高中向量的教案
發(fā)表時(shí)間:2020-09-22高一數(shù)學(xué)《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)案人教版。
高一數(shù)學(xué)《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)案人教版
2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(1)(教學(xué)設(shè)計(jì))
2.3.1平面向量基本定理;2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
[教學(xué)目標(biāo)]
一、知識(shí)與能力:
1.了解平面向量基本定理。
2.掌握平面向量基本定理,理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示;
3.能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).
二、過(guò)程與方法:
體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法;培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀:
培養(yǎng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心,學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.
教學(xué)重點(diǎn):平面向量基本定理,向量的坐標(biāo)表示;平面向量坐標(biāo)運(yùn)算
教學(xué)難點(diǎn):平面向量基本定理.
一、復(fù)習(xí)回顧:
1.實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量,記作:λ
(1)|λ|=|λ|||;(2)λ0時(shí)λ與方向相同;λ0時(shí)λ與方向相反;λ=0時(shí)λ=
2.運(yùn)算定律
結(jié)合律:λ(μ)=(λμ);分配律:(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ
3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ,使=λ.
二、師生互動(dòng),新課講解:
思考:給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1,e2,請(qǐng)作出向量3e1+2e2、e1-2e2,平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢?.
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作e1,e2,a,過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OB的直線,與直線OA交于點(diǎn)M;過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OA的直線,與直線OB交于點(diǎn)N.由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知,存在實(shí)數(shù)1、2,使得1e1,2e2.由于,所以a=1e1+2e2,也就是說(shuō)任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使得
a=1e1+2e2.
把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
(2)向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角,
當(dāng)=0時(shí),a與b同向;當(dāng)=180時(shí),a與b反向.
如果a與b的夾角是90,則稱a與b垂直,記作ab.
例1(課本P94例1)已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2。
解:
變式訓(xùn)練1:如圖在基底e1、e2下分解下列向量:
解:,
,
,
2.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
思考:我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示,對(duì)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一個(gè)向量,如何表示呢?
在直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,則對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y使得
a=xi+yj,
把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作
a=(x,y),
其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),
顯然,
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
(3)向量與坐標(biāo)的關(guān)系
思考:與a相等的向量坐標(biāo)是什么?
向量與向量坐標(biāo)間建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么對(duì)應(yīng)?(多對(duì)一的對(duì)應(yīng),因?yàn)橄嗟认蛄繉?duì)應(yīng)的坐標(biāo)相同)
當(dāng)向量起點(diǎn)被限制在原點(diǎn)時(shí),作=a,這時(shí)向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo),點(diǎn)A的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo),二者之間建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
例2(課本P96例2)如圖,分別用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo).
解:a=2i+3j=(2,3),
b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3).
變式訓(xùn)練2:在直角坐標(biāo)系xOy中,向量a、b、c的方向和長(zhǎng)度如圖所示,分別求他們的坐標(biāo).
解:設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),則
a1=|a|cos45=,a2=|a|sin45=;
b1=|b|cos120=,b2=|b|sin120;
c1=|c|cos(-30)=,c2=|c|sin(-30)=,
因此.
例3:已知是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,,,求向量的坐標(biāo).
解:設(shè)點(diǎn),則
即,所以.
變式訓(xùn)練3:如圖,e1、e2為正交基底,分別寫(xiě)出圖中向量a、b、c、d的分解式,并分別求出它們的直角坐標(biāo).
解:a=2e1+3e2=(2,3),b=-2e1+3e2=(-2,3),
c=-2e1-3e2=(-2,-3),d=2e1-3e2=(2,-3).
三、課堂小結(jié),鞏固反思:
1.平面向量基本定理;
2.平面向量的正交分解;
3.平面向量的坐標(biāo)表示.
