小學(xué)方程的教案

利用二分法求方程的近似解。

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用二分法求方程的近似解

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§3.1.2用二分法求方程的近似解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.根據(jù)具體函數(shù)圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解；
2.通過用二分法求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí).
舊知提示（預(yù)習(xí)教材P89~P91，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：什么叫零點(diǎn)？零點(diǎn)的等價(jià)性？零點(diǎn)存在性定理？
對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸函數(shù).
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
復(fù)習(xí)2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？

合作探究
探究：有12個(gè)小球，質(zhì)量均勻，只有一個(gè)是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個(gè)球的，要求次數(shù)越少越好.
解法：第一次，兩端各放個(gè)球，低的那一端一定有重球；
第二次，兩端各放個(gè)球，低的那一端一定有重球；
第三次，兩端各放個(gè)球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.
思考：以上的方法其實(shí)這就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求的零點(diǎn)所在區(qū)間？如何找出這個(gè)零點(diǎn)？

新知：二分法的思想及步驟
對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且0的函數(shù)，通過不斷的把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：給定精度ε，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如何呢？
①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度ε；
②求區(qū)間的中點(diǎn)；[高考資源網(wǎng)]
③計(jì)算：若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；
④判斷是否達(dá)到精度ε；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a（或b）；否則重復(fù)步驟②~④．
典型例題
例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，利用二分法求方程的近似解.

練1.求方程的解的個(gè)數(shù)及其大致所在區(qū)間.

練2.求函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)（精確到）
零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值符號區(qū)間長度
練3.用二分法求的近似值.

課堂小結(jié)
①二分法的概念；②二分法步驟；③二分法思想.
知識(shí)拓展
高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料
在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，但對于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運(yùn)算及根號表示的一般的公式解．同時(shí)，即使對于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般來講并不適宜作具體計(jì)算．因此對于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題.
學(xué)習(xí)評價(jià)
1.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上（）.
A.至少有一個(gè)零點(diǎn)B.只有一個(gè)零點(diǎn)
C.沒有零點(diǎn)D.至多有一個(gè)零點(diǎn)
2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（）.
3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）.
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實(shí)根，由計(jì)算器可算得，，，那么下一個(gè)有根區(qū)間為.
課后作業(yè)
1．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且有三個(gè)零點(diǎn)x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為()
A．－1B．0C．3D．不確定
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)0，則f(x)＝0在[a，b]內(nèi)()
A．至少有一實(shí)數(shù)根B．至多有一實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．有惟一實(shí)數(shù)根
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝13x－lnx(x＞0)則y＝f(x)()
A．在區(qū)間1e，1，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間1e，1，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)
C．在區(qū)間1e，1內(nèi)有零點(diǎn)；在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)[高考資源網(wǎng)]
D．在區(qū)間1e，1內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)
4．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內(nèi)，則m的取值范圍是()
A．m≤1B．0m≤1C．m1D．0m1
6．函數(shù)f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零點(diǎn)有()
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
7．函數(shù)y＝3x－1x2的一個(gè)零點(diǎn)是()
A．－1B．1C．(－1,0)D．(1,0)
8．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，則f(x)在(1,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()
A．至多有一個(gè)B．有一個(gè)或兩個(gè)C．有且僅有一個(gè)D．一個(gè)也沒有
9．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為()
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)
10．求函數(shù)y＝x3－2x2－x＋2的零點(diǎn)，并畫出它的簡圖．

用二分法求方程的近似解教案

3.1.3用二分法求方程的近似解

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
掌握應(yīng)用二分法求方程近似解的原理與步驟，會(huì)用二分法求方程的近似解.
2．過程與方法
體會(huì)通過取區(qū)間中點(diǎn)，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理，逐步縮小零點(diǎn)所屬區(qū)間的范圍，而獲得零點(diǎn)的近似值即方程的近似解的過程中理解二分法的基本思想，滲透算法思想.
3．情感、態(tài)度及價(jià)值觀
在靈活調(diào)整算法，在由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程中，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)和思維品質(zhì)，享受數(shù)學(xué)的無窮魅力.
（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：用二分法求方程的近似解；
難點(diǎn)：二分法原理的理解
（三）教學(xué)方法
講授法與合作交流相結(jié)合，通過老師恰當(dāng)合理的講授，師生之間默切的合作交流，認(rèn)識(shí)二分法、理解二分法的實(shí)質(zhì)，從而能應(yīng)用二分法研究問題，達(dá)到知能有機(jī)結(jié)合的最優(yōu)結(jié)果.
（四）教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
提出問題引入課題1問題：一元二次方程可用判別式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但對于一般的方程，雖然可用零點(diǎn)存在性定理判定根的存在性，而沒有公式.求根：如何求得方程的根呢？
①函數(shù)f(x)=lnx+2x–6在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn).
②如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值.
③通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.
④取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得f(2.5)≈–0.084.因?yàn)閒(2.5)f(3)＜0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).再取內(nèi)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f(2.75)≈0.512.因?yàn)閒(2.5)f(2.75)＜0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
⑤由于(2，3)(2.5，3)
(2.5，2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來越小了.
⑥例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625–2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我們可以將x=2.53125作為函數(shù)
f(x)=lnx+2x–6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx+2x–6=0根的近似值.

