高中安全第一課教案

說課題目：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（第一課時(shí)）。

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？以下是小編為大家精心整理的“說課題目：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（第一課時(shí)）”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

（選自人教版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）第三章第五節(jié)）

一、教材分析

1.從在教材中的地位與作用來看

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2.從學(xué)生認(rèn)知角度看

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯(cuò)．

3.學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)．

4.重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用．

教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用．

公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．

二、目標(biāo)分析

知識(shí)與技能目標(biāo)：

理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)

上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題．

過程與方法目標(biāo)：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)

化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力．

情感與態(tài)度價(jià)值觀：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之

間等價(jià)轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)．

三、過程分析

學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程：

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來后，國(guó)王大吃一驚．為什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)．

此時(shí)我問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)．帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定．

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.

2.師生互動(dòng)，探究問題

在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，…，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？

探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）

探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)．

經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：．老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．

3.類比聯(lián)想，解決問題

這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，

這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)．

設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感．

對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）

再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）

設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用．

4.討論交流，延伸拓展

在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道,

那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出sn呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sn呢？設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到,這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.

5.變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識(shí)

首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)來幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)．

6.例題講解，形成技能

設(shè)計(jì)意圖：解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想．

7.總結(jié)歸納，加深理解

以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再從知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力．

8.故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾．

設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維．

9.課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做：P129練習(xí)1、2、3、4

選作：

（2）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”這首中國(guó)古詩的答案是多少？設(shè)計(jì)意圖：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間．

四、教法分析

對(duì)公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系．在教學(xué)中，我采用“問題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段．

利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生思維活動(dòng)得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大大提高了課堂教學(xué)效率．

五、評(píng)價(jià)分析

本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．錯(cuò)位相減：變加為減，等價(jià)轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實(shí)．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時(shí)通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能．在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)．

延伸閱讀

等比數(shù)列前n項(xiàng)和

課題：等比數(shù)列前n項(xiàng)和（兩課時(shí)）
使用方法
1．上課前注意自主預(yù)習(xí)完成學(xué)案導(dǎo)學(xué)和探究部分
2．上課時(shí)小組討論交流解決自己不會(huì)的問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路
2．會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問題
重點(diǎn)難點(diǎn)
１．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
當(dāng)時(shí)，①或②
當(dāng)q=1時(shí)，
當(dāng)已知,q,n時(shí)用公式①；當(dāng)已知,q,時(shí)，用公式②.
推導(dǎo)方法－錯(cuò)位相減法
一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是
由
得
∴當(dāng)時(shí)，①或②
當(dāng)q=1時(shí)，
推導(dǎo)方法－等比定理
有等比數(shù)列的定義，
根據(jù)等比的性質(zhì)，有
即（結(jié)論同上）
２．等比數(shù)列前ｎ項(xiàng)的和是，，那么，，成等比數(shù)列
３．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)

探究交流
1．求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和
2．一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為前項(xiàng)之和，求

3．已知是數(shù)列前項(xiàng)和，（，），判斷是否是等比數(shù)列

4．在等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和，求和公比

5．設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項(xiàng)的和
課堂反饋
【選擇題】
1．若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列｛｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）
Ａ．0?B．n?
Ｃ．na?Ｄ．a(chǎn)
3．已知等比數(shù)列｛｝中，=2×3，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和的值為（）
Ａ．3－1?B．3(3－1)?
Ｃ．?Ｄ．
4．實(shí)數(shù)等比數(shù)列｛｝，＝，則數(shù)列｛｝中（）
Ａ．任意一項(xiàng)都不為零?B．必有一項(xiàng)為零
Ｃ．至多有有限項(xiàng)為零Ｄ．可以有無數(shù)項(xiàng)為零
5．在等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（）
A．B．
C．D．
6．在等比數(shù)列中，，，使的最小的值是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【填空題】
7．已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=n,則＝.
8．一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為=1－2+3－4+…+(－1)n,則S＋Ｓ＋Ｓ＝．?
9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛｝共有2m項(xiàng)，且=9(＋)，＋＋＋…＋=4(＋＋＋…＋),則=,公比q=.
10．在等比數(shù)列中，已知，，則．
11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則的公比為．
【解答題】
12．在等比數(shù)列中，已知：，求
13．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的公比

14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若前前項(xiàng)和為，且，，求
15．已知等比數(shù)列共有項(xiàng)，前項(xiàng)和為，其后項(xiàng)和為，求最后項(xiàng)和

16．三個(gè)互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列此三數(shù)，也可成等比數(shù)列，已知這三個(gè)數(shù)的和等于6，求這三個(gè)數(shù)．

17.已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列．
（１）求公比的值；
（２）求的值．

18.已知數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，且，，設(shè)（）．
（１）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（２）求證：．

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，減輕高中教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

等比數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)案（2）

§2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
2.能用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題.

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材P55~P56，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列前n項(xiàng)和？等差數(shù)列的數(shù)列前n項(xiàng)和公式是什么？

復(fù)習(xí)2：已知等比數(shù)列中，，，求.

二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
練2.一個(gè)球從100m高出處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過的路程是多少？（精確到1m）
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；
2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；
3.“知三求二”問題，即：已知等比數(shù)列之五個(gè)量中任意的三個(gè)，列方程組可以求出其余的兩個(gè).
※知識(shí)拓展
1.若，，則構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比為.
2.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且已知積時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為.若四個(gè)同符號(hào)的數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)這四個(gè)數(shù)為.
3.證明等比數(shù)列的方法有：
（1）定義法：；（2）中項(xiàng)法：.
4.數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，可用遞推公式表示.
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差

※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.數(shù)列1，，，，…，，…的前n項(xiàng)和為（）.
A.B.
C.D.以上都不對(duì)
2.等比數(shù)列中，已知，，則（）.
A.30B.60C.80D.160
3.設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為2，且，那么（）.
A.B.C.1D.
4.等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若，則它的前5項(xiàng)和為.
5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則a＝.

課后作業(yè)
1.等比數(shù)列中，已知

2.在等比數(shù)列中，，求.