四、課時(shí)必記:
1、平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使得功a=1e1+2e2.把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2、當(dāng)向量起點(diǎn)被限制在原點(diǎn)時(shí),作=a,這時(shí)向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo),點(diǎn)A的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo),二者之間建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
五、分層作業(yè):
A組:
1、設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,則有()
A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共線,則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2、已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系
A.不共線B.共線C.相等D.無(wú)法確定
3、已知向量e1、e2不共線,實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4、已知a、b不共線,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c與b共線,則λ1=.
5、已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一組基底,且a=λ1e1+λ2e2,則a與e1_____,a與e2_________(填共線或不共線).
B組:
C組:
延伸閱讀
高二數(shù)學(xué)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示3
一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗,會(huì)提前做好準(zhǔn)備,高中教師要準(zhǔn)備好教案,這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境,幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫(xiě)呢?經(jīng)過(guò)搜索和整理,小編為大家呈現(xiàn)“高二數(shù)學(xué)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示3”,供大家借鑒和使用,希望大家分享!
2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的:
(1)理解平面向量共線的坐標(biāo)表示;
(2)掌握平面上兩點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及定點(diǎn)坐標(biāo)公式;
(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷向量是否共線.
教學(xué)重點(diǎn):平面向量公線的坐標(biāo)表示及定點(diǎn)坐標(biāo)公式,
教學(xué)難點(diǎn):向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性
教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2
(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;
(2)基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;
(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解;
(4)基底給定時(shí),分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量
2.平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得
把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作
其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),特別地,,,.
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)若,,
則,,
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
(2)若,,則
一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).
向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是相同的。
3.練習(xí):
1.若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)
2.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),則2=.
3.已知:四點(diǎn)A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3),
如何求證:四邊形ABCD是梯形.?
二、講解新課:
1、思考:(1)兩個(gè)向量共線的條件是什么?
(2)如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量?
設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)其中.
由=λ得,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,x1y2-x2y1=0
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
探究:(1)消去λ時(shí)能不能兩式相除?
(不能∵y1,y2有可能為0,∵∴x2,y2中至少有一個(gè)不為0)
(2)能不能寫(xiě)成?(不能?!選1,x2有可能為0)
(3)向量共線有哪兩種形式?∥()
三、講解范例:
例1已知=(4,2),=(6,y),且∥,求y.
例2已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A,B,C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.
思考:你還有其它方法嗎?
例3若向量=(-1,x)與=(-x,2)共線且方向相同,求x
解:∵=(-1,x)與=(-x,2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例4已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量與平行嗎?直線AB平行于直線CD嗎?
解:∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×60∴與不平行
∴A,B,C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
例5設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1),(x2,y2).
(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
思考:(1)中P1P:PP2=?(2)中P1P:PP2=?若P1P:PP2=如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)?
四、課堂練習(xí):P101面4、5、6、7題。
五、小結(jié):(1)平面向量共線的坐標(biāo)表示;
(2)平面上兩點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及定點(diǎn)坐標(biāo)公式;
(3)向量共線的坐標(biāo)表示.
六、課后作業(yè):《習(xí)案》二十二。
思考:
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,則y=(C)
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三點(diǎn)共線,則x的值為(B)?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線,則x、y的值可能分別為(B)
A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4
4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,則y=3.
5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b與2a-b平行,則x的值為
6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),則x=5
高考數(shù)學(xué)(理科)一輪復(fù)習(xí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案
作為杰出的教學(xué)工作者,能夠保證教課的順利開(kāi)展,教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案,做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收,幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的教案呢?以下是小編收集整理的“高考數(shù)學(xué)(理科)一輪復(fù)習(xí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案”,相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。
學(xué)案26平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
導(dǎo)學(xué)目標(biāo):1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
自主梳理
1.平面向量基本定理
定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,__________一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=______________.
我們把不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________.
2.夾角
(1)已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA→=a,OB→=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的________.
(2)向量夾角θ的范圍是________,a與b同向時(shí),夾角θ=____;a與b反向時(shí),夾角θ=____.
(3)如果向量a與b的夾角是________,我們說(shuō)a與b垂直,記作________.
