高中向量的教案

平面向量的數(shù)量積。

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，減輕高中教師們在教學(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“平面向量的數(shù)量積”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=
2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
3、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
4、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=

2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。

延伸閱讀

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律”，希望對您的工作和生活有所幫助。

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
教學(xué)目的：
1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；
2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；
3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
授課類型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).?
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
3．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1．交換律：ab=ba
證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)
證：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、講解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
兩式相減：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60
例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.
解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.
解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋?br> 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
綜上所述，四邊形ABCD是矩形.
評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.
四、課堂練習(xí)：
1.下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù)
2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０°，則(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.
6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、課后記：

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
教學(xué)目的：
⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.
⑶能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題.
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
授課類型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
4．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|

5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
交換律：ab=ba
數(shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)
分配律：(a+b)c=ac+bc
二、講解新課：
⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知兩個(gè)非零向量，，試用和的坐標(biāo)表示.
設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，
所以
又，，，所以
這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即
2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式
一、設(shè)，則或.
（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)
二、向量垂直的判定
設(shè)，，則
三、兩向量夾角的余弦（）
cos=
四、講解范例：
五、設(shè)a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b間的夾角θ(精確到1o)
例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.
例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求滿足xa=9與xb=4的向量x.
解：設(shè)x=(t，s)，
由∴x=(2，3)
例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少?
分析：為求a與b夾角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有ab＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定.
例5如圖，以原點(diǎn)和A(5，2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使B=90，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).
解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則=(x，y)，=(x5，y2)
∵∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0
又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29
由
∴B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或
例6在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，
求k值.
解：當(dāng)A=90時(shí)，=0，∴2×1+3×k=0∴k=
當(dāng)B=90時(shí)，=0，==(12，k3)=(1，k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
當(dāng)C=90時(shí)，=0，∴1+k(k3)=0∴k=
六、課堂練習(xí)：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，則3|a|２－４ab＝（）
A.23B.57C.63D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（）
A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的單位向量，則b等于（）
A.或?B.或
C.或?D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，則(a+b)(a-b)=.
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點(diǎn)P(x，-)在線段AB的中垂線上，則x=.
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，則a與b的夾角為.
七、小結(jié)（略）
八、課后作業(yè)（略）
九、板書設(shè)計(jì)（略）
十、課后記：

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教案、學(xué)案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為高中教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教案、學(xué)案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
授課時(shí)間
學(xué)習(xí)重點(diǎn)在坐標(biāo)形式下，掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及其變式（夾角公式）
學(xué)習(xí)難點(diǎn)在坐標(biāo)形式下，掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及其變式及應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.在坐標(biāo)形式下，掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式及其變式（夾角公式）；
2.理解模長公式與解析幾何中兩點(diǎn)之間距離公式的一致性.

教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
⑴向量數(shù)量積的交換律：.
⑵＝＝.
⑶向量的數(shù)量積的分配律：
.
⑷＝..
5已知兩個(gè)非零向量.

結(jié)論：⑴若，則，或.

⑵若，，
則.

⑶若，
則.

⑷設(shè)是與的夾角，
則

二師生互動(dòng)
例1已知，，，試判斷的形狀，并給出證明.

變式：已知四點(diǎn)，，，求證：四邊形是直角梯形.
例2設(shè)，，求及之間的夾角余弦值.

練1.已知，，若，試求的值.

三鞏固練習(xí)
1.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
2.若，，則與夾角的余弦為（）
A.B.C.D.
3.若，，則等于（）
A.B.C.D.
4.，，則=.
5.已知向量，，若，則.
6.下列各組向量中，可以作為基底的是（）
A.
B.
C.
D.
7.若平面向量與向量的夾角是，且，則（）
A.B.C.D.
8.已知向量，，，若，則與的夾角為（）
A.B.C.D.
9.已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù).
10.已知向量，，若不超過，則的取值范圍是.

11已知向量，求
⑴求與的夾角；
⑵若向量與垂直，求的值.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夾角.

2.已知點(diǎn)和，問能否在軸上找到一點(diǎn)，使，若不能，說明理由；若能，求點(diǎn)坐標(biāo).