高中物理動(dòng)能定理教案

余弦定理。

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。高中教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽課，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？以下是小編收集整理的“余弦定理”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

課題:1.2余弦定理（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
【課前預(yù)習(xí)】
1．在中，，，，則____________________．
2．已知，，則一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
3．若鈍角三角形的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，，，則三邊長(zhǎng)為（）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．在中，已知，，，則最大角的余弦值是_____________．
5．在中，，，且的外接圓半徑，則_______
【課堂研討】
例1.在中，已知，試判斷三角形的形狀．

例2.是中邊上的中線，求證：．
例3.為了測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)四邊形的周長(zhǎng)和面積，在操場(chǎng)中間取一點(diǎn)，測(cè)得
，，，，且，，，．（1）試求四邊形的周長(zhǎng)；（2）試求四邊形的面積．
【學(xué)后反思】
課題:1.2余弦定理（2）檢測(cè)案
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1．在中，若，則___________________．
2．在中，已知，，，試證明此三角形為銳角三角形．

3．在中，設(shè)，，且，，，求．
【課后鞏固】

1．在中，已知，試判斷的形狀．

2．用余弦定理證明：在中，
（1）；（2）；（3）．

3．在中，已知，，試判斷的形狀．

4．如圖，我炮兵陣地位于處，兩觀察所分別設(shè)于，，已知為邊長(zhǎng)等于的正三角形．當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于時(shí)，測(cè)得，，試求炮擊目標(biāo)的距離．

5．在中，若且，求證是等邊三角形．

6．在中，若，，，求的面積．

精選閱讀

余弦定理導(dǎo)學(xué)案

余弦定理導(dǎo)學(xué)案
高二年級(jí)數(shù)學(xué)組
知能目標(biāo)解讀
1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的過(guò)程，并體會(huì)向量在解決三角形的度量問(wèn)題時(shí)的作用.?
2.了解余弦定理的幾種變形公式及形式.?
3.會(huì)從方程的角度來(lái)理解余弦定理的作用及適用范圍，并會(huì)用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問(wèn)題.?
4.能熟練應(yīng)用余弦定理解三角形以及現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：余弦定理的證明及其應(yīng)用.?
難點(diǎn)：處理三角形問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剡x擇正弦定理或余弦定理.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
一、余弦定理?
1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么有如下結(jié)論：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?即三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律.也是解三角形的重要工具.
?注意：
（1）在余弦定理的每一個(gè)等式中含有四個(gè)量，利用方程的思想，可以知三求一.?
（2）余弦定理也為求三角形的有關(guān)量（如面積，外接圓，內(nèi)切圓等）提供了工具，它可以用來(lái)判定三角形的形狀，證明三角形中的有關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛.?
2.關(guān)于公式的變形：將余弦定理稍加變形，可以得到另外的形式，我們稱為余弦定理的推論.掌握這些表達(dá)形式，可以幫助我們深入理解和靈活應(yīng)用余弦定理.?
cosA=，cosB=，cosC=.?
由上述變形，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角為銳角.從這一點(diǎn)說(shuō)，余弦定理可以看作勾股定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例.?
二、余弦定理的證明?
教材中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用.另外，對(duì)余弦定理的證明，還可以應(yīng)用解析法、幾何法等方法證明.?
證明：方法1：（解析法）如圖所示，以A為原點(diǎn)，△ABC的邊AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.?

則A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),?
由兩點(diǎn)間的距離公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0)2,?
即a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證b2=a2+c2-2accosB,?
c2=a2+b2-2abcosC.
方法2：（幾何法）如圖.當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA,?

AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.?
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA)2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?
如圖，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，過(guò)C作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線，垂足為D，