3.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)____________的向量,叫做把向量正交分解.
4.在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使a=xi+yj,我們把有序數(shù)對(duì)______叫做向量a的________,記作a=________,其中x叫a在________上的坐標(biāo),y叫a在________上的坐標(biāo).
5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和實(shí)數(shù)λ,那么a+b=________________________,a-b=________________________,λa=________________.
(2)已知A(),B(),則AB→=OB→-OA→=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的__________的坐標(biāo)減去__________的坐標(biāo).
6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),則a∥b的充要條件是________________________.
7.(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______________________________.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則△P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_(kāi)______________.
自我檢測(cè)
1.(2010福建)若向量a=(x,3)(x∈R),則“x=4”是“|a|=5”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
2.設(shè)a=32,sinα,b=cosα,13,且a∥b,則銳角α為()
A.30°B.45°
C.60°D.75°
3.(2011馬鞍山模擬)已知向量a=(6,-4),b(0,2),OC→=c=a+λb,若C點(diǎn)在函數(shù)y=sinπ12x的圖象上,則實(shí)數(shù)λ等于()
A.52B.32
C.-52D.-32
4.(2010陜西)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________.
5.(2009安徽)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA→和OB→,它們的夾角為120°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng),若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,則x+y的最大值是______.
探究點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用
例1如圖所示,在△OAB中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)OA→=a,OB→=b,以a、b為基底表示OM→.
變式遷移1(2011廈門(mén)模擬)如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA→、OB→、OC→,其中OA→與OB→的夾角為120°,OA→與OC→的夾角為30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,若OC→=λOA→+μO(píng)B→(λ、μ∈R),則λ+μ的值為_(kāi)_______.
探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM→=3CA→,CN→=2CB→,試求點(diǎn)M,N和MN→的坐標(biāo).
變式遷移2已知點(diǎn)A(1,-2),若向量|AB→與a=(2,3)同向,|AB→|=213,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
探究點(diǎn)三在向量平行下求參數(shù)問(wèn)題
例3(2011嘉興模擬)已知平面內(nèi)三個(gè)向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m、n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k.
變式遷移3(2009江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,則k=________.
1.在解決具體問(wèn)題時(shí),合理地選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.在解有關(guān)三角形的問(wèn)題時(shí),可以不去特意選擇兩個(gè)基本向量,而可以用三邊所在的三個(gè)向量,最后可以根據(jù)需要任意留下兩個(gè)即可,這樣思考問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多.
2.平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量OA→=a,點(diǎn)A的位置被a所唯一確定,此時(shí)a的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)都是(x,y).向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的,即向量(x,y)向量OA→點(diǎn)A(x,y).要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi),相等的向量坐標(biāo)是相同的,但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同,也不能認(rèn)為向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo),如A(1,2),B(3,4),則AB→=(2,2).
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.已知a,b是不共線的向量,若AB→=λ1a+b,AC→=a+λ2b,(λ1,λ2∈R),則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為()
A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2-1=0D.λ1λ2+1=0
2.如圖所示,平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括邊界).若OP→=aOP1→+bOP2→,且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分,則實(shí)數(shù)a,b滿足()
A.a(chǎn)0,b0B.a(chǎn)0,b0
C.a(chǎn)0,b0D.a(chǎn)0,b0
3.(2011湛江月考)設(shè)兩個(gè)向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=m,m2+sinα,其中λ、m、α為實(shí)數(shù).若a=2b,則λm的取值范圍是()
A.[-6,1]B.[4,8]
C.(-∞,1]D.[-1,6]
4.設(shè)0≤θ≤2π時(shí),已知兩個(gè)向量OP1→=(cosθ,sinθ),OP2→=(2+sinθ,2-cosθ),則向量P1P2→長(zhǎng)度的最大值是()
A.2B.3C.32D.23
5.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若AB→=(2,4),AC→=(1,3),則BD→等于()
A.(-2,-4)B.(-3,-5)
C.(3,5)D.(2,4)
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分,共12分)
6.(2011煙臺(tái)模擬)如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若AB→=mAM→,AC→=nAN→,則m+n的值為_(kāi)_____.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
8.(2009天津)在四邊形ABCD中,AB→=DC→=(1,1),1|BA→|BA→+1|BC→|BC→=3|BD→|BD→,則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE→=13AC→,BF→=13BC→.求證:EF→∥AB→.
