高中向量教案

課時5平面向量基本定理。

課時5平面向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標】
1．掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。
2．能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些幾何問題。
【知識梳理】
若，是不共線向量，是平面內(nèi)任一向量

在平面內(nèi)取一點O，作=，=，=，使=λ1=λ2
==+=λ1+λ2
得平面向量基本定理：

注意：1、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
2這個定理也叫共面向量定理
3λ1，λ2是被，，唯一確定的實數(shù)。
【例題選講】
1．如圖，ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于M，，，試用基底、表示。

2．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=3-2，=4+，=8-9，求證：A，B，D三點共線。

3．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=2+k，=--3，=2-，若A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值。

4．中，，DE//BC，與邊AC相交于點E，中線AM與DE交于點N，如圖，，，試用、表示。

【歸納反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)，它說明同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合。
2．在解具體問題時適當?shù)剡x取基底，使其它向量能夠用基底來表示，選擇了兩個不共線地向量，平面內(nèi)的任何一個向量都可以用唯一表示，這樣幾何問題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)運算。
【課內(nèi)練習(xí)】
1．下面三種說法，正確的是
（1）一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（2）一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（3）零向量不可為基底中的向量；
2．如果、是平面內(nèi)一組基底，，那么下列命題中正確的是
（1）若實數(shù)m,n，使m+n=,則m=n=0;
（2）空間任一向量可以表示為=m+n，這里m,n是實數(shù)；
（3）對實數(shù)m,n，向量m+n不一定在平面；
（4）對平面內(nèi)的任一向量，使=m+n的實數(shù)m,n有無數(shù)組。
3．若G是的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，則=
4．如圖，在中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點P，設(shè)，試用，表示。

5．設(shè)，，，求證：A、B、D三點共線。

【鞏固提高】
1．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組中不能作為基底的是
A+和-B3-2和-6+4
C+2和+2D和+
2．若，，，則=
A+B+C+D+
3．平面直角坐標系中，O為原點，A（3，1），B（-1，3），點C滿足，其中，且=1，則點C的軌跡方程為
4．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
，則P的軌跡一定通過的心
5．若點D在的邊BC上，且=，則3m+n的值為
6．設(shè)=+5，=-2+8，=3（-），求證：A、B、D三點共線。

7．在圖中，對于平行四邊形ABCD，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN=BD，求證：M，N，C三點共線。

8．已知=5+2，=6+y，，，是一組基底，求y的值。

9．如圖，在中，D、E分別是線段AC的兩個四等份點，點F是線段BC的中點，設(shè)，，試用，為基底表示向量。
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問題統(tǒng)計與分析

延伸閱讀

平面向量的基本定理

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，教師要準備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“平面向量的基本定理”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2.3.1平面向量基本定理

一、課題：平面向量基本定理
二、教學(xué)目標：1．理解向量的坐標表示法,掌握平面向量與一對有序?qū)崝?shù)一一對應(yīng)關(guān)系；
2．正確地用坐標表示向量，對起點不在原點的平面向量能利用向量相等的
關(guān)系來用坐標表示；
3．掌握兩向量的和、差,實數(shù)與向量積的坐標表示法。
三、教學(xué)重、難點：1．平面向量的坐標運算；
2．對平面向量的坐標表示的理解。
四、教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．平面向量的基本定理：；
2．在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對實數(shù)表示，那么，每一個向量可否也用
一對實數(shù)來表示？
（二）新課講解：
1．向量的坐標表示的定義：
分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對于任一向量，，（），實數(shù)對叫向量的坐標，記作．
其中叫向量在軸上的坐標，叫向量在軸上的坐標。
說明：（1）對于，有且僅有一對實數(shù)與之對應(yīng)；
（2）相等的向量的坐標也相同；
（3），，；
（4）從原點引出的向量的坐標就是點的坐標。

例1如圖，用基底，分別表示向量、、、，并求出它們的坐標。
解：由圖知：；
；
；

2．平面向量的坐標運算：
問題：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
結(jié)論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差。
3．向量的坐標計算公式：
已知向量，且點，，求的坐標．
．

歸納：（1）一個向量的坐標等于表示它的有向線段的終點坐標減去始點坐標；
（2）兩個向量相等的充要條件是這二個向量的坐標相等。

4．實數(shù)與向量的積的坐標：
已知和實數(shù)，求
結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標。
例2已知，，求，，的坐標．
解：=；；
．

例3已知ABCD的三個頂點的坐標分別為、、，求頂點的坐標。
解：設(shè)頂點的坐標為．
∵，，
由，得．
∴∴∴頂點的坐標為．

例4（1）已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標為，
．
（2）已知，，，且，求，．
解：（2）由題意，，
∴∴．

