小學方程的教案
發(fā)表時間:2020-02-19用二分法求方程的近似解教學設計。
一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性,教師要準備好教案,這是教師工作中的一部分。教案可以讓學生能夠在教學期間跟著互動起來,幫助教師能夠井然有序的進行教學。關于好的教案要怎么樣去寫呢?小編為此仔細地整理了以下內容《用二分法求方程的近似解教學設計》,歡迎您閱讀和收藏,并分享給身邊的朋友!
教學設計3.1.2用二分法求方程的近似解
教學設計(一)
作者:張興娟,邯鄲市第四中學高級教師.本教學設計獲“卡西歐杯”第五屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動一等獎.
學習準備
教師需要明了:
1.新教材為什么增加求方程的近似解?
2.為什么用“二分法”求方程的近似解?
3.本節(jié)內容在教材中的地位和作用.
4.明確學生現(xiàn)有的水平和可能的發(fā)展水平.
學生需要復習:方程的根與函數(shù)的零點的相關知識.
在此基礎上,根據(jù)學生“最近發(fā)展區(qū)”確定本課時教學和學習目標.
教學目標
1.了解二分法是求方程近似解的一種方法.
2.會用二分法求給定精確度的方程的近似解.
3.在具體問題情境中感受逐步逼近的過程.
4.培養(yǎng)學生觀察、分析數(shù)據(jù)的能力.
5.培養(yǎng)學生合作與交流的意識和對新知探求的精神.
教學重點與難點
重點:二分法原理及其探究過程,用二分法求方程的近似解.
難點:對二分法原理的探究,對精確度、近似值的理解.
教學方法與教學手段
教學方法:“問題驅動”,啟發(fā)、探究
學法:自主探究、分組合作、辨析討論、深化理解
教輔工具:計算機、投影儀、計算器
教學過程
1.設置情境,提出問題
問題1:你會求哪些類型方程的解?
寫一寫你不會求解的方程.
設計意圖
讓學生感受有大量的方程不能求解,引起學生的認知沖突,激發(fā)學生的求知欲.
問題2:能不能求方程的近似解?
2.自主探究,獲得新知
以求方程x3+3x-1=0的近似解(精確度0.1)為例進行探究.
探究1:怎樣確定解所在的區(qū)間?
(1)圖象法(數(shù)形結合):
(2)試值法:
設f(x)=x3+3x-1,f(0)=-1<0,f(1)=3>0.
復習:(1)方程的根與函數(shù)零點的關系;
(2)根的存在性定理.
探究2:怎樣縮小解所在的區(qū)間?
幸運52中猜商品價格環(huán)節(jié),讓學生思考:
(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用?
(2)如何猜才能最快猜出商品的價格?
設計意圖
在學生“最近發(fā)展區(qū)”設置問題,搭建平臺,拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離,不僅激發(fā)學生學習興趣,學生也在猜測的過程中逐步體會二分法思想.
問題3:為什么要取中點,好處是什么?
設計意圖
體會二分法優(yōu)于其他如“三分法”,“四分法”,華羅庚的“優(yōu)選法”等.
探究3:區(qū)間縮小到什么程度滿足要求?
設計意圖
利用計算器進行了多次計算,逐步縮小實數(shù)解所在范圍,精確度的確定就顯得非常自然,突破了教學上的難點,提高了探究活動的有效性.
問題4:精確度0.1指的是什么?與精確到0.1一樣嗎?
通過對以上問題的探究,給出二分法的定義就水到渠成了.
二分法的定義:
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
用二分法求零點近似值的步驟:
給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下:
(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0,給定精確度ε;
(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;
(3)計算f(c);
①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;
②若f(a)f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c));
③若f(c)f(b)<0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b)).
(4)判斷是否達到精確度ε:
即若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟(2)~(4).
3.例題剖析,鞏固新知
【例】借助計算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解(精確度0.01).
兩人一組,一人用計算器求值,一人記錄結果;學生講解縮小區(qū)間的方法和過程,教師點評.同時演示用Excel程序求方程的近似解.
設計意圖
(1)演示Excel程序求方程的近似解,界畫活潑,充分體現(xiàn)了信息技術與數(shù)學課程有機整合.進一步明確為什么用“二分法”求方程的近似解.(2)算法流程比較簡潔,便于編寫計算機程序,利用計算器和多媒體輔助教學,直觀明了.
4.知識遷移,生活應用
(1)猜商品價格;
(2)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點,現(xiàn)在某接點發(fā)生故障,需及時修理,為了盡快斷定故障發(fā)生點,一般至少需要檢查接點的個數(shù)為__________.
5.檢驗成果,鞏固提升
(1)下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是()
思維升華:在零點的附近連續(xù)且f(a)f(b)<0.
(2)方程4x+2x-11=0的解在下列哪個區(qū)間內?你能給出一個滿足精確度為0.1的近似解嗎?
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
說明:二分法不僅能求方程的近似解,有時也能求方程的精確解.
6.回顧反思
本節(jié)課你學到了哪些知識?有哪些收獲?還有什么疑問?
(1)預設課堂生成問題(有些同學可能會有這樣的疑惑,若沒有就作為課下拓展留給學生思考).
如圖所示,區(qū)間[a,b]上有多個零點,還能否用二分法求方程的近似解?如果能,該怎樣做?
(2)學生課堂生成新問題(不同的班級可能會有不同的問題,具體問題具體解決).
課外作業(yè)
1.書面作業(yè)
(1)習題3.1A組3,4,5;
(2)求2x+3x=7的近似解(精確度0.1).
2.知識鏈接閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.
板書設計
課題:(投影顯示)
1.提出問題:
2.自主探究:
3.抽象概括:
4.鞏固練習:
5.歸納總結:
教學反思
1.注重學生參與知識的形成過程;
2.注重培養(yǎng)學生的應用意識;
3.恰當?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術.
教學設計(二)
作者:馮紅果,泉州市第七中學教師.本教學設計獲福建省教學設計大賽一等獎.
整體設計
教學內容分析
本節(jié)選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1》人教A版第三章第一節(jié)第二課,主要是分析函數(shù)與方程的關系.教材分三步來進行:第一步,從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手,由具體到一般,建立一元二次方程的根與相應函數(shù)的零點的聯(lián)系.然后推廣為一般方程與相應函數(shù)的情形;第二步,在用二分法求方程近似解的過程中,通過函數(shù)圖象和性質來研究方程的解,體現(xiàn)方程和函數(shù)的關系;第三步,在函數(shù)模型的應用過程中,通過函數(shù)模型以及模型的求解,更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系,逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系.
本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課,即用二分法求方程的近似解.它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據(jù),從求方程近似解這個側面來體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關系”;而且在“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透了算法的思想,為學生后續(xù)學習算法的內容埋下伏筆;充分體現(xiàn)新課程“滲透算學方法,關注數(shù)學文化以及重視信息技術應用”的理念.求方程近似解其中隱含“逼進”的數(shù)學思想,并且運用“二分法”來逼近目標是一種普通而有效的方法,其關鍵是逼近的依據(jù).
學生學習情況分析
同學們有了第一節(jié)課的基礎,對函數(shù)的零點具備基本的認識;而二分法來自生活,是由生活中抽象而來的,只要我們選材得當,能夠激發(fā)學生的學習興趣,達到滲透數(shù)學思想關注數(shù)學文化的目的,學生也能夠很容易理解這種方法.其中運用“二分法”進行區(qū)間縮小的依據(jù)、總結出“運用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運用到生活實際,是需要學生“跳跳”才能摘到的“桃子”.
設計理念
本節(jié)課倡導積極主動、勇于探索的學習方式,應用從生活實際——理論——實際應用的過程,應用數(shù)形結合、圖表、信息技術,采用教師引導——學生探索相結合的教學方法,注重提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力,讓學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象與概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構等思維過程.