10.(12分)(2011宣城模擬)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,已知向量m=(a,b),向量n=(cosA,cosB),向量p=(22sinB+C2,2sinA),若m∥n,p2=9,求證:△ABC為等邊三角形.
11.(14分)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC上的點(diǎn),若AE→=mAB→,AF→=nAC→,m,n∈(0,1).設(shè)EF的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為N.
(1)若A,M,N三點(diǎn)共線,求證:m=n;
(2)若m+n=1,求的最小值.
答案自主梳理
1.不共線有且只有λ1e1+λ2e2基底2.(1)夾角(2)[0,π]0π(3)π2a⊥b
3.互相垂直4.(x,y)坐標(biāo)(x,y)x軸y軸5.(1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)終點(diǎn)始點(diǎn)
6.x1y2-x2y1=07.(1)x1+x22,y1+y22
(2)x1+x2+x33,y1+y2+y33
自我檢測(cè)
1.A[由x=4知|a|=42+32=5;由|a|=x2+32=5,得x=4或x=-4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要條件.]
2.B[∵a∥b,∴32×13-sinαcosα=0,
∴sin2α=1,2α=90°,α=45°.]
3.A[c=a+λb=(6,-4+2λ),代入y=sinπ12x得,
-4+2λ=sinπ2=1,解得λ=52.]
4.-1
解析a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c,
得1×2-(m-1)×(-1)=0,所以m=-1.
5.2
解析建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則A(1,0),B(cos120°,sin120°),
即B(-12,32).
設(shè)=,則OA→=(cosα,sinα).
∵OC→=xOA→+yOB→
=(x,0)+-y2,32y=(cosα,sinα).
∴x-y2=cosα,32y=sinα.∴x=sinα3+cosα,y=2sinα3,
∴x+y=3sinα+cosα=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,∴30°≤α+30°≤150°.
∴x+y有最大值2,當(dāng)α=60°時(shí)取最大值.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引本題利用方程的思想,設(shè)OM→=ma+nb,通過(guò)建立關(guān)于m、n的方程求解,同時(shí)注意體會(huì)應(yīng)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的方法.
解設(shè)OM→=ma+nb(m,n∈R),
則AM→=OM→-OA→=(m-1)a+nb,
AD→=OD→-OA→=12b-a=-a+12b.
因?yàn)锳,M,D三點(diǎn)共線,所以m-1-1=n12,即m+2n=1.
而CM→=OM→-OC→=m-14a+nb,
CB→=OB→-OC→=b-14a=-14a+b,
因?yàn)镃,M,B三點(diǎn)共線,所以m-14-14=n1,
即4m+n=1.由m+2n=1,4m+n=1,解得m=17,n=37.
所以O(shè)M→=17a+37b.
變式遷移16
解析如右圖,OC→=OD→+OE→
=λOA→+μO(píng)B→
在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=∠COB=90°,
可求|OD→|=4,同理可求|OE→|=2,
∴λ=4,μ=2,λ+μ=6.
例2解∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴CA→=(1,8),CB→=(6,3).
∴CM→=3CA→=(3,24),
CN→=2CB→=(12,6).
設(shè)M(x,y),則CM→=(x+3,y+4)=(3,24),
∴x+3=3,y+4=24,∴x=0,y=20.∴M(0,20).
同理可得N(9,2),因此MN→=(9,-18).?
∴所求M(0,20),N(9,2),MN→=(9,-18).
