小學(xué)教案比的應(yīng)用

正余弦定理的應(yīng)用。

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么如何寫(xiě)好我們的高中教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的正余弦定理的應(yīng)用，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

課時(shí)5正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用
一、課前演練：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B則ΔABC的形狀為
2、在中，各邊分別為，且，
則外接圓的直徑為
3、在中，，則=
4、在一幢20米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?00，塔底的仰角為450，那么這座塔的高度是_________米.
5、在中，若則的面積為
6、三角形的兩邊分別是5和3，他們夾角的余弦是方程的
根，則三角形的面積
7、在中，滿足條件,,,則，
的面積等于
8、在中，且，求和.

二、例題剖析：
例1：在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，求邊。

例2：已知三角形的一個(gè)角為，面積為，周長(zhǎng)為，求三角形的各邊長(zhǎng)。

例3：在中，角對(duì)邊分別為，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面積.

例4：如圖所示，在地面上有一旗桿，為測(cè)得它的高度，在地面上取一線段，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得。求旗桿的高度（精確到）。

例5：某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間（）

例6:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值

三、課后反饋：
1.在中，若，則
2.在中，已知，則.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒為常數(shù)的是
4.若，則是
5.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為
6.在中，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，則為
7、某人向正東方向走了km后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為km，那么的值為；
8、有一長(zhǎng)為m的斜坡，它的傾斜角是，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改成，則坡底要延伸m；
9、甲船在B島的正南A處，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以km/h的速度向北偏東的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是h;
10、一艘船以km/h的速度沿著與水流方向成的方向航行，已知河水流速為km/h，則經(jīng)過(guò)h，該船實(shí)際航程為;
11、海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，那么B島和C島間的距離是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問(wèn)：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間?

14.某人坐在火車(chē)上看風(fēng)景，他看見(jiàn)遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車(chē)前進(jìn)方向成角的直線上，1分鐘后，他看見(jiàn)寶塔在與火車(chē)前進(jìn)方向成角的直線上，設(shè)火車(chē)的速度是100km/h,求寶塔離鐵路線的垂直距離。

15、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D.現(xiàn)測(cè)得，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔尖A的仰角為，求塔高AB.

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正余弦定理的綜合應(yīng)用

正余弦定理的應(yīng)用舉例

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。你知道怎么寫(xiě)具體的教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“正余弦定理的應(yīng)用舉例”，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

正、余弦定理的應(yīng)用舉例（1）
知識(shí)梳理
一、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解
二．測(cè)量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.
三．解決有關(guān)測(cè)量、航海等問(wèn)題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.
典例剖析
題型一距離問(wèn)題
例1.如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？
解：如圖，連結(jié)，由已知，
，

，又，是等邊三角形，
，由已知，，，
在中，由余弦定理，．．
因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）．答：乙船每小時(shí)航行海里．
題型二高度問(wèn)題
例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，
=。sin4=2sin2cos2
cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE=x，AE=h
在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)
兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=x，由題意，得
BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②
②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
評(píng)析：根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要把題意中的數(shù)據(jù)在圖形中體現(xiàn)出來(lái)。
備選題角度問(wèn)題
例3．如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到，時(shí)間精確到）.
解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪，則，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化簡(jiǎn)，得
，
解得（負(fù)值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角為.
答艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過(guò)就可靠近漁輪.
評(píng)析：本例是正弦定理、余弦定理在航海問(wèn)題中的綜合應(yīng)用.解本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際，找出等量關(guān)系，在畫(huà)示意圖時(shí)，要注意方向角的畫(huà)法。
點(diǎn)擊雙基
一.選擇題：
1．在△ABC中，下列各式正確的是（）
A.ab＝sinBsinAB.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
解：根據(jù)正弦定理得,又sinC=sin(A+B),asin(A＋B)＝csinA
答案：C
2．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望B島和C島成60°的視角，從B島望A島和C島成75°角的視角，則B、C間的距離是（）
A.52nmileB.103nmileC.1036nmileD.56nmile
解：根據(jù)題意知：AB=10，A=60°,B=75°則C=45°,
a===56
答案：D
3．在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（）
?A.米?B.米C.200米D.200米
解：如圖，設(shè)塔高AB為h，
Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°-30°＝30°
∴∠BAC＝120°
∴
∴（m）
答案：A
4．某人以時(shí)速akm向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速akm的南風(fēng)，那么此人感到的風(fēng)向?yàn)?，風(fēng)速為.
答案：東南2a
5．某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行30nmile后看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是.
解：103
課后作業(yè)
1．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、a2＋ab＋b2，則這個(gè)三角形的最大角是（）
A.135°B.120°C.60°D.90°
解：根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，可知a2＋ab＋b2所對(duì)的角為最大角，設(shè)為，則
cos==-,120°
答案：B
2．如下圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)
A.、a、bB.、β、a
C.a、b、γD.α、β、γ
解：根據(jù)正弦定理和余弦定理知，測(cè)量a、b、γ，利用余弦定理
可求AB的長(zhǎng)度。
答案：C