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
2．3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)是數(shù)列一章的最后內(nèi)容，分兩課時(shí)完成，第一課時(shí)側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶，第二課時(shí)側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是教材中很重要的一部分內(nèi)容，是等比數(shù)列知識(shí)的再認(rèn)識(shí)和再運(yùn)用，它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步掌握、理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識(shí)有著很重要的作用．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，也是培養(yǎng)學(xué)生分析、發(fā)現(xiàn)、類比等能力的很好的一個(gè)工具．在講求和公式推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)指出其運(yùn)算的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運(yùn)算的通性(交換律、結(jié)合律、分配律)．培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的習(xí)慣和代數(shù)運(yùn)算技能．
新大綱中對(duì)本知識(shí)有較高層次的要求，教學(xué)地位很重要，是教學(xué)全部學(xué)習(xí)任務(wù)中必須優(yōu)先完成的任務(wù)．這項(xiàng)知識(shí)內(nèi)容有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，很多問題都要轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列的求和上來才能得到解決．如增長(zhǎng)率、濃度配比、細(xì)胞分裂、儲(chǔ)蓄信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)、分期付款的有關(guān)計(jì)算等許多方面均用到等比數(shù)列的知識(shí)，因而考題中涉及數(shù)列的應(yīng)用問題屢見不鮮．掌握等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)建模和解模能力是解決數(shù)列應(yīng)用問題的基本途徑．
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量，將兩個(gè)公式結(jié)合起來，已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量，即已知a1，an，q，n，Sn五個(gè)量中的任意三個(gè)，就可以求出其余的兩個(gè)量，這其中滲透了方程的思想．其中解指數(shù)方程的難度比較大，訓(xùn)練時(shí)要控制難度和復(fù)雜程度，要大膽地摒棄“煩瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”．
數(shù)列模型運(yùn)用中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法(如方程的思想、分類討論思想、算法思想等)，這些思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用．教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間．
三維目標(biāo)
1．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及有關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在著的大量的數(shù)列求和的問題，將等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題．
2．通過啟發(fā)、引導(dǎo)、分析、類比、歸納，并通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的解題思想和解題方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
3．通過解決生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中的實(shí)際問題了解社會(huì)、認(rèn)識(shí)社會(huì)，形成科學(xué)的世界觀和價(jià)值觀．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及靈活運(yùn)用，及生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中有關(guān)的實(shí)際問題．
教學(xué)難點(diǎn)：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識(shí)解決有關(guān)的生產(chǎn)實(shí)際及社會(huì)生活中的熱點(diǎn)問題．
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(故事導(dǎo)入)國(guó)際象棋起源于古代印度，相傳有位數(shù)學(xué)家?guī)е嬘?4個(gè)方格的木盤，和32個(gè)雕刻成六種立體形狀，分別涂黑白兩色的木制小玩具，去見波斯國(guó)王并向國(guó)王介紹這種游戲的玩法．國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，一天到晚興致勃勃地要那位數(shù)學(xué)家或者大臣陪他玩．高興之余，他便問那位數(shù)學(xué)家，作為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他需要得到什么賞賜呢？數(shù)學(xué)家開口說道：請(qǐng)您在棋盤上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子上放8粒……即每一個(gè)次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的2倍，直到最后一個(gè)格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了．“好吧！”國(guó)王揮揮手，慷慨地答應(yīng)了數(shù)學(xué)家的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求．國(guó)王覺得，這個(gè)要求太低了，問他：“你怎么只要這么一點(diǎn)東西呢？”數(shù)學(xué)家笑著懇求道：“陛下還是叫管理國(guó)家糧倉的大臣算一算吧！”第二天，管理糧倉的大臣滿面愁容地向國(guó)王報(bào)告了一個(gè)數(shù)字，國(guó)王大吃一驚：“我的天！我哪來這么多的麥子？”這個(gè)玩具也隨著這個(gè)故事傳遍全世界，這就是今日的國(guó)際象棋．假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，那么，數(shù)學(xué)家要求的麥粒的總質(zhì)量究竟是多少呢？由此傳說向?qū)W生發(fā)問：怎樣算出小麥的總質(zhì)量呢？
思路2.(問題導(dǎo)入)買24枚釘子，第一枚14分錢，第二枚12分錢，第三枚1分錢，以此類推，每一枚釘子的錢是前一枚的2倍，共要多少錢？請(qǐng)學(xué)生想一想，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為大概沒有多少錢，結(jié)果一算嚇一跳，大約要4萬2千元．事實(shí)上，這是等比數(shù)列的求和問題，即S＝14＋12＋1＋2＋…＋221＝？那么怎樣求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？在學(xué)生急于揭開謎底的強(qiáng)烈欲望下展開新課的探究．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)回憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推導(dǎo)的？
(2)對(duì)任意數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an的關(guān)系是什么？
(3)對(duì)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列{an}，你能探究它的前n項(xiàng)和嗎？
(4)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，怎樣推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和公式呢？你能聯(lián)想到哪些推導(dǎo)思路？
(5)對(duì)于思路1中麥粒問題，國(guó)王應(yīng)發(fā)給數(shù)學(xué)家多少麥粒？對(duì)于Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1的兩邊為什么要乘以2而不是乘以3或4呢？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面學(xué)過的等差數(shù)列前n項(xiàng)和問題，我們用倒序相加法推得了它的前n項(xiàng)和公式，并且得到了求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)方法：an＝a1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2，還知道這個(gè)由數(shù)列Sn來確定an的方法適用于任何數(shù)列，且a1不一定滿足由Sn－Sn－1＝an求出的通項(xiàng)表達(dá)式．