教學目標
1.理解二分法的概念,掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法;利用信息技術輔助教學,讓學生用計算器自己驗證求方程近似值的過程;
2.體會二分法的思想和方法,使學生意識到二分法是求方程近似解的一種方法;讓學生能夠了解近似逼近思想,培養(yǎng)學生探究問題的能力和創(chuàng)新能力,以及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度;
3.體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉化的數(shù)學思想方法;感受正面解決問題困難時,通過迂回的方法使問題得到解決的快樂.
教學重點與難點
教學重點:能夠借用計算器用二分法求相應方程的近似解,根所在區(qū)間的確定及逼近的思想.
教學難點:對二分法的理論支撐的理解,區(qū)間長度的縮?。?br> 教學過程
教學基本流程圖
教學情境設計
教學設計學情預設設計意圖知識鏈接
創(chuàng)
設
情
境
引
出
課
題
1.大家都看過《幸運52》吧,今天咱也試一回(出示游戲).
2.競猜中,“高了”、“低了”的含義是什么?如何確定價格的最可能的范圍?
3.如何才能更快地猜中商品的預定價格?
4.“二分”的思路是什么?1.教師從學生熟悉的電視節(jié)目,引導學生體會、分析、歸納迅速猜價的方法.
2.學生能夠主動參與游戲,并且參與游戲的同學可以比較并總結經(jīng)驗.學生會有很多種方案.
3.對于“問題2”學生能夠順利地得出“主持人的“高了,低了”的回答是判斷價格所在區(qū)間的依據(jù)”這個結論.
4.此時教師通過“問題3”引導學生進行比較哪種方法更快更好.從中學生可以得到用二分法解決問題的思路——二分指的是將解所在區(qū)間平均地分為兩個區(qū)間.1.利用視屏與游戲的形式,學生會踴躍參與;商品價格競猜也是學生熟悉的,競猜的方法會很多樣,可以進行競賽.
2.通過問題2,啟發(fā)學生尋找確定區(qū)間的依據(jù),為后面探索“用二分法求方程近似解”的時候埋下伏筆.
3.通過游戲,讓學生經(jīng)歷游戲過程,感受數(shù)學來自生活,激發(fā)學生的學習興趣;引導學生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學,培養(yǎng)學生的歸納演繹的能力;學會將實際情境轉化為數(shù)學模型.
4.通過比較不同的方法得出最快的競猜的方法——二分法.
師
生
探
究
構
建
新
知1.上節(jié)課我們學了什么定理,它的作用是什么?還有什么問題沒有解決?
2.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內存在一個零點;如何求出方程lnx+2x-6=0在區(qū)間(2,3)的近似解(精確度為0.01)?與剛才的游戲是否有類似之處?
3.精確度的含義是什么?怎樣的區(qū)間才算滿足設定的精確度?
4.區(qū)間(2,3)的精確度為多少?
5.如何將零點所在的范圍縮小(即
如何將精確度縮小)?縮小的依據(jù)是什么?
6.如何利用今天“猜價格”——“二分法”的逼近思想來縮小區(qū)間?
7.近似解是多少?1.教師通過“問題1”對上節(jié)課的內容進行復習引入,點出今天的課題.并且有前面游戲作為伏筆,學生能夠得出“連續(xù)函數(shù)零點存在定理”是判斷方程的根所在區(qū)間的依據(jù).
2.通過“問題2”應用具體的題目引導學生進行思考.學生通過引導將方程的解與商品的價格聯(lián)系到一起,運用剛才的游戲的經(jīng)驗,得到縮小區(qū)間的想法.
3.學生對精確度的概念可能有所遺忘.教師可以借助數(shù)軸解釋說明精確度的含義,引導學生思考什么時候停止操作.
4.教師通過“問題4~6”引導學生將“二分法”與“零點存在定理”相結合得到正確的新的零點所在的區(qū)間.并確定結束的時間.
5.學生按照游戲的方法也就是按照“二分法”的思路,不斷縮小零點存在的區(qū)間,進行具體操作,填出(附錄1)中的表格.表格剛開始的前幾行學生可能會比較慢,也有可能會出錯;通過多次的重復以及經(jīng)驗的總結,后面的表格可以正確地、快速地回答出來;使得最后的“應用二分法求函數(shù)的零點”的方法的總結更加順利.
6.對于“問題7”學生不太容易得到比較簡潔的結論.教師可以進行解釋說明:“由于整個區(qū)間內的數(shù)均滿足精確度的條件,因此區(qū)間內的所有數(shù)均可以作為近似解,但區(qū)間端點a,b是已知的值,所以可以取a或b作為近似解.”,最后得到方程的近似解(附錄1的表格后面的內容).[設計意圖]
1.開門見山,延續(xù)上一節(jié)課的內容繼續(xù)深入地研究,使得知識有一個鏈接,讓學生能夠很容易地將新知識建構到舊的知識體系中.
2.運用問題1,將學生的思路與前面已解決的問題聯(lián)系起來,引導學生層層深入,抽絲撥繭,學習如何分析問題、如何利用新的知識解決問題;培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,以及運用知識、駕馭知識的能力.
3.師生的互動有利于一邊引導一邊總結.將二分法應用于解決實際問題,即將新的知識應用于解決新的問題.培養(yǎng)學生實際應用的
能力,加強解決問題的嚴謹性,總結知識的邏輯性.使得最后方法的總結能夠順利進行.
4.有了前面的商品競猜過程的經(jīng)歷,學生比較容易入手,分析比較容易到位,從而降低思維的難度.
[知識鏈接]
1.函數(shù)零點存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.
2.精確度是對同一個量的不同近似數(shù)的精確程度的度量.一般是:一個近似數(shù),四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位.
形
成
概
念
深
化
提
高1.我們剛才的求解過程中有哪些過程是一直重復出現(xiàn)的?
2.我們取其一段,大家看如何用數(shù)學語言來描述?
3.點明求方程的近似解的“二分法”:對于在區(qū)間(a,b)上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把方程的解所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近近似解,進而得到近似解的方法叫二分法.學生經(jīng)過老師“問題1~2”的提示與引導,可以得到“取區(qū)間的中點,計算函數(shù)值,比較符號,確定新的區(qū)間”這樣的相同的過程.
學生根據(jù)“二分法”的定義進行歸納總結:運用二分法求方程的近似解的步驟(附錄2).其中步驟①“畫圖或利用函數(shù)值的正負,確定初始區(qū)間(a,b),驗證f(a)f(b)<0”;學生很有可能會有遺漏.此時可以提出“問題5”引導學生回憶、思考,從而得到運用二分法的前提——即步驟①.
對于“問題6”,較好的學生才能回答出來.[設計意圖]
1.不斷的引導,將剛才的解題過程經(jīng)過“自然語言——數(shù)學語言——去其糟粕取其精華——具體步驟”的過程,幫助學生學會歸納總結的方法.
2.課間的及時總結有利于學生對當前所學的內容進行升華,了解自己掌握了什么知識,在后面的做題中可以有法可依,可以提高解題的正確率,增強自信.
3.問題6的設計是將學生的思維進一步升華,不再停留在技能這一個層次,而是上升為數(shù)學思想方法的層次.
4.進一步提出問題:運用二分法求方程的近似解的步驟是什么?
5.運用二分法的前提是什么(游戲開始時要先做什么工作)?引例條件的內涵是什么?
6.二分法的實質是什么?它有什么作用?[知識鏈接]
1.運用二分法的前提是要先判斷根在某個所在的區(qū)間.
2.二分法實際上是通過縮小區(qū)間長度尋找解的一種方法.
課
內
練
習
課
后
作
業(yè)1.練習:(1)(2)題為例題仿照題,由同桌協(xié)助完成.(3)(4)題考查二分法的含義,由同學獨立完成,可以尋求幫助.(附錄4)
2.思考:兩道題均為實際應用題,為學有余力的同學提高能力.(附錄4)
3.課后作業(yè):習題3.1A組3,4;B組1,2.練習1.(1)(2)題經(jīng)過同桌兩位同學合作可以順利完成.(3)(4)題獨立完成如果有困難的同學在同伴或老師的幫助下可以完成.
