小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教案
發(fā)表時(shí)間：2021-08-15高一數(shù)學(xué)教案：《用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)。
高一數(shù)學(xué)教案：《用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解求方程近似解的二分法的基本思想與步驟；能夠借助科學(xué)計(jì)算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解．
（2）通過(guò)啟發(fā)學(xué)生利用直觀想象分析問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)二分法的算法思想，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力．
（3）體驗(yàn)求方程近似解的二分法的探究形成過(guò)程，感受方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；通過(guò)了解數(shù)學(xué)家的史料來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并增強(qiáng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體會(huì)概括結(jié)論和規(guī)律的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的正確方法．
（二）重點(diǎn)難點(diǎn)：
重點(diǎn)：理解二分法的基本思想，掌握運(yùn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟和過(guò)程．
難點(diǎn)：理解精確度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步驟
（三）教學(xué)內(nèi)容安排
1.提出問(wèn)題：（教師可以利用多媒體等手段展示問(wèn)題）有一條5km長(zhǎng)的電話線路（大約100多根電線桿），某一天線路發(fā)生了故障．想一想，維修線路的工人師傅如何迅速查出故障所在？
教師可以鼓勵(lì)學(xué)生討論，研究此問(wèn)題，并提出一個(gè)可行的方案．
2.新課導(dǎo)入：
求下列函數(shù)的零點(diǎn)：
（1）（2）
學(xué)生回答計(jì)算的結(jié)果．
教師總結(jié)：簡(jiǎn)單高次函數(shù)可以因式分解求出零點(diǎn)，不能因式分解的高次函數(shù)我們不能求出其零點(diǎn)，但是我們可以想辦法來(lái)求零點(diǎn)的近似值．
3.介紹數(shù)學(xué)史：
介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)與挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事跡，并引出二分法．
4.例題講解：
例題：求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)（精確到），此時(shí)應(yīng)采取教師引導(dǎo)，學(xué)生合作探究的教學(xué)模式．教師需引導(dǎo)學(xué)生解決下列問(wèn)題：
（1）如何尋找零點(diǎn)的近似解？（即二分法的原理，操作方法）
（2）分到何時(shí)才能滿足誤差要求？（即二分法的精度要求）
找到解決這兩個(gè)問(wèn)題的方法之后，首先由師生共同選擇初始區(qū)間，教師可以利用數(shù)軸演示二分法的原理；讓學(xué)生討論絕對(duì)誤差與區(qū)間長(zhǎng)度的關(guān)系．教師引導(dǎo)學(xué)生用表格演示二分法逐次計(jì)算的結(jié)果．最后由學(xué)生歸納二分法解題的一般步驟，教師做最后總結(jié)．（可以通過(guò)計(jì)算機(jī)作圖來(lái)驗(yàn)證學(xué)生的計(jì)算結(jié)果）
5.練習(xí)鞏固
使用計(jì)算器，用二分法求函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)0.01）．
教師巡視，學(xué)生作練習(xí)．要求同桌配合，一名同學(xué)負(fù)責(zé)作記錄，另一名負(fù)責(zé)用計(jì)算器求值，盡快求解．
6.拓展加深 由二分法到算法．
（1）教師總結(jié)二分法的用途，拓展到算法，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)前人算法的基礎(chǔ)上，去尋求解決各類問(wèn)題的算法．
（2）介紹函數(shù)圖象求解法．
7.歸納小結(jié)：
教師總結(jié)二分法的解題步驟，讓學(xué)生并領(lǐng)會(huì)、回顧本節(jié)所學(xué)的知識(shí)與方法，以逐步提高學(xué)生自我獲取知識(shí)的能力，有利于發(fā)展教與學(xué)中存在的問(wèn)題并能及時(shí)糾正．www.lvshijia.net
8.布置作業(yè)：
教材P100練習(xí) 2. 教材P102習(xí)題3.1 B組 1
（四）教學(xué)資源建議
建議在教學(xué)過(guò)程中可以讓學(xué)生使用計(jì)算器來(lái)計(jì)算相關(guān)的函數(shù)值，這樣可以節(jié)省學(xué)生的計(jì)算時(shí)間．教師則可以利用多媒體教學(xué)手段協(xié)助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納方法，并且驗(yàn)證學(xué)生的計(jì)算結(jié)果．
（五）教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議
1.教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)：
新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了課堂教學(xué)要以學(xué)生的發(fā)展為本，如何在課堂教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)、不同水平的學(xué)生提供其感興趣的教學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)有趣且適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)情景，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和探索，在交流和親自參與中獲得知識(shí)，是我們教師一項(xiàng)十分重要的任務(wù)．從實(shí)例引入能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生的求知欲．引入中的實(shí)例是為引入二分法的原理做準(zhǔn)備，也說(shuō)明二分法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并作用與現(xiàn)實(shí)生活．整個(gè)教學(xué)過(guò)程應(yīng)遵循從特殊到一般的思想，學(xué)生更容易接受知識(shí)；另外應(yīng)以問(wèn)題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，這樣有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解；這樣可以使學(xué)生在討論、合作中解決問(wèn)題，充分體驗(yàn)成功的愉悅．在教學(xué)過(guò)程中教師可以鼓勵(lì)學(xué)生采用獨(dú)立思考與小組活動(dòng)相結(jié)合的辦法解決問(wèn)題，倡導(dǎo)合作學(xué)習(xí)；并且讓學(xué)生進(jìn)行模仿練習(xí)，能及時(shí)的鞏固所學(xué)知識(shí)與方法．
2.學(xué)生的能力、價(jià)值觀培養(yǎng)：
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授和技能的形成，更重要的是在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)以“問(wèn)題”為主線，不斷地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)．這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高解決問(wèn)題的能力．而且本節(jié)課中學(xué)生體驗(yàn)了一個(gè)由二分法的研究學(xué)習(xí)上升到對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的學(xué)習(xí)與研究的過(guò)程．在教學(xué)過(guò)程中注重學(xué)習(xí)方法，注重思維方法，注重探索方法，讓學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生知道這些知識(shí)是如何被發(fā)現(xiàn)的，結(jié)論是如何獲得的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中去體驗(yàn)數(shù)學(xué)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)，體現(xiàn)了“方法比知識(shí)更重要”這一新的教學(xué)價(jià)值觀，在此過(guò)程中教師可以引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到算法思想的重要性，并提高學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和探究能力．
3.重視“以學(xué)生為本”：
《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間，學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程．”根據(jù)優(yōu)化課堂教學(xué)的需要對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚恚鶕?jù)教學(xué)要求，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的教學(xué)情境，設(shè)計(jì)富有情趣的教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，積極參與數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程．在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師注意發(fā)揮學(xué)生的主體性，給學(xué)生留下充分的時(shí)間與空間．在課堂上，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了有條理地表述自己的觀點(diǎn)想法，還學(xué)會(huì)了相互接納、贊賞與互助，并不斷對(duì)自己和別人的想法進(jìn)行批判和反思．通過(guò)學(xué)生間的多向交流，可以使他們從多角度看到問(wèn)題解決的途徑．
擴(kuò)展閱讀
用二分法求方程近似解
§3.1.2用二分法求方程的近似解學(xué)案
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
能說(shuō)出零點(diǎn)的概念，零點(diǎn)的等價(jià)性，零點(diǎn)存在性定理。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
（預(yù)習(xí)教材P89~P91，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：什么叫零點(diǎn)？零點(diǎn)的等價(jià)性？零點(diǎn)存在性定理？
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸函數(shù).
