高中牛頓第二定律教案

第二章平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)。

新課標(biāo)人教版

必修4第二章平面向量
內(nèi)容：《平面向量》
課型：新授課

第二部分教學(xué)設(shè)計(jì)
2.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算
授課人：蘇仕劍
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
2、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；
3、掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；
4、了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。
【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，記作；長度為______的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
規(guī)定：與______向量平行；長度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。
3、向量減法
向量加上的相反向量叫做與的差，記作_________________________，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。
4、實(shí)數(shù)與向量的積
實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關(guān)。
5、兩向量共線的充要條件
向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得__________。
【典型例題】

例1在四邊形ABCD中，等于（）
A、B、C、D、
例2若平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且，，則、表示向量為（）
A、+B、—C、—+D、——
例3設(shè)、是兩個(gè)不共線的向量，則向量與向量共線的充要條件是（）
A、0B、C、1D、2
例4下列命題中：
（1）=，=則=
（2）||=||是=的必要不充分條件
（3）=的充要條件是
（4）=（）的充要條件是=
其中真命題的有__________________。
例5如圖5-1-1，以向量，
為邊作平行四邊形AOBD，又，
，用、表示、和。
圖5-1-1
【課堂練習(xí)】
1、（）
A、B、C、D、
2、“兩向量相等”是“兩向量共線”的（）
A、充分不必要條件B、必要不充分條件
C、充要條件D、既不充分也不必要條件
3、已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等于（）
A、
B、
C、
D、
4、若||=1，||=2，=且，則向量與的夾角為（）
A、300B、600C、1200D、1500
【課堂反思】

2.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
授課人：陳銀輝
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、知識(shí)與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
2、能力目標(biāo)：會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；
3、情感目標(biāo)：通過對(duì)平面向量的基本定理來理解坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)從圖形到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程，鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。
【學(xué)習(xí)過程】
1、平面向量基本定理
如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使，其中不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組。
2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸正方向相同的兩個(gè)向量、作為基底，對(duì)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、使得，則實(shí)數(shù)對(duì)（，）叫做向量的直角坐標(biāo)，記作=，其中、分別叫做在軸、軸上的坐標(biāo)，叫做向量的表示。相等向量其坐標(biāo)，坐標(biāo)相同的向量是向量。
3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）若=，=，則=
（2）若A，B，則
（3）若=（，），則
4、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若=，=，則//的充要條件是
5、若，其中，則有：
；
。
【典型例題】
例1設(shè)、分別為與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，若則向量的坐標(biāo)是（）
A、（2，3）B、（3，2）C、（—2，—3）D、（—3，—2）
例2已知向量，且//則等于()
A、B、—C、D、—
分析同共線向量的充要條件易得答案。
例3若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()
A、與—B、3與2C、+與—D、與2
例4已知當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，+2與2—4平行？

【課堂練習(xí)】
1、已知=（1，2），=（—2，3）若且
則____________,_________________。
2、已知點(diǎn)A（，1）、B（0，0）、C（，0），設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有其中等于()
A、2B、C、—3D、
3、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A若點(diǎn)C滿足，其中、且+則點(diǎn)C的軌跡方程為()
A、B、
C、D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。
【課堂反思】

2.3平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算
授課人：曾俊杰
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：
（1）理解向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；
（2）理解一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義；
（3）掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律；
（4）理解兩個(gè)向量的夾角定義；
2．過程與方法：
（1）能用投影的定義求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影；
（2）能區(qū)別數(shù)乘向量與向量的數(shù)量積；
（3）掌握兩向量垂直、平行和反向時(shí)的數(shù)量積；
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
（1）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想理解向量的數(shù)量積及它的幾何意義；
（2）使學(xué)生體會(huì)周圍事物周期變化的奧秘，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；
（3）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
【學(xué)習(xí)過程】
1、請(qǐng)寫出平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式：
（1）若=，=，則=
（2）若A，B，則
（3）若=（，），則
2、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若=，=，則//的充要條件是

3、兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量與，作＝，＝，則_________________________叫與的夾角.
4、我們知道，如果一個(gè)物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W=

