高中歷史必修二教案

高中數(shù)學(xué)必修四第二章平面向量章末小結(jié)導(dǎo)學(xué)案。

第二章平面向量章末小結(jié)
【本章知識體系】
【題型歸納】
專題一、平面向量的概念及運(yùn)算
包含向量的有關(guān)概念、加法、減法、數(shù)乘。向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算。利用向量證明三點共線時，應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．
1、1.AB→＋AC→－BC→＋BA→化簡后等于()
A．3AB→B.AB→
C.BA→D.CA→
2、在平行四邊形ABCD中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，則下列運(yùn)算正確的是()
A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0
B．a(chǎn)－b＋c－d＝0
C．a(chǎn)＋b－c－d＝0
D．a(chǎn)－b－c＋d＝0
3、已知圓O的半徑為3，直徑AB上一點D使AB→＝3AD→，E、F為另一直徑的兩個端點，則DE→DF→＝()
A．－3B．－4
C．－8D．－6
4、如圖，在正方形ABCD中，設(shè)AB→＝a，AD→＝b，BD→＝c，則在以a，b為基底時，AC→可表示為________，在以a，c為基底時，AC→可表示為________．

5、下列說法正確的是()
A．兩個單位向量的數(shù)量積為1
B．若ab＝ac，且a≠0，則b＝c
C．AB→＝OA→－OB→
D．若b⊥c，則(a＋c)b＝ab

專題二、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算強(qiáng)化了向量的代數(shù)意義。若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，解題過程中，常利用向量相等，則其坐標(biāo)相同這一原則。

6、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()
A．1B.2
C．2D．4

7、設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則d＝()
A．(2,6)B．(－2,6)
C．(2，－6)D．(－2，－6)

8、已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c滿足ac＝0，且|a|＝|c|，bc0，則c＝________.

專題三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解決了所有向量之間的相互關(guān)系，為我們研究向量提供了依據(jù)。
9、已知AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，設(shè)AD→＝a，BE→＝b，則BC→等于()
A.43a＋23b
B.23a＋43b
C.23a－43b
D．－23a＋43b

10、在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點，則A，B，C三點在同一直線上的等價條件為存在唯一的實數(shù)λ，使得OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→成立，此時稱實數(shù)λ為“向量OC→關(guān)于OA→和OB→的終點共線分解系數(shù)”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量OP3→與向量a＝(1,1)垂直，則“向量OP3→關(guān)于OP1→和OP2→的終點共線分解系數(shù)”為()
A．－3B．3C．1D．－1

11、已知O，A，B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C，滿足2AC→＋CB→＝0，
(1)用OA→，OB→表示OC→；
(2)若點D是OB的中點，證明四邊形OCAD是梯形．
解：

12、如圖，平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H、M是AD、DC的中點，BC上點F使BF＝13BC.
(1)以a、b為基底表示向量AM→與HF→；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求AM→HF→.

專題四、平面向量的數(shù)量積
求平面向量的數(shù)量積的方法有兩個：一個是根據(jù)數(shù)量積的定義ab＝|a||b|cosθ，其中θ為向量a，b的夾角；另一個是根據(jù)坐標(biāo)法，坐標(biāo)法是a＝(，)，b＝(，)時，ab＝＋。利用數(shù)量積可以求長度，也可判斷直線與直線的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)為代數(shù)問題解決．
13、在直角坐標(biāo)系xOy中，AB→＝(2,1)，AC→＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，則k的可能值個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4

14、A，B，C，D為平面上四個互異點，且滿足(DB→＋DC→－2DA→)(AB→－AC→)＝0，則△ABC的形狀是()
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形

15、已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝23，且a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca＝________.

16．已知|a|＝1，|b|＝1，a與b的夾角為120°，則向量2a－b在向量a＋b方向上的投影為________．

17．如圖所示，在正方形ABCD中，已知|AB→|＝2，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點，則AB→AN→的最大值是________．

18、設(shè)平面上向量a＝(cosα，sinα)(0≤α2π)，b＝(－12，32)，a與b不共線．
(1)證明向量a＋b與a－b垂直；
(2)當(dāng)兩個向量3a＋b與a－3b的模相等時，求角α.
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19、已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角．

專題五、平面向量的應(yīng)用
用向量的方法研究代數(shù)問題與一些幾何問題，往往能有一種簡易的奇妙效果，關(guān)鍵是建立幾何與向量問題的聯(lián)系，利用向量的運(yùn)算。
20、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對角線BD上的一點，且BE：ED=2:3，連接CE并延長交AB與F，求AF：FB的值。