變式遷移2(5,4)
解析∵向量AB→與a同向,
∴設(shè)AB→=(2t,3t)(t0).
由|AB→|=213,∴4t2+9t2=4×13.∴t2=4.
∵t0,∴t=2.∴AB→=(4,6).
設(shè)B為(x,y),∴x-1=4,y+2=6.∴x=5,y=4.
例3解(1)∵a=mb+nc,m,n∈R,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴-m+4n=3,2m+n=2,解之得m=59,n=89.
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),
且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,
∴k=-1613.
變式遷移35
解析∵a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6),
且(a-c)∥b,∴3-k1=-63,∴k=5.
課后練習(xí)區(qū)
1.C[∵A、B、C三點(diǎn)共線AB→與AC→共線AB→=kAC→λ1=k,kλ2=1,∴λ1λ2-1=0.]
2.B[由于點(diǎn)P落在第Ⅲ部分,且OP→=aOP1→+bOP2→,則根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a0,b0.]
3.A[∵2b=(2m,m+2sinα),∴λ+2=2m,
λ2-cos2α=m+2sinα,∴(2m-2)2-m=cos2α+2sinα,
即4m2-9m+4=1-sin2α+2sinα.
又∵-2≤1-sin2α+2sinα≤2,
∴-2≤4m2-9m+4≤2,解得14≤m≤2,
∴12≤1m≤4.又∵λ=2m-2,
∴λm=2-2m,∴-6≤2-2m≤1.]
6.2
解析方法一若M與B重合,N與C重合,
則m+n=2.
方法二∵2AO→=AB→+AC→=mAM→+nAN→,
AO→=m2AM→=m2AM→.
∵O、M、N共線,∴m2+n2=1.
∴m+n=2.
7.(0,-2)
解析設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
由題意知BC→=AD→,
即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
8.3
S=|AB→|=|BC→|sin60°=2×2×32=3.
9.證明設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則依題意,得AC→=(2,2),BC→=(-2,3),AB→=(4,-1).
∴AE→=13AC→=23,23,
BF→=13BC→=-23,1.
∴AE→=(x1,y1)-(-1,0)=23,23,
BF→=(x2,y2)-(3,-1)=-23,1.…………………………………………………(4分)
∴(x1,y1)=23,23+(-1,0)
=-13,23,
(x2,y2)=-23,1+(3,-1)=73,0.
∴EF→=(x2,y2)-(x1,y1)=83,-23.…………………………………………………(8分)
又∵AB→=(4,-1),∴4×-23-(-1)×83=0,
∴EF→∥AB→.……………………………………………………………………………(12分)
10.證明∵m∥n,∴acosB=bcosA.
由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,
即sin(A-B)=0.
∵A、B為三角形的內(nèi)角,
∴-πA-Bπ.
∴A=B.……………………………………………………………………………………(5分)
∵p2=9,∴8sin2B+C2+4sin2A=9.
∴4[1-cos(B+C)]+4(1-cos2A)=9.
∴4cos2A-4cosA+1=0,
解得cosA=12.……………………………………………………………………………(10分)
又∵0Aπ,∴A=π3.
∴△ABC為等邊三角形.………………………………………………………………(12分)
11.解(1)由A,M,N三點(diǎn)共線,得AM→∥AN→,
設(shè)AM→=λAN→(λ∈R),即12(AE→+AF→)=12λ(AB→+AC→),
所以mAB→+nAC→=λ(AB→+AC→),所以m=n.…………………………………………(5分)
(2)因?yàn)椋蚇→=AN→-AM→=12(AB→-AC→)=12(AE→-AF→)=12(1-m)AB→+12(1-n)AC→,
……………………………………………………………………………………………(8分)
又m+n=1,所以MN→=12(1-m)AB→+12mAC→,
所以|MN→|2=14(1-m)2AB→2+14m2AC→2+12(1-m)mAB→AC→………………………………(10分)
=14(1-m)2+14m2+14(1-m)m
=14(m-12)2+316.
