高中向量的教案

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示。

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》，希望能對您有所幫助，請收藏。

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
第4課時
§2.3.1平面向量基本定理
教學(xué)目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.
教學(xué)重點：平面向量基本定理.
教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時λ與方向相同；λ0時λ與方向相反；λ=0時λ=
2．運算定律
結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.
二、講解新課：
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
三、講解范例：
例1已知向量，求作向量2.5+3.
例2如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和
例3已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4
例4（1）如圖，，不共線，=t(tR)用，表示.
（2）設(shè)不共線，點P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點共線.
例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)與c共線.
四、課堂練習(xí)：
1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系
A.不共線B.共線C.相等D.無法確定
3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c與b共線，則λ1=.
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a=λ1e1+λ2e2，則a與e1_____，a與e2_________(填共線或不共線).
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）：
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：

相關(guān)知識

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問題
(1)怎樣分解一個向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點睛](1)平面向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號表示
加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點、終點無關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)．()
(4)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點M(3,5)，點N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運算
[典例](1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進行向量的坐標(biāo)運算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點坐標(biāo)為______．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
[解]因為＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點P在x軸上，點P在y軸上，點P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變設(shè)問]本例條件不變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個變量，則表示向量的點的坐標(biāo)的位置會隨之改變．
(2)解答這類由參數(shù)決定點的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達到解題的目的．
層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)點A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點M的坐標(biāo)．
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因為＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級二應(yīng)試能力達標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點D2，72，故選A.
4．對于任意的兩個向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：
①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當(dāng)a的終點坐標(biāo)是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分別為AB，AC的中點，∴F為AD的中點．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，
因為＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因為＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因為點P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

平面向量坐標(biāo)表示

平面向量坐標(biāo)表示
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題平面向量坐標(biāo)表示
授課時間撰寫人
學(xué)習(xí)重點平面向量的坐標(biāo)運算．

學(xué)習(xí)難點對平面向量坐標(biāo)運算的理解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會用坐標(biāo)表示平面向量的加減與數(shù)乘運算；
2.能用兩端點的坐標(biāo)，求所構(gòu)造向量的坐標(biāo)；

教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量＋，－，λ的坐標(biāo)分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個向量和與差的坐標(biāo)運算法則：
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
思考3：已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標(biāo)如何？

二師生互動
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點，，，試求頂點的坐標(biāo).

變式：若與的交點為，試求點的坐標(biāo).

練1.已知向量的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習(xí)
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設(shè)點，，且
，則點的坐標(biāo)為.
5.作用于原點的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點B的坐標(biāo)為__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點，及，，，求點、、的坐標(biāo)。

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.若點、、，且，，則點的坐標(biāo)為多少？點的坐標(biāo)為多少？向量的坐標(biāo)為多少？

2.已知向量，，，試用來表示.

高一數(shù)學(xué)《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)案人教版

高一數(shù)學(xué)《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)案人教版

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）（教學(xué)設(shè)計）
2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
[教學(xué)目標(biāo)]
一、知識與能力：
1．了解平面向量基本定理。
2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；
3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.
二、過程與方法：
體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力.
三、情感、態(tài)度與價值觀：
培養(yǎng)對現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題．
教學(xué)重點：平面向量基本定理，向量的坐標(biāo)表示；平面向量坐標(biāo)運算
教學(xué)難點：平面向量基本定理．
一、復(fù)習(xí)回顧：
1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時λ與方向相同；λ0時λ與方向相反；λ=0時λ=
2．運算定律
結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.
二、師生互動，新課講解：
思考：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1,e2，請作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？.
在平面內(nèi)任取一點O，作e1，e2，a，過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N.由向量的線性運算性質(zhì)可知，存在實數(shù)1、2，使得1e1，2e2.由于，所以a=1e1+2e2，也就是說任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.
1．平面向量基本定理
（1）定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使得
a=1e1+2e2.
把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
（2）向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角，
當(dāng)=0時，a與b同向；當(dāng)=180時，a與b反向.
如果a與b的夾角是90，則稱a與b垂直，記作ab.

例1（課本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。
解：
變式訓(xùn)練1：如圖在基底e1、e2下分解下列向量：
解：，
，
，

2．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
（1）正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
（2）向量的坐標(biāo)表示
思考：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？
在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，則對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x、y使得
a=xi+yj，
把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作
a=(x,y),
其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，
顯然，
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
（3）向量與坐標(biāo)的關(guān)系
思考：與a相等的向量坐標(biāo)是什么？
向量與向量坐標(biāo)間建立的對應(yīng)關(guān)系是什么對應(yīng)？（多對一的對應(yīng)，因為相等向量對應(yīng)的坐標(biāo)相同）
當(dāng)向量起點被限制在原點時，作=a，這時向量的坐標(biāo)就是點A的坐標(biāo)，點A的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)，二者之間建立的一一對應(yīng)關(guān)系.

例2（課本P96例2）如圖，分別用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo).
解：a=2i+3j=(2,3),
b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3).

變式訓(xùn)練2：在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a、b、c的方向和長度如圖所示，分別求他們的坐標(biāo).
解：設(shè)a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，則
a1=|a|cos45=，a2=|a|sin45=;
b1=|b|cos120=，b2=|b|sin120;
c1=|c|cos(-30)=，c2=|c|sin(-30)=,
因此.
例3：已知是坐標(biāo)原點，點在第一象限，，，求向量的坐標(biāo).
解：設(shè)點，則
即，所以.

變式訓(xùn)練3：如圖，e1、e2為正交基底，分別寫出圖中向量a、b、c、d的分解式，并分別求出它們的直角坐標(biāo).
解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，
c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).
三、課堂小結(jié)，鞏固反思：
1．平面向量基本定理；
2．平面向量的正交分解；
3．平面向量的坐標(biāo)表示.
四、課時必記：
1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使得功a=1e1+2e2.把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2、當(dāng)向量起點被限制在原點時，作=a，這時向量的坐標(biāo)就是點A的坐標(biāo)，點A的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)，二者之間建立的一一對應(yīng)關(guān)系.
五、分層作業(yè)：
A組：
1、設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2、已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系
A.不共線B.共線C.相等D.無法確定
3、已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4、已知a、b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c與b共線，則λ1=.
5、已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a=λ1e1+λ2e2，則a與e1_____，a與e2_________(填共線或不共線).

B組：
C組：

平面向量共線的坐標(biāo)表示

平面向量共線的坐標(biāo)表示
教學(xué)目的：
（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；
（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.
教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算
教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，特別地，，，.
2．平面向量的坐標(biāo)運算
若，，
則，，.
若，，則
二、講解新課：
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵∴x2，y2中至少有一個不為0
（2）充要條件不能寫成∵x1，x2有可能為0
(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()
三、講解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.
例3設(shè)點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當(dāng)點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).
例4若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)與=(-x，2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習(xí)：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.
6.已知□ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：