練習2實際應用:學有余力的同學與同伴合作探討,也可以解決.[設計意圖]
1.不同層次的題目,層層遞進,不斷提高學生的能力.不僅鞏固新學的知識,而且讓不同層次的學生得到不同的收獲;
2.培養(yǎng)合作、互助精神;
3.培養(yǎng)學生應用與創(chuàng)新的能力,利用二分法的逼近思想解決實際問題.
本
課
小
結請同學們回顧一下本節(jié)課的教學過程,你覺得你已經(jīng)掌握了哪些知識?教師通過點名提問,學生借助教師的幫助對整節(jié)課進行最后的歸納總結,得到以下兩點:(1)二分法是一種求一元方程近似解的通法.(2)利用二分法來解一元方程近似解的操作步驟(附錄3).[設計意圖]
學生的歸納總結的能力不強,需要不斷的培養(yǎng);課后的總結有利于學生對整節(jié)課的內容進行升華,了解自己掌握了什么知識,養(yǎng)成良好的學習習慣,建立自信心.
教學反思
1.本節(jié)課有兩條線,明線:“從生活實際、從學生熟知的現(xiàn)實生活、從學生喜愛的游戲——“競猜商品的價格”入手,引導學生進入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游戲?與學生一道進行新知識的探索過程——二分法的得來;再將二分法充分地運用在函數(shù)零點的求解上;最后將二分法求解函數(shù)零點的過程程序化”;暗線:“生活實際(特殊)——二分法的理論(一般)——二分法的應用(特殊)”.讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用過程,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,體現(xiàn)數(shù)學的基礎性、時代性、典型性和可接受性,體會數(shù)學來自生活,應用于生活的最高境界,感受數(shù)學之美.
2.引入課題的方式,(1)從生活中的常見現(xiàn)象——“商品價格的競猜”引入;(2)開門見山——“繼續(xù)前面的研究”引入.
(附錄1)解:設f(x)=lnx+2x-6,x∈(2,3),先取區(qū)間的中點,再計算中點的函數(shù)值,接著應用“零點存在定理”確定零點所在的區(qū)間,從而縮小精確度,得到下表:
區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值精確度
(2,3)2.5-0.0837092681
(2.5,3)2.750.5116009120.5
(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25
(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125
(2.5,2.5625)2.53125-0.0087867480.0625
(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125
(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625
(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813
(2.53125,2.53515625)2.533203125-0.0041091910.003906
(2.533203125,2.53515625)2.534179688-0.0017706340.001953
(2.534179688,2.53515625)2.534667969-0.0006014120.000977
(2.534667969,2.53515625)2.534912109-1.68166×10-50.000488
所以,當精確度為0.01時,由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,因此我們可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值,也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.
(附錄2)二分法求解方程f(x)=0〔或g(x)=h(x)〕近似解的基本步驟:
①畫圖或利用函數(shù)值的正負,確定初始區(qū)間(a,b),驗證f(a)f(b)<0;
②求區(qū)間(a,b)的中點x1x1=a+b2));
③計算f(x1):若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)f(x)的零點,x1就是f(x)=0的根,計算終止;
若f(a)f(x1)<0,則選擇區(qū)間(a,x1);
若f(a)f(x1)>0,則選擇區(qū)間(x1,b);
④循環(huán)操作②、③,直到當區(qū)間的精確度達到事先指定的精確度ε(若是要求精確到ε,兩端點精確到同一個近似值時才終止計算).
(附錄3)
1.練習:(1)應用計算器,求方程x3+3x-1=0的一個正的近似解.
(2)應用計算器,求方程2x+x=4的近似解.
(3)用二分法判斷方程2x=x2的根的個數(shù)()
A.1B.2C.3D.4
(4)方程lg(x+4)=10x的根的情況是()
A.僅有一根B.有一正根一負根
C.有兩負根D.無實根
2.思考:(1)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點,現(xiàn)在某接點發(fā)生故障,需及時修理,為了盡快斷定故障發(fā)生點,一般至少需要檢查接點的個數(shù)為幾個?
(2)一天,泉州七中校區(qū)與現(xiàn)代中學(分校)校區(qū)的電纜線路出了故障(相距大約10km),電工是怎樣檢測的呢?
答案:略
教學設計(三)
作者:羅志強,長汀縣第一中學教師.本教學設計獲福建省教學設計大賽三等獎.
整體設計
三維目標
1.知識與技能:
①通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件;
②借助科學計算器,掌握運用二分法求滿足一定精確度要求的簡單方程近似解的方法.
2.過程與方法:
①了解數(shù)學上的逼近思想、極限思想;
②體驗二分法的算法思想,培養(yǎng)自主探究的能力,為學習算法做準備.
3.情感、態(tài)度與價值觀:
①通過了解數(shù)學家的史料來提高數(shù)學素養(yǎng),并增強學習數(shù)學的興趣;
②體會數(shù)學逼近過程,感受精確與近似的相對統(tǒng)一;
③通過具體實例的探究,歸納發(fā)現(xiàn)的結論或規(guī)律,體會從具體到一般的認知過程.
教學重點與難點
教學重點:二分法的基本思想的理解,運用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟和過程;
教學難點:精確度概念的理解及恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具,利用二分法求給定精確度的方程的近似解.
教材分析
本節(jié)課在學生應用數(shù)形結合的數(shù)學思想指導下學習了方程的根與對應函數(shù)零點之間的關系的基礎上,再介紹求函數(shù)零點的近似值的“二分法”,并在總結“用二分法求方程近似解步驟”中滲透算法的思想,為學生后續(xù)學習算法內容做準備.教科書不僅希望學生在數(shù)學思想與運用信息技術的能力上有所收獲,而且希望學生通過了解古今中外數(shù)學家求方程的解的史料來滲透數(shù)學文化,提高數(shù)學素養(yǎng).
學情分析
學生基礎較好,學習的主動性較強,所以通過一節(jié)課掌握用二分法求方程的近似解的方法,體驗二分法中的逼近思想、算法思想.但在求解的過程中,由于數(shù)值計算較為復雜,因此對獲得給定精確度的近似解增加了困難,所以希望學生具備恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具解決這一問題的能力.
信息技術分析
多媒體教室及幾何畫板、VisualBasic應用程序.
教學方法
動手操作、分組討論、合作交流、課后實踐.
教學過程
教學設計流程圖
創(chuàng)設情境導入——由模仿中央電視臺節(jié)目“幸運52”中的猜價游戲導入新課,提出二分法的思想
↓
例題回顧——回顧例題,復習零點存在性定理,提出新問題:能不能求出零點《幾何畫板》演示
↓
合作探究——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解
↓
師生小結——總結出用二分法求方程近似解的步驟
↓
學以致用——學生借助科學計算器,用二分法求方程的近似解
↓
數(shù)學文化——介紹數(shù)學家求方程的近似解的歷史
↓
知識遷移——利用VisualBasic編寫程序,滲透算法思想
教學設計理念
1.倡導積極主動、勇于探索的學習方式.
2.鼓勵學生自主探究、合作交流.
3.注重信息技術與數(shù)學課程的整合.
4.體現(xiàn)數(shù)學的文化價值.
教學情境設計
一、創(chuàng)設情境,導入新課
問題情境:中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運52”,主持人李詠會給選手在限定時間內猜某一物品的售價的機會,如果猜中,就把物品獎勵給選手,同時獲得一枚商標.某次猜一種品牌的手機,價格在500~1000元之間,選手開始報價:1000元,主持人回答:高了;緊接著報價900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,你猜中了.
設計意圖
1.創(chuàng)設學生熟悉的游戲情境,制造懸念,引發(fā)學生的學習興趣,并在教師的指導下設計猜價方案.
2.在學生設計猜價方案的基礎上,提出設計此方案的思想后引入“二分法”,水到渠成.
師生活動:
師:表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分,實際中,游戲的報價過程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學思想,你能設計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎?請學生思考后,提問學生用你的猜價方案猜手機價格?
