小學(xué)教學(xué)教案
發(fā)表時(shí)間：2020-09-16平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)。
8.3完全平方公式與平方差公式第2課時(shí)平方差公式
1．掌握平方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，以及對(duì)平方差公式的幾何背景的理解；(重點(diǎn))
2．掌握平方差公式的應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
一、情境導(dǎo)入
1.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則．
學(xué)生積極舉手回答．
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
2.教師肯定學(xué)生的表現(xiàn)，并講解一種特殊形式的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘——平方差公式．
二、合作探究
探究點(diǎn)：平方差公式
【類型一】直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算
利用平方差公式計(jì)算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．
變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題
【類型二】應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算
利用平方差公式計(jì)算：
(1)2013×1923；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把2013×1923寫(xiě)成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；(2)把13.2×12.8寫(xiě)成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．
解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法總結(jié)：熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并構(gòu)造出公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第13題
【類型三】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值
先化簡(jiǎn)，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展開(kāi)并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡(jiǎn)再求值，切忌代入數(shù)值直接計(jì)算．
變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第14題
【類型四】平方差公式的幾何背景
如圖①，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一個(gè)梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是______________．
解析：∵左圖中陰影部分的面積是a2－b2，右圖中梯形的面積是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以驗(yàn)證的乘法公式為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法總結(jié)：通過(guò)幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系可對(duì)平方差公式做出幾何解釋．
變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題
【類型五】平方差公式的實(shí)際應(yīng)用
王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對(duì)李大媽說(shuō)：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價(jià)租給你，你看如何？”李大媽一聽(tīng)，就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？
解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長(zhǎng)后的面積，然后比較二者的大小即可．
解：李大媽吃虧了，理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長(zhǎng)后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．
方法總結(jié)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)解決問(wèn)題．
三、板書(shū)設(shè)計(jì)
1．平方差公式
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．平方差公式的運(yùn)用
學(xué)生通過(guò)“做一做”發(fā)現(xiàn)平方差公式，同時(shí)通過(guò)“試一試”用幾何方法證明公式的正確性．通過(guò)這兩種方式的演算，讓學(xué)生理解平方差公式．本節(jié)教學(xué)內(nèi)容較多，因此教材中的練習(xí)可以讓學(xué)生在課后完成
擴(kuò)展閱讀
完全平方公式與平方差公式
老師會(huì)對(duì)課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家應(yīng)該開(kāi)始寫(xiě)教案課件了。我們制定教案課件工作計(jì)劃，才能對(duì)工作更加有幫助！你們會(huì)寫(xiě)多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“完全平方公式與平方差公式”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。
內(nèi)容：8.3完全平方公式與平方差公式（2）P64--67
課型：新授日期：
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生觀察、交流、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證等能力。
2、會(huì)推導(dǎo)平方差公式，了解公式的幾何背景，會(huì)用公式計(jì)算。
3、進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)推導(dǎo)平差方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，理解公式中a.b的廣泛含義。
學(xué)習(xí)過(guò)程：
一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備
1、利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算：
（1）(a+1)(a-1)
（2）(x+y)(x-y)
（3）(3a+2b)(3a-2b)
（4）(0.2x+0.04y)(0.2x-0.04y)
觀察以上算式及運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)。
2、以上算式都是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)的差相乘，運(yùn)算結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的平方的差。我們把這樣特殊形式的多項(xiàng)式相乘，稱為平方差公式，以后可以直接使用。
平方差公式用字母表示為：(a+b)(a-b)=a2-b2
嘗試用自己的語(yǔ)言敘述平方差公式：
3、平方差公式的幾何意義：閱讀課本65頁(yè)，完成填空。
4、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：(a+b)(a-b)=a2-b2
左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)有什么特點(diǎn)？右邊的結(jié)果與左邊的項(xiàng)有什么關(guān)系？
注意：公式中字母的含義廣泛，可以是，只要題目符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式，可用符號(hào)表示為：(□+○)(□-○)=□2-○2
5、判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式。
(1)(x+y)(-x-y)(2)(-y+x)(x+y)
(3)(x-y)(-x-y)(4)(x-y)(-x+y)
二、合作探究
1、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(2m+3)(2m-3)(2)(-4x+5y)(4x+5y)
分析：要分清題目中哪個(gè)式子相當(dāng)于公式中的a（相同的一項(xiàng)），哪個(gè)式子相當(dāng)于公式中的b（互為相反數(shù)的一項(xiàng)）
2、利用乘法公式計(jì)算：
(1)999×1001(2)
分析：要利用完全平方公式，需具備完全平方公式的結(jié)構(gòu)，所以999×1001可以轉(zhuǎn)化為（）×（）,可以轉(zhuǎn)化為（）×（）
3、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(x+y+z)(x+y-z)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)
三、學(xué)習(xí)體會(huì)
對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)預(yù)習(xí)，你覺(jué)得自己有哪些方面的收獲？又存在哪些方面的疑惑？
四、自我測(cè)試
1、下列計(jì)算是否正確，若不正確，請(qǐng)訂正；
(1)(x+2)(2-x)=x2-4
(2)(2x+y2)(2x-y2)=2x2-y4
(3)(3x2+1)(3x2-1)=9x2-1
(4)(x+2)(x-3)=x2-6
2、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(m+n)(m-m)+3n2(2)(a+2b)(a-2b)(a2+4b4)
(3)1007×993(4)(x+3)2-(x+2)(x-1)
4、先化簡(jiǎn)，再求值；
(-