高中向量的教案

高中數(shù)學必修四2.3.4平面向量共線的坐標表示導學案。

2.3.4平面向量共線的坐標表示
【學習目標】
1．理解平面向量共線的坐標表示；
2．掌握平面上兩點間的中點坐標公式及定點坐標公式；
3．會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.

【新知自學】
知識回顧：
1．平面向量基本定理：

2．平面向量的坐標表示:
=x+y，=()

3．平面向量的坐標運算
（1）若=(),=()，
則，
（2）若，，
則

4．什么是共線向量？
新知梳理：
1、兩個向量共線的坐標表示
設=(x1，y1)，=(x2，y2)共線，其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ即可
所以∥()的等價條件是
思考感悟：
（1）上式在消去λ時能不能兩式相除？
（2）條件x1y2-x2y1=0能不能寫成？
(3)向量共線的幾種表示形式：∥()x1y2-x2y1=0

對點練習：
1．若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，則y=（）
A.6B.5C.7D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3

3.若=+2，=(3-x)+(4-y)(其中、的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2
C.3，2D.2，4

【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.

變式1：若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x

變式2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？

例2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.（你有幾種方法）

變式3：已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，
如何求證：四邊形ABCD是梯形.？

規(guī)律總結：要注意向量的平行與線段的平行之間的區(qū)別和聯(lián)系

例3：設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.

思考探究：本例在（1）中P1P：PP2=；在（2）中P1P：PP2=；若P1P：PP2=，如何求點P的坐標？

【課堂小結】
1、知識2.方法3.思想
【當堂達標】
1.若=(-1，x)與=(－x，2)共線且方向相同，則x=．

2.已知=(1，2)，=(x，1)，若與平行，則x的值為

3.設=(4，－3)，=(x，5)，=(－1，y)，若+=，則（x，y）=．

4、若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三點共線，則x=．
【課時作業(yè)】
1.已知=(5，－3)，C(－1，3)，=2，則點D坐標
A．(11，9)B．(4，0)
C．(9，3)D．(9，-3)

2、若向量=(1，－2)，||=4||，且，共線，則可能是
A．(4，8)B．(－4，8)
C．(－4，－8)D．(8，4)
3*、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)．若點C(x，y)滿足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R且α＋β＝1，則x，y所滿足的關系式為()
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0

4、已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+與+λ（λ∈R）平行，則λ=．

5、已知||=10，=（4，－3），且∥，則向量的坐標是．

*6．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？
(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．

7.如圖所示，在你四邊形ABCD中，已知，求直線AC與BD交點P的坐標。

【延伸探究】
1．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運算“”為mn＝(ac－bd，bc＋ad)，運算“⊕”為m⊕n＝(a＋c，b＋d)．設m＝(p，q)，若(1,2)m＝(5,0)，則(1,2)⊕m等于________．
2、如圖所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD與BC相交于點M，求點M的坐標．

延伸閱讀

高中數(shù)學必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐標表示導學案

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，作為高中教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，減輕高中教師們在教學時的教學壓力。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學必修四2.3.2平面向量的正交分解和坐標表示導學案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

2.3.2平面向量的正交分解和坐標表示
【學習目標】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標的概念；
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；
3.能夠在具體問題中適當選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.
【新知自學】
知識回顧：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2；
使得
給定基底，分解形式惟一.λ1，λ2由，，唯一確定.
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，
當=，、同向；當=，、反向（同向、反向通稱平行）；
當=°，稱與垂直，記作。
新知梳理：
由前面知識知道，平面中的任意一個向量都可以用給定的一組基底來表示；當然也可以用兩個互相垂直的向量來表示，這樣能給我們研究向量帶來許多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解為兩個的向量。
思考：在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數(shù)表示，平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐標表示
如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得=x+y………○1
我們把叫做向量的（直角）坐標，記作=(x,y)………○2
其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，○2式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為.
特別地，=(1,0)=(0,1)，=(0,0).
3.在平面直角坐標系中,一個平面向量和其坐標是一一對應的。
如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點為起點作=，則點的位置由唯一確定.
設=x+y，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.
對點練習：
1.如圖，向量、是兩個互相垂直的單位向量，向量與的夾角是30°，且||=4，以向量、為基底，向量=_________

2.在平面直角坐標系下，起點是坐標原點，終點A落在直線上，且模長為1的向量的坐標是___________

【合作探究】
典例精析：
例1：請寫出圖中向量,,的坐標

變式1：請在平面直角坐標系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.