生:猜價方案
區(qū)間中點(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851ok
師:用幾何畫板配合學生演示猜價的過程后,提問此方案的設計思想(附圖一).
生:關鍵是取區(qū)間的中點,不斷地縮小價格所在的區(qū)間.
師:此方法在數(shù)學上稱作“二分法”,并在黑板上板書,從而引入課題.
二、例題回顧
人教A版3.1.1節(jié)例1
求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù)?方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù)?
問題1:如何來確定函數(shù)零點的存在性,即方程的實數(shù)解的存在性?
問題2:f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內有零點,如何找出?
設計意圖
通過例題回顧,引導學生將找方程的實數(shù)解與找對應函數(shù)的零點的問題等同起來,體會數(shù)學模型之間的轉換.
師生活動:
師:借助幾何畫板直觀演示(附圖二)函數(shù)零點所在區(qū)間,并復習零點存在性定理后,讓學生思考問題2,提示學生回顧猜價方案的思想.
生:使用科學計算器進行計算,思考,交流思路.
師:提問學生.
生:1.取(2,3)的中點2.5,發(fā)現(xiàn)f(2.5)f(3)<0,所以零點在(2.5,3)內.
2.以此類推,發(fā)現(xiàn)零點所在的區(qū)間在不斷縮?。?br> 三、合作探究
問題1:零點存在區(qū)間的大小能說明什么問題?
問題2:你能夠總結出使零點存在的區(qū)間越來越小的規(guī)律嗎?
問題3:當我們能夠將零點所在的區(qū)間不斷地縮小時,怎樣確定零點的近似值?
設計意圖
1.讓學生在教師的指導下學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,初步體會極限思想.
2.引導學生從具體的實例出發(fā),總結出一般性的規(guī)律,符合學生的思維意識,并讓學生充分體會二分法思想.
3.引導學生將函數(shù)零點的近似值求出來,讓學生體會精確度的作用.
師生活動:
1.師:借助幾何畫板(附圖三)引導學生思考,并讓學生交流、討論.
生:零點存在區(qū)間越小,區(qū)間兩端點越接近該區(qū)間的實數(shù)解.
2.師:說明讓零點存在區(qū)間越來越小是解決問題的關鍵,請思考問題2.
生:分組交流.
生:經(jīng)合作整理,規(guī)律如下:
每次將區(qū)間二等分,留下區(qū)間端點函數(shù)值符號相反的區(qū)間.
師:實質是根據(jù)什么定理?
生:零點存在性定理.
3.師:順勢讓學生思考問題3后,指出給定精確度ε,只要將上述步驟進行有限次重復后即區(qū)間兩端點差的絕對值小于ε,則區(qū)間內的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值.
幾何畫板直觀演示(附圖四).
四、師生小結
你能說出二分法的意義及用二分法求函數(shù)y=f(x)零點近似值的步驟嗎?
1.二分法的意義
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
2.給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下:幾何畫板分布演示(附圖五).
設計意圖
引導學生小結二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟,培養(yǎng)學生從特殊到一般的思想,體驗解決問題的成就感.
師生活動:
師:闡述二分法的逼近原理,引導學生理解二分法的算法思想,明確二分法求函數(shù)近似零點的具體步驟.
師:分析關鍵詞:
f(a)f(b)<0、m=a+b2、精確度ε、|a-b|<ε的意義.
生:結合求函數(shù)f(x)=ln(x)+2x-6在區(qū)間(2,3)內的零點,理解二分法的算法思想與計算原理.
五、學以致用
問題1:實際生活中有沒有利用到二分法的思想方法的例子呢?試舉例.
問題2:借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精確度0.1)
設計意圖
1.培養(yǎng)學生聯(lián)系實際的能力,讓學生體會數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系.
2.培養(yǎng)學生的動手能力,讓學生逐步掌握運用二分法求方程近似解的思想方法,并使學生的認識不斷加深.
師生活動:
1.師:讓學生討論,學生思考聯(lián)想實際生活,嘗試舉出運用二分法的例子.
生:電力工人檢測電線,找故障.
2.(1)學生利用科學計算器動手操作、進行小組交流,老師作課堂巡視指導.
(2)師借助幾何畫板分布,直觀演示(附圖六).
六、數(shù)學文化
閱讀本節(jié)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.
設計意圖
讓學生感受數(shù)學文化方面的熏陶,增強數(shù)學素養(yǎng).
七、知識遷移
問題:回憶用二分法求方程的近似解的步驟中,縮小零點所在的區(qū)間的步驟是否可以進行重復,如果給定精確度后重復的步驟是否是有限次的?
設計意圖
初步介紹算法思想,為必修3的算法教學埋下伏筆.
師生活動:
師:如果一種計算方法對某一類問題都有效,計算可以一步一步地進行,每一步都能得到唯一的結果,我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法.它的優(yōu)點是一種通法,更大的優(yōu)點是,它可以讓計算機來實現(xiàn).例如我們可以編寫用二分法求方程的近似解的程序,快速地求出一個函數(shù)的零點.
程序框圖及程序(附圖七)
八、課堂小結
問題:本節(jié)課學習了哪些知識、方法、思想?
設計意圖
學生在回顧、總結、反思的過程中,將所學的知識條理化、系統(tǒng)化,使自己的認知結構更趨合理.注重數(shù)學方法的提煉,可使學生逐漸把經(jīng)驗化為能力.
師生活動:
師:引導學生從知識、方法兩方面進行總結后板書:
1.要找方程的實數(shù)解可先利用函數(shù)的連續(xù)性判定方程實數(shù)解的存在性,再利用二分法求方程的近似解;
2.二分法的意義;
3.二分法求方程的近似解的步驟;
4.逼近、極限、二分法.
教學設計附圖:
區(qū)間中點(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851課題
附圖一
附圖二
附圖三
附圖四
二分法求解方程近似解的基本步驟:(精確度ε)
1.利用計算或作圖的方法,確定初始區(qū)間[a,b];
2.驗證f(a)f(b)<0;
3.求區(qū)間(a,b)的中點c=a+b2;
4.計算f(c):(1)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;(2)若f(a)f(c)<0,則令b=c〔此時零點X0∈(a,c)〕;(3)若f(c)f(b)<0,則令a=c〔此時零點X0∈(c,b)〕;
5.判斷是否達到精確度ε:即若|a-b|<ε,則得到零點的近似值a(或b);否則重復3~4.
附圖五
附圖六
附visualbasic程序
PrivateSubCommand1_Click()
DimaAsSingle
DimbAsSingle
DimdAsSingle
a=InputBox(“a”,“區(qū)間左端點”)
b=InputBox(“b”,“區(qū)間右端點”)
d=InputBox(“d”,“精確度”)
Text1.Text=a
Text2.Text=b
Text3.Text=d
fa=2^a+3*a-7
fb=2^b+3*b-7
Iffa*fb>=0Then
Text4.Txet=“求解范圍有錯”
Else
Do
x=(a+b)/2
fx=2^x+3*x-7
Iffx*fa>0Then
a=x:fa=fx
Else
b=x:fb=fx
EndIf
LoopUntilfx=0orAbs(a-b)<d
Text4.Text=x
EndIf
EndSub
教學反思
1.創(chuàng)設有趣且適合學生認知的問題情境,調動課堂氣氛,提高學生的學習興趣,鼓勵每個學生動手、動口、動腦,積極參與數(shù)學的學習過程.
2.教學中以問題為主線,重視二分法概念的形成,培養(yǎng)學生的探究意識,增強學生的問題意識,提高發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力.
3.在整個教學過程中,教師注意發(fā)揮學生的主體性,給學生留下充分的時間與空間,讓學生分組交流、合作探究.在課堂上,學生不僅學會了有條理地表述自己的觀點,還學會了相互接納、互助與贊賞,并不斷對自己和別人的想法進行批判和反思.學生間的多向交流,可以使他們從多角度得出問題解決的途徑.
4.重視知識的形成過程,注重思維方法,注重探索方法,讓學生主動獲取知識,讓學生在學習過程中去體驗數(shù)學和經(jīng)歷數(shù)學.這樣才能體現(xiàn)“思想方法比知識更重要”這一新的教學價值觀.