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
復(fù)習(xí)2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.根據(jù)具體函數(shù)圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解；
2.通過(guò)用二分法求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí).
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：通過(guò)用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)．
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：精確度概念的理解，求方程近似解一般步驟的概括和理解
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
探究任務(wù)：二分法的思想及步驟
問(wèn)題：有12個(gè)小球，質(zhì)量均勻，只有一個(gè)是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個(gè)球的，要求次數(shù)越少越好.
解法：
第一次，兩端各放個(gè)球，低的那一端一定有重球；
第二次，兩端各放個(gè)球，低的那一端一定有重球；
第三次，兩端各放個(gè)球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.
思考：以上的方法其實(shí)這就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求的零點(diǎn)所在區(qū)間？如何找出這個(gè)零點(diǎn)？
新知：對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且0的函數(shù)，通過(guò)不斷的把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
給定精度ε，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如何呢？
①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度ε；
②求區(qū)間的中點(diǎn)；
③計(jì)算：若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；
④判斷是否達(dá)到精度ε；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a（或b）；否則重復(fù)步驟②~④．
三、典型例題
例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，利用二分法求方程的近似解.
變式：求方程的根大致所在區(qū)間.
例2求方程的解的個(gè)數(shù)及其大致所在區(qū)間.
變式訓(xùn)練
求函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)（精確到）
零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度
四、反思總結(jié)
①二分法的概念；②二分法步驟；③二分法思想.
五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.求方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)及其大致所在區(qū)間.
課后練習(xí)與提高
1.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上（）.
A.至少有一個(gè)零點(diǎn)B.只有一個(gè)零點(diǎn)
C.沒(méi)有零點(diǎn)D.至多有一個(gè)零點(diǎn)
2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（）.
3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）.
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實(shí)根，由計(jì)算器可算得，，，那么下一個(gè)有根區(qū)間為.
5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，大致所在區(qū)間為.
6.借助于計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)（精確到）.
高一數(shù)學(xué)用二分法求方程的近似解038
第三十一課時(shí)用二分法求方程的近似解
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
學(xué)習(xí)要求
1．通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；
2．能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解；
3．體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一．
自學(xué)評(píng)價(jià)
1．二分法
對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
2．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；
（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；
（3）計(jì)算：
①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；
③若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；
（4）判斷是否達(dá)到精度：即若，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4．
【精典范例】
例1：利用計(jì)算器，求方程的一個(gè)近似解（精確到0.1）．
【解】設(shè)，
先畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖.
(如右圖所示)
因?yàn)?br>
，
所以在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取與的平均數(shù)，因?yàn)?br>
，
所以.
再取與的平均數(shù)，因?yàn)椋?br>
所以.
如此繼續(xù)下去，得
，因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為
.
利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個(gè)近似解.
點(diǎn)評(píng):①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通常可確定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間；
②建議列表樣式如下：
零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度
1
0.5
0.25
0.125
如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步．
例2：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）．
分析：分別畫函數(shù)和
的圖象，在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等．因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解．由函數(shù)與的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程有惟一解，記為，并且這個(gè)解在區(qū)間內(nèi).
【解】設(shè)，利用計(jì)算器計(jì)算得
因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為
.
思考:發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果約穩(wěn)定在.這實(shí)際上是求方程近似解的另一種方法——迭代法．
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法還有牛頓切線法、弦切法等．
例3：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）．
【解】方程
可以化為．
分別畫函數(shù)
與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內(nèi)，那么對(duì)于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為.
追蹤訓(xùn)練一
1.設(shè)是方程的解，則所在的區(qū)間為（B）
A．B．
C．D．
2.估算方程的正根所在的區(qū)間是（B）
A．B．
C．D．
3．計(jì)算器求得方程的負(fù)根所在的區(qū)間是（A）
A．（，0）B．
C．D．
4.利用計(jì)算器,求下列方程的近似解(精確到)
(1)(2)
答案:(1)(2),
【選修延伸】
一、含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題
例4：二次函數(shù)中實(shí)數(shù)、、滿足，其中，求證：
（1）)；
（2）方程在內(nèi)恒有解．
分析：本題的巧妙之處在于，第一小題提供了有益的依據(jù)：是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間劃分為(，)和（，）來(lái)處理．
【解】（1）
，
由于是二次函數(shù),故，又，所以，．
⑵由題意，得,．
①當(dāng)時(shí)，由（1）知
若，則，又,所以在（，）內(nèi)有解．
若，則
，又，所以在（,）內(nèi)有解．
②當(dāng)時(shí)同理可證．
點(diǎn)評(píng)：（1）題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)．若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改．
（2）對(duì)字母、分類時(shí)先對(duì)哪個(gè)分類是有一定講究的，本題的證明中，先對(duì)分類，然后對(duì)分類顯然是比較好．
追蹤訓(xùn)練二
1．若方程在內(nèi)恰有一則實(shí)數(shù)的取值范圍是(B)
A．B．
C．D．
2.方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是；
3．已知函數(shù)，在上存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________．
4．已知函數(shù)
⑴試求函數(shù)的零點(diǎn)；
⑵是否存在自然數(shù)，使？若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案：（1）函數(shù)的零點(diǎn)為；
（2）計(jì)算得，，
由函數(shù)的單調(diào)性，可知不存在自然數(shù)，使成立．
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計(jì)
一名愛(ài)崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計(jì)》，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！
教學(xué)設(shè)計(jì)3.1.2用二分法求方程的近似解
教學(xué)設(shè)計(jì)(一)
作者：張興娟，邯鄲市第四中學(xué)高級(jí)教師．本教學(xué)設(shè)計(jì)獲“卡西歐杯”第五屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)一等獎(jiǎng)．
學(xué)習(xí)準(zhǔn)備
教師需要明了：
1．新教材為什么增加求方程的近似解？
2．為什么用“二分法”求方程的近似解？
3．本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用．
4．明確學(xué)生現(xiàn)有的水平和可能的發(fā)展水平．
學(xué)生需要復(fù)習(xí)：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)．
在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”確定本課時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)目標(biāo)．
教學(xué)目標(biāo)
1．了解二分法是求方程近似解的一種方法．
2．會(huì)用二分法求給定精確度的方程的近似解．
3．在具體問(wèn)題情境中感受逐步逼近的過(guò)程．
4．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析數(shù)據(jù)的能力．
5．培養(yǎng)學(xué)生合作與交流的意識(shí)和對(duì)新知探求的精神．
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：二分法原理及其探究過(guò)程，用二分法求方程的近似解．
難點(diǎn)：對(duì)二分法原理的探究，對(duì)精確度、近似值的理解．
教學(xué)方法與教學(xué)手段
教學(xué)方法：“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”，啟發(fā)、探究
學(xué)法：自主探究、分組合作、辨析討論、深化理解
教輔工具：計(jì)算機(jī)、投影儀、計(jì)算器
教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境，提出問(wèn)題
問(wèn)題1：你會(huì)求哪些類型方程的解？
寫一寫你不會(huì)求解的方程．
設(shè)計(jì)意圖
讓學(xué)生感受有大量的方程不能求解，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲．
問(wèn)題2：能不能求方程的近似解？
2．自主探究，獲得新知
以求方程x3＋3x－1＝0的近似解(精確度0.1)為例進(jìn)行探究．
探究1：怎樣確定解所在的區(qū)間？
(1)圖象法(數(shù)形結(jié)合)：
(2)試值法：
設(shè)f(x)=x3+3x－1，f(0)=－1＜0，f(1)=3＞0.