師：怎樣求方程lnx+2x–6=0的根.
引導(dǎo)：觀察圖形
生：方程的根在(2，3)區(qū)間內(nèi)
師：能否用縮小區(qū)間的方法逼近方程的根
生：應(yīng)該可用
師：我們現(xiàn)用一種常見的數(shù)學(xué)方法—二分法，共同探究已知方程的根.
師生合作，借助計(jì)算機(jī)探求方程根的近似值.

區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值
(2,3)2.5–0.084
(2.5,3)2.750.512
(2.5,2.75)2.6250.215
(2.5,2.625)2.56250.066
(2.5,2.5625)2.53125–0.009
(2.53125,2.5625)2.5468750.029
(2.53125,2.546875)2.53906250.010
(2.53125,2.5390625)2.535156250.001
由舊到新設(shè)疑、析疑導(dǎo)入課題，實(shí)例分析了解二分法、進(jìn)一步師生合作嘗試二分法.
形成概念1．對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
2．給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步聚如下：
（1）確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)＜0，給定精確度；
（2）求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；
（3）計(jì)算f(c)；
①若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若f(a)f(c)＜0，則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；
③若f(c)f(b)＜0，則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)).
（4）判斷是否達(dá)到精確度：即若|a–b|＜，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)2~4.師生合作回顧實(shí)例：
求方程lnx+2x–6=0的近似解(精確度0.01)的操作過程.掌握二分法，總結(jié)應(yīng)用二分法的步驟
師：講授二分法的定義.
生：總結(jié)應(yīng)用二分法的步驟.
學(xué)生交流總結(jié)，學(xué)生代表口述步驟，老師完善并板書.由特殊到一般形成概念，歸納總結(jié)應(yīng)用二分法的步驟.
應(yīng)用舉例

例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度0.1).師生合作應(yīng)用二分法，遵循二分法的步驟求解，并借助函數(shù)圖象檢驗(yàn).
例1解：原方程即2x+3x–7=0，令f(x)=2x+3x–7，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)=2x+3x–7的對應(yīng)值表與圖象

x01234
f(x)=2x+3x–7–6–231021
x5678
f(x)=2x+3x–74075142273
觀察圖或表可知f(1)f(2)＜0，說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)x0.
取區(qū)間(1，2)的中點(diǎn)x1=1.5，用計(jì)算器算得f(1.5)≈0.33.因?yàn)閒(1)f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).
再取(1，1.5)的中點(diǎn)x2=1.25，用計(jì)算器算得f(1.25)≈–0.87.因?yàn)閒(1.25)f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)
由于|1.375–1.4375|=0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取為1.4375.嘗試體驗(yàn)二分法，培養(yǎng)應(yīng)用二分法從而固化基本理論技能
鞏固練習(xí)

1．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x–1.4在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)(精確度0.1).

2．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程x=3–lgx在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解(精確度0.1).學(xué)生動(dòng)手嘗試練習(xí)，師生借助計(jì)算機(jī)合作完成求解.
1．解：由題設(shè)可知f(0)=–1.4＜0，f(1)=1.6＞0，
于是f(0)f(1)＜0，
所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).
下面用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x–1.4在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)
取區(qū)間(0，1)的中點(diǎn)x1=0.5，用計(jì)算器可算得f(0.5)=–0.55.因?yàn)閒(0.5)f(1)＜0，
所以x0∈(0.5，1).
再取區(qū)間(0.5，1)的中點(diǎn)x2=0.75，用計(jì)算器可算得f(0.75)≈0.32.
因?yàn)閒(0.5)f(0.75)＜0，
所以x0∈(0.5，0.75).
同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)
由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1，
所以原方程的近似解可取為0.65625.
2．解原方程即x+lgx–3=0，令f(x)=x+lgx–3，用計(jì)算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，
于是f(2)f(3)＜0，
所以，這個(gè)方程在區(qū)間(2，3)內(nèi)有一個(gè)解.
下面用二分法求方程x=3–lgx在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解.
取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)x1=2.5，用計(jì)算器可算得f(2.5)≈–0.10.
因?yàn)閒(2.5)f(3)＜0，所以x0∈(2.5，3).
再取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)x2=2.75，用計(jì)算器可算得f(2.75)≈0.19.因?yàn)閒(2.5)f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5，2.75).
同理可得x0∈(2.5，2.625)，
x0∈(2.5625，2.625).
由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1，
所以原方程的近似解可取為2.5625.進(jìn)一步體驗(yàn)二分法，鞏固應(yīng)用二分法的方法與技巧及注意事項(xiàng).
課后練習(xí)3.1第三課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固二分法應(yīng)用技能
備選例題
例1用二分法求函數(shù)f(x)=x3–3的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1).
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=5＞0，因此可以確定區(qū)間[1，2]作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：
端點(diǎn)或中點(diǎn)的橫坐標(biāo)計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間
a0=1，b0=2f(1)=–2，f(2)=5[1，2]
f(x0)=0.375＞0[1，1.5]
f(x1)=–1.0469＜0[1.25，1.5]
f(x2)=–0.4004＜0[1.375，1.5]
f(x3)=–0.0295＜0[1.4375，1.5]
f(x4)=0.1684＞0[1.4375，1.46875]
f(x5)＞0[1.4375，1.453125]
x6=1.4453125f(x6)＞0[1.4375，1.4453125]
由上表的計(jì)算可知區(qū)間[1.4375，1.4453125]的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作為所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值.

用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計(jì)

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計(jì)》，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

高一數(shù)學(xué)用二分法求方程的近似解040

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《高一數(shù)學(xué)用二分法求方程的近似解040》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。