5.在教學中適當介紹數(shù)學家的奮斗歷史,從而滲透數(shù)學文化,增強學生的數(shù)學素養(yǎng).
不足之處
1.在分組交流,學生合作探究解決問題上顯得經(jīng)驗不足,不夠老到.
2.在使用《幾何畫板》演示教學內容時,學生學習《幾何畫板》基本操作的實際水平與本節(jié)課知識運用所要求的水平不符.可以在課外花點時間讓學生學習數(shù)學常用的幾種軟件,從而提高學生的動手能力.
教學設計(四)
作者:王巨才,甌海二高教師.本教學設計獲浙江省教學設計大賽市二等獎.
整體設計
教材分析
本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解.
由于在實際問題的解決中,列出的方程可能相當復雜.設f(x)是實系數(shù)多項式或是任一實數(shù)函數(shù),方程f(x)=0稱為代數(shù)方程或超越方程.一般說來,此類方程的根即使存在,也往往不能用公式表示,或者求出了根的表達式,卻因比較復雜,難以用它來計算根的近似值.所以,當根存在時,研究求根的數(shù)值方法很有必要,本節(jié)教材向學生介紹了求零點近似值的實用且基本的方法——二分法.
教材在學生了解了函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系的基礎上,從實例入手介紹了求方程近似解的二分法.學生不難理解函數(shù)的零點及其求法,而困難的地方在于使用二分法求函數(shù)零點的計算過程相當繁雜.
在教學中應注意鼓勵學生運用現(xiàn)代教育技術學習、探索和解決問題,借助計算器或計算機處理繁雜的計算、理解數(shù)學概念、探索數(shù)學結論.
學情分析
學生在學習了方程的根與函數(shù)的零點后,對于不能用公式法求根的方程f(x)=0來說,我們可以將它與函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質找出零點或零點所在的區(qū)間,從而求出方程的根,或者用二分法求出方程的近似解.
本節(jié)課的學習歷經(jīng)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等思維過程,有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和作出判斷,因此教師在教學過程中應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動,讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,開拓他們的創(chuàng)新意識和“逐步逼近”的數(shù)學思想.
教學目標
知識與技能:
通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,并從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應用.
過程與方法:
能借助計算器用二分法求方程的近似解,并了解這一數(shù)學思想,為學習算法做準備.
情感態(tài)度和價值觀:
體會數(shù)學逼近過程,感受精確與近似的相對統(tǒng)一.
重點難點
重點:通過用二分法求方程的近似解,體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系,初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.
難點:恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具,利用二分法求給定精確度的方程的近似解.
課前準備
1.學生要準備能進行較為復雜運算的計算器.
2.課前學習材料:分治算法.
分治是實際生活中使用比較廣泛的一種解決問題的方法.在程序設計中,分治算法的設計思想是:將一個規(guī)模比較大的、難以直接解決的問題,分割成一些規(guī)模較小的子問題,這些子問題互相獨立且與原問題相同;然后將這些子問題各個擊破,分而治之.值得注意的是,分治算法的設計思想很自然地導致了遞歸算法的應用.它的一般設計模式如下:
if問題規(guī)模小到可以直接解決then直接解決該問題
else將問題分解成k個規(guī)模較小的子問題
endif
fori=1tok
遞歸調用該分治算法,分別解決每一個子問題
nexti
將各子問題的解合并為原問題的解.
設計意圖
從學生感興趣的計算機編程問題引入,引導學生分析分治算法的思想與方法,為后面引出二分法的思想與方法做鋪墊.
教學環(huán)節(jié)
教學過程
創(chuàng)設情境,引出課題
問題:現(xiàn)有大小與形狀完全相同的金屬小球16個,其中有一個是實心的,其余都是空心的.用一架天平需測量幾次一定能找出實心小球?(要求測量次數(shù)盡可能少)
讓學生思考、討論,并得出結論.
學生可能會得出這樣的結論:先將這16個小球分成個數(shù)相等的兩部分,將這兩部分放在天平上稱,實心球在較重的這部分球中,再將較重的這部分球分成個數(shù)相等的兩部分,將這兩部分放在天平上稱,實心球又在較重的這部分球中,依此類推,所以只要四次一定能找到實心小球.
學生也有可能將小球分成相同的四部分,再兩部分兩部分地去稱,也可得到結果,等等.教師根據(jù)學生得出的方法進行總結.
設計意圖
以實際問題為載體,通過學生親自產生的思維方法體會二分法查找的思想與方法.
組織探究,導出算法
1.問題:通過上一節(jié)課的學習,我們知道函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內有零點(如下圖所示).那我們能否找出這個零點呢?或者能找出這個零點的近似值嗎?
設計意圖
上面的問題有著承上啟下的作用,它既是對前面一節(jié)課結果的進一步深入,也揭示了本節(jié)課所要解決的問題.
2.將學生分成幾組進行合作學習,并要求學生將自己的求解過程進行記錄、歸納.
設計意圖
由于這一任務具有一定的難度,問題又具有一定的挑戰(zhàn)性,有利于激發(fā)學生的主動性與小組學習活動的激情及發(fā)揮學習共同體的創(chuàng)造性,因此采用了小組合作學習的方式進行教學.這一環(huán)節(jié)借助信息技術功能提倡學生通過觀察、思考、討論來歸納結論,體現(xiàn)了學生自主探究的學習方式.
3.通過學生的合作學習,由一個小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的過程,可用下表反映:
區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值
(2,3)2.5-0.084
(2.5,3)2.750.512
(2.5,2.75)2.6250.215
(2.5,2.625)2.56250.066
(2.5,2.5625)2.53125-0.009
(2.53125,2.5625)2.5468750.029
(2.53125,2.546875)2.53906250.010
(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
當精確度為0.01時,由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我們可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值,也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.
4.給定精確度ε,再請一個小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)零點近似值的基本步驟(教師引導,由其他小組補充,逐步完善)
(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0,給定精度ε;
(2)求區(qū)間(a,b)的中點x1;
(3)計算f(x1):①若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點;
②若f(a)f(x1)<0,則令b=x1[此時零點x0∈(a,x1)];
③若f(x1)f(b)<0,則令a=x1[此時零點x0∈(x1,b)];
(4)判斷是否達到精度ε;
即若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟2~4.
設計意圖
從特殊到一般,揭示數(shù)學通常的發(fā)現(xiàn)過程,給學生“數(shù)學創(chuàng)造”的體驗.這種教學方式易于學生接受和形成二分法的算法思想與計算原理.
探索發(fā)現(xiàn),尋找內涵
1.教師:通過前面的探究,我們得出了求函數(shù)f(x)零點近似值的一種方法,我們來給這種方法取個名字,叫什么好呢?(學生可能會取“分割法”、“二分法”、“中點法”等,教師最后進行評析)
設計意圖
從學生探究創(chuàng)造中下定義,便于學生深刻理解定義的內涵,這也是新課程提倡的教學理念之一.
2.問題:是不是所有有零點的函數(shù)都適合用二分法求零點的近似值呢?請同學們先看下面幾個函數(shù)的圖象再回答.
圖一圖二圖三
學生通過上圖的比較與分析,可以得出上圖中一、三兩個函數(shù)是無法用二分法求零點的近似值的,因此要用二分法求零點的近似值的函數(shù)必須具備兩個特征:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且滿足f(a)f(b)<0.這時教師對二分法的定義進行完善:對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且滿足f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
設計意圖
通過學生自己的觀察、比較、分析,深化學生對定義的認識與理解,進一步挖掘二分法的內涵,使學生對二分法的算法思想與計算原理有了新的感悟.
3.教師進一步指出,從“數(shù)”的角度看,函數(shù)的零點即是使f(x)=0的實數(shù);從“形”的角度看,函數(shù)的零點即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.若函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處與x軸相切,則零點x0通常稱為不變號零點;若函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處與x軸相交,則零點x0通常稱為變號零點.二分法的條件f(a)f(b)<0表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點.