例2:如圖所示，用基底、分別表示向量、、、并求出它們的坐標。

變式2：已知O為坐標原點，點A在第一象限，，，求向量的坐標

【課堂小結】
向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應關系，它使得向量具有代數(shù)意義。
將向量的起點平移到坐標原點，則平移后向量的終點坐標就是向量的坐標。
【當堂達標】
1、已知力在水平方向與豎直方向的分力分別是4和3，則力的實際大小是__________，若水平方向為x軸的正方向，豎直方向為y軸的正方向，則力的坐標表示是______________

2、若，（，為單位向量），則的坐標（x，y）就是____的坐標，即若=（x，y），則點A的坐標就是_______________。

3、如右圖：|OA|=4,B(1,2),求向量的坐標。

【課時作業(yè)】
1．設、是平面直角坐標系內(nèi)分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，且，，則△OAB的面積等于（）
A、15B、10C、7.5D、5
2、在平面直角坐標系中，A（2,3），B(-3,4)，如圖所示，x軸，y軸上的兩個單位向量分別是和，則下列說法正確的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.

3、如圖所示的直角坐標系中，四邊形OABC為等腰梯形，BC‖OA，OC=6，，則用坐標表示下列向量：_______________；
______________；______________；
______________；

4.在直角坐標系xoy中，向量的方向如圖所示，且，分別寫出他們的坐標。

5.如圖，已知O為坐標原點，點A在第一象限，，，求向量的坐標。

【延伸探究】
在平面直角坐標系中，A（1,1），B（-2,4），則向量的坐標是_________

平面向量共線的坐標表示

平面向量共線的坐標表示
教學目的：
（1）理解平面向量的坐標的概念；
（2）掌握平面向量的坐標運算；
（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.
教學重點：平面向量的坐標運算
教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1．平面向量的坐標表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
把叫做向量的（直角）坐標，記作
其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，，，.
2．平面向量的坐標運算
若，，
則，，.
若，，則
二、講解新課：
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
設=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵∴x2，y2中至少有一個不為0
（2）充要條件不能寫成∵x1，x2有可能為0
(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()
三、講解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.
例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.
例4若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)與=(-x，2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.
6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.
五、小結（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設計（略）
八、課后記：

高中數(shù)學必修四2.3平面向量基本定理及坐標表示小結導學案

2.3平面向量基本定理及坐標表示小結
【學習目標】
1.了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．
2．會用坐標表示平面向量的線性運算；會用坐標表示的平面向量共線的條件.

【知識重溫】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個______向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，，使＝__________.向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2．平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸______的兩個單位向量、作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)x，y，使得＝__________，則有序數(shù)對(x、y)叫做向量的坐標，記作__________，其中x，y分別叫做在x軸、y軸上的坐標，＝(x，y)叫做向量的坐標表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐標運算
(1)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，則
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，故基底的選取是不唯一。
平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底，線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．

2．向量坐標與點的坐標區(qū)別
在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝，此時點A的坐標與的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

當平面向量平行移動到時，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化．

對點練習：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，則12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋與4－2平行，則實數(shù)x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(＋λ)∥，則λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各組向量中，能作為基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自學探究】
考點一平面向量基本定理
例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝，＝，試用，表示，.

規(guī)律總結：應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．解題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．

變式1：如圖，在△ABC中，＝13，P是BN上的一點，若＝m＋211，則實數(shù)m的值為__________．

考點二平面向量的坐標運算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求滿足＝m＋n的實數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標及向量的坐標．

規(guī)律總結：若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正確使用．
變式2在ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考點三平面向量共線的坐標表示
例3、平面內(nèi)給定三個向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列問題：
(1)若(＋k)∥(2－)，求實數(shù)k；
(2)設＝(x，y)滿足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
規(guī)律總結：用坐標來表示向量平行，實際上是一種解析幾何(或數(shù)形結合)的思想，其實質(zhì)是用代數(shù)(主要是方程)計算來代替幾何證明，這樣就把抽象的邏輯思維轉化為了計算．
變式3、
(1)(2013陜西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，則實數(shù)m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為__________．

【課堂小結】
1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解．
2．向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數(shù)問題處理．
3．在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結合思想的運用．
4．要注意區(qū)分點的坐標與向量的坐標有可能。
【當堂達標】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，則2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭陽二模)已知點A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，則點B的坐標為()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015許昌模擬)在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知兩點在直線AB上，求一點P是。

【課時作業(yè)】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）與相等，已知A（1，2）和B（3，2），則x的值為()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一個平行四邊形的三個頂點的坐標分別是（5，7），（－3，5），（3，4），則第四個頂點的坐標不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點P在P1P2的延長線上,,則P點坐標為()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3,1），B（－1,3），若點C滿足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知點A（－1，5），若向量與向量＝（2，3）同向，且＝3，則點B的坐標為_____________

6、平面上三個點，分別為A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D為線段BC的中點，則向量的坐標為_______________