類比聯(lián)想以上方法，怎樣探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？我們先來探究象棋格里填麥粒的問題，也就是求S＝1＋2＋…＋263＝？讓學(xué)生充分觀察這個(gè)式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)乘以2后都得它的后一項(xiàng)，點(diǎn)撥學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵是等式左右同乘以2，再相減得和．通過這個(gè)問題的解決，先讓學(xué)生有一個(gè)感覺，就是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可化為一個(gè)比較簡(jiǎn)單的形式，關(guān)鍵的問題是如何簡(jiǎn)化．再讓學(xué)生探究首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即1，q，q2，…，qn－1的前n項(xiàng)和．觀察這個(gè)數(shù)列，由于各項(xiàng)指數(shù)不同，顯然不能倒序相加減．但可發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，就是次數(shù)是依次增加的，教師引導(dǎo)學(xué)生模仿等差數(shù)列寫出兩個(gè)求和式子，給學(xué)生以足夠的時(shí)間讓其觀察、思考、合作交流、自主探究．
經(jīng)過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生的充分活動(dòng)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)把兩個(gè)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1錯(cuò)一個(gè)位，兩邊再同乘以公比q，那么相同的指數(shù)就對(duì)齊了．這一發(fā)現(xiàn)是突破性的智慧發(fā)現(xiàn)，是石破驚天的發(fā)現(xiàn)．這樣將Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1與qSn＝q＋q2＋q3＋…＋qn兩式相減就有(1－q)Sn＝1－qn，以下只需討論q的取值就可得到Sn了．
在上面的特殊簡(jiǎn)單情形解決過程中，蘊(yùn)含著一個(gè)特殊而且重要的處理問題的方法，那就是“錯(cuò)位相減，消除差別”的方法．我們將這種方法簡(jiǎn)稱為“錯(cuò)位相減法”．在解決等比數(shù)列的一般情形時(shí)，我們還可以使用“錯(cuò)位相減法”．
如果記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
那么qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋anq，
要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1－q)Sn＝a1－anq.
這里要提醒學(xué)生注意q的取值．
如果q≠1，則有Sn＝a1－anq1－q.
上述過程我們略加變化一下，還可以得到如下的過程：
如果記Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
那么qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，
要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1－q)Sn＝a1－a1qn.
如果q≠1，則有Sn＝a11－qn1－q.
上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯(cuò)位相減法”．
形式上，前一個(gè)出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個(gè)基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四個(gè)；后者出現(xiàn)的是a1，q，Sn，n四個(gè)，這將為我們今后運(yùn)用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和提供了選擇的余地．
值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q≠1”的前提下得到的．言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q≠1時(shí)，我們才能用上述公式．
對(duì)于等比數(shù)列的一般情形，如果q＝1會(huì)是什么樣呢？學(xué)生很快會(huì)看出，若q＝1，則原數(shù)列是常數(shù)列，它的前n項(xiàng)和等于它的任一項(xiàng)的n倍，即Sn＝na1.由此我們得到等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式：
Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1或Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q，q≠1.
教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的特征和我們所學(xué)知識(shí)，還能探究其他的方法嗎？經(jīng)過學(xué)生合作探究，聯(lián)想初中比例的性質(zhì)等，我們會(huì)有以下推導(dǎo)方法：
思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q，
再由合比定理，則得a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q，
即Sn－a1Sn－an＝q，
從而就有(1－q)Sn＝a1－anq.
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1－anq1－q.
思路二：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，得
Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)＝a1＋q(Sn－an)，
從而得(1－q)Sn＝a1－anq.
(以下從略)
在思路二中，我們巧妙地利用了Sn－Sn－1＝an這個(gè)關(guān)系式，教師再次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這是一個(gè)非常重要的關(guān)系式，應(yīng)引起足夠的重視，幾乎在歷年的高考中都有它的影子．但要注意這里n≥2，也就是n的取值應(yīng)使這個(gè)關(guān)系式有意義，若寫Sn－1－Sn－2＝an－1，則這里n≥3，以此類推．
教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從方程角度認(rèn)識(shí)這個(gè)公式，以便正確靈活地運(yùn)用它．(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共有a1，an，n，q，Sn五個(gè)量，只要知道其中任意三個(gè)量，都可以通過建立方程(組)等手段求出其余兩個(gè)量；(2)在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到公式的使用條件q≠1，當(dāng)q＝1時(shí)，應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和問題時(shí)，常應(yīng)分類討論q＝1與q≠1兩種情況．
討論結(jié)果：(1)倒序相加法；
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
(3)利用錯(cuò)位相減法；
(4)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
(5)乘以2的目的是為了錯(cuò)位相減，共有麥粒264－1(顆)，每千粒麥子按40g計(jì)算，共約7000億噸．
應(yīng)用示例
例1求下列等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和：
(1)12，14，18，…；
(2)a1＝27，a9＝1243，q＜0.
活動(dòng)：本例目的是讓學(xué)生熟悉公式，第(1)小題是對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用；第(2)小題已知a1＝27，n＝8，還缺少一個(gè)已知條件，由題意顯然可以通過解方程求得公比q.題目中要求q＜0，一方面是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，另一方面是想提醒學(xué)生q既可為正數(shù)，又可為負(fù)數(shù)．本題中由條件可得q8＝a9a1＝1243×27，再由q＜0可得q＝－13.將所得的值代入公式就可以了．本例可由學(xué)生自己探究解答．
解：(1)因?yàn)閍1＝12，q＝12，所以當(dāng)n＝8時(shí)，S8＝12[1－128]1－12＝255256.
(2)由a1＝27，a9＝1243，可得q8＝a9a1＝1243×27，
又由q＜0，可得q＝－13，
于是當(dāng)n＝8時(shí)，S8＝271－1243×271－－13＝164081.
點(diǎn)評(píng)：通過本例要讓學(xué)生熟悉方程思想，再次讓學(xué)生明確，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中共五個(gè)量：a1，an，q，n，Sn，五個(gè)量中已知任意三個(gè)就可以求出其余的兩個(gè)，其中a1，q為最基本的兩個(gè)量．同時(shí)提醒學(xué)生注意，由于等比數(shù)列涉及到指數(shù)問題，有時(shí)解題計(jì)算會(huì)很煩瑣，要注意計(jì)算化簡(jiǎn)中的技巧，靈活運(yùn)用性質(zhì)．
例2(教材本節(jié)例2)
活動(dòng)：本例是等比數(shù)列求和公式的直接運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合方程思想，按算法的思路來解答．本例可由學(xué)生自己完成．
點(diǎn)評(píng)：通過本例讓學(xué)生明確，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式共涉及5個(gè)量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3個(gè)量就可以求出另外的2個(gè)量．
變式訓(xùn)練
設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為()
A．63B．64C．127D．128
答案：C
解析：∵a5＝a1q4，∴16＝q4.
又∵q＞0，∴q＝2.∴S7＝a11－q71－q＝127.