則AD=bcosA,CD=bsinA.?
BD=AD-AB=bcosA-c.?
在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.?
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
三、余弦定理的應(yīng)用?
余弦定理主要適用以下兩種題型:?
（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時(shí)只有一解；?
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理，必有一解.
注意：?
在應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中涉及的是邊長(zhǎng)的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時(shí)需要特別注意三角形三邊長(zhǎng)度應(yīng)滿足的基本條件.
知能自主梳理
1.余弦定理
（1）語(yǔ)言敘述：?
三角形任何一邊的平方等于減去的積的.?
（2）公式表達(dá):?
a2=;?
b2=;?
c2=.?
(3)變形:?
cosA=;?
cosB=;?
cosC=.?
2.余弦定理及其變形的應(yīng)用?
應(yīng)用余弦定理及其變形可解決兩類解三角形的問(wèn)題，一類是已知兩邊及其解三角形，另一類是已知解三角形.
［答案］1.(1)其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角的余弦兩倍(2)b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC(3)
2.夾角三邊?
思路方法技巧
命題方向已知三邊解三角形
［例1］在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC.
?［分析］在三角形中，大邊對(duì)大角，所以a邊所對(duì)角最大.
?［解析］∵a＞c＞b,∴A為最大角,?
由余弦定理得，cosA==＝，?
又∵0°＜A＜180°,?∴A=120°，
∴sinA=sin120°=.?
由正弦定理＝得，?
sinC===.?
∴最大角A為120°，sinC=.?
［說(shuō)明］（1）求sinC也可用下面方法求解：?
cosC===，
∴C為銳角.?
sinC==＝.?
(2)在解三角形時(shí)，有時(shí)既可用余弦定理，也可用正弦定理.
變式應(yīng)用1
在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大內(nèi)角.?
［解析］設(shè)b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0).?
則a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.?
∴a是最大邊，即角A是△ABC的最大角.?
由余弦定理，得cosA==-,?
∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角為120°.
命題方向已知兩邊及一角解三角形
［例2］△ABC中，已知b=3,c=3,∠B=30°,解三角形.
［分析］由題目可知以下信息：?
①已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.?
②求另外的兩角和另一邊.?
解答本題可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的邊和角，也可由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng)a的方程，求出邊a,再由正弦定理求角A，角C.
［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,?
得32=a2+(3)2-2a×3×cos30°,?
∴a2-9a+18=0,得a=3或6.?
當(dāng)a=3時(shí)，∠A=30°,∠C=120°.?
當(dāng)a=6時(shí)，由正弦定理sinA===1.?
∴∠A=90°,∴∠C=60°.?
解法二：由bc,∠B=30°,bcsin30°=3×=知本題有兩解.?
由正弦定理sinC===,?
∴∠C=60°或120°，?
當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠A=90°,?
由勾股定理a===6.?
當(dāng)∠C=120°時(shí)，∠A=30°，△ABC為等腰三角形，?
∴a=3.?
［說(shuō)明］知兩邊和一角解三角形時(shí)有兩種方法：?
（1）利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長(zhǎng).?
(2)直接用正弦定理，先求角再求邊.?
用方法（2）時(shí)要注意解的情況，用方法（1）就避免了取舍解的麻煩.?
變式應(yīng)用2
在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bc,求b、c的值.?
［解析］余弦定理得?
cosA==，?
∴=,?
又b+c=6,a=4,
∴bc=8,?
b=2
c=4
b=4
c=2
又bc,∴b=2,c=4.?
命題方向判斷三角形的形狀
［例3］△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，確定△ABC的形狀.?［分析］由于已知條件等式中既含有邊的關(guān)系，又含有角的關(guān)系，因此在判斷三角形的形狀時(shí)，可考慮將邊統(tǒng)一成角或?qū)⒔墙y(tǒng)一成邊.?
［解析］解法一：利用角的關(guān)系來(lái)判斷.?
∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).?
又∵2cosAsinB=sinC,?
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,?
∴sin(A-B)=0.?
∵A與B均為△ABC的內(nèi)角，∴A=B.?
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,
根據(jù)余弦定理，上式可化為2abcosC+2ab=3ab,?
解得cosC=,∴C=60°.?
故△ABC為等邊三角形.?
解法二：利用邊的關(guān)系來(lái)確定.?
由正弦定理，得=.?
由2cosAsinB=sinC,得?
cosA==.?
又∵cosA=,∴=,?
即c2=b2+c2-a2,∴a=b.
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,?
∴b=c,∴a=b=c.?
因此△ABC為等邊三角形.?
［說(shuō)明］判斷三角形的形狀主要有兩種思路：其一是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)代數(shù)變換（一般是因式分解）得到邊的關(guān)系，最終判斷出該三角形的形狀；其二是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換得到角的關(guān)系，最終判斷該三角形的形狀.在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)針對(duì)具體的題目，靈活選用解決問(wèn)題的方法.
變式應(yīng)用3
△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是()?
A.銳角三角形B.直角三角形?
C.鈍角三角形D.非鈍角三角形?
［答案］C?
［解析］利用余弦定理判斷最大角的余弦值是大于0、等于0還是小于0，即可對(duì)其形狀作出判斷.?因?yàn)閏osB==-0,所以B為鈍角，即△ABC是鈍角三角形.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向利用余弦定理確定范圍問(wèn)題
［例4］設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.?
［分析］一邊大于兩邊差而小于兩邊和是任一個(gè)三角形三邊都成立的條件.若是在銳角或鈍角三角形中，三邊的制約條件還要更強(qiáng).若△ABC為銳角三角形，則有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC為鈍角三角形，最大邊為a,則一定有a2＞b2+c2,這些都是可以從余弦定理中直接推導(dǎo)的.?
［解析］2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,?