故當(dāng)m=時(shí),|MN→|min=34.……………………………………………………………(14分)
2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
2.3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
預(yù)習(xí)課本P94~98,思考并完成以下問(wèn)題
(1)怎樣分解一個(gè)向量才為正交分解?
(2)如何由a,b的坐標(biāo)求a+b,a-b,λa的坐標(biāo)?
[新知初探]
1.平面向量正交分解的定義
把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.
2.平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.
(2)坐標(biāo):對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo).
(3)坐標(biāo)表示:a=(x,y).
(4)特殊向量的坐標(biāo):i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
[點(diǎn)睛](1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式,只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直.
(2)由向量坐標(biāo)的定義,知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等,即a=bx1=x2且y1=y(tǒng)2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有下表:
文字描述符號(hào)表示
加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a-b=(x1-x2,y1-y2)
數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa=(λx1,λy1)
重要結(jié)論一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1,y1),
B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1)
[點(diǎn)睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無(wú)關(guān).
(2)當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.
[小試身手]
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān).()
(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無(wú)關(guān).()
(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同.()
答案:(1)√(2)√(3)×(4)×
2.若a=(2,1),b=(1,0),則3a+2b的坐標(biāo)是()
A.(5,3)B.(4,3)
C.(8,3)D.(0,-1)
答案:C
3.若向量=(1,2),=(3,4),則=()
A.(4,6)B.(-4,-6)
C.(-2,-2)D.(2,2)
答案:A
4.若點(diǎn)M(3,5),點(diǎn)N(2,1),用坐標(biāo)表示向量=______.
答案:(-1,-4)
平面向量的坐標(biāo)表示
[典例]
如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo).
[解]由題知B,D分別是30°,120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn).
設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函數(shù)的定義,得
x1=cos30°=32,y1=sin30°=12,∴B32,12.
x2=cos120°=-12,y2=sin120°=32,
∴D-12,32.
∴=32,12,=-12,32.
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).
(2)在求一個(gè)向量時(shí),可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).
[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=43,∠x(chóng)OA=60°,
(1)求向量的坐標(biāo);
(2)若B(3,-1),求的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)點(diǎn)A(x,y),則x=43cos60°=23,
y=43sin60°=6,即A(23,6),=(23,6).
(2)=(23,6)-(3,-1)=(3,7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[典例](1)已知三點(diǎn)A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),則向量3+2=________,-2=________.
(2)已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐標(biāo).
[解析](1)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),
∴=(1,5),=(4,-1),=(-5,-4).
∴3+2=3(1,5)+2(4,-1)
=(3+8,15-2)
=(11,13).
-2=(-5,-4)-2(1,5)
=(-5-2,-4-10)
=(-7,-14).
[答案](11,13)(-7,-14)
(2)解:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)
=(-2,4)+(9,-15)
=(7,-11).
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
[活學(xué)活用]
1.設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=()
A.(7,3)B.(7,7)
C.(1,7)D.(1,3)
解析:選A∵2b=2(-2,1)=(-4,2),
∴a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
2.已知M(3,-2),N(-5,-1),=12,則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.
解析:設(shè)P(x,y),=(x-3,y+2),=(-8,1),
∴=12=12(-8,1)=-4,12,
∴x-3=-4,y+2=12.∴x=-1,y=-32.
答案:-1,-32
向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,t為何值時(shí),點(diǎn)P在x軸上?點(diǎn)P在y軸上?點(diǎn)P在第二象限?
[解]因?yàn)椋剑玹=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),
若點(diǎn)P在x軸上,則2+3t=0,
所以t=-23.
若點(diǎn)P在y軸上,則1+3t=0,
所以t=-13.
若點(diǎn)P在第二象限,則1+3t<0,2+3t>0,
所以-23<t<-13.
[一題多變]
1.[變條件]本例中條件“點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點(diǎn)”試求t的值.