21、在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點．
(1)求點C(s，t)；
(2)設(shè)點C(s，t)是第一象限的點，若AP→＝AB→－mAC→，m∈R，則m為何值時，點P在第二象限？

相關(guān)知識

第二章平面向量

第二章平面向量
本章內(nèi)容介紹
向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系.
向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景.在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題.
本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念.（讓學(xué)生對整章有個初步的、全面的了解.）

第1課時
§2.1平面向量的實際背景及基本概念
教學(xué)目標(biāo)：
1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.
2.通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
3.通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.
教學(xué)重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.
教學(xué)難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.
學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.
教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)思路：

一、情景設(shè)置：
如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.
分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.
引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
二、新課學(xué)習(xí)：
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量
（二）請同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）
1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？
2、如何表示向量？
3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？
4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？
5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？
6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？
7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？
（三）探究學(xué)習(xí)
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點與終點字母：；
④向量的大小――長度稱為向量的模，記作||.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.
注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).
7、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
（四）理解和鞏固：
例1書本86頁例1.
例2判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相同）
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）
例3下列命題正確的是（）?
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線?
B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點?
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量?
D.有相同起點的兩個非零向量不平行
解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.
例4如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量.
變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量共線的向量有哪些？（）
課堂練習(xí)：
1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.?
①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；?
②單位向量都相等；?
③任一向量與它的相反向量不相等；?
④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝
⑤一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；?
⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.
2．書本88頁練習(xí)
三、小結(jié)：
1、描述向量的兩個指標(biāo)：模和方向.
2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.
3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點、終點.

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.1平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
2.3.1平面向量基本定理

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量基本定理；
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
3.能夠在具體問題中適當(dāng)選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1、實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個，記作；規(guī)定：
（1）|λ|=
（2）λ0時，λ與方向；
λ0時，λ與方向；
λ=0時，λ=
2．運(yùn)算定律：
結(jié)合律：λ(μ)=；
分配律：(λ+μ)=，
λ(+)=

3.向量共線定理：向量與非零向量共線，則有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.

新知梳理：
1．給定平面內(nèi)兩個向量，，請你作出向量3+2，-2，

2.由上，同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使
不共線的向量，叫做這一平面內(nèi)表示所有向量的一組基底。
思考感悟：
(1)基底不惟一，關(guān)鍵是；不同基底下，一個向量可有不同形式表示；
(2)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù).

3.向量的夾角:平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？

已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角。

當(dāng)=，、同向；
當(dāng)=，、反向；統(tǒng)稱為向量平行，記作
如果=，與垂直，記作⊥。

對點練習(xí)：
1.設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共線，則+與＝6-2的關(guān)系（）
A.不共線B.共線
C.相等D.無法確定

3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一組基底，且＝λ1+λ2，則與，
與．(填共線或不共線).

【合作探究】
典例精析：
例1：已知向量，求作向量2.5+3

變式1：已知向量、(如圖),求作向量：
（1）+2.?（2）-+3

例2:如圖，，不共線，且
，用，來表示

變式2：已知G為△ABC的重心,設(shè)=,=,試用、表示向量.

【課堂小結(jié)】
知識、方法、思想

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,其中所列述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,有如下四個命題：
①給定向量,總存在向量,使;
②給定向量和,總存在實數(shù)和,使;
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使;
④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;
上述命題中的則真命題的個數(shù)是()（）
A．1B．2C．3D

2.如圖，正六邊形ABCDEF中，=
A．B．C．D．

3.在中，，，，為的中點，則____________.（用表示）

【課時作業(yè)】
1、若、不共線，且λ+μ=（λ、μ），則（）
A．=,=B．=0,=0
C．=0,=D．=,=0
2．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE與AC相交于點E，M是BC的中點，AM與DE相交于點N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，則x＋y等于()
A．1B.12C.14D.18

3．在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M為BC的中點，則MN→＝________.(用a，b表示)．

4.如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和

5.設(shè)與是兩個不共線向量,=3+4,=-2+5,若實數(shù)λ、μ滿足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如圖，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一點，若AP→＝mAB→＋211AC→，求實數(shù)m的值．

7.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，設(shè)Q為CP延長線與AB的交點，令CP→＝p，用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4

高中數(shù)學(xué)必修四2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
2．會用坐標(biāo)表示平面向量的線性運(yùn)算；會用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

【知識重溫】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個______向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，，使＝__________.向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2．平面向量的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸______的兩個單位向量、作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)x，y，使得＝__________，則有序數(shù)對(x、y)叫做向量的坐標(biāo)，記作__________，其中x，y分別叫做在x軸、y軸上的坐標(biāo)，＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，則
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，故基底的選取是不唯一。
平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底，線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．

2．向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)區(qū)別
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為起點的向量＝，此時點A的坐標(biāo)與的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

當(dāng)平面向量平行移動到時，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．

對點練習(xí)：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，則12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋與4－2平行，則實數(shù)x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(＋λ)∥，則λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各組向量中，能作為基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自學(xué)探究】
考點一平面向量基本定理
例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝，＝，試用，表示，.

