形有關(guān)的問題的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角恒等變形去解決。
2.判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理及三角變換將已知的邊角關(guān)系全轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或全轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后判定三角形的形狀。注意變換過程中等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。
3.正確理解實(shí)際問題中的仰角、俯角、方位角、坡腳、坡比等名詞術(shù)語。

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正余弦定理的應(yīng)用

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的正余弦定理的應(yīng)用，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

課時(shí)5正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用
一、課前演練：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B則ΔABC的形狀為
2、在中，各邊分別為，且，
則外接圓的直徑為
3、在中，，則=
4、在一幢20米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?00，塔底的仰角為450，那么這座塔的高度是_________米.
5、在中，若則的面積為
6、三角形的兩邊分別是5和3，他們夾角的余弦是方程的
根，則三角形的面積
7、在中，滿足條件,,,則，
的面積等于
8、在中，且，求和.

二、例題剖析：
例1：在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，求邊。

例2：已知三角形的一個(gè)角為，面積為，周長(zhǎng)為，求三角形的各邊長(zhǎng)。

例3：在中，角對(duì)邊分別為，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面積.

例4：如圖所示，在地面上有一旗桿，為測(cè)得它的高度，在地面上取一線段，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得。求旗桿的高度（精確到）。

例5：某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營(yíng)救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間（）

例6:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值

三、課后反饋：
1.在中，若，則
2.在中，已知，則.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒為常數(shù)的是
4.若，則是
5.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為
6.在中，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，則為
7、某人向正東方向走了km后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為km，那么的值為；
8、有一長(zhǎng)為m的斜坡，它的傾斜角是，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改成，則坡底要延伸m；
9、甲船在B島的正南A處，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以km/h的速度向北偏東的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是h;
10、一艘船以km/h的速度沿著與水流方向成的方向航行，已知河水流速為km/h，則經(jīng)過h，該船實(shí)際航程為;
11、海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，那么B島和C島間的距離是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間?

14.某人坐在火車上看風(fēng)景，他看見遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車前進(jìn)方向成角的直線上，1分鐘后，他看見寶塔在與火車前進(jìn)方向成角的直線上，設(shè)火車的速度是100km/h,求寶塔離鐵路線的垂直距離。

15、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D.現(xiàn)測(cè)得，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔尖A的仰角為，求塔高AB.

正余弦定理的綜合應(yīng)用

正、余弦定理的綜合應(yīng)用

正余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“正余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題”，僅供參考，歡迎大家閱讀。