5、數(shù)量積的概念：
（1）兩個(gè)非零向量、，過O作=，=，則∠AOB叫做向量與的夾角，顯然，夾角
（2）若與的夾角為90，則稱與垂直，記作⊥
（3）、是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。
即=||||cos
規(guī)定=0，顯然，數(shù)量積的公式與物理學(xué)中力所做功的運(yùn)算密切相關(guān)。
特別提醒：
（1）（０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，
1)=0
2)當(dāng)與同向時(shí)，=||||；當(dāng)與反向時(shí)，=||||
特別的=||2或.
3)cos=；
4)||≤||||

6、“投影”的概念：如圖
定義：____________叫做向量b在a方向上的投影
特別提醒：
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|

3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
交換律：=______
數(shù)乘結(jié)合律：=_________=__________
分配律：=_____________

【典型例題】
例1邊長為的正三角形ABC中，設(shè)，，則
=

例2已知△ABC中，，，，ABC的面積，且||=3，||=5，則與的夾角為
例3已知=（1，2），=（6，—8）則在上的投影為

【課堂練習(xí)】
1、已知、均為單位向量，它們的夾角為那么=

2、已知單位向量與的夾角為，且，，求及與的夾角。
3、若，，且向量與垂直，則一定有()
A、B、C、D、且
4、設(shè)是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題
①
②
③不與垂直
④
其中正確的有（）
A、①②B、②③C、③④D、②④
5、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足，則
的值等于__________
【課后反思】

2.4平面向量的應(yīng)用
授課人：劉曉聰
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力
2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)物理中的問題進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算，并在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力
二、過程與方法
1.通過例題，研究利用向量知識(shí)解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”等問題
2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用向量知識(shí)處理平面幾何問題、力學(xué)問題與其它一些實(shí)際問題是一種行之有效的工具；和同學(xué)一起總結(jié)方法，鞏固強(qiáng)化.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
1.以學(xué)生為主體，通過問題和情境的設(shè)置，充分調(diào)動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.
2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)用向量研究幾何以及其它學(xué)科有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)；提高學(xué)生遷移知識(shí)的能力、運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.

【學(xué)習(xí)過程】
請(qǐng)認(rèn)真思考后，回答下列問題：
1、判斷：
（1）若四點(diǎn)共線，則向量（）
（2）若向量，則四點(diǎn)共線（）
（3）若，則向量（）
（4）只要向量滿足，就有（）
2、提問：
（1）兩個(gè)非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達(dá)形式）

（2）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達(dá)形式）

【典型例題】
例1已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC長．

變式已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D在線段BC
上，且BD=2DC求AD長．

例２如圖，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN．
【課堂練習(xí)】
⊿ABC中，AD，BE是中線，AD，BE相交于點(diǎn)G
（1）求證：AG=2GD
（2）若F為AB中點(diǎn)，求證G、F、C三點(diǎn)共線．

精選閱讀

第二章2.32．3.1平面向量基本定理講義

2．3.1平面向量基本定理
預(yù)習(xí)課本P93～94，思考并完成以下問題
(1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？
(2)如何定義平面向量基底？
(3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？

[新知初探]
1．平面向量基本定理
條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量
結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
[點(diǎn)睛]對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底．
2．向量的夾角
條件兩個(gè)非零向量a和b
產(chǎn)生過程
作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角

范圍0°≤θ≤180°
特殊情況θ＝0°a與b同向
θ＝90°a與b垂直，記作a⊥b
θ＝180°a與b反向

[點(diǎn)睛]當(dāng)a與b共線同向時(shí)，夾角θ為0°，共線反向時(shí)，夾角θ為180°，所以兩個(gè)向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底．()
(2)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()
(3)零向量不可以作為基底中的向量．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案：B
3．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()
A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______．
答案：135°

用基底表示向量

[典例]如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，.
[解]法一：由題意知，＝＝12＝12a，＝＝12＝12b.
所以＝＋＝－＝12a－12b，
＝＋＝12a＋12b，
法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，
又＋＝，－＝，則x＋y＝a，y－x＝b，
所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，
即＝12a－12b，＝12a＋12b.
用基底表示向量的方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活學(xué)活用]
如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴＝13＝13b.
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴＝＝12＝16b.
∵＝12，∴＝12b，
∴＝＋＋
＝－16b－a＋12b＝13b－a，
＝＋＝－16b＋13b－a＝16b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－16b－a＋12b
＝a－23b.