規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．解題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．

變式1：如圖，在△ABC中，＝13，P是BN上的一點，若＝m＋211，則實數(shù)m的值為__________．

考點二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求滿足＝m＋n的實數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．

規(guī)律總結(jié)：若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用．
變式2在ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示
例3、平面內(nèi)給定三個向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列問題：
(1)若(＋k)∥(2－)，求實數(shù)k；
(2)設(shè)＝(x，y)滿足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
規(guī)律總結(jié)：用坐標(biāo)來表示向量平行，實際上是一種解析幾何(或數(shù)形結(jié)合)的思想，其實質(zhì)是用代數(shù)(主要是方程)計算來代替幾何證明，這樣就把抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化為了計算．
變式3、
(1)(2013陜西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，則實數(shù)m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為__________．

【課堂小結(jié)】
1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．
2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理．
3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
4．要注意區(qū)分點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有可能。
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，則2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭陽二模)已知點A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，則點B的坐標(biāo)為()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015許昌模擬)在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知兩點在直線AB上，求一點P是。

【課時作業(yè)】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）與相等，已知A（1，2）和B（3，2），則x的值為()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一個平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別是（5，7），（－3，5），（3，4），則第四個頂點的坐標(biāo)不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點P在P1P2的延長線上,,則P點坐標(biāo)為()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A（3,1），B（－1,3），若點C滿足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知點A（－1，5），若向量與向量＝（2，3）同向，且＝3，則點B的坐標(biāo)為_____________

6、平面上三個點，分別為A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D為線段BC的中點，則向量的坐標(biāo)為_______________

7、已知點A（－1，2），B（2，8）及，，求點C、D和的坐標(biāo)。

8、已知平行四邊形ABCD的一個頂點坐標(biāo)為A（－2，1），一組對邊AB、CD的中點分別為M（3，0）、N（－1，－2），求平行四邊形的各個頂點坐標(biāo)。
【延伸探究】
如圖，中AD是三角形BC邊上的中線且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。

高中數(shù)學(xué)必修四2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念；掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2.會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

【新知自學(xué)】
知識回顧：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=______________
(1)不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組；
(2)由定理可將任一向量在給出基底，的條件下進(jìn)行分解；分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的實數(shù)對；
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=，、同向，當(dāng)=，
、反向，當(dāng)=，與垂直，記作⊥。
3．向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，取=(1,0)，=(0,1)作為一組基底,設(shè)=x+y，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)。
新知梳理：
1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知：=(),=()，我們考慮如何得出、、的坐標(biāo)。
設(shè)基底為、，
則=
=
即=，
同理可得=
結(jié)論：(1)若=(),=()，
則，
即：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于.
（2）若=(x,y)和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

思考感悟：
已知，，怎樣來求的坐標(biāo)？
若，，==
則=
結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的

對點練習(xí)：
1.設(shè)向量，坐標(biāo)分別是（-1，2），（3，-5）則+=__________，
-=________，3=_______，2+5=___________
2.如右圖所示，平面向量的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.

3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則2=.

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).

變式1：已知，求：
（1）
（2）
（3）

例2：已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)。

*變式2：設(shè)，，,用表示

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、設(shè)則=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，則=（）
A．（-8，1）B．
C．（-16,2）D．(8,-1)
3、若點A的坐標(biāo)是，向量=，則點B的坐標(biāo)為（）
A．
B．
C．
D．
4、已知
則=（）
A．（6，-2）B．（5，0）
C．（-5，0）D．（0，5）

【課時作業(yè)】
1．如圖，已知，，
點是的三等分點，則（）
A.B.
C.D.

2．若M(3，-2)N(-5，-1)且，則P點的坐標(biāo)

*3．已知
，
則

*4.在△ABC中，點P在BC上，且BP→＝2PC→，點Q是AC的中點，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，則BC→＝________.

5.已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

6.已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,2)，以，為基底，試將分解為的形式．

7.已知三個力=(3，4)，=(2，5)，=(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).

8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，求第四個頂點的坐標(biāo)。

9.已知點，若，
（1）試求為何值時，點P在第一、三象限的交平分線上？
（2）試求為何值時，點P在第三象限？

【延伸探究】
已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，試問：
(1)t為何值時，P在x軸上，P在y軸上，P在第二象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由．