3.海上有A、B、C三個(gè)小島，已知A、B之間相距8nmile，A、C之間相距5nmile，在A島測(cè)得B島和C島的視角為60°，則B島與C島相距的nmile數(shù)為()
A.7B.6C.5D.4
解：根據(jù)題意知：AB=8，AC=5,∠A=60°,根據(jù)余弦定理有BC=8=49，BC=7
答案：A
4．在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，則等于()
A．15°B．10°
C．5°D．20°
解：如圖，BC＝CA，CD＝DA，
設(shè)AE＝h，則
∴2cos2＝，∴cos2＝
∴2＝30°，∴＝15°．
答案：A
5.某人朝正東方向走xkm后，向左轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)正好是km，那么x的值為()
A.B.2C.2或D.3
解：如圖，設(shè)出發(fā)點(diǎn)為A，則由已知可得
AB＝x千米，BC＝3千米
∠ABC＝180°-150°＝30°
AC＝，∴，
∴，
∴∠CAB＝60°或∠CAB＝120°
當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，∠ACB＝180°-30°-60°＝90°
x＝2千米
當(dāng)∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30°
∴x＝AC＝千米
答案：C
6.已知一塔高80m，分別在塔底和塔頂測(cè)得一山的山頂?shù)难鼋欠謩e是60°和30°，則山高為()
A.240mB.180mC.140mD.120m
解：D
7.如圖,建造一幢寬為,房頂橫截面為等腰三角形的住房,則∠ABC=,則等于()時(shí),可使雨水從房頂最快流下.
A.300B.450C.600D.任意角
解：根據(jù)題意知s=AB=，加速度a=gsin.
由s=得t=,=45時(shí)t最小
答案：B
8.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2km/h,則經(jīng)過(guò),該船的實(shí)際航程為()
A.B.C.D.
解：船的實(shí)際速度是v==2,則經(jīng)過(guò),該船的實(shí)際航程為2=6
答案：B
二．填空題
9．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲(chóng)，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________．
解：如圖，
∠ABC＝180°-105°＝75°
∠BCA＝180°-135°＝45°，
BC＝10cm
∴∠A＝180°-75°-45°＝60°
∴
10．坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100m，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)________．
解：如圖，DB＝100m
∠BDA＝45°，∠BCA＝30°
設(shè)CD＝x
∴(x＋DA)tan30°＝DAtan45°
又DA＝BDcos45°＝100×
∴x＝-DA

＝50(-1)
＝50()(m)
答案：50()m
11．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在
同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與．測(cè)得∠BCD＝15°，
∠BDC＝30°，CD＝30米，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)?br> 仰角為60°,則BC=米,塔高AB=米。
解：在，，
∵
∴
在中，
∴
答案：，
三．解答題
12.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？
解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10?！?，∴sin∠ACB=，
∵∠ACB90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船應(yīng)朝北偏東41°方向沿直線前往B處救援。
13．如圖，某海島上一觀察哨在上午時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的處，時(shí)分測(cè)得輪船在海島北偏西的處，時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn)，求船速.
解：設(shè)，船的速度為，則，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.
14.如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC＝0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）解：在中，＝30°，
＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底邊AD的中垂線，所以BD＝BA5分
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距離約為0.33km。

正、余弦定理的綜合應(yīng)用

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用