設計意圖
引導學生從“數(shù)”和“形”兩個角度去體會函數(shù)零點的意義,掌握常見函數(shù)零點的求法,進一步明確二分法的適用范圍.
嘗試練習,體會應用
1.例題:借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精確度0.1)
分析:首先利用函數(shù)性質或借助計算機、計算器畫出函數(shù)圖象,確定函數(shù)零點大致所在的區(qū)間,然后利用二分法逐步計算解答.
注意:
(1)第一步確定零點所在的大致區(qū)間(a,b),可利用函數(shù)性質,也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通??纱_定一個長度為1的區(qū)間.
(2)建議列表樣式如下:
零點所在區(qū)間中點函數(shù)值區(qū)間長度
[1,2]f(1.5)>01
[1,1.5]f(1.25)<00.5
[1.25,1.5]f(1.375)<00.25
如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步.
(在教學中教師要引導學生利用二分法逐步尋求函數(shù)零點的近似值,注意規(guī)范方法、步驟與書寫格式.學生要根據(jù)二分法的思想與步驟獨立完成思考,并進行交流、討論、評析.)
設計意圖
該例題是對這節(jié)課前面所學知識和數(shù)學思想的綜合運用和鞏固,解題過程體現(xiàn)了數(shù)學表達的簡潔性和數(shù)學思維的嚴謹性,也體現(xiàn)了函數(shù)思想在解方程中的應用.
2.學生練習:
已知f(x)=2+2x-x2,
(1)如果g(x)=f(2-x2),求g(x)的解析式;
(2)借助計算器或計算機,畫出函數(shù)g(x)的圖象;
(3)求出函數(shù)g(x)的零點.(精確到0.1)
分析:本題第(1)問是一道代入法復合函數(shù)解析式的問題,第(2)、(3)問需用本節(jié)知識進行解決.另外在求g(x)的零點時,不妨用函數(shù)g(x)的奇偶性,只需用二分法求出其中一個零點,另一個便知道了.
答案:(1)g(x)=2+2x2-x4;
(2)
(3)±1.7.
設計意圖
利用課堂練習鞏固所學的知識內容、數(shù)學思想、數(shù)學方法,以求達到教學目標.本環(huán)節(jié)以個別指導為主,體現(xiàn)面對全體學生的課改理念.
小結體會,教師歸納
以學生發(fā)言的形式對本堂課進行小結,教師歸納強調:
1.二分法求方程的近似解,要求函數(shù)f(x)在某一區(qū)間[a,b]內連續(xù),并且在此區(qū)間端點的函數(shù)值異號.
2.用二分法不能求二次重根.
3.在學習中要注意運用函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合的思想和“逐步逼近”的數(shù)學思想.
設計意圖
關注學生學習的主動性,培養(yǎng)學生表達交流數(shù)學的能力.學生的課堂小結既是對一節(jié)課的簡單回顧與梳理,也是對所學內容的再次鞏固.
作業(yè)回饋,鞏固知識
1.教材習題3.1(A組)第3~6題、(B組)第4題.
2.提高作業(yè):
(1)已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.
①m為何值時,函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點?
②如果函數(shù)的一個零點在原點,求m的值.
(2)用二分法求33的近似值(精確到0.01).
設計意圖
1為鞏固作業(yè),2為課外拓展作業(yè),培養(yǎng)學生的探究、創(chuàng)造能力.
課外活動,培養(yǎng)能力
查找有關資料或利用Internet查找有關高次代數(shù)方程的解的研究史料,追尋阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois).
設計意圖
增強探索精神,培養(yǎng)創(chuàng)新意識.
相關鏈接
利用函數(shù)圖象解方程和函數(shù)問題
1.求方程x+lgx=3的近似解.
求某些方程的解,不容易通過筆算來獲得,可以通過函數(shù)圖象,但往往不太容易直接畫圖,而且畫出的圖象也不準確,此時利用圖形計算器幫助我們畫出圖象(很多復雜的函數(shù)都可以很快在圖形計算器上畫出),對于我們來說,方法是更重要的.
第一步:按Y=鍵,輸入函數(shù):y1=lgx,y2=3-x.
第二步:按Graph鍵,畫出兩個函數(shù)的圖象,如下圖所示:
第三步:按F5鍵:intersection(求交點),屏幕會出現(xiàn)對話框:選擇第一條曲線、第二條曲線、下限、上限之后,屏幕上會給出交點值:xc:2.58717,yc:0.412826,則x=2.58717即為方程x+lgx=3的近似解.
小結:利用函數(shù)圖象的交點解方程是一個重要方法,而圖形計算器為我們提供了一個強有力的工具.
2.一片樹林中現(xiàn)有木材30000米3,如果每年增長5%,經(jīng)過x年樹林中有木材y米3,寫出x,y間的函數(shù)關系式,并且利用圖象,求約經(jīng)過多少年,木材可以增加到40000米3?(結果保留一位有效數(shù)字)
畫出函數(shù)圖象后,可以通過用Trace鍵移動光標,尋找當y=40000時的x值;也可再作函數(shù)y2=40000的圖象,用intersection求圖象的交點即可.
延伸閱讀
用二分法求方程的近似解
教案課件是老師上課中很重要的一個課件,大家應該要寫教案課件了。只有制定教案課件工作計劃,新的工作才會如魚得水!你們會寫適合教案課件的范文嗎?小編特地為您收集整理“用二分法求方程的近似解”,僅供您在工作和學習中參考。
§3.1.2用二分法求方程的近似解
學習目標
1.根據(jù)具體函數(shù)圖象,能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解;
2.通過用二分法求方程的近似解,使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系,初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.
舊知提示(預習教材P89~P91,找出疑惑之處)
復習1:什么叫零點?零點的等價性?零點存在性定理?
對于函數(shù),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點.
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸函數(shù).
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內有零點.
復習2:一元二次方程求根公式?三次方程?四次方程?
合作探究
探究:有12個小球,質量均勻,只有一個是比別的球重的,你用天平稱幾次可以找出這個球的,要求次數(shù)越少越好.
解法:第一次,兩端各放個球,低的那一端一定有重球;
第二次,兩端各放個球,低的那一端一定有重球;
第三次,兩端各放個球,如果平衡,剩下的就是重球,否則,低的就是重球.
思考:以上的方法其實這就是一種二分法的思想,采用類似的方法,如何求的零點所在區(qū)間?如何找出這個零點?
新知:二分法的思想及步驟
對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且0的函數(shù),通過不斷的把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).
反思:給定精度ε,用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如何呢?
①確定區(qū)間,驗證,給定精度ε;
②求區(qū)間的中點;[高考資源網(wǎng)]
③計算:若,則就是函數(shù)的零點;若,則令(此時零點);若,則令(此時零點);
④判斷是否達到精度ε;即若,則得到零點零點值a(或b);否則重復步驟②~④.
典型例題
例1借助計算器或計算機,利用二分法求方程的近似解.
練1.求方程的解的個數(shù)及其大致所在區(qū)間.
練2.求函數(shù)的一個正數(shù)零點(精確到)
零點所在區(qū)間中點函數(shù)值符號區(qū)間長度
練3.用二分法求的近似值.
課堂小結
①二分法的概念;②二分法步驟;③二分法思想.
知識拓展
高次多項式方程公式解的探索史料
在十六世紀,已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式,但對于高于4次的函數(shù),類似的努力卻一直沒有成功,到了十九世紀,根據(jù)阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)的研究,人們認識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式,亦即,不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解.同時,即使對于3次和4次的代數(shù)方程,其公式解的表示也相當復雜,一般來講并不適宜作具體計算.因此對于高次多項式函數(shù)及其它的一些函數(shù),有必要尋求其零點近似解的方法,這是一個在計算數(shù)學中十分重要的課題.
學習評價
1.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則在上().
A.至少有一個零點B.只有一個零點
C.沒有零點D.至多有一個零點
2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點,其中不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是().