解:由典例知P(1+3t,2+3t),
則1+1+3t2=4,2+2+3t2=5,解得t=2.
2.[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變,試問(wèn)四邊形OABP能為平行四邊形嗎?若能,求出t值;若不能,說(shuō)明理由.
解:=(1,2),=(3-3t,3-3t).若四邊形OABP為平行四邊形,則=,
所以3-3t=1,3-3t=2,該方程組無(wú)解.
故四邊形OABP不能成為平行四邊形.
向量中含參數(shù)問(wèn)題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量:橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量,則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變.
(2)解答這類由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目,關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組),解這個(gè)方程(組),就能達(dá)到解題的目的.
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.如果用i,j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量,且A(2,3),B(4,2),則可以表示為()
A.2i+3jB.4i+2j
C.2i-jD.-2i+j
解析:選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j.
2.已知=a,且A12,4,B14,2,又λ=12,則λa等于()
A.-18,-1B.14,3
C.18,1D.-14,-3
解析:選A∵a==14,2-12,4=-14,-2,
∴λa=12a=-18,-1.
3.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=()
A.(1,-2)B.(1,2)
C.(5,6)D.(2,0)
解析:選Ab=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).
4.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),則=()
A.(2,4)B.(3,5)
C.(1,1)D.(-1,-1)
解析:選C=-=-=-(-)=(1,1).
5.已知M(-2,7),N(10,-2),點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn),且=-2,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A.(-14,16)B.(22,-11)
C.(6,1)D.(2,4)
解析:選D設(shè)P(x,y),則=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y),
由=-2得10-x=4+2x,-2-y=-14+2y,所以x=2,y=4.
6.(江蘇高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為_(kāi)_______.
解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
∴2m+n=9,m-2n=-8,∴m=2,n=5,∴m-n=2-5=-3.
答案:-3
7.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),則+2=________.
解析:∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
∴=(2,3),=(-3,3).
∴+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
8.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第二象限,||=6,∠x(chóng)OA=150°,向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
解析:設(shè)點(diǎn)A(x,y),則x=||cos150°=6cos150°=-33,
y=||sin150°=6sin150°=3,
即A(-33,3),所以=(-33,3).
答案:(-33,3)
9.已知a=,B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
解:∵b=(-3,4),c=(-1,1),
∴3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2)=(-7,10),
即a=(-7,10)=.
又B(1,0),設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
則=(1-x,0-y)=(-7,10),
∴1-x=-7,0-y=10x=8,y=-10,
即A點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-10).
10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).
(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足=λ(λ∈R),求λ與y的值.
解:(1)設(shè)B(x1,y1),
因?yàn)椋?4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
所以x1+1=4,y1+2=3,所以x1=3,y1=1,
所以B(3,1).
同理可得D(-4,-3),
設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2,y2),
則x2=3-42=-12,y2=1-32=-1,
所以M-12,-1.
(2)由=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
又=λ(λ∈R),
所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
所以1=-7λ,1-y=-4λ,所以λ=-17,y=37.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.已知向量=(2,4),=(0,2),則12=()
A.(-2,-2)B.(2,2)
C.(1,1)D.(-1,-1)
解析:選D12=12(-)=12(-2,-2)=(-1,-1),故選D.
2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為()
A.-2,1B.1,-2
C.2,-1D.-1,2
解析:選D∵c=λ1a+λ2b,
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),
∴λ1+2λ2=3,2λ1+3λ2=4,解得λ1=-1,λ2=2.
3.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()
A.2,72B.2,-12
C.(3,2)D.(1,3)
解析:選A設(shè)點(diǎn)D(m,n),則由題意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),故2m=4,2n-4=3,解得m=2,n=72,即點(diǎn)D2,72,故選A.