2a+1＞0
∴a＞0?
2a-1＞0，

解得a＞,此時(shí)2a+1最大.?
∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三邊，還需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.?
設(shè)最長(zhǎng)邊2a+1所對(duì)的角為θ,則cosθ==＜0,?
解得＜a＜8,∴a的取值范圍是2＜a＜8.
?［說(shuō)明］本題易忽視構(gòu)成三角形的條件a＞2,而直接應(yīng)用余弦定理求解，從而使a的范圍擴(kuò)大.
變式應(yīng)用4.
已知銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，求x的取值范圍.
［解析］由三角形三邊的關(guān)系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.?
又∵三角形為銳角三角形，由余弦定理可知任一邊的平方小于另兩邊平方和.?

x2＜22+32
即
32＜x2+22

x2＜13

x2＞5
5＜x2＜13
即
x＞0

解得＜x＜，?
∴x的取值范圍為（，）.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題?
1.在△ABC中，若abc,且c2a2+b2,則△ABC為（）?
A.直角三角形B.銳角三角形?
C.鈍角三角形D.不存在?
［答案］B?
［解析］∵abc,且c2a2+b2,∴∠C為銳角.又∵∠C為最大角.故選B.
2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2=ac，且c=2a,則cosB=（）?
A.B.
C.D.
［答案］B?
［解析］由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB===.
3.（2011四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是()
A.(0,］B.［,π)?
C.(0,］D.［,π)?
［答案］C?
［解析］本題主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,
∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA=≥=，∴0A≤，故選C.
二、填空題?
4.已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，它們的夾角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，則第三邊的長(zhǎng)是.
［答案］?
［解析］解2x2+3x-2=0，得x1=或x2=-2（舍去）.
∴夾角的余弦值為，根據(jù)余弦定理得第三邊長(zhǎng)為=.
5.在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于，則三邊長(zhǎng)為.?
［答案］3，5，7?
［解析］∵a-b=2,b-c=2，∴abc,?
∴最大角為A.sinA=，若A為銳角，則A=60°，?又CBA,∴A+B+C180°，這顯然不可能，∴A為鈍角.
∴cosA=-,?
設(shè)c=x,則b=x+2,a=x+4.?
∴=-，
∴x=3，故三邊長(zhǎng)為3，5，7.
三、解答題?
6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABC的面積.
［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴()2--2=0,?
解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,與b=2c
聯(lián)立解得b=4,c=2.∵cosA=,?
∴sinA==,?
∴S△ABC=bcsinA=.
?

課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題?
1.在△ABC中，b=5,c=5,A=30°,則a等于（）?
A.5B.4C.3D.10
［答案］A
［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,?
∴2×5×5×cos30°＝52＋（5）2-a2,
∴a2=25,∴a=5.
2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,則角A為（）?
A.B.C.D.或
［答案］C
［解析］∵a2=b2+c2+bc,?
∴cosA===,?
又∵0Aπ,∴A=.
3.在△ABC中，若a=+1,b=-1,c=,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）?
A.60°B.90°C.120°D.150°
［答案］C?
［解析］顯然＞+1＞-1,?
∴cosC==-＝－,∴C=120°.
4.△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,則∠C的大小為()?
A.B.C.D.π
［答案］B?
［解析］∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)且p∥q，
∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，?
即a2+b2-c2=ab,
∴cosC===.?
∴C=.
5.在△ABC中，已知2a2=c2+(b+c)2,則∠A的值為（）?
A.30°B.45°C.120°D.135°
［答案］D
［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,?
∴a2=b2+c2+bc,
∴b2+c2-a2＝-bc,?
又b2+c2-a2=2bccosA,
∴2bccosA=-bc,
∴cosA=-,
∴A=135°.
6.（2011重慶理，6）若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a+b)2-c2=4，且C=60°，則ab的值為()?
A.B.8-4C.1D.
［答案］A?
［解析］本題主要考查余弦定理的應(yīng)用.?
在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,?
∴(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,選A.
7.在△ABC中，三邊長(zhǎng)AB=7,BC=5,AC=6,則等于()?
A.19B.-14?C.-18D.-19
［答案］D
［解析］在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,?
則cosB==.?
又=｜｜｜｜c(diǎn)os(π-B)?
=-｜｜｜｜c(diǎn)osB?
＝－7×5×=-19.
8.在△ABC中，若△ABC的面積S=(a2+b2-c2)，則∠C為（）?
A.B.C.D.
［答案］A
［解析］由S=(a2+b2-c2),得absinC=×2abcosC,∴tanC=1,∴C=.
二、填空題?
9.在△ABC中，b=,c=2,A=45°,那么a的長(zhǎng)為.?
［答案］
［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2××2×=+8-==,所以a=.
10.在△ABC中，AB=3,BC=,AC=4,則邊AC上的高為.?
［答案］
［解析］如圖，cosA=＝，
∴sinA=.?