向量夾角的簡單求解
[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b.
因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.

求兩個(gè)向量夾角的方法
求兩個(gè)向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角．過程簡記為“一作二證三算”．

[活學(xué)活用]
如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角．
解：(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
如圖，延長AB至點(diǎn)D，使AB＝BD，則＝，
∴∠DBC為向量與的夾角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量與的夾角為120°.
(2)∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
∴與的夾角為90°.
平面向量基本定理的應(yīng)用
[典例]如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN.
[解]設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.
∴＝45，＝35，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝25，
＝＋＝＋25＝b＋25(－)
＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
2．[變條件]若本例中的點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.
解：如圖，設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.
∴＝23，＝23，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：選D如圖，與的夾角為∠ABC＝150°.
2．設(shè)點(diǎn)O是?ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()
①與；②與；③與；④與.
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：選B尋找不共線的向量組即可，在?ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底．
3．若AD是△ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝()
A．12(a－b)B．12(a＋b)
C．12(b－a)D．12b＋a
解析：選B如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝，即－＝－，從而＝12(＋)＝12(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝e1，＝e2，則＝()
A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)
解析：選A因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，＝e1，＝e2，所以＝12(＋)＝12(e1＋e2)，故選A.
5．(全國Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則()
A．＝－13＋43
B．＝13－43
C．＝43＋13
D．＝43－13
解析：選A由題意得＝＋＝＋13＝＋13－13＝－13＋43.
6．已知向量a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______．
解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，a＝k2e1＋1－5k2e2與b＝2e1＋3e2共線，則實(shí)數(shù)k＝______.
解析：由題設(shè)，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或13.
答案：－2或13
8．如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基底時(shí)，可表示為______，在以a，c為基底時(shí)，可表示為______．
解析：以a，c為基底時(shí)，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得．
答案：a＋b2a＋c
9.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且＝13，＝13，＝13，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來．
解：＝－
＝13－23＝13a－23b，
＝－＝－13－23＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
＝－＝－(＋)＝13(a＋b)．
10．證明：三角形的三條中線共點(diǎn)．
證明：如圖所示，設(shè)AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a.
設(shè)G在AD上，且AGAD＝23，則有＝＋＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
＝－＝12b－a.
∴＝－＝23－
＝13(a＋b)－a＝13b－23a
＝2312b－a＝23.
∴G在BE上，同理可證＝23，即G在CF上．
故AD，BE，CF三線交于同一點(diǎn)．
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，設(shè)＝a，＝b，則可用基底a，b表示為()
A．12(a＋b)B．23a＋13b
C．13a＋23bD．13(a＋b)
解析：選C∵＝2，∴＝23.
∴＝＋＝＋23＝＋23(－)＝13＋23＝13a＋23b.
2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝()
A．43a＋23bB．23a＋43b
C．23a－23bD．－23a＋23b
解析：選B設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F，則＝13a，＝23b.所以＝＋＝23b＋13a，所以＝2＝23a＋43b.
3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()
A．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0
B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R
D．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì)
解析：選BA中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對(duì)．
4．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是()
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
解析：選A由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.
5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b
＝23a＋－13b.
答案：23－13
6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________．
解析：由題意可畫出圖形，
在△OAB中，
因?yàn)椤螼AB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a與c的夾角為90°.
答案：90°
7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得λ＝1，3λ＝－2λ＝1，λ＝－23.
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分別為3和1.
8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：＝34＋14.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比．
(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如圖，由＝34＋14可知M，B，C三點(diǎn)共線，
令＝λ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λλ＝14，所以S△ABMS△ABC＝14，即面積之比為1∶4.
(2)由＝x＋y＝x＋y2，＝x4＋y，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線x＋y2＝1，x4＋y＝1x＝47，y＝67.