例3(教材本節(jié)例3)
活動(dòng)：本例仍屬等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用．雖然原數(shù)列不是等比數(shù)列，不能用公式求和，但可這樣轉(zhuǎn)化：9＝10－1,99＝100－1,999＝1000－1，…，這樣就容易解決了．
點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生體會(huì)本例中的轉(zhuǎn)化思想．
變式訓(xùn)練
求和：2＋22＋222＋…＋.
解：原式＝29(10－1)＋29(102－1)＋…＋29(10n－1)
＝29(10＋102＋…＋10n－n)
＝29[101－10n1－10－n]
＝2081(10n－1)－29n.

例4求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項(xiàng)的和．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列特點(diǎn)，其形式是{anbn}型數(shù)列，且{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．根據(jù)本節(jié)等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，可采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和．教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己獨(dú)立探究，教師適時(shí)地點(diǎn)撥，要注意學(xué)生規(guī)范書寫．
解：當(dāng)a＝1時(shí)，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，…，(2n－1)，
則Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.
當(dāng)a≠1時(shí)，有
Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②
①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2a1－an－11－a
＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a.
又1－a≠0，
∴Sn＝1－2n－1an1－a－2a－an1－a2.
點(diǎn)評(píng)：通過本例，讓學(xué)生反思解題時(shí)要善于識(shí)別題目類型，善于分類討論．在應(yīng)用錯(cuò)位相減時(shí)，寫出的“Sn”與“qSn”的表達(dá)式應(yīng)特別注意將兩式“同項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
變式訓(xùn)練
等差數(shù)列{an}中，a2＝8，S6＝66.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{Cn}的通項(xiàng)為Cn＝2n，求數(shù)列{anCn}的前n項(xiàng)和An.
解：(1)由已知，得a1＋d＝8，a1＋a662＝66，解得a1＝6，d＝2.
∴an＝2n＋4.
(2)由題意，知anCn＝(2n＋4)2n，
∴An＝621＋822＋1023＋…＋(2n＋4)2n.①
在上式中兩邊同乘以2，得
2An＝622＋823＋1024＋…＋(2n＋4)2n＋1.②
①－②，得－An＝621＋222＋223＋…＋22n－(2n＋4)2n＋1＝4－(2n＋2)2n＋1，
∴An＝(n＋1)2n＋2－4.

例5已知數(shù)列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…，此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為13的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察新數(shù)列的各項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：新數(shù)列的前n項(xiàng)和恰為an，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)為1，公比為13的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式求出后，計(jì)算其前n項(xiàng)和Sn就容易多了．
解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n－1＝32[1－(13)n]．
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋…＋32[1－(13)n]
＝32{n－[13＋(13)2＋…＋(13)n]}
＝32n－34[1－(13)n]
＝34(2n－1)＋14(13)n－1.
點(diǎn)評(píng)：本例思路新穎，方法獨(dú)特，解完本例后教師引導(dǎo)學(xué)生反思本例解法，注意平時(shí)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)思路的靈活性．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于()
A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3
2．在等比數(shù)列{an}中，
(1)已知a2＝18，a4＝8，求a1與q；
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
答案：
1．C解析：∵S6∶S3＝1∶2，
由a11－q61－q＋a11－q31－q＝12，得q3＝－12.
∴S9S3＝1－q91－q3＝34.
2．解：(1)由已知得a1q＝18，a1q3＝8.
解這個(gè)方程組，得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.
(2)根據(jù)題意，有a1q4－a1＝15，a1q3－a1q＝6.
方程兩邊分別相除，得a1q4－a1a1q3－a1q＝156.
整理，得2q2－5q＋2＝0.
解這個(gè)方程，得q＝2或q＝12.
當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝1；當(dāng)q＝12時(shí)，a1＝－16.
所以a3＝4或a3＝－4.
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了錯(cuò)位相減法；在運(yùn)用等比數(shù)列求和時(shí)，注意q的取值范圍是很重要的一點(diǎn)，需要放在第一位來思考．
2．等比數(shù)列求和公式有兩種形式，在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)題目所給的條件靈活選用，注意從方程的角度來觀察公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式共5個(gè)量，知三可求二，并注意解題中的化簡(jiǎn)技巧．
作業(yè)
課本習(xí)題2—3B組2、3.[
設(shè)計(jì)感想
“探索是教學(xué)的生命線”，本教案設(shè)計(jì)體現(xiàn)以學(xué)生為本的思想．為了讓學(xué)生較好掌握本課內(nèi)容，本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學(xué)方法，同時(shí)采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)．通過具體問題的引入，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活．
本教案設(shè)計(jì)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練．因?yàn)閿?shù)列內(nèi)容幾乎滲透了中學(xué)數(shù)學(xué)所有的數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)列模型運(yùn)用中更是蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)算能力和邏輯思維能力等有著不可替代的作用．教學(xué)中應(yīng)充分讓學(xué)生體會(huì)這些思想方法的運(yùn)用．
“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，本教案設(shè)計(jì)注重了情境教學(xué)．通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得的成功．
(設(shè)計(jì)者：張曉君)