∴.BD=ABsinA=.
11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面積為12，則cos2C=.
［答案］
［解析］由題意得S△ABC=ACBCsinC=12,
即×5×8×sinC=12,則sinC=.?
∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（）2=.
12.在△ABC中，B=60°,b2=ac,則三角形的形狀為.?
［答案］等邊三角形?
［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,?
∵b2=ac,?
∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c)2=0,?
∴a=c.?
又∵B=60°,∴A=C=60°.?
故△ABC為等邊三角形.
三、解答題?
13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
［解析］解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.
由a+c=8,ac=15,則a、c是方程x2-8x+15=0的兩根.
解得a=5,c=3或a=3,c=5.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5×＝19.?
∴b=.?
解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，?
∴B=60°.?
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×＝19.?
∴b＝.
14.(2011大綱文，18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA+csinC-asinC=bsinB.?
(1)求B；?
（2）若A=75°,b=2,求a,c.
［分析］利用三角形正弦定理，將已知條件asinA+csinC-asinC=bsinB中的角轉(zhuǎn)化為邊，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.?
［解析］（1）∵asinA+csinC-asinC=bsinB
∴a2+c2-ac=b2?
∴a2+c2-b2=ac?
∴cosB===
∴B=45°?
(2)由(1)得B=45°?
∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°?
由正弦定理==
∴a====
c=.?
［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查考生利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.解三角形的實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即方程問(wèn)題，具體操作過(guò)程的關(guān)鍵是正確分析邊角的關(guān)系，能依據(jù)題設(shè)條件合理的設(shè)計(jì)解題程序，進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，要抓住兩個(gè)定理應(yīng)用的信息；當(dāng)遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和邊的一次式，則大多用正弦定理，若是以上特征不明顯，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用.
15.在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.?
(1)求sinBsinC;?
(2)求sinB+sinC.?
［分析］已知兩邊及其夾角，由余弦定理可求出第三邊a,再由正弦定理求出sinB,sinC.?
［解析］（1）∵b=3,c=5,A=120°,?
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-2×3×5×（-）=49.?
∴取正值a=7.?
由正弦定理，得sinB==,?
sinC=
∴sinBsinC=.?
(2)由（1）可得sinB+sinC=.
16.已知三角形的一個(gè)角為60°,面積為10cm2，周長(zhǎng)為20cm，求此三角形各邊長(zhǎng).
［解析］設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,B=60°,則依題意，得?
a+b+c=20?
cos60°=
acsin60°=10,
a+b+c=20,①?
∴b2=a2+c2-ac，②?
ac=40.③
由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④?
將②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,?
再將③代入④，得a+c=13.?

a+c=13?a=5?a=8?
,得,或
ac=40c=8c=5.

∴b=7.?
∴該三角形的三邊長(zhǎng)為5cm,7cm,8cm.

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

正余弦定理的應(yīng)用

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的正余弦定理的應(yīng)用，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

課時(shí)5正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用
一、課前演練：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B則ΔABC的形狀為
2、在中，各邊分別為，且，
則外接圓的直徑為
3、在中，，則=
4、在一幢20米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?00，塔底的仰角為450，那么這座塔的高度是_________米.
5、在中，若則的面積為
6、三角形的兩邊分別是5和3，他們夾角的余弦是方程的
根，則三角形的面積
7、在中，滿足條件,,,則，
的面積等于
8、在中，且，求和.

二、例題剖析：
例1：在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，求邊。

例2：已知三角形的一個(gè)角為，面積為，周長(zhǎng)為，求三角形的各邊長(zhǎng)。

例3：在中，角對(duì)邊分別為，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面積.