3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為().
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在區(qū)間[2,3]內的實根,由計算器可算得,,,那么下一個有根區(qū)間為.
課后作業(yè)
1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且有三個零點x1、x2、x3,則x1+x2+x3的值為()
A.-1B.0C.3D.不確定
2.已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且f(a)f(b)0,則f(x)=0在[a,b]內()
A.至少有一實數(shù)根B.至多有一實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根D.有惟一實數(shù)根
3.設函數(shù)f(x)=13x-lnx(x>0)則y=f(x)()
A.在區(qū)間1e,1,(1,e)內均有零點B.在區(qū)間1e,1,(1,e)內均無零點
C.在區(qū)間1e,1內有零點;在區(qū)間(1,e)內無零點[高考資源網(wǎng)]
D.在區(qū)間1e,1內無零點,在區(qū)間(1,e)內有零點
4.函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是()
A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
5.若方程x2-3x+mx+m=0的兩根均在(0,+∞)內,則m的取值范圍是()
A.m≤1B.0m≤1C.m1D.0m1
6.函數(shù)f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零點有()
A.0個B.1個C.2個D.3個
7.函數(shù)y=3x-1x2的一個零點是()
A.-1B.1C.(-1,0)D.(1,0)
8.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)0,f(2)0,則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為()
A.至多有一個B.有一個或兩個C.有且僅有一個D.一個也沒有
9.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為()
x-10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
10.求函數(shù)y=x3-2x2-x+2的零點,并畫出它的簡圖.
用二分法求方程的近似解教案
3.1.3用二分法求方程的近似解
(一)教學目標
1.知識與技能
掌握應用二分法求方程近似解的原理與步驟,會用二分法求方程的近似解.
2.過程與方法
體會通過取區(qū)間中點,應用零點存在性定理,逐步縮小零點所屬區(qū)間的范圍,而獲得零點的近似值即方程的近似解的過程中理解二分法的基本思想,滲透算法思想.
3.情感、態(tài)度及價值觀
在靈活調整算法,在由特殊到一般的認識過程中,養(yǎng)成良好的學習品質和思維品質,享受數(shù)學的無窮魅力.
(二)教學重點與難點
重點:用二分法求方程的近似解;
難點:二分法原理的理解
(三)教學方法
講授法與合作交流相結合,通過老師恰當合理的講授,師生之間默切的合作交流,認識二分法、理解二分法的實質,從而能應用二分法研究問題,達到知能有機結合的最優(yōu)結果.
(四)教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
提出問題引入課題1問題:一元二次方程可用判別式判定根的存在性,可用求根公式求方程的根.但對于一般的方程,雖然可用零點存在性定理判定根的存在性,而沒有公式.求根:如何求得方程的根呢?
①函數(shù)f(x)=lnx+2x–6在區(qū)間(2,3)內有零點.
②如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小,那么在一定精確度的要求下,我們可以得到零點的近似值.
③通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.
④取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)≈–0.084.因為f(2.5)f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內.再取內間(2.5,3)的中點2.75,用計算器算得f(2.75)≈0.512.因為f(2.5)f(2.75)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,2.75)內.
⑤由于(2,3)(2.5,3)
(2.5,2.75),所以零點所在的范圍確實越來越小了.
⑥例如,當精確度為0.01時,由于|2.5390625–2.53125|=0.0078125<0.01,所以,我們可以將x=2.53125作為函數(shù)
f(x)=lnx+2x–6零點的近似值,也即方程lnx+2x–6=0根的近似值.
師:怎樣求方程lnx+2x–6=0的根.
引導:觀察圖形
生:方程的根在(2,3)區(qū)間內
師:能否用縮小區(qū)間的方法逼近方程的根
生:應該可用
師:我們現(xiàn)用一種常見的數(shù)學方法—二分法,共同探究已知方程的根.
師生合作,借助計算機探求方程根的近似值.
區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值
(2,3)2.5–0.084
(2.5,3)2.750.512
(2.5,2.75)2.6250.215
(2.5,2.625)2.56250.066
(2.5,2.5625)2.53125–0.009
(2.53125,2.5625)2.5468750.029
(2.53125,2.546875)2.53906250.010
(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
由舊到新設疑、析疑導入課題,實例分析了解二分法、進一步師生合作嘗試二分法.
形成概念1.對于區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
2.給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步聚如下:
(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0,給定精確度;
(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;
(3)計算f(c);
①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;
②若f(a)f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c));
③若f(c)f(b)<0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b)).
(4)判斷是否達到精確度:即若|a–b|<,則得到零點近似值a(或b);否則重復2~4.師生合作回顧實例:
求方程lnx+2x–6=0的近似解(精確度0.01)的操作過程.掌握二分法,總結應用二分法的步驟
師:講授二分法的定義.
生:總結應用二分法的步驟.
學生交流總結,學生代表口述步驟,老師完善并板書.由特殊到一般形成概念,歸納總結應用二分法的步驟.
應用舉例
例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度0.1).師生合作應用二分法,遵循二分法的步驟求解,并借助函數(shù)圖象檢驗.
例1解:原方程即2x+3x–7=0,令f(x)=2x+3x–7,用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)=2x+3x–7的對應值表與圖象
x01234
f(x)=2x+3x–7–6–231021
x5678
f(x)=2x+3x–74075142273
觀察圖或表可知f(1)f(2)<0,說明這個函數(shù)在區(qū)間(1,2)內有零點x0.
取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5,用計算器算得f(1.5)≈0.33.因為f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中點x2=1.25,用計算器算得f(1.25)≈–0.87.因為f(1.25)f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375)
由于|1.375–1.4375|=0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取為1.4375.嘗試體驗二分法,培養(yǎng)應用二分法從而固化基本理論技能
鞏固練習
1.借助計算器或計算機,用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x–1.4在區(qū)間(0,1)內的零點(精確度0.1).
2.借助計算器或計算機,用二分法求方程x=3–lgx在區(qū)間(2,3)內的近似解(精確度0.1).學生動手嘗試練習,師生借助計算機合作完成求解.
1.解:由題設可知f(0)=–1.4<0,f(1)=1.6>0,
于是f(0)f(1)<0,
所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有一個零點.
下面用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x–1.4在區(qū)間(0,1)內的零點
取區(qū)間(0,1)的中點x1=0.5,用計算器可算得f(0.5)=–0.55.因為f(0.5)f(1)<0,
所以x0∈(0.5,1).
再取區(qū)間(0.5,1)的中點x2=0.75,用計算器可算得f(0.75)≈0.32.
因為f(0.5)f(0.75)<0,
所以x0∈(0.5,0.75).
同理可得x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.6875),x0∈(0.65625,0.6875)
由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1,
所以原方程的近似解可取為0.65625.
2.解原方程即x+lgx–3=0,令f(x)=x+lgx–3,用計算器可算得f(2)≈–0.70,f(3)≈0.48,
于是f(2)f(3)<0,
所以,這個方程在區(qū)間(2,3)內有一個解.
下面用二分法求方程x=3–lgx在區(qū)間(2,3)內的近似解.
取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,用計算器可算得f(2.5)≈–0.10.
因為f(2.5)f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
再取區(qū)間(2.5,3)的中點x2=2.75,用計算器可算得f(2.75)≈0.19.因為f(2.5)f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理可得x0∈(2.5,2.625),
x0∈(2.5625,2.625).
由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取為2.5625.進一步體驗二分法,鞏固應用二分法的方法與技巧及注意事項.
課后練習3.1第三課時習案學生獨立完成鞏固二分法應用技能
備選例題
例1用二分法求函數(shù)f(x)=x3–3的一個正實數(shù)零點(精確到0.1).