五、課堂小結(jié)：1．正確理解平面向量的坐標意義；
2．掌握平面向量的坐標運算；
3．能用平面向量的坐標及其運算解決一些實際問題。
六、作業(yè)：
補充：1．已知向量與相等，其中，，求；
2．已知向量，，，，且，求．

第5課時2.3.1平面向量基本定理教案

第5課時§2.3.1平面向量基本定理
【教學(xué)目標】
一、知識與技能
1．理解向量的坐標表示法,掌握平面向量與一對有序?qū)崝?shù)一一對應(yīng)關(guān)系；
2．正確地用坐標表示向量，對起點不在原點的平面向量能利用向量相等的關(guān)系來用坐標表示；
3．掌握兩向量的和、差,實數(shù)與向量積的坐標表示法。
二、過程與方法
在實際問題中經(jīng)歷和感受平面內(nèi)任何一個向量都可以由不共線的另外兩向量來表示。
三、情感、態(tài)度與價值觀
通過平面向量基本定理內(nèi)容的推導(dǎo)讓學(xué)生不斷了解數(shù)學(xué)，走進數(shù)學(xué)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【教學(xué)重點難點】基本定理的得出與證明、基本定理的簡單應(yīng)用、
一、創(chuàng)設(shè)情景：
問題1、ABCD的對角線AC和BD交于點M，，
試用向量，表示。

結(jié)論：由作圖可得
問題2、對于向量，是否是惟一的一組？
二、講解新課：
平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先給定）；
③，唯一；
④時，與共線；時，與共線；時，
基底：
正交分解：
三、例題分析：
例1、已知向量，（如圖），求作向量．

例2、如圖，、不共線，，用、表示．

例3、已知梯形中，，，分別是、的中點，若，，用，表示、、．

例4、已知在四邊形中，，，，
求證：是梯形。
例5、設(shè)是兩個不共線的非零向量，記，，那么當實數(shù)t為何值時，A，B，C三點共線

五、課時小結(jié)：
1．熟練掌握平面向量基本定理；
2．會應(yīng)用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的幾何表示。

平面向量的基本定理及坐標表示

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《平面向量的基本定理及坐標表示》，希望能對您有所幫助，請收藏。

平面向量的基本定理及坐標表示
第4課時
§2.3.1平面向量基本定理
教學(xué)目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；
（3）能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.
教學(xué)重點：平面向量基本定理.
教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時λ與方向相同；λ0時λ與方向相反；λ=0時λ=
2．運算定律
結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ.
二、講解新課：
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
三、講解范例：
例1已知向量，求作向量2.5+3.
例2如圖ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和
例3已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+++=4
例4（1）如圖，，不共線，=t(tR)用，表示.
（2）設(shè)不共線，點P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點共線.
例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)與c共線.
四、課堂練習(xí)：
1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系
A.不共線B.共線C.相等D.無法確定
3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c與b共線，則λ1=.
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a=λ1e1+λ2e2，則a與e1_____，a與e2_________(填共線或不共線).
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）：
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：

第二章2.32．3.1平面向量基本定理講義

2．3.1平面向量基本定理
預(yù)習(xí)課本P93～94，思考并完成以下問題
(1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？
(2)如何定義平面向量基底？
(3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？

[新知初探]
1．平面向量基本定理
條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量
結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
[點睛]對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底．
2．向量的夾角
條件兩個非零向量a和b
產(chǎn)生過程
作向量＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角

范圍0°≤θ≤180°
特殊情況θ＝0°a與b同向
θ＝90°a與b垂直，記作a⊥b
θ＝180°a與b反向

[點睛]當a與b共線同向時，夾角θ為0°，共線反向時，夾角θ為180°，所以兩個向量的夾角的范圍是0°≤θ≤180°.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)任意兩個向量都可以作為基底．()
(2)一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．()
(3)零向量不可以作為基底中的向量．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．若向量a，b的夾角為30°，則向量－a，－b的夾角為()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案：B
3．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()
A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2D．e1，e1＋e2
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量，的夾角為______．
答案：135°

用基底表示向量

[典例]如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線＝a，＝b，試用基底a，b表示，.
[解]法一：由題意知，＝＝12＝12a，＝＝12＝12b.
所以＝＋＝－＝12a－12b，
＝＋＝12a＋12b，
法二：設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，
又＋＝，－＝，則x＋y＝a，y－x＝b，
所以x＝12a－12b，y＝12a＋12b，
即＝12a－12b，＝12a＋12b.
用基底表示向量的方法
將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活學(xué)活用]
如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點，且BC＝3AD，＝a，＝b.試以a，b為基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴＝13＝13b.
∵E為AD的中點，
∴＝＝12＝16b.
∵＝12，∴＝12b，
∴＝＋＋
＝－16b－a＋12b＝13b－a，
＝＋＝－16b＋13b－a＝16b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－16b－a＋12b
＝a－23b.