第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)一個(gè)人為了積累養(yǎng)老金，他每個(gè)月按時(shí)到銀行存100元，銀行的年利率為4%，假設(shè)可以任意分段按復(fù)利計(jì)算，試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金？如果存款和復(fù)利按日計(jì)算，則他又有多少養(yǎng)老金？如果復(fù)利和存款連續(xù)計(jì)算呢？銀行復(fù)利計(jì)息的計(jì)算方法正是我們今天要探究的內(nèi)容，由此展開新課．
思路2.(習(xí)題導(dǎo)入)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，則數(shù)列前15項(xiàng)的和S15為()
A.112B.312C．5D．15
本題如果運(yùn)用方程的思想，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公比q之后再求S15，是一種常規(guī)思路，但運(yùn)算量較大．可將原數(shù)列按一定規(guī)律重新組合成一個(gè)新的等比數(shù)列，S15又剛好是新數(shù)列前5項(xiàng)的和，新數(shù)列的首項(xiàng)和公比又容易求得，使得小題巧解．具體解法如下：
解析：設(shè)b1＝a1＋a2＋a3＝8；b2＝a4＋a5＋a6＝－4；…；b5＝a13＋a14＋a15，
則b1，b2，b3，b4，b5構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為8，公比為－12.
故S15＝S5′＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝112.選A.
由此展開本課的進(jìn)一步探究．
答案：A
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推導(dǎo)的？需要注意什么問題？
2比較等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從推導(dǎo)方法到應(yīng)用有什么不同？怎樣從方程的角度理解等比數(shù)列的求和公式？
3利用等比數(shù)列求和的關(guān)鍵是什么？
4你能對(duì)等差、等比數(shù)列求和問題作一歸納總結(jié)嗎？
5應(yīng)用等比數(shù)列可解決哪些類型的實(shí)際問題？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的等比數(shù)列的求和公式，通過“錯(cuò)位相減”的思路方法很巧妙地將等式Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1的兩邊同乘以該數(shù)列的公比q，使得等式右邊各項(xiàng)都向右錯(cuò)了一位；然后通過求Sn－qSn把相同項(xiàng)消去，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，最后解出Sn.這種求和方法具有普通性，教師再次引導(dǎo)學(xué)生回顧這種求和方法的精髓，注意的問題是必須注意q是否等于1，如果不確定，就應(yīng)分q＝1與q≠1兩種情況或更多的情況進(jìn)行討論．
等比數(shù)列求和的關(guān)鍵與等差數(shù)列求和一樣，在于數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)形式，由通項(xiàng)公式的形式特點(diǎn)確定相應(yīng)的求和方法．為了達(dá)到求和時(shí)的簡(jiǎn)化運(yùn)算，應(yīng)充分利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)．(1)若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝an－1(a≠0,1)，則{an}成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列；若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則S偶S奇＝q.
應(yīng)用等比數(shù)列可解決的實(shí)際問題有：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、貸款利率、增長(zhǎng)率等方面的問題．解決方法是建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決問題，要讓學(xué)生明了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用一直是全國(guó)各地市高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，考題的形式多種多樣，難度為中、高檔．
等比數(shù)列求和問題作為數(shù)列的重要內(nèi)容之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時(shí)可與等差數(shù)列對(duì)比，歸納、總結(jié)．
(1)求和問題可以利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決，在具體問題中，既要善于從數(shù)列的通項(xiàng)入手觀察數(shù)列的特點(diǎn)與變化規(guī)律，又要注意項(xiàng)數(shù)．
(2)非等差(比)的特殊數(shù)列求和題通常的解題思路是：
①設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思考方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成．
②不能轉(zhuǎn)化為等差(比)的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法和倒序相加法求和．一般地，如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項(xiàng)的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯(cuò)位相減法；如果每項(xiàng)可寫成兩項(xiàng)之差一般可用拆項(xiàng)法；如果能求出通項(xiàng)，可用拆項(xiàng)分組法．
(3)數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)形式，根據(jù)通項(xiàng)公式的形式特點(diǎn)，觀察采用哪種方法是這類題的解題訣竅．
(4)通項(xiàng)公式中含有(－1)n的一類數(shù)列，在求Sn時(shí)要注意需分項(xiàng)數(shù)n的奇偶性討論．
討論結(jié)果：(1)(2)(3)(5)略．
(4)數(shù)列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法，這也是高考?？嫉膸追N求和方法．
例1某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)？(結(jié)果保留到個(gè)位)
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一個(gè)已知Sn＝30000求n的問題．本例的解答應(yīng)先根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列方程，再用對(duì)數(shù)的知識(shí)解方程．
解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列{an}，
其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000.
于是得到50001－1.1n1－1.1＝30000，
整理，得1.1n＝1.6，
兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg1.1＝lg1.6，
用計(jì)算器算得n＝lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年)．
答：大約5年可以使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)．
點(diǎn)評(píng)：本例是一道關(guān)于等比數(shù)列模型的應(yīng)用題，需要從實(shí)際問題中抽象出等比數(shù)列模型．從實(shí)際背景的角度講，本例的設(shè)計(jì)一方面是想讓學(xué)生了解計(jì)算機(jī)日益普及，其銷量越來越大；另一方面，對(duì)于一個(gè)商場(chǎng)來講，為實(shí)現(xiàn)一定的商品銷售目標(biāo)而制訂計(jì)劃也是一件自然的事情．
變式訓(xùn)練
某市2003年共有1萬輛燃油型公交車．有關(guān)部門計(jì)劃于2004年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：
(1)該市在2010年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？
(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13？
解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an}，
其中a1＝128，q＝1.5，
則在2010年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7＝a1q6＝128×1.56＝1458(輛)．
(2)記Sn＝a1＋a2＋…＋an，依據(jù)題意，得Sn10000＋Sn＞13.
于是Sn＝1281－1.5n1－1.5＞5000(輛)，
即1.5n＞65732，則有n－lg65732lg1.5≈7.5，
因此n≥8.
所以，到2011年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13.

例2(教材本節(jié)例4)
活動(dòng)：這是本單元教材安排的最后一道例題．教師引導(dǎo)學(xué)生寫出每個(gè)月的產(chǎn)值，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)量分析理解任一月份的計(jì)算表達(dá)式和求總和的計(jì)算方法．
例3某教師購買安居工程集資房72m2，單價(jià)為1000元/m2，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)．房地產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，每期為1年，等額付款．簽訂購房合同后，1年付款1次，再過1年又付款1次等等，共付10次，10年后還清．如果按年利率7.5%，每年復(fù)利1次計(jì)算，那么每年應(yīng)付多少元？(計(jì)算結(jié)果精確到百元．下列數(shù)據(jù)供參考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生理清問題中的基本數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列的模型，然后按等比數(shù)列的知識(shí)就很容易解決了．本例由教師與學(xué)生共同探究完成．
解：設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后1次付款時(shí)付款金額的本利和為x(1＋1.075＋1.0752＋1.0753＋…＋1.0759)元；
購房余款10年后的本利和為[1000×72－(28800＋14400)]1.07510＝28800×1.07510元，根據(jù)10年后還清，得
x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝28800×1.07510，
∴x＝28800×1.07510×1.075－11.07510－1≈4200(元)，
即每年應(yīng)付4200元．
點(diǎn)評(píng)：解決本例的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型．分期付款以及新生利息之和，應(yīng)等于購房個(gè)人分擔(dān)部分10年后的本息和．
變式訓(xùn)練
假如一個(gè)人得到了一條消息，他偷偷地告訴了兩個(gè)朋友，半小時(shí)后這兩個(gè)朋友又各自偷偷地告訴了自己的兩個(gè)朋友．如果每個(gè)得到消息的人在半小時(shí)內(nèi)把這一消息告訴兩個(gè)朋友，計(jì)算一下，24小時(shí)后有多少人知道了這條消息？
解：按題意，半小時(shí)有1＋2人，一小時(shí)有1＋2＋22人，…，設(shè)24小時(shí)后有x人知道，則x＝1＋2＋22＋23＋…＋248，
2x＝2＋22＋23＋24＋…＋249，
兩式相減得x＝249－1.
利用對(duì)數(shù)計(jì)算可知x≈5.61×1014.
也就是說從第一個(gè)人知道消息開始，只過了一天時(shí)間，就有五百六十一萬億人知道了這條消息．