復(fù)習(xí)：(1)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；
(2)根的存在性定理．
探究2：怎樣縮小解所在的區(qū)間？
幸運(yùn)52中猜商品價(jià)格環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考：
(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？
(2)如何猜才能最快猜出商品的價(jià)格？
設(shè)計(jì)意圖
在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問(wèn)題，搭建平臺(tái)，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也在猜測(cè)的過(guò)程中逐步體會(huì)二分法思想．
問(wèn)題3：為什么要取中點(diǎn)，好處是什么？
設(shè)計(jì)意圖
體會(huì)二分法優(yōu)于其他如“三分法”，“四分法”，華羅庚的“優(yōu)選法”等．
探究3：區(qū)間縮小到什么程度滿足要求？
設(shè)計(jì)意圖
利用計(jì)算器進(jìn)行了多次計(jì)算，逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點(diǎn)，提高了探究活動(dòng)的有效性．
問(wèn)題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？
通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的探究，給出二分法的定義就水到渠成了．
二分法的定義：
對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
用二分法求零點(diǎn)近似值的步驟：
給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：
(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0，給定精確度ε；
(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；
(3)計(jì)算f(c)；
①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若f(a)f(c)＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；
③若f(c)f(b)＜0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．
(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：
即若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．
3．例題剖析，鞏固新知
【例】借助計(jì)算器用二分法求方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精確度0.01)．
兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)．同時(shí)演示用Excel程序求方程的近似解．
設(shè)計(jì)意圖
(1)演示Excel程序求方程的近似解，界畫活潑，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程有機(jī)整合．進(jìn)一步明確為什么用“二分法”求方程的近似解．(2)算法流程比較簡(jiǎn)潔，便于編寫計(jì)算機(jī)程序，利用計(jì)算器和多媒體輔助教學(xué)，直觀明了．
4．知識(shí)遷移，生活應(yīng)用
(1)猜商品價(jià)格；
(2)從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查接點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________．
5．檢驗(yàn)成果，鞏固提升
(1)下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是()
思維升華：在零點(diǎn)的附近連續(xù)且f(a)f(b)＜0.
(2)方程4x＋2x－11＝0的解在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？你能給出一個(gè)滿足精確度為0.1的近似解嗎？
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
說(shuō)明：二分法不僅能求方程的近似解，有時(shí)也能求方程的精確解．
6．回顧反思
本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？有哪些收獲？還有什么疑問(wèn)？
(1)預(yù)設(shè)課堂生成問(wèn)題(有些同學(xué)可能會(huì)有這樣的疑惑，若沒(méi)有就作為課下拓展留給學(xué)生思考)．
如圖所示，區(qū)間[a，b]上有多個(gè)零點(diǎn)，還能否用二分法求方程的近似解？如果能，該怎樣做？
(2)學(xué)生課堂生成新問(wèn)題(不同的班級(jí)可能會(huì)有不同的問(wèn)題，具體問(wèn)題具體解決)．
課外作業(yè)
1．書面作業(yè)
(1)習(xí)題3.1A組3,4,5；
(2)求2x＋3x＝7的近似解(精確度0.1)．
2．知識(shí)鏈接閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”．
板書設(shè)計(jì)
課題：(投影顯示)
1．提出問(wèn)題：
2．自主探究：
3．抽象概括：
4．鞏固練習(xí)：
5．歸納總結(jié)：
教學(xué)反思
1．注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程；
2．注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；
3．恰當(dāng)?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù)．
教學(xué)設(shè)計(jì)(二)
作者：馮紅果，泉州市第七中學(xué)教師．本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽一等獎(jiǎng)．
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1》人教A版第三章第一節(jié)第二課，主要是分析函數(shù)與方程的關(guān)系．教材分三步來(lái)進(jìn)行：第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系．然后推廣為一般方程與相應(yīng)函數(shù)的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)圖象和性質(zhì)來(lái)研究方程的解，體現(xiàn)方程和函數(shù)的關(guān)系；第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系．
本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分法求方程的近似解．它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據(jù)，從求方程近似解這個(gè)側(cè)面來(lái)體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關(guān)系”；而且在“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透了算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆；充分體現(xiàn)新課程“滲透算學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用”的理念．求方程近似解其中隱含“逼進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想，并且運(yùn)用“二分法”來(lái)逼近目標(biāo)是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù)．
學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)具備基本的認(rèn)識(shí)；而二分法來(lái)自生活，是由生活中抽象而來(lái)的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的，學(xué)生也能夠很容易理解這種方法．其中運(yùn)用“二分法”進(jìn)行區(qū)間縮小的依據(jù)、總結(jié)出“運(yùn)用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運(yùn)用到生活實(shí)際，是需要學(xué)生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
設(shè)計(jì)理念
本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實(shí)際——理論——實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)——學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注重提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象與概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程．
教學(xué)目標(biāo)
1．理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法；利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生用計(jì)算器自己驗(yàn)證求方程近似值的過(guò)程；
2．體會(huì)二分法的思想和方法，使學(xué)生意識(shí)到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學(xué)生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；
3．體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；感受正面解決問(wèn)題困難時(shí)，通過(guò)迂回的方法使問(wèn)題得到解決的快樂(lè)．
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：能夠借用計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，根所在區(qū)間的確定及逼近的思想．
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長(zhǎng)度的縮?。?br> 教學(xué)過(guò)程
教學(xué)基本流程圖
教學(xué)情境設(shè)計(jì)
教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情預(yù)設(shè)設(shè)計(jì)意圖知識(shí)鏈接
創(chuàng)
設(shè)
情
境
引
出
課
題
1．大家都看過(guò)《幸運(yùn)52》吧，今天咱也試一回(出示游戲)．
2．競(jìng)猜中，“高了”、“低了”的含義是什么？如何確定價(jià)格的最可能的范圍？
3．如何才能更快地猜中商品的預(yù)定價(jià)格？
4．“二分”的思路是什么？1．教師從學(xué)生熟悉的電視節(jié)目，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、分析、歸納迅速猜價(jià)的方法．
2．學(xué)生能夠主動(dòng)參與游戲，并且參與游戲的同學(xué)可以比較并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生會(huì)有很多種方案．
3．對(duì)于“問(wèn)題2”學(xué)生能夠順利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判斷價(jià)格所在區(qū)間的依據(jù)”這個(gè)結(jié)論．
4．此時(shí)教師通過(guò)“問(wèn)題3”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較哪種方法更快更好．從中學(xué)生可以得到用二分法解決問(wèn)題的思路——二分指的是將解所在區(qū)間平均地分為兩個(gè)區(qū)間.1．利用視屏與游戲的形式，學(xué)生會(huì)踴躍參與；商品價(jià)格競(jìng)猜也是學(xué)生熟悉的，競(jìng)猜的方法會(huì)很多樣，可以進(jìn)行競(jìng)賽．
2．通過(guò)問(wèn)題2，啟發(fā)學(xué)生尋找確定區(qū)間的依據(jù)，為后面探索“用二分法求方程近似解”的時(shí)候埋下伏筆．
3．通過(guò)游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷游戲過(guò)程，感受數(shù)學(xué)來(lái)自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會(huì)將實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．
4．通過(guò)比較不同的方法得出最快的競(jìng)猜的方法——二分法．
師
生
探
究
構(gòu)
建
新
知1．上節(jié)課我們學(xué)了什么定理，它的作用是什么？還有什么問(wèn)題沒(méi)有解決？
2．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；如何求出方程lnx＋2x－6＝0在區(qū)間(2,3)的近似解(精確度為0.01)？與剛才的游戲是否有類似之處？
3．精確度的含義是什么？怎樣的區(qū)間才算滿足設(shè)定的精確度？
4．區(qū)間(2,3)的精確度為多少？
5．如何將零點(diǎn)所在的范圍縮小(即
如何將精確度縮小)？縮小的依據(jù)是什么？
6．如何利用今天“猜價(jià)格”——“二分法”的逼近思想來(lái)縮小區(qū)間？
7．近似解是多少？1．教師通過(guò)“問(wèn)題1”對(duì)上節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，點(diǎn)出今天的課題．并且有前面游戲作為伏筆，學(xué)生能夠得出“連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理”是判斷方程的根所在區(qū)間的依據(jù)．
2．通過(guò)“問(wèn)題2”應(yīng)用具體的題目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．學(xué)生通過(guò)引導(dǎo)將方程的解與商品的價(jià)格聯(lián)系到一起，運(yùn)用剛才的游戲的經(jīng)驗(yàn)，得到縮小區(qū)間的想法．
3．學(xué)生對(duì)精確度的概念可能有所遺忘．教師可以借助數(shù)軸解釋說(shuō)明精確度的含義，引導(dǎo)學(xué)生思考什么時(shí)候停止操作．
4．教師通過(guò)“問(wèn)題4～6”引導(dǎo)學(xué)生將“二分法”與“零點(diǎn)存在定理”相結(jié)合得到正確的新的零點(diǎn)所在的區(qū)間．并確定結(jié)束的時(shí)間.