向量夾角的簡單求解
[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
[解]如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b.
因為|a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.

求兩個向量夾角的方法
求兩個向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角．過程簡記為“一作二證三算”．

[活學(xué)活用]
如圖，已知△ABC是等邊三角形．
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若E為BC的中點，求向量與的夾角．
解：(1)∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°.
如圖，延長AB至點D，使AB＝BD，則＝，
∴∠DBC為向量與的夾角．
∵∠DBC＝120°，
∴向量與的夾角為120°.
(2)∵E為BC的中點，∴AE⊥BC，
∴與的夾角為90°.
平面向量基本定理的應(yīng)用
[典例]如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN.
[解]設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.
∴＝45，＝35，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一題多變]
1．[變設(shè)問]在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝25，
＝＋＝＋25＝b＋25(－)
＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
2．[變條件]若本例中的點N為AC的中點，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.
解：如圖，設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實數(shù)λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.
∴＝23，＝23，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．

層級一學(xué)業(yè)水平達標
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，則與的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：選D如圖，與的夾角為∠ABC＝150°.
2．設(shè)點O是?ABCD兩對角線的交點，下列的向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()
①與；②與；③與；④與.
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：選B尋找不共線的向量組即可，在?ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故①③可作為基底．
3．若AD是△ABC的中線，已知＝a，＝b，則以a，b為基底表示＝()
A．12(a－b)B．12(a＋b)
C．12(b－a)D．12b＋a
解析：選B如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點，從而＝，即－＝－，從而＝12(＋)＝12(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若＝e1，＝e2，則＝()
A．12(e1＋e2)B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1)D．12(e2－e1)
解析：選A因為O是矩形ABCD對角線的交點，＝e1，＝e2，所以＝12(＋)＝12(e1＋e2)，故選A.
5．(全國Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則()
A．＝－13＋43
B．＝13－43
C．＝43＋13
D．＝43－13
解析：選A由題意得＝＋＝＋13＝＋13－13＝－13＋43.
6．已知向量a，b是一組基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為______．
解析：∵a，b是一組基底，∴a與b不共線，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是兩個不共線向量，a＝k2e1＋1－5k2e2與b＝2e1＋3e2共線，則實數(shù)k＝______.
解析：由題設(shè)，知k22＝1－5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或13.
答案：－2或13
8．如下圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則在以a，b為基底時，可表示為______，在以a，c為基底時，可表示為______．
解析：以a，c為基底時，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得．
答案：a＋b2a＋c
9.如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點，且＝13，＝13，＝13，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來．
解：＝－
＝13－23＝13a－23b，
＝－＝－13－23＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
＝－＝－(＋)＝13(a＋b)．
10．證明：三角形的三條中線共點．
證明：如圖所示，設(shè)AD，BE，CF分別為△ABC的三條中線，令＝a，＝b.則有＝b－a.
設(shè)G在AD上，且AGAD＝23，則有＝＋＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
＝－＝12b－a.
∴＝－＝23－
＝13(a＋b)－a＝13b－23a
＝2312b－a＝23.
∴G在BE上，同理可證＝23，即G在CF上．
故AD，BE，CF三線交于同一點．
層級二應(yīng)試能力達標
1．在△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，設(shè)＝a，＝b，則可用基底a，b表示為()
A．12(a＋b)B．23a＋13b
C．13a＋23bD．13(a＋b)
解析：選C∵＝2，∴＝23.
∴＝＋＝＋23＝＋23(－)＝13＋23＝13a＋23b.
2．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝a，＝b，則＝()
A．43a＋23bB．23a＋43b
C．23a－23bD．－23a＋23b
解析：選B設(shè)AD與BE交點為F，則＝13a，＝23b.所以＝＋＝23b＋13a，所以＝2＝23a＋43b.
3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()
A．若存在實數(shù)λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，則λ1＝λ2＝0
B．平面α內(nèi)任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R
D．對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對
解析：選BA中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D中，λ1，λ2有且只有一對．
4．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是()
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
解析：選A由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.
5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b
＝23a＋－13b.
答案：23－13
6．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________．
解析：由題意可畫出圖形，
在△OAB中，
因為∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a與c的夾角為90°.
答案：90°
7．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，
則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，得λ＝1，3λ＝－2λ＝1，λ＝－23.
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分別為3和1.
8．若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足：＝34＋14.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比．
(2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設(shè)＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如圖，由＝34＋14可知M，B，C三點共線，
令＝λ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λλ＝14，所以S△ABMS△ABC＝14，即面積之比為1∶4.
(2)由＝x＋y＝x＋y2，＝x4＋y，由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線x＋y2＝1，x4＋y＝1x＝47，y＝67.