例4某地現(xiàn)有居民住房的總面積為am2，其中需要拆除的舊住房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情況下，仍以10%的住房增長(zhǎng)率建新住房．
(1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房總面積x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)過10年還未拆除的舊住房總面積占當(dāng)時(shí)住房總面積的百分比是多少？(保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位)
解：(1)根據(jù)題意，可知
1年后住房總面積為1.1a－x；
2年后住房總面積為1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
3年后住房總面積為1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……；
10年后住房總面積為1.110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x
＝1.110a－1.110－11.1－1x＝2.6a－16x.
由題意，得2.6a－16x＝2a.解得x＝380a(m2)．
(2)所求百分比為a2－380a×102a＝116≈6.3%.
答：每年應(yīng)拆除的舊住房總面積為380am2，過10年還未拆除的舊房總面積占當(dāng)時(shí)住房總面積的百分比是6.3%.
知能訓(xùn)練
1．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，求證：S7，S14－S7，S21－S14成等比數(shù)列．設(shè)k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？
2．家用電器一件，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，每期付款數(shù)相同，每月為一期，購買一個(gè)月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復(fù)利計(jì)算，那么每期應(yīng)付款多少？(1.00812＝1.1)
答案：
1．證明：∵S14－S7＝(a1＋a2＋…＋a14)－(a1＋a2＋…＋a7)
＝a8＋a9＋…＋a14
＝a1q7＋a2q7＋…＋a7q7
＝S7q7.
同理，S21－S14＝q14S7，
∴S7(S21－S14)＝(S14－S7)2.
可用同樣的方法證明Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列．
2．解：設(shè)每期付款x元，則
第1期付款后還欠款2000(1＋0.008)－x＝20001.008－x，
第2期付款后還欠款[2000(1＋0.008)－x]1.008－x＝20001.0082－1.008x－x，
…，
第12期付款后欠款應(yīng)為0，
所以有20001.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0，
∴x＝20001.008121.00812－11.008－1≈175.46(元)，
即每期付款175.46元．
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)所探究的內(nèi)容與方法：教育儲(chǔ)蓄中的計(jì)算問題，用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算數(shù)列的求和問題等．其中等比數(shù)列應(yīng)用問題的解決是個(gè)重點(diǎn)，其特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)、立意新、角度寬、難度大，因而在解題中務(wù)必注重基礎(chǔ)、凸現(xiàn)能力，靈活掌握．
2．學(xué)完本節(jié)后，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，多方查找資料，進(jìn)一步拓展數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，培養(yǎng)主動(dòng)探究問題、解決問題的能力，提高我們的創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神．
作業(yè)
1．課本習(xí)題2—3A組8、9、10；習(xí)題2—3B組，4選做．
2．利用網(wǎng)絡(luò)資源，探究分期付款問題．
設(shè)計(jì)感想
本教案注重知識(shí)過程的教學(xué)，要求學(xué)生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在活動(dòng)中進(jìn)一步提升自己的能力．
本教案設(shè)計(jì)體現(xiàn)了本章教材設(shè)置理念．本章各節(jié)內(nèi)容均由“實(shí)例分析”或“問題提出”創(chuàng)設(shè)問題情境，這些具有代表性和趣味性的問題將內(nèi)容自然引入，再通過對(duì)問題的分析和解決，由特殊過渡至一般．
等比數(shù)列及其求和問題作為數(shù)列一章的最后一個(gè)內(nèi)容，蘊(yùn)含著極大的寶藏，是一個(gè)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的好題材．有人說“學(xué)情決定教法”，但反過來“教法也能造就學(xué)情”．在教學(xué)中注意激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)精神，以充分發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容的教育功能．
備課資料
一、關(guān)于銀行利率問題的探究
問題：
(1)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時(shí)一次可支取本息共多少元？
(2)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時(shí)一次可支取本息共多少元？
(3)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)時(shí)一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元？
(4)欲在3年后一次支取教育儲(chǔ)蓄本息合計(jì)1萬元，每月應(yīng)存入多少元？
(5)欲在3年后一次支取教育儲(chǔ)蓄本息合計(jì)a萬元，每月應(yīng)存入多少元？
(6)依教育儲(chǔ)蓄方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到了4年時(shí)，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(7)依教育儲(chǔ)蓄方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到了b年時(shí)，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(8)不用教育儲(chǔ)蓄方式，而用其他的儲(chǔ)蓄方式，以每月可存100元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標(biāo)準(zhǔn)可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教育儲(chǔ)蓄比較．
探究活動(dòng)：
這是一個(gè)關(guān)系到我國(guó)每一個(gè)家庭的社會(huì)生活中的實(shí)際問題，其中大部分的計(jì)算都是用數(shù)列的知識(shí)．在解決這個(gè)問題前，我們先熟悉一下這方面的有關(guān)政策及銀行的業(yè)務(wù)知識(shí)．
銀行關(guān)于教育儲(chǔ)蓄的管理辦法(節(jié)選)
管理辦法
第七條教育儲(chǔ)蓄為零存整取定期儲(chǔ)蓄存款．存期分為一年、三年和六年．最低起存金額為50元，本金合計(jì)最高限額為2萬元．開戶時(shí)儲(chǔ)戶應(yīng)與金融機(jī)構(gòu)約定每月固定存入的金額，分月存入，中途如有漏存，應(yīng)在次月補(bǔ)齊，未補(bǔ)存者按零存整取定期儲(chǔ)蓄存款的有關(guān)規(guī)定辦理．
第八條教育儲(chǔ)蓄實(shí)行利率優(yōu)惠．一年期、三年期教育儲(chǔ)蓄按開戶日同期同檔次整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)息；六年期按開戶日五年期整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)息．