5．學(xué)生按照游戲的方法也就是按照“二分法”的思路，不斷縮小零點(diǎn)存在的區(qū)間，進(jìn)行具體操作，填出(附錄1)中的表格．表格剛開始的前幾行學(xué)生可能會(huì)比較慢，也有可能會(huì)出錯(cuò)；通過(guò)多次的重復(fù)以及經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，后面的表格可以正確地、快速地回答出來(lái)；使得最后的“應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)”的方法的總結(jié)更加順利．
6．對(duì)于“問(wèn)題7”學(xué)生不太容易得到比較簡(jiǎn)潔的結(jié)論．教師可以進(jìn)行解釋說(shuō)明：“由于整個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)均滿足精確度的條件，因此區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)均可以作為近似解，但區(qū)間端點(diǎn)a，b是已知的值，所以可以取a或b作為近似解．”，最后得到方程的近似解(附錄1的表格后面的內(nèi)容).[設(shè)計(jì)意圖]
1．開門見(jiàn)山，延續(xù)上一節(jié)課的內(nèi)容繼續(xù)深入地研究，使得知識(shí)有一個(gè)鏈接，讓學(xué)生能夠很容易地將新知識(shí)建構(gòu)到舊的知識(shí)體系中．
2．運(yùn)用問(wèn)題1，將學(xué)生的思路與前面已解決的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，抽絲撥繭，學(xué)習(xí)如何分析問(wèn)題、如何利用新的知識(shí)解決問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)用知識(shí)、駕馭知識(shí)的能力．
3．師生的互動(dòng)有利于一邊引導(dǎo)一邊總結(jié)．將二分法應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，即將新的知識(shí)應(yīng)用于解決新的問(wèn)題．培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用的
能力，加強(qiáng)解決問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性，總結(jié)知識(shí)的邏輯性．使得最后方法的總結(jié)能夠順利進(jìn)行．
4．有了前面的商品競(jìng)猜過(guò)程的經(jīng)歷，學(xué)生比較容易入手，分析比較容易到位，從而降低思維的難度．
[知識(shí)鏈接]
1．函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．
2．精確度是對(duì)同一個(gè)量的不同近似數(shù)的精確程度的度量．一般是：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．
形
成
概
念
深
化
提
高1．我們剛才的求解過(guò)程中有哪些過(guò)程是一直重復(fù)出現(xiàn)的？
2．我們?nèi)∑湟欢?，大家看如何用?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述？
3．點(diǎn)明求方程的近似解的“二分法”：對(duì)于在區(qū)間(a，b)上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把方程的解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近近似解，進(jìn)而得到近似解的方法叫二分法.學(xué)生經(jīng)過(guò)老師“問(wèn)題1～2”的提示與引導(dǎo)，可以得到“取區(qū)間的中點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，比較符號(hào)，確定新的區(qū)間”這樣的相同的過(guò)程．
學(xué)生根據(jù)“二分法”的定義進(jìn)行歸納總結(jié)：運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟(附錄2)．其中步驟①“畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a，b)，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0”；學(xué)生很有可能會(huì)有遺漏．此時(shí)可以提出“問(wèn)題5”引導(dǎo)學(xué)生回憶、思考，從而得到運(yùn)用二分法的前提——即步驟①.
對(duì)于“問(wèn)題6”，較好的學(xué)生才能回答出來(lái).[設(shè)計(jì)意圖]
1．不斷的引導(dǎo)，將剛才的解題過(guò)程經(jīng)過(guò)“自然語(yǔ)言——數(shù)學(xué)語(yǔ)言——去其糟粕取其精華——具體步驟”的過(guò)程，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)的方法．
2．課間的及時(shí)總結(jié)有利于學(xué)生對(duì)當(dāng)前所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識(shí)，在后面的做題中可以有法可依，可以提高解題的正確率，增強(qiáng)自信．
3．問(wèn)題6的設(shè)計(jì)是將學(xué)生的思維進(jìn)一步升華，不再停留在技能這一個(gè)層次，而是上升為數(shù)學(xué)思想方法的層次.
4．進(jìn)一步提出問(wèn)題：運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟是什么？
5．運(yùn)用二分法的前提是什么(游戲開始時(shí)要先做什么工作)？引例條件的內(nèi)涵是什么？
6．二分法的實(shí)質(zhì)是什么？它有什么作用？[知識(shí)鏈接]
1．運(yùn)用二分法的前提是要先判斷根在某個(gè)所在的區(qū)間．
2．二分法實(shí)際上是通過(guò)縮小區(qū)間長(zhǎng)度尋找解的一種方法．
課
內(nèi)
練
習(xí)
課
后
作
業(yè)1．練習(xí)：(1)(2)題為例題仿照題，由同桌協(xié)助完成．(3)(4)題考查二分法的含義，由同學(xué)獨(dú)立完成，可以尋求幫助．(附錄4)
2．思考：兩道題均為實(shí)際應(yīng)用題，為學(xué)有余力的同學(xué)提高能力．(附錄4)
3．課后作業(yè)：習(xí)題3.1A組3,4；B組1,2.練習(xí)1．(1)(2)題經(jīng)過(guò)同桌兩位同學(xué)合作可以順利完成．(3)(4)題獨(dú)立完成如果有困難的同學(xué)在同伴或老師的幫助下可以完成．
練習(xí)2實(shí)際應(yīng)用：學(xué)有余力的同學(xué)與同伴合作探討，也可以解決.[設(shè)計(jì)意圖]
1．不同層次的題目，層層遞進(jìn)，不斷提高學(xué)生的能力．不僅鞏固新學(xué)的知識(shí)，而且讓不同層次的學(xué)生得到不同的收獲；
2．培養(yǎng)合作、互助精神；
3．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實(shí)際問(wèn)題．
本
課
小
結(jié)請(qǐng)同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，你覺(jué)得你已經(jīng)掌握了哪些知識(shí)？教師通過(guò)點(diǎn)名提問(wèn)，學(xué)生借助教師的幫助對(duì)整節(jié)課進(jìn)行最后的歸納總結(jié)，得到以下兩點(diǎn)：(1)二分法是一種求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法來(lái)解一元方程近似解的操作步驟(附錄3).[設(shè)計(jì)意圖]
學(xué)生的歸納總結(jié)的能力不強(qiáng)，需要不斷的培養(yǎng)；課后的總結(jié)有利于學(xué)生對(duì)整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，建立自信心.