第二章平面向量第3課時(shí)2.2向量的減法教案

第3課時(shí)§2.2向量的減法
【教學(xué)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
1．掌握向量減法及相反向量的的概念；
2．掌握向量減法與加法的逆運(yùn)算關(guān)系，并能正確作出已知兩向量的差向量；
3．能用向量運(yùn)算解決一些具體問題。
二、過程與方法
通過知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程教學(xué)使學(xué)生感受和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)發(fā)展的過程及其思想.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
（1）在學(xué)完向量加法后再學(xué)習(xí)向量減法指導(dǎo)學(xué)生辨證的看待和解決問題。
（2）數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系能夠引導(dǎo)學(xué)生注意用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題
【教學(xué)重點(diǎn)】向量減法定義和法則
【教學(xué)難點(diǎn)】向量減法法則的應(yīng)用
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)：
1．向量的加法法則。
2．?dāng)?shù)的運(yùn)算：減法是加法的逆運(yùn)算
二、講解新課：
1．相反向量：與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。
說明：（1）規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性質(zhì)：；．
2．向量的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。表示．
3．向量減法的法則：
已知如圖有，，求作．
（1）三角形法則：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則．

說明：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（，有共同起點(diǎn)）．
（2）平行四邊形：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，
則．
思考：若，怎樣作出？
四、例題分析：
例1、如圖,是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn),若,,
試證明..
例2、用向量方法證明：對(duì)角線互相平行的四邊形是平行四邊形

例3、試證：對(duì)任意向量，都有．

五、課時(shí)小結(jié)：
1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；
2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則

第二章平面向量第2課時(shí)2.2向量的加法教案

第2課時(shí)§2.2向量的加法
【教學(xué)目標(biāo)】
一、知識(shí)與技能
（1）理解向量加法的含義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和；
（2）掌握兩個(gè)向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算
二、過程與方法
從物體位移變化規(guī)律的探知中總結(jié)出向量加法規(guī)律
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
感受數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】：：1．如何作兩向量的和向量；
2．向量加法定義的理解。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知點(diǎn)是正六邊形的中心，則下列向量組中含有相等向量的是（）
（）、、、（）、、、
（）、、、（）、、、

二、創(chuàng)設(shè)情景
利用向量的表示，從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A的位移為OA，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的位移為AB，那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之間有何關(guān)系？
三、講解新課：
1．向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：
作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（如圖（2）），作，，則.

（1）（2）
2．向量加法的法則：
（1）三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。表示：．
（2）平行四邊形法則：以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。
3．向量的運(yùn)算律：
交換律：．
結(jié)合律：．
說明：多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行：
例如：；．
四、例題分析：
例1、如圖，一艘船從點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，求船實(shí)際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。

例2、已知矩形中，寬為，長為，，，，
試作出向量，并求出其模的大小。
例3、一架飛機(jī)向北飛行千米后，改變航向向東飛行千米，
則飛行的路程為400千米；兩次位移的和的方向?yàn)楸逼珫|，
大小為千米．

例4、在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地度過長江，其航向應(yīng)如何確定？

變式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影響，渡船的實(shí)際航向如何？

例5、已知兩個(gè)力，的夾角是直角，且知它們的合力與的夾角是，
牛，求和的大小

五、課時(shí)小結(jié)：
1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；
2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則

高中數(shù)學(xué)必修四第二章平面向量章末小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

第二章平面向量章末小結(jié)
【本章知識(shí)體系】
【題型歸納】
專題一、平面向量的概念及運(yùn)算
包含向量的有關(guān)概念、加法、減法、數(shù)乘。向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算。利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．
1、1.AB→＋AC→－BC→＋BA→化簡后等于()
A．3AB→B.AB→
C.BA→D.CA→
2、在平行四邊形ABCD中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，則下列運(yùn)算正確的是()
A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0
B．a(chǎn)－b＋c－d＝0
C．a(chǎn)＋b－c－d＝0
D．a(chǎn)－b－c＋d＝0
3、已知圓O的半徑為3，直徑AB上一點(diǎn)D使AB→＝3AD→，E、F為另一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則DE→DF→＝()
A．－3B．－4
C．－8D．－6
4、如圖，在正方形ABCD中，設(shè)AB→＝a，AD→＝b，BD→＝c，則在以a，b為基底時(shí)，AC→可表示為________，在以a，c為基底時(shí)，AC→可表示為________．