第十一條教育儲(chǔ)蓄逾期支取，其超過原定存期的部分，按支取日活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲(chǔ)蓄存款利息所得稅．
第十二條教育儲(chǔ)蓄提前支取時(shí)必須全額支取，提前支取時(shí)，儲(chǔ)戶能提供“證明”的，按實(shí)際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并免征儲(chǔ)蓄存款利息所得稅；儲(chǔ)戶未能提供“證明”的，按實(shí)際存期和支取日活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲(chǔ)蓄存款利息所得稅．
銀行整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算公式是：
若每月固定存a元，連續(xù)存n個(gè)月，則計(jì)算利息的公式為a1＋nn2×月利率．若設(shè)月利率為q，則這個(gè)公式實(shí)際上是數(shù)列aq,2aq,3aq，…，naq，…的前n項(xiàng)和．
用數(shù)學(xué)語言來說，這是個(gè)首項(xiàng)為aq，公差為aq的等差數(shù)列．從這個(gè)公式中我們知道，銀行整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算不是按復(fù)利(利生息——利滾利)計(jì)算的．
我們把這樣的計(jì)算利息的方法叫做按單利(利不生息——利不滾利)計(jì)算．
這是我們?cè)谟?jì)算時(shí)必須弄明白的，否則，我們計(jì)算的結(jié)果就會(huì)與銀行計(jì)算的實(shí)際結(jié)果不一致．
我們還需要了解銀行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息稅率：
三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%；
五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.2325%；
三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.1575%；
利息稅率為20%.
有了以上預(yù)備知識(shí)，我們來探究前面提出的八個(gè)問題：
(1)因?yàn)槿昶谡嬲〈婵钅昀蕿?.52%，月利率為0.21%，故依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存入50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
50＋50×36×362×0.21%＋1800＝1869.93(元)．
因?yàn)槲迥暾嬲〈婵钅昀蕿?.79%，月利率為0.2325%，故依教育儲(chǔ)蓄的方式，若每月存入50元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共
50＋50×72×722×0.2325%＋3600＝3905.50(元)．
(2)每月存入a元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
a＋a×36×362×0.21%＋36a(元)．
若每月存入a元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共
a＋a×72×722×0.2325%＋72a(元)．
(3)因?yàn)槿昶诹愦嬲〈婵钅昀蕿?.89%，月利率為0.1575%，故每月存50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
50＋50×36×362×0.1575%×80%＋1800＝1841.96(元)．
比教育儲(chǔ)蓄的方式少收益27.97(元)．
(4)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲(chǔ)蓄的計(jì)算公式得
x＋x×36×362×0.21%＋36x＝10000.
解得x≈267.39(元)，即每月應(yīng)存入267.39(元)．
(5)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲(chǔ)蓄的計(jì)算公式得
x＋x×36×362×0.21%＋36x＝10000a.
解得x＝10000a37.3986＝267.39a，即每月應(yīng)存入267.39a(元)．
(6)根據(jù)銀行出臺(tái)的教育儲(chǔ)蓄《管理辦法》，需要提前支取的，在提供證明的情況下，按實(shí)際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并免征儲(chǔ)蓄存款利息所得稅．故該學(xué)生支取時(shí)，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進(jìn)行計(jì)算．由計(jì)算公式得
100＋100×48×482×0.21%＋4800＝5046.96(元)．
(7)與第(6)小題類似，應(yīng)根據(jù)實(shí)際存期進(jìn)行同檔次計(jì)算．
一到兩年的按一年期整存整取計(jì)息．一年期整存整取存款年利率為1.98%，月利率為0.165%，故當(dāng)b＝1或2時(shí)，由計(jì)算公式得
a＋a×12b×12b2×0.165%＋12ab(元)．
當(dāng)b＝3或4或5時(shí)，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進(jìn)行計(jì)算．根據(jù)計(jì)算公式得
a＋a×12b×12b2×0.21%＋12ab(元)．
(8)此題可以選擇多種儲(chǔ)蓄方式，學(xué)生可能提供多個(gè)結(jié)果，只要他們計(jì)算方式符合規(guī)定的儲(chǔ)蓄方式即可．教師可以組織學(xué)生討論，然后選擇一個(gè)最佳答案．
在上述探究問題的過程中，學(xué)到了許多課本上沒有的東西，增長(zhǎng)了一些銀行存款的知識(shí)．可以鼓勵(lì)學(xué)生用這些知識(shí)去規(guī)劃一下自己將來接受教育的存款計(jì)劃，并與家長(zhǎng)商量，看能不能付諸現(xiàn)實(shí)；也可以為身邊的親朋好友當(dāng)個(gè)小參謀，把學(xué)到的知識(shí)講解給他們聽一聽．
從生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中，我們還能尋找到更多的探究題材，只要我們做個(gè)有心人，我們學(xué)到的知識(shí)就能與生產(chǎn)實(shí)際與社會(huì)生活緊密地結(jié)合起來．
以下實(shí)例供參考
銀行按規(guī)定在一定時(shí)間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計(jì)算方法叫做復(fù)利，現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案——一次性貸款10萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案——每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年卻比前一年增加利潤(rùn)5千元，兩種方案使用期都是10年，到期一次性還本付息，若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩方案的優(yōu)劣．(計(jì)算時(shí)，精確到千元，并取1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解：甲方案10年共獲利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63，
到期時(shí)，銀行貸款本息為10(1＋10%)10≈25.94.
∴按甲方案扣除貸款本息后，凈收益為42.63－25.94＝16.7(萬元)．
乙方案10年共獲利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝101＋5.52＝32.5，
到期時(shí)，銀行貸款本息為1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9＝1.110－11.1－1≈15.94.
∴按乙方案扣除貸款本息后，凈收益為32.5－15.94＝16.6(萬元)．
∴甲方案略優(yōu)于乙方案．
當(dāng)貸款期限大于10年時(shí)，甲方案的優(yōu)越性更大；當(dāng)貸款期限小于10年時(shí)，則乙方案較優(yōu)．
二、備用習(xí)題