7、已知點A（－1，2），B（2，8）及，，求點C、D和的坐標。

8、已知平行四邊形ABCD的一個頂點坐標為A（－2，1），一組對邊AB、CD的中點分別為M（3，0）、N（－1，－2），求平行四邊形的各個頂點坐標。
【延伸探究】
如圖，中AD是三角形BC邊上的中線且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。

2018人教A版高中數(shù)學必修42．3.4平面向量共線的坐標表示講義

2．3.4平面向量共線的坐標表示
預習課本P98～100，思考并完成以下問題
如何利用向量的坐標運算表示兩個向量共線？
[新知初探]
平面向量共線的坐標表示
前提條件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結論當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a、b(b≠0)共線

[點睛](1)平面向量共線的坐標表示還可以寫成x1x2＝y(tǒng)1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例；
(2)當a≠0，b＝0時，a∥b，此時x1y2－x2y1＝0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0a∥b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，則與a＋b共線的向量可以是()
A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，則x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點為A(1,2)，終點B在x軸上，則點B的坐標為________．
答案：73，0
向量共線的判定

[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假設a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，從而1＝2μ，2＝－2μ，方程組顯然無解，即a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，從而假設不成立，故應有a，b共線，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共線．
又＝－2，∴，方向相反．
綜上，與共線且方向相反．
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活學活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行，平行時它們的方向相同還是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b與a－3b平行，則－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此時ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b與a－3b反向．
∴k＝－13時，ka＋b與a－3b平行且方向相反．
三點共線問題

[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求證：A，B，C三點共線；
(2)設向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當k為何值時，A，B，C三點
共線？
[解](1)證明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝32，即與共線．
又∵與有公共點A，∴A，B，C三點共線．
(2)若A，B，C三點共線，則，共線，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.

有關三點共線問題的解題策略
(1)要判斷A，B，C三點是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則A，B，C三點共線；
(2)使用A，B，C三點共線這一條件建立方程求參數(shù)時，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達式．
[活學活用]
設點A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當x為何值時，與共線且方向相同，此時，A，B，C，D能否在同一條直線上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由與共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又與方向相同，所以x＝2.
此時，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以與不共線，
所以A，B，C三點不在同一條直線上．
所以A，B，C，D不在同一條直線上．
向量共線在幾何中的應用

題點一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點C作CE⊥AB于E，用向量的方法證明：DE∥BC；
證明：如圖，以E為原點，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標系，
設||＝1，則||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點坐標分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.

題點二：幾何形狀的判斷
2．已知直角坐標平面上四點A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
證明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴與共線．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴與不共線．
∴四邊形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四邊形ABCD是等腰梯形．
題點三：求交點坐標
3.如圖所示，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點P的坐標．
解：法一：設＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
則＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共線的條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3,3)．
∴P點坐標為(3,3)．
法二：設P(x，y)，
則＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共線，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共線，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，
∴點P的坐標為(3,3)．

應用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟
層級一學業(yè)水平達標
1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：選BA中向量e1為零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故選B.
2．已知點A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，則實數(shù)λ的值為()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：選C根據(jù)A，B兩點的坐標，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故選C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
A．(2,1)B．(－6，－3)
C．(－1,2)D．(－4，－8)
解析：選D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)與(1,2)不平行；(－4，－8)與(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實數(shù)x的值為()
A．－3B．2
C．4D．－6

解析：選D因為(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．設a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：選A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實數(shù)x的值為________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直線AB上，則x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb與a＋b共線，則λ與μ的關系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三點的坐標為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求證：∥.
證明：設E，F(xiàn)的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．
∴點E的坐標為－13，23.
同理點F的坐標為73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ為常數(shù))．
(1)求a＋b；
(2)若a與m平行，求實數(shù)λ的值．
解：(1)因為a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因為b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因為a＝(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
層級二應試能力達標
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線
解析：選C因為a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y軸．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點共線，則y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：選DA，B，C三點共線，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c與d同向
B．k＝1且c與d反向
C．k＝－1且c與d同向
D．k＝－1且c與d反向
解析：選D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c與d反向．

4．已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點的坐標是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：選D設A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四個頂點為D，
①若這個平行四邊形為ABCD，
則＝，∴D(－3，－5)；
②若這個平行四邊形為ACDB，
則＝，∴D(5，－5)；
③若這個平行四邊形為ACBD，
則＝，∴D(1,5)．
綜上所述，D點坐標為(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m應滿足的條件為________．
解析：若點A，B，C能構成三角形，則這三點不共線，即與不共線．
∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點共線，求a與b之間的數(shù)量關系；
(2)若＝2，求點C的坐標．
解：(1)若A，B，C三點共線，則與共線．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，則(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴點C的坐標為(5，－3)．
8.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直線AC與BD交點P的坐標．
解：設P(x，y)，則＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三點共線可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐標為277，167.