教學(xué)反思
1．本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實(shí)際、從學(xué)生熟知的現(xiàn)實(shí)生活、從學(xué)生喜愛(ài)的游戲——“競(jìng)猜商品的價(jià)格”入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游戲？與學(xué)生一道進(jìn)行新知識(shí)的探索過(guò)程——二分法的得來(lái)；再將二分法充分地運(yùn)用在函數(shù)零點(diǎn)的求解上；最后將二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程程序化”；暗線：“生活實(shí)際(特殊)——二分法的理論(一般)——二分法的應(yīng)用(特殊)”．讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、時(shí)代性、典型性和可接受性，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)自生活，應(yīng)用于生活的最高境界，感受數(shù)學(xué)之美．
2．引入課題的方式，(1)從生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象——“商品價(jià)格的競(jìng)猜”引入；(2)開門見(jiàn)山——“繼續(xù)前面的研究”引入．
(附錄1)解：設(shè)f(x)＝lnx＋2x－6，x∈(2,3)，先取區(qū)間的中點(diǎn)，再計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值，接著應(yīng)用“零點(diǎn)存在定理”確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表：
區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值精確度
(2,3)2.5－0.0837092681
(2.5,3)2.750.5116009120.5
(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25
(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125
(2.5,2.5625)2.53125－0.0087867480.0625
(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125
(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625
(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813
(2.53125,2.53515625)2.533203125－0.0041091910.003906
(2.533203125,2.53515625)2.534179688－0.0017706340.001953
(2.534179688,2.53515625)2.534667969－0.0006014120.000977
(2.534667969,2.53515625)2.534912109－1.68166×10－50.000488
所以，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，因此我們可以將x＝2.53125作為函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0根的近似值．
(附錄2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步驟：
①畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a，b)，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0；
②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1x1＝a＋b2))；
③計(jì)算f(x1)：若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，x1就是f(x)＝0的根，計(jì)算終止；
若f(a)f(x1)＜0，則選擇區(qū)間(a，x1)；
若f(a)f(x1)＞0，則選擇區(qū)間(x1，b)；
④循環(huán)操作②、③，直到當(dāng)區(qū)間的精確度達(dá)到事先指定的精確度ε(若是要求精確到ε，兩端點(diǎn)精確到同一個(gè)近似值時(shí)才終止計(jì)算)．
(附錄3)
1．練習(xí)：(1)應(yīng)用計(jì)算器，求方程x3＋3x－1＝0的一個(gè)正的近似解．
(2)應(yīng)用計(jì)算器，求方程2x＋x＝4的近似解．
(3)用二分法判斷方程2x＝x2的根的個(gè)數(shù)()
A．1B．2C．3D．4
(4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情況是()
A．僅有一根B．有一正根一負(fù)根
C．有兩負(fù)根D．無(wú)實(shí)根
2．思考：(1)從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查接點(diǎn)的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？
(2)一天，泉州七中校區(qū)與現(xiàn)代中學(xué)(分校)校區(qū)的電纜線路出了故障(相距大約10km)，電工是怎樣檢測(cè)的呢？
答案：略
教學(xué)設(shè)計(jì)(三)
作者：羅志強(qiáng)，長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)教師．本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽三等獎(jiǎng)．
整體設(shè)計(jì)
三維目標(biāo)
1．知識(shí)與技能：
①通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件；
②借助科學(xué)計(jì)算器，掌握運(yùn)用二分法求滿足一定精確度要求的簡(jiǎn)單方程近似解的方法．
2．過(guò)程與方法：
①了解數(shù)學(xué)上的逼近思想、極限思想；
②體驗(yàn)二分法的算法思想，培養(yǎng)自主探究的能力，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
①通過(guò)了解數(shù)學(xué)家的史料來(lái)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；
②體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；
③通過(guò)具體實(shí)例的探究，歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程．
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：二分法的基本思想的理解，運(yùn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟和過(guò)程；
教學(xué)難點(diǎn)：精確度概念的理解及恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．
教材分析
本節(jié)課在學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下學(xué)習(xí)了方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求方程近似解步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容做準(zhǔn)備．教科書不僅希望學(xué)生在數(shù)學(xué)思想與運(yùn)用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學(xué)生通過(guò)了解古今中外數(shù)學(xué)家求方程的解的史料來(lái)滲透數(shù)學(xué)文化，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
學(xué)情分析
學(xué)生基礎(chǔ)較好，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性較強(qiáng)，所以通過(guò)一節(jié)課掌握用二分法求方程的近似解的方法，體驗(yàn)二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的過(guò)程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因此對(duì)獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問(wèn)題的能力．
信息技術(shù)分析
多媒體教室及幾何畫板、VisualBasic應(yīng)用程序．
教學(xué)方法
動(dòng)手操作、分組討論、合作交流、課后實(shí)踐．
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖
創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入——由模仿中央電視臺(tái)節(jié)目“幸運(yùn)52”中的猜價(jià)游戲?qū)胄抡n，提出二分法的思想
↓
例題回顧——回顧例題，復(fù)習(xí)零點(diǎn)存在性定理，提出新問(wèn)題：能不能求出零點(diǎn)《幾何畫板》演示
↓
合作探究——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解
↓
師生小結(jié)——總結(jié)出用二分法求方程近似解的步驟
↓
學(xué)以致用——學(xué)生借助科學(xué)計(jì)算器，用二分法求方程的近似解
↓
數(shù)學(xué)文化——介紹數(shù)學(xué)家求方程的近似解的歷史
↓
知識(shí)遷移——利用VisualBasic編寫程序，滲透算法思想
教學(xué)設(shè)計(jì)理念
1．倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式．
2．鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作交流．
3．注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合．
4．體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值．
教學(xué)情境設(shè)計(jì)
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問(wèn)題情境：中央電視臺(tái)有一檔娛樂(lè)節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人李詠會(huì)給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜某一物品的售價(jià)的機(jī)會(huì)，如果猜中，就把物品獎(jiǎng)勵(lì)給選手，同時(shí)獲得一枚商標(biāo)．某次猜一種品牌的手機(jī)，價(jià)格在500～1000元之間，選手開始報(bào)價(jià)：1000元，主持人回答：高了；緊接著報(bào)價(jià)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．
設(shè)計(jì)意圖