1．已知集合An＝{x|2n＜x＜2n＋1，且x＝7m＋1，m、n∈N*}，則A6中各元素的和為…
()
A．792B．890C．891D．990
2．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè))，經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由一個(gè)可以繁殖成()
A．511個(gè)B．512個(gè)C．1023個(gè)D．1024個(gè)
3．在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a21＋a22＋…＋a2n等于()
A．(2n－1)2B.13(2n－1)2C．4n－1D.13(4n－1)
4．設(shè)f(x)＝3x3x＋3，則f(1101)＋f(2101)＋…＋f(100101)＝__________.
5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n－12n，其前n項(xiàng)的和Sn＝__________.
6．用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，…，以此類推，每一層都用去了上次剩下磚塊的一半多一塊，到第十層恰好把磚塊用完，問共有多少塊磚？
7．某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到1999年底全縣的綠化率已達(dá)到30%.從1999年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時(shí)原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?br> (1)設(shè)全縣面積為1,1999年底綠洲面積為a1＝310，經(jīng)過一年(指2000年底)綠洲面積為a2，經(jīng)過n年綠洲面積為an＋1，求證：an＋1＝45an＋425.
(2)問至少經(jīng)過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%？(年取整數(shù))(lg2≈0.3010)
8．下圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)裝置示意圖，J1、J2是數(shù)據(jù)入口，C是計(jì)算結(jié)果的出口．計(jì)算過程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n，經(jīng)過計(jì)算后得自然數(shù)k由C輸出，若此種計(jì)算機(jī)裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)：
①若J1、J2分別輸入1，則輸出結(jié)果是1；
②若J1輸入任何固定自然數(shù)不變，J2輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大2；
③若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來的2倍．
試問：(1)若J1輸入1，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？
(2)若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)m，輸出結(jié)果為多少？
(3)若J1輸入自然數(shù)m，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？
參考答案：
1．C解析：令n＝6，得26＜x＜27，即64＜x＜128.
用64＜7m＋1＜128，
解得9＜m＜1817，且m∈N*.
∴m＝10,11,12，…，18.
∴x＝7×10＋1,7×11＋1，…，7×18＋1共9個(gè)數(shù)．
2．B解析：細(xì)菌繁殖問題為一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，經(jīng)過3小時(shí)分裂9次．因此末項(xiàng)為a10，
∴a10＝a1q9＝29＝512.
3．D解析：∵Sn＝2n－1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.
又a1＝S1＝21－1＝20，
∴an＝2n－1.
∴a21＝1.
∴a2n＝(2n－1)2＝4n－1，a2n＋1a2n＝4.
∴a21＋a22＋…＋a2n＝1－4n1－4＝13(4n－1)．
4．答案：50
解析：直接求和幾乎不可能，而隱蔽的信息是1101＋100101＝1，2101＋99101＝1，…，于是猜想：如果x1＋x2＝1，則f(x1)＋f(x2)是一個(gè)常數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，果然為1，則所求之和為50.
5．答案：3－2n2n
解析：Sn＝12＋34＋58＋716＋…＋2n－12n，
12Sn＝14＋38＋516＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1，兩式相減，得
12Sn＝12＋24＋28＋216＋…＋22n－2n－12n＋1
＝12＋2(14＋18＋116＋…＋12n)－2n－12n＋1，
∴Sn＝1＋4(14＋18＋116＋…＋12n)－2n－12n
＝1＋414[1－12n－1]1－12－2n－12n
＝3－2n2n.
6．解：設(shè)從上層到底層磚塊數(shù)分別為a1，a2，…，an，則an＝12Sn＋1，從而a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝12(Sn－Sn－1)＝12an，即an＝2an－1(n≥2，n∈N*)．因此，每層磚塊數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故S10＝21－2101－2＝2046(塊)．
7．(1)證明：設(shè)1999年底沙漠面積為b1，經(jīng)過n年，沙漠面積為bn＋1，則a1＋b1＝1，且an＋bn＝1.
因?yàn)榫G洲面積an＋1由兩部分組成，一部分是原有綠洲面積an減去被侵蝕的面積an－4100an＝96100an；另一部分是新綠洲面積16100bn，
所以an＋1＝96100an＋16100bn＝96100an＋16100(1－an)，
得an＋1＝45an＋425(n≥1)．
(2)解：∵an＋1－45＝45an－1625，
∴an＋1－45＝45(an－45)．
令cn＝an－45，則cn＋1＝45cn.
∴數(shù)列{cn}是公比為45的等比數(shù)列．
故cn＝c1(45)n－1＝(a1－45)(45)n－1＝(－12)(45)n－1.
an＝cn＋45＝45－12(45)n－1(n≥1)，
令an≤60100＜an＋1，即45－12(45)n－1≤35＜45－12(45)n，
得(45)n＜25≤(45)n－1，
兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg45＜lg25≤(n－1)lg45，
則lg0.4lg0.8＜n≤lg0.4lg0.8＋1.
∵lg0.4lg0.8＝2lg2－13lg2－1≈2×0.3010－13×0.3010－1≈4.1，
∴4.1＜n≤5.1，
即約經(jīng)過5年的努力，綠洲面積可超過60%.
8．解：依題意，設(shè)f(m，n)＝k，則f(1,1)＝1，f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
(1)∵f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
即f(1，n＋1)－f(1，n)＝2，
∴f(1,1)，f(1,2)，f(1,3)，…，f(1，n)，…組成以f(1,1)＝1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴f(1，n)＝f(1,1)＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，即fm＋1，1fm，1＝2，
∴f(1,1)，f(2,1)，…，f(m,1)，…組成以f(1,1)＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴f(m,1)＝f(1,1)2m－1＝2m－1.
(3)∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
∴f(m,1)，f(m,2)，f(m,3)，…，f(m，n)，…組成以f(m,1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2.
點(diǎn)評(píng)：本題立意新穎，與生活、科技很貼近，富有時(shí)代氣息．解決本題的關(guān)鍵是理解透題意，建立數(shù)列模型．