5、下列說法正確的是()
A．兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為1
B．若ab＝ac，且a≠0，則b＝c
C．AB→＝OA→－OB→
D．若b⊥c，則(a＋c)b＝ab

專題二、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算強(qiáng)化了向量的代數(shù)意義。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，解題過程中，常利用向量相等，則其坐標(biāo)相同這一原則。

6、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()
A．1B.2
C．2D．4

7、設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則d＝()
A．(2,6)B．(－2,6)
C．(2，－6)D．(－2，－6)

8、已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c滿足ac＝0，且|a|＝|c|，bc0，則c＝________.

專題三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解決了所有向量之間的相互關(guān)系，為我們研究向量提供了依據(jù)。
9、已知AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，設(shè)AD→＝a，BE→＝b，則BC→等于()
A.43a＋23b
B.23a＋43b
C.23a－43b
D．－23a＋43b

10、在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)在同一直線上的等價(jià)條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→成立，此時(shí)稱實(shí)數(shù)λ為“向量OC→關(guān)于OA→和OB→的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量OP3→與向量a＝(1,1)垂直，則“向量OP3→關(guān)于OP1→和OP2→的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為()
A．－3B．3C．1D．－1

11、已知O，A，B是平面上不共線的三點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2AC→＋CB→＝0，
(1)用OA→，OB→表示OC→；
(2)若點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，證明四邊形OCAD是梯形．
解：

12、如圖，平行四邊形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H、M是AD、DC的中點(diǎn)，BC上點(diǎn)F使BF＝13BC.
(1)以a、b為基底表示向量AM→與HF→；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求AM→HF→.

專題四、平面向量的數(shù)量積
求平面向量的數(shù)量積的方法有兩個(gè)：一個(gè)是根據(jù)數(shù)量積的定義ab＝|a||b|cosθ，其中θ為向量a，b的夾角；另一個(gè)是根據(jù)坐標(biāo)法，坐標(biāo)法是a＝(，)，b＝(，)時(shí)，ab＝＋。利用數(shù)量積可以求長度，也可判斷直線與直線的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)為代數(shù)問題解決．
13、在直角坐標(biāo)系xOy中，AB→＝(2,1)，AC→＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，則k的可能值個(gè)數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4

14、A，B，C，D為平面上四個(gè)互異點(diǎn)，且滿足(DB→＋DC→－2DA→)(AB→－AC→)＝0，則△ABC的形狀是()
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形

15、已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝23，且a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca＝________.

16．已知|a|＝1，|b|＝1，a與b的夾角為120°，則向量2a－b在向量a＋b方向上的投影為________．

17．如圖所示，在正方形ABCD中，已知|AB→|＝2，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則AB→AN→的最大值是________．

18、設(shè)平面上向量a＝(cosα，sinα)(0≤α2π)，b＝(－12，32)，a與b不共線．
(1)證明向量a＋b與a－b垂直；
(2)當(dāng)兩個(gè)向量3a＋b與a－3b的模相等時(shí)，求角α.

19、已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角．

專題五、平面向量的應(yīng)用
用向量的方法研究代數(shù)問題與一些幾何問題，往往能有一種簡易的奇妙效果，關(guān)鍵是建立幾何與向量問題的聯(lián)系，利用向量的運(yùn)算。
20、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE：ED=2:3，連接CE并延長交AB與F，求AF：FB的值。

21、在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B為直角頂點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)C(s，t)；
(2)設(shè)點(diǎn)C(s，t)是第一象限的點(diǎn)，若AP→＝AB→－mAC→，m∈R，則m為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二象限？