1．創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的游戲情境，制造懸念，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在教師的指導(dǎo)下設(shè)計(jì)猜價(jià)方案．
2．在學(xué)生設(shè)計(jì)猜價(jià)方案的基礎(chǔ)上，提出設(shè)計(jì)此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．
師生活動(dòng)：
師：表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實(shí)際中，游戲的報(bào)價(jià)過(guò)程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來(lái)幫助選手猜價(jià)嗎？請(qǐng)學(xué)生思考后，提問(wèn)學(xué)生用你的猜價(jià)方案猜手機(jī)價(jià)格？
生：猜價(jià)方案
區(qū)間中點(diǎn)(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851ok
師：用幾何畫板配合學(xué)生演示猜價(jià)的過(guò)程后，提問(wèn)此方案的設(shè)計(jì)思想(附圖一)．
生：關(guān)鍵是取區(qū)間的中點(diǎn)，不斷地縮小價(jià)格所在的區(qū)間．
師：此方法在數(shù)學(xué)上稱作“二分法”，并在黑板上板書，從而引入課題．
二、例題回顧
人教A版3.1.1節(jié)例1
求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？方程lnx＋2x－6＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)？
問(wèn)題1：如何來(lái)確定函數(shù)零點(diǎn)的存在性，即方程的實(shí)數(shù)解的存在性？
問(wèn)題2：f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)，如何找出？
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)例題回顧，引導(dǎo)學(xué)生將找方程的實(shí)數(shù)解與找對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題等同起來(lái)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換．
師生活動(dòng)：
師：借助幾何畫板直觀演示(附圖二)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，并復(fù)習(xí)零點(diǎn)存在性定理后，讓學(xué)生思考問(wèn)題2，提示學(xué)生回顧猜價(jià)方案的思想．
生：使用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，思考，交流思路．
師：提問(wèn)學(xué)生．
生：1.取(2,3)的中點(diǎn)2.5，發(fā)現(xiàn)f(2.5)f(3)＜0，所以零點(diǎn)在(2.5,3)內(nèi)．
2．以此類推，發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在的區(qū)間在不斷縮?。?br> 三、合作探究
問(wèn)題1：零點(diǎn)存在區(qū)間的大小能說(shuō)明什么問(wèn)題？
問(wèn)題2：你能夠總結(jié)出使零點(diǎn)存在的區(qū)間越來(lái)越小的規(guī)律嗎？
問(wèn)題3：當(dāng)我們能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的區(qū)間不斷地縮小時(shí)，怎樣確定零點(diǎn)的近似值？
設(shè)計(jì)意圖
1．讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，初步體會(huì)極限思想．
2．引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例出發(fā)，總結(jié)出一般性的規(guī)律，符合學(xué)生的思維意識(shí)，并讓學(xué)生充分體會(huì)二分法思想．
3．引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)零點(diǎn)的近似值求出來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)精確度的作用．
師生活動(dòng)：
1．師：借助幾何畫板(附圖三)引導(dǎo)學(xué)生思考，并讓學(xué)生交流、討論．
生：零點(diǎn)存在區(qū)間越小，區(qū)間兩端點(diǎn)越接近該區(qū)間的實(shí)數(shù)解．
2．師：說(shuō)明讓零點(diǎn)存在區(qū)間越來(lái)越小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，請(qǐng)思考問(wèn)題2.
生：分組交流．
生：經(jīng)合作整理，規(guī)律如下：
每次將區(qū)間二等分，留下區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相反的區(qū)間．
師：實(shí)質(zhì)是根據(jù)什么定理？
生：零點(diǎn)存在性定理．
3．師：順勢(shì)讓學(xué)生思考問(wèn)題3后，指出給定精確度ε，只要將上述步驟進(jìn)行有限次重復(fù)后即區(qū)間兩端點(diǎn)差的絕對(duì)值小于ε，則區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值．
幾何畫板直觀演示(附圖四)．
四、師生小結(jié)
你能說(shuō)出二分法的意義及用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)近似值的步驟嗎？
1．二分法的意義
對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
2．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：幾何畫板分布演示(附圖五)．
設(shè)計(jì)意圖
引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思想，體驗(yàn)解決問(wèn)題的成就感．
師生活動(dòng)：
師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的具體步驟．
師：分析關(guān)鍵詞：
f(a)f(b)＜0、m＝a＋b2、精確度ε、|a－b|＜ε的意義．
生：結(jié)合求函數(shù)f(x)＝ln(x)＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)，理解二分法的算法思想與計(jì)算原理．
五、學(xué)以致用
問(wèn)題1：實(shí)際生活中有沒(méi)有利用到二分法的思想方法的例子呢？試舉例．
問(wèn)題2：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精確度0.1)
設(shè)計(jì)意圖
1．培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系．
2．培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，讓學(xué)生逐步掌握運(yùn)用二分法求方程近似解的思想方法，并使學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷加深．
師生活動(dòng)：
1．師：讓學(xué)生討論，學(xué)生思考聯(lián)想實(shí)際生活，嘗試舉出運(yùn)用二分法的例子．
生：電力工人檢測(cè)電線，找故障．
2．(1)學(xué)生利用科學(xué)計(jì)算器動(dòng)手操作、進(jìn)行小組交流，老師作課堂巡視指導(dǎo)．
(2)師借助幾何畫板分布，直觀演示(附圖六)．
六、數(shù)學(xué)文化
閱讀本節(jié)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”．
設(shè)計(jì)意圖
讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
七、知識(shí)遷移
問(wèn)題：回憶用二分法求方程的近似解的步驟中，縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間的步驟是否可以進(jìn)行重復(fù)，如果給定精確度后重復(fù)的步驟是否是有限次的？
設(shè)計(jì)意圖
初步介紹算法思想，為必修3的算法教學(xué)埋下伏筆．
師生活動(dòng)：
師：如果一種計(jì)算方法對(duì)某一類問(wèn)題都有效，計(jì)算可以一步一步地進(jìn)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，我們常把這一類問(wèn)題的求解過(guò)程叫做解決這一類問(wèn)題的一種算法．它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，更大的優(yōu)點(diǎn)是，它可以讓計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)．例如我們可以編寫用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．
程序框圖及程序(附圖七)
八、課堂小結(jié)
問(wèn)題：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)、方法、思想？
設(shè)計(jì)意圖
學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過(guò)程中，將所學(xué)的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理．注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉，可使學(xué)生逐漸把經(jīng)驗(yàn)化為能力．
師生活動(dòng)：
師：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法兩方面進(jìn)行總結(jié)后板書：
1．要找方程的實(shí)數(shù)解可先利用函數(shù)的連續(xù)性判定方程實(shí)數(shù)解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；
2．二分法的意義；
3．二分法求方程的近似解的步驟；
4．逼近、極限、二分法．
教學(xué)設(shè)計(jì)附圖：
區(qū)間中點(diǎn)(取整)高低
[500,1000]750低了
[750,1000]875高了
[750,875]812低了
[812,875]843低了
[843,875]859高了
[843,859]851課題
附圖一
附圖二
附圖三
附圖四
二分法求解方程近似解的基本步驟：(精確度ε)
1．利用計(jì)算或作圖的方法，確定初始區(qū)間[a，b]；
2．驗(yàn)證f(a)f(b)＜0；
3．求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c＝a＋b2；
4．計(jì)算f(c)：(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)f(c)＜0，則令b＝c〔此時(shí)零點(diǎn)X0∈(a，c)〕；(3)若f(c)f(b)＜0，則令a＝c〔此時(shí)零點(diǎn)X0∈(c，b)〕；
5．判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)的近似值a(或b)；否則重復(fù)3～4.