【解析】由于f(1)=–2<0,f(2)=5>0,因此可以確定區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間,用二分法逐步計算,列表如下:
端點或中點的橫坐標計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間
a0=1,b0=2f(1)=–2,f(2)=5[1,2]
f(x0)=0.375>0[1,1.5]
f(x1)=–1.0469<0[1.25,1.5]
f(x2)=–0.4004<0[1.375,1.5]
f(x3)=–0.0295<0[1.4375,1.5]
f(x4)=0.1684>0[1.4375,1.46875]
f(x5)>0[1.4375,1.453125]
x6=1.4453125f(x6)>0[1.4375,1.4453125]
由上表的計算可知區(qū)間[1.4375,1.4453125]的左、右端點精確到0.1所取的近似值都是1.4,所以1.4可作為所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點的近似值.
利用二分法求方程的近似解
經(jīng)驗告訴我們,成功是留給有準備的人。高中教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以更好的幫助學生們打好基礎,幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。您知道高中教案應該要怎么下筆嗎?為此,小編從網(wǎng)絡上為大家精心整理了《利用二分法求方程的近似解》,歡迎大家閱讀,希望對大家有所幫助。
4.1.2用二分法求方程的近似解一、教學目標
1、知識與技能:
(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法,會用二分法求解具體方程的近似解;
(2)體會程序化解決問題的思想,為算法的學習作準備。
2、過程與方法:
(1)讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發(fā)思想;
(2)讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識。
3、情感、態(tài)度與價值觀:
①體會二分法的程序化解決問題的思想,認識二分法的價值所在,使學生更加熱愛數(shù)學;
②培養(yǎng)學生認真、耐心、嚴謹?shù)臄?shù)學品質。
二、教學重點、難點
重點:用二分法求解函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟。
難點:為何由︱a-b︳<便可判斷零點的近似值為a(或b)?
三、學法與教法
1、想-想。2、教法:探究交流,講練結合。
四、教學過程
(一)、創(chuàng)設情景,揭示課題
提出問題:
(1)一元二次方程可以用公式求根,但是沒有公式可以用來求解放程㏑x+2x-6=0的根;聯(lián)系函數(shù)的零點與相應方程根的關系,能否利用函數(shù)的有關知識來求她的根呢?
(2)通過前面一節(jié)課的學習,函數(shù)f(x)=㏑x+2x-6在區(qū)間內有零點;進一步的問題是,如何找到這個零點呢?
(二)、研討新知
一個直觀的想法是:如果能夠將零點所在的范圍盡量的縮小,那么在一定的精確度的要求下,我們可以得到零點的近似值;為了方便,我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。
取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)≈-0.084,因為f(2.5)*f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內;
再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75,用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)<0,所以零點在(2.5,2.75)內;
由于(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75)越來越小,所以零點所在范圍確實越來越小了;重復上述步驟,那么零點所在范圍會越來越小,這樣在有限次重復相同的步驟后,在一定的精確度下,將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值,特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如,當精確度為0.01時,由于∣2.5390625-2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我們可以將x=2.54作為函數(shù)f(x)=㏑x+2x-6零點的近似值,也就是方程㏑x+2x-6=0近似值。
這種求零點近似值的方法叫做二分法。
1.師:引導學生仔細體會上邊的這段文字,結合課本上的相關部分,感悟其中的思想方法.
生:認真理解二分法的函數(shù)思想,并根據(jù)課本上二分法的一般步驟,探索其求法。
2.為什么由︱a-b︳<便可判斷零點的近似值為a(或b)?
先由學生思考幾分鐘,然后作如下說明:
設函數(shù)零點為x0,則a<x0<b,則:0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0;
由于︱a-b︳<,所以︱x0-a︳<b-a<,︱x0-b︳<∣a-b∣<,
即a或b作為零點x0的近似值都達到了給定的精確度。
(三)、鞏固深化,發(fā)展思維
1、學生在老師引導啟發(fā)下完成下面的例題
例2.借助計算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確到0.01)
問題:原方程的近似解和哪個函數(shù)的零點是等價的?
師:引導學生在方程右邊的常數(shù)移到左邊,把左邊的式子令為f(x),則原方程的解就是f(x)的零點。
生:借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象,結合圖象確定零點所在的區(qū)間,然后利用二分法求解.
(四)、歸納整理,整體認識
在師生的互動中,讓學生了解或體會下列問題:
1、本節(jié)我們學過哪些知識內容?2、你認為學習“二分法”有什么意義?3、在本節(jié)課的學習過程中,還有哪些不明白的地方?
(五)、布置作業(yè):P102習題3.1A組第四題,第五題。
高一數(shù)學用二分法求方程的近似解040
俗話說,居安思危,思則有備,有備無患。準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生能夠在教學期間跟著互動起來,有效的提高課堂的教學效率。你知道怎么寫具體的教案內容嗎?下面是小編精心收集整理,為您帶來的《高一數(shù)學用二分法求方程的近似解040》,供大家參考,希望能幫助到有需要的朋友。
§3.1.2用二分法求方程的近似解一、三維目標
1.知識與技能
(1)用二分法求解方程的近似解的思想方法,會用二分法求解具體方程的近似解;
(2)體會程序化解決問題的思想,為算法的學習作準備。
2.過程與方法
(1)讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發(fā)思想;
(2)讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識。
3.情感、態(tài)度與價值觀
①體會二分法的程序化解決問題的思想,認識二分法的價值所在,使學生更加熱愛數(shù)學;
②培養(yǎng)學生認真、耐心、嚴謹?shù)臄?shù)學品質。
二、教學重點、難點
重點:用二分法求解函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟。
難點:為何由︱a-b︳<便可判斷零點的近似值為a(或b)?
三、學法與教學用具
1.想-想。
2.教學用具:計算器。
四、教學設想
(一)、創(chuàng)設情景,揭示課題
提出問題:
(1)一元二次方程可以用公式求根,但是沒有公式可以用來求解放程㏑x+2x-6=0的根;聯(lián)系函數(shù)的零點與相應方程根的關系,能否利用函數(shù)的有關知識來求她的根呢?
(2)通過前面一節(jié)課的學習,函數(shù)f(x)=㏑x+2x-6在區(qū)間內有零點;進一步的問題是,如何找到這個零點呢?
(二)、研討新知
一個直觀的想法是:如果能夠將零點所在的范圍盡量的縮小,那么在一定的精確度的要求下,我們可以得到零點的近似值;為了方便,我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。
取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)≈-0.084,因為f(2.5)*f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內;
再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75,用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)<0,所以零點在(2.5,2.75)內;
由于(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75)越來越小,所以零點所在范圍確實越來越小了;重復上述步驟,那么零點所在范圍會越來越小,這樣在有限次重復相同的步驟后,在一定的精確度下,將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值,特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如,當精確度為0.01時,由于∣2.5390625-2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我們可以將x=2.54作為函數(shù)f(x)=㏑x+2x-6零點的近似值,也就是方程㏑x+2x-6=0近似值。
這種求零點近似值的方法叫做二分法。
1.師:引導學生仔細體會上邊的這段文字,結合課本上的相關部分,感悟其中的思想方法.
生:認真理解二分法的函數(shù)思想,并根據(jù)課本上二分法的一般步驟,探索其求法。
2.為什么由︱a-b︳<便可判斷零點的近似值為a(或b)?
先由學生思考幾分鐘,然后作如下說明:
設函數(shù)零點為x0,則a<x0<b,則:
0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0;
由于︱a-b︳<,所以
︱x0-a︳<b-a<,︱x0-b︳<∣a-b∣<,
即a或b作為零點x0的近似值都達到了給定的精確度。
㈢、鞏固深化,發(fā)展思維
1.學生在老師引導啟發(fā)下完成下面的例題
例2.借助計算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確到0.01)
問題:原方程的近似解和哪個函數(shù)的零點是等價的?
師:引導學生在方程右邊的常數(shù)移到左邊,把左邊的式子令為f(x),則原方程的解就是f(x)的零點。
生:借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象,結合圖象確定零點所在的區(qū)間,然后利用二分法求解.
(四)、歸納整理,整體認識
在師生的互動中,讓學生了解或體會下列問題:
(1)本節(jié)我們學過哪些知識內容?
(2)你認為學習“二分法”有什么意義?
在本節(jié)課的學習過程中,還有哪些不明白的地方?