4.對(duì)于任意的兩個(gè)向量m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n=(ac-bd,bc+ad),運(yùn)算“?”為m?n=(a+c,b+d).設(shè)f=(p,q),若(1,2)?f=(5,0),則(1,2)?f等于()
A.(4,0)B.(2,0)
C.(0,2)D.(0,-4)
解析:選B由(1,2)f=(5,0),得p-2q=5,2p+q=0,解得p=1,q=-2,所以f=(1,-2),所以(1,2)?f=(1,2)?(1,-2)=(2,0).
5.已知向量i=(1,0),j=(0,1),對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),則x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a=(x,y).
其中,正確結(jié)論有________個(gè).
解析:由平面向量基本定理,可知①正確;例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②錯(cuò)誤;因?yàn)橄蛄靠梢云揭?,所以a=(x,y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān),故③錯(cuò)誤;當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)時(shí),a=(x,y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的,故④錯(cuò)誤.
答案:1
6.已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),|OC|=22,且∠AOC=π4.設(shè)=λ+(λ∈R),則λ=________.
解析:過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E,
由∠AOC=π4知,|OE|=|CE|=2,所以=+=λ+,即=λ,所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=23.
答案:23
7.在△ABC中,已知A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分別是AB,AC,BC的中點(diǎn),且MN與AD交于點(diǎn)F,求的坐標(biāo).
解:∵A(7,8),B(3,5),C(4,3),
∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),
=(4-7,3-8)=(-3,-5).
∵D是BC的中點(diǎn),
∴=12(+)=12(-4-3,-3-5)
=12(-7,-8)=-72,-4.
∵M(jìn),N分別為AB,AC的中點(diǎn),∴F為AD的中點(diǎn).
∴=-=-12=-12-72,-4=74,2.
8.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若++=0,求的坐標(biāo).
(2)若=m+n(m,n∈R),且點(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上,求m-n.
解:(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
因?yàn)椋?,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以6-3x=0,6-3y=0,解得x=2,y=2.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2),
故=(2,2).
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)锳(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因?yàn)椋絤+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以x0=m+2n,y0=2m+n,
兩式相減得m-n=y(tǒng)0-x0,
又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上,
所以y0-x0=1,所以m-n=1.
平面向量坐標(biāo)表示
平面向量坐標(biāo)表示
年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題平面向量坐標(biāo)表示
授課時(shí)間撰寫(xiě)人
學(xué)習(xí)重點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算;
2.能用兩端點(diǎn)的坐標(biāo),求所構(gòu)造向量的坐標(biāo);
教學(xué)過(guò)程
一自主學(xué)習(xí)
思考1:設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量,若設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)則=x1i+y1j,=x2i+y2j,根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì),向量+,-,λ(λ∈R)如何分別用基底i、j表示?
+=
-=
λ=
思考2:根據(jù)向量的坐標(biāo)表示,向量+,-,λ的坐標(biāo)分別如何?
+=();-=();
λ=().
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)運(yùn)算法則:
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
思考3:已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐標(biāo)如何?
二師生互動(dòng)
例1已知,,求和.
例2已知平行四邊形的頂點(diǎn),,,試求頂點(diǎn)的坐標(biāo).
變式:若與的交點(diǎn)為,試求點(diǎn)的坐標(biāo).
練1.已知向量的坐標(biāo),求,的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo),求,的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷
三鞏固練習(xí)
1.若向量與向量相等,則()
A.B.
C.D.
2.已知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的坐標(biāo)為()
A.B.
C.D.
3.已知,,則等于()
A.B.C.D.
4.設(shè)點(diǎn),,且
,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
5.作用于原點(diǎn)的兩力,,為使它們平衡,則需加力.
6.已知A(-1,5)和向量=(2,3),若=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________。
A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)
7.已知點(diǎn),及,,,求點(diǎn)、、的坐標(biāo)。
四課后反思
五課后鞏固練習(xí)
1.若點(diǎn)、、,且,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為多少?點(diǎn)的坐標(biāo)為多少?向量的坐標(biāo)為多少?
2.已知向量,,,試用來(lái)表示.