附圖五
附圖六
附visualbasic程序
PrivateSubCommand1_Click()
DimaAsSingle
DimbAsSingle
DimdAsSingle
a＝InputBox(“a”，“區(qū)間左端點(diǎn)”)
b＝InputBox(“b”，“區(qū)間右端點(diǎn)”)
d＝InputBox(“d”，“精確度”)
Text1.Text＝a
Text2.Text＝b
Text3.Text＝d
fa＝2^a＋3*a－7
fb＝2^b＋3*b－7
Iffa*fb＞＝0Then
Text4．Txet＝“求解范圍有錯(cuò)”
Else
Do
x＝(a＋b)/2
fx＝2^x＋3*x－7
Iffx*fa＞0Then
a＝x:fa＝fx
Else
b＝x:fb＝fx
EndIf
LoopUntilfx＝0orAbs(a－b)＜d
Text4.Text＝x
EndIf
EndSub
教學(xué)反思
1．創(chuàng)設(shè)有趣且適合學(xué)生認(rèn)知的問(wèn)題情境，調(diào)動(dòng)課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，積極參與數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程．
2．教學(xué)中以問(wèn)題為主線，重視二分法概念的形成，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的能力．
3．在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師注意發(fā)揮學(xué)生的主體性，給學(xué)生留下充分的時(shí)間與空間，讓學(xué)生分組交流、合作探究．在課堂上，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了有條理地表述自己的觀點(diǎn)，還學(xué)會(huì)了相互接納、互助與贊賞，并不斷對(duì)自己和別人的想法進(jìn)行批判和反思．學(xué)生間的多向交流，可以使他們從多角度得出問(wèn)題解決的途徑．
4．重視知識(shí)的形成過(guò)程，注重思維方法，注重探索方法，讓學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中去體驗(yàn)數(shù)學(xué)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)．這樣才能體現(xiàn)“思想方法比知識(shí)更重要”這一新的教學(xué)價(jià)值觀．
5．在教學(xué)中適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)家的奮斗歷史，從而滲透數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
不足之處
1．在分組交流，學(xué)生合作探究解決問(wèn)題上顯得經(jīng)驗(yàn)不足，不夠老到．
2．在使用《幾何畫板》演示教學(xué)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)《幾何畫板》基本操作的實(shí)際水平與本節(jié)課知識(shí)運(yùn)用所要求的水平不符．可以在課外花點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的幾種軟件，從而提高學(xué)生的動(dòng)手能力．
教學(xué)設(shè)計(jì)(四)
作者：王巨才，甌海二高教師．本教學(xué)設(shè)計(jì)獲浙江省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽市二等獎(jiǎng)．
整體設(shè)計(jì)
教材分析
本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．
由于在實(shí)際問(wèn)題的解決中，列出的方程可能相當(dāng)復(fù)雜．設(shè)f(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式或是任一實(shí)數(shù)函數(shù)，方程f(x)＝0稱為代數(shù)方程或超越方程．一般說(shuō)來(lái)，此類方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表達(dá)式，卻因比較復(fù)雜，難以用它來(lái)計(jì)算根的近似值．所以，當(dāng)根存在時(shí)，研究求根的數(shù)值方法很有必要，本節(jié)教材向?qū)W生介紹了求零點(diǎn)近似值的實(shí)用且基本的方法——二分法．
教材在學(xué)生了解了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系的基礎(chǔ)上，從實(shí)例入手介紹了求方程近似解的二分法．學(xué)生不難理解函數(shù)的零點(diǎn)及其求法，而困難的地方在于使用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁雜．
在教學(xué)中應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問(wèn)題，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)處理繁雜的計(jì)算、理解數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)結(jié)論．
學(xué)情分析
學(xué)生在學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)后，對(duì)于不能用公式法求根的方程f(x)＝0來(lái)說(shuō)，我們可以將它與函數(shù)y＝f(x)聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷經(jīng)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等思維過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷，因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，開拓他們的創(chuàng)新意識(shí)和“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想．
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：
通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．
過(guò)程與方法：
能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備．
情感態(tài)度和價(jià)值觀：
體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：通過(guò)用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)．
難點(diǎn)：恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．
課前準(zhǔn)備
1．學(xué)生要準(zhǔn)備能進(jìn)行較為復(fù)雜運(yùn)算的計(jì)算器．
2．課前學(xué)習(xí)材料：分治算法．
分治是實(shí)際生活中使用比較廣泛的一種解決問(wèn)題的方法．在程序設(shè)計(jì)中，分治算法的設(shè)計(jì)思想是：將一個(gè)規(guī)模比較大的、難以直接解決的問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的子問(wèn)題，這些子問(wèn)題互相獨(dú)立且與原問(wèn)題相同；然后將這些子問(wèn)題各個(gè)擊破，分而治之．值得注意的是，分治算法的設(shè)計(jì)思想很自然地導(dǎo)致了遞歸算法的應(yīng)用．它的一般設(shè)計(jì)模式如下：
if問(wèn)題規(guī)模小到可以直接解決then直接解決該問(wèn)題
else將問(wèn)題分解成k個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題
endif
fori＝1tok
遞歸調(diào)用該分治算法，分別解決每一個(gè)子問(wèn)題
nexti
將各子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解．
設(shè)計(jì)意圖
從學(xué)生感興趣的計(jì)算機(jī)編程問(wèn)題引入，引導(dǎo)學(xué)生分析分治算法的思想與方法，為后面引出二分法的思想與方法做鋪墊．
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)過(guò)程
創(chuàng)設(shè)情境，引出課題
問(wèn)題：現(xiàn)有大小與形狀完全相同的金屬小球16個(gè)，其中有一個(gè)是實(shí)心的，其余都是空心的．用一架天平需測(cè)量幾次一定能找出實(shí)心小球？(要求測(cè)量次數(shù)盡可能少)
讓學(xué)生思考、討論，并得出結(jié)論．
學(xué)生可能會(huì)得出這樣的結(jié)論：先將這16個(gè)小球分成個(gè)數(shù)相等的兩部分，將這兩部分放在天平上稱，實(shí)心球在較重的這部分球中，再將較重的這部分球分成個(gè)數(shù)相等的兩部分，將這兩部分放在天平上稱，實(shí)心球又在較重的這部分球中，依此類推，所以只要四次一定能找到實(shí)心小球．
學(xué)生也有可能將小球分成相同的四部分，再兩部分兩部分地去稱，也可得到結(jié)果，等等．教師根據(jù)學(xué)生得出的方法進(jìn)行總結(jié)．
設(shè)計(jì)意圖
以實(shí)際問(wèn)題為載體，通過(guò)學(xué)生親自產(chǎn)生的思維方法體會(huì)二分法查找的思想與方法．
組織探究，導(dǎo)出算法
1．問(wèn)題：通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)(如下圖所示)．那我們能否找出這個(gè)零點(diǎn)呢？或者能找出這個(gè)零點(diǎn)的近似值嗎？
設(shè)計(jì)意圖
上面的問(wèn)題有著承上啟下的作用，它既是對(duì)前面一節(jié)課結(jié)果的進(jìn)一步深入，也揭示了本節(jié)課所要解決的問(wèn)題．
2．將學(xué)生分成幾組進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，并要求學(xué)生將自己的求解過(guò)程進(jìn)行記錄、歸納．
設(shè)計(jì)意圖
由于這一任務(wù)具有一定的難度，問(wèn)題又具有一定的挑戰(zhàn)性，有利于激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性與小組學(xué)習(xí)活動(dòng)的激情及發(fā)揮學(xué)習(xí)共同體的創(chuàng)造性，因此采用了小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行教學(xué)．這一環(huán)節(jié)借助信息技術(shù)功能提倡學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論來(lái)歸納結(jié)論，體現(xiàn)了學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式．
3．通過(guò)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，由一個(gè)小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)的過(guò)程，可用下表反映：
區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值
(2,3)2.5－0.084
(2.5,3)2.750.512
(2.5,2.75)2.6250.215
(2.5,2.625)2.56250.066
(2.5,2.5625)2.53125－0.009
(2.53125,2.5625)2.5468750.029
(2.53125,2.546875)2.53906250.010
(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，所以我們可以將x＝2.53125作為函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0根的近似值．
4．給定精確度ε，再請(qǐng)一個(gè)小組代表發(fā)言求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的基本步驟(教師引導(dǎo)，由其他小組補(bǔ)充，逐步完善)
(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0，給定精度ε；
(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1；
(3)計(jì)算f(x1)：①若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若f(a)f(x1)＜0，則令b＝x1[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)f(b)＜0，則令a＝x1[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1，b)]；
(4)判斷是否達(dá)到精度ε；
即若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2～4.