例4：如圖所示，在地面上有一旗桿，為測(cè)得它的高度，在地面上取一線段，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得。求旗桿的高度（精確到）。

例5：某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間（）

例6:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值

三、課后反饋：
1.在中，若，則
2.在中，已知，則.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒為常數(shù)的是
4.若，則是
5.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為
6.在中，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，則為
7、某人向正東方向走了km后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為km，那么的值為；
8、有一長(zhǎng)為m的斜坡，它的傾斜角是，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改成，則坡底要延伸m；
9、甲船在B島的正南A處，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以km/h的速度向北偏東的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是h;
10、一艘船以km/h的速度沿著與水流方向成的方向航行，已知河水流速為km/h，則經(jīng)過(guò)h，該船實(shí)際航程為;
11、海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，那么B島和C島間的距離是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問(wèn)：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間?

14.某人坐在火車上看風(fēng)景，他看見遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車前進(jìn)方向成角的直線上，1分鐘后，他看見寶塔在與火車前進(jìn)方向成角的直線上，設(shè)火車的速度是100km/h,求寶塔離鐵路線的垂直距離。

15、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D.現(xiàn)測(cè)得，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔尖A的仰角為，求塔高AB.

正、余弦定理的應(yīng)用舉例

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“正、余弦定理的應(yīng)用舉例”歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

2.2.2正、余弦定理的應(yīng)用舉例（2）
知識(shí)梳理
2.解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題，通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。
3.解題應(yīng)根據(jù)已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡(jiǎn)潔、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確。
典例剖析
題型一正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用
例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值
解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴當(dāng)θ－＝即θ＝時(shí)，ｙmax＝2＋
評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)予以重視?
題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用
例2如圖，有兩條相交成角的直線、，交點(diǎn)是，甲、乙分別在、上，
起初甲離點(diǎn)千米，乙離點(diǎn)千米，后來(lái)兩人同時(shí)用每小時(shí)千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用包含的式子表示小時(shí)后兩人的距離；
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？
解：（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是、，
則
，
∴起初，兩人的距離是．
（2）設(shè)甲、乙兩人小時(shí)后的位置分別是，
則，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，．
（3），
∴當(dāng)時(shí)，即在第分鐘末，最短。
答：在第分鐘末，兩人的距離最短。
評(píng)析：（2）中，分0t和t兩種情況進(jìn)行討論，但對(duì)兩種情形的結(jié)果進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)有統(tǒng)一的表達(dá)式，從而（3）中求最值是對(duì)這個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的。
備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)MGA＝（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為的函數(shù)，
（2）求y＝的最大值與最小值。
解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
則S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因?yàn)椋?br> 所以當(dāng)＝或＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)。
點(diǎn)擊雙基
1．在△ABC中，，則△ABC的面積為（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C

2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測(cè)得對(duì)面一塔頂C的仰角為60,塔基D的俯角為45,則這座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以這座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100°
C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°
解：A,B可根據(jù)余弦定理求解，只有一解，選項(xiàng)C中，A為銳角，且ab,只有一解.
選項(xiàng)D中所以有兩個(gè)解。
答案：D
4.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時(shí)航行____。
解：10海里
5．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車與第三輛車的距離之間的關(guān)系為（）
A.B.
C.D.不能確定大小
解：依題意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
課后作業(yè)
1.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.邊長(zhǎng)分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中間的角為60.
答案：B
3.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購(gòu)買這種草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150購(gòu)買這種草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）
A．分鐘B．分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘
解：設(shè)航行時(shí)間為t小時(shí)，則兩船相距
=
t=-小時(shí)=分鐘
答案：A
7.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為60°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米

解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大
答案：C
二．填空題
9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測(cè)得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西方向。這時(shí)燈塔C與D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為
km
答案：
三．解答題
12.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？

解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
則sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
從而有MB=MC-BC=15
答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。
13．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，

14.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，
，又的面積為.（1）求角C的大??；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因?yàn)椋裕?br> 又因?yàn)?，所?br> 所以，===5
●思悟小結(jié)
1.三角形中的邊角問(wèn)題的求解，或三角形的形狀的判定，及其與三角形有關(guān)的問(wèn)題的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角恒等變形去解決。
2.判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理及三角變換將已知的邊角關(guān)系全轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或全轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后判定三角形的形狀。注意變換過(guò)程中等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。
3.正確理解實(shí)際問(wèn)題中的仰角、俯角、方位角、坡腳、坡比等名詞術(shù)語(yǔ)。