設(shè)計(jì)意圖
從特殊到一般，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)．這種教學(xué)方式易于學(xué)生接受和形成二分法的算法思想與計(jì)算原理．
探索發(fā)現(xiàn)，尋找內(nèi)涵
1．教師：通過(guò)前面的探究，我們得出了求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的一種方法，我們來(lái)給這種方法取個(gè)名字，叫什么好呢？(學(xué)生可能會(huì)取“分割法”、“二分法”、“中點(diǎn)法”等，教師最后進(jìn)行評(píng)析)
設(shè)計(jì)意圖
從學(xué)生探究創(chuàng)造中下定義，便于學(xué)生深刻理解定義的內(nèi)涵，這也是新課程提倡的教學(xué)理念之一．
2．問(wèn)題：是不是所有有零點(diǎn)的函數(shù)都適合用二分法求零點(diǎn)的近似值呢？請(qǐng)同學(xué)們先看下面幾個(gè)函數(shù)的圖象再回答．
圖一圖二圖三
學(xué)生通過(guò)上圖的比較與分析，可以得出上圖中一、三兩個(gè)函數(shù)是無(wú)法用二分法求零點(diǎn)的近似值的，因此要用二分法求零點(diǎn)的近似值的函數(shù)必須具備兩個(gè)特征：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)＜0.這時(shí)教師對(duì)二分法的定義進(jìn)行完善：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)學(xué)生自己的觀察、比較、分析，深化學(xué)生對(duì)定義的認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)一步挖掘二分法的內(nèi)涵，使學(xué)生對(duì)二分法的算法思想與計(jì)算原理有了新的感悟．
3．教師進(jìn)一步指出，從“數(shù)”的角度看，函數(shù)的零點(diǎn)即是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)；從“形”的角度看，函數(shù)的零點(diǎn)即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)．二分法的條件f(a)f(b)＜0表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)．
設(shè)計(jì)意圖
引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見(jiàn)函數(shù)零點(diǎn)的求法，進(jìn)一步明確二分法的適用范圍．
嘗試練習(xí)，體會(huì)應(yīng)用
1．例題：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精確度0.1)
分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)大致所在的區(qū)間，然后利用二分法逐步計(jì)算解答．
注意：
(1)第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間(a，b)，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通?？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間．
(2)建議列表樣式如下：
零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度
[1,2]f(1.5)＞01
[1,1.5]f(1.25)＜00.5
[1.25,1.5]f(1.375)＜00.25
如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步．
(在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生利用二分法逐步尋求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，注意規(guī)范方法、步驟與書寫格式．學(xué)生要根據(jù)二分法的思想與步驟獨(dú)立完成思考，并進(jìn)行交流、討論、評(píng)析．)
設(shè)計(jì)意圖
該例題是對(duì)這節(jié)課前面所學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用和鞏固，解題過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔性和數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，也體現(xiàn)了函數(shù)思想在解方程中的應(yīng)用．
2．學(xué)生練習(xí)：
已知f(x)＝2＋2x－x2，
(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式；
(2)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，畫出函數(shù)g(x)的圖象；
(3)求出函數(shù)g(x)的零點(diǎn)．(精確到0.1)
分析：本題第(1)問(wèn)是一道代入法復(fù)合函數(shù)解析式的問(wèn)題，第(2)、(3)問(wèn)需用本節(jié)知識(shí)進(jìn)行解決．另外在求g(x)的零點(diǎn)時(shí)，不妨用函數(shù)g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)便知道了．
答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；
(2)
(3)±1.7.
設(shè)計(jì)意圖
利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)．本環(huán)節(jié)以個(gè)別指導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對(duì)全體學(xué)生的課改理念．
小結(jié)體會(huì)，教師歸納
以學(xué)生發(fā)言的形式對(duì)本堂課進(jìn)行小結(jié)，教師歸納強(qiáng)調(diào)：
1．二分法求方程的近似解，要求函數(shù)f(x)在某一區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，并且在此區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)．
2．用二分法不能求二次重根．
3．在學(xué)習(xí)中要注意運(yùn)用函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想和“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想．
設(shè)計(jì)意圖
關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)交流數(shù)學(xué)的能力．學(xué)生的課堂小結(jié)既是對(duì)一節(jié)課的簡(jiǎn)單回顧與梳理，也是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固．
作業(yè)回饋，鞏固知識(shí)
1．教材習(xí)題3.1(A組)第3～6題、(B組)第4題．
2．提高作業(yè)：
(1)已知函數(shù)f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
①m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)？
②如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求m的值．
(2)用二分法求33的近似值(精確到0.01)．
設(shè)計(jì)意圖
1為鞏固作業(yè)，2為課外拓展作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)造能力．
課外活動(dòng)，培養(yǎng)能力
查找有關(guān)資料或利用Internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)．
設(shè)計(jì)意圖
增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)．
相關(guān)鏈接
利用函數(shù)圖象解方程和函數(shù)問(wèn)題
1．求方程x＋lgx＝3的近似解．
求某些方程的解，不容易通過(guò)筆算來(lái)獲得，可以通過(guò)函數(shù)圖象，但往往不太容易直接畫圖，而且畫出的圖象也不準(zhǔn)確，此時(shí)利用圖形計(jì)算器幫助我們畫出圖象(很多復(fù)雜的函數(shù)都可以很快在圖形計(jì)算器上畫出)，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，方法是更重要的．
第一步：按Y＝鍵，輸入函數(shù)：y1＝lgx，y2＝3－x.
第二步：按Graph鍵，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖所示：
第三步：按F5鍵：intersection(求交點(diǎn))，屏幕會(huì)出現(xiàn)對(duì)話框：選擇第一條曲線、第二條曲線、下限、上限之后，屏幕上會(huì)給出交點(diǎn)值：xc：2.58717，yc：0.412826，則x＝2.58717即為方程x＋lgx＝3的近似解．
小結(jié)：利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程是一個(gè)重要方法，而圖形計(jì)算器為我們提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具．
2．一片樹林中現(xiàn)有木材30000米3，如果每年增長(zhǎng)5%，經(jīng)過(guò)x年樹林中有木材y米3，寫出x，y間的函數(shù)關(guān)系式，并且利用圖象，求約經(jīng)過(guò)多少年，木材可以增加到40000米3？(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
畫出函數(shù)圖象后，可以通過(guò)用Trace鍵移動(dòng)光標(biāo)，尋找當(dāng)y＝40000時(shí)的x值；也可再作函數(shù)y2＝40000的圖象，用intersection求圖象的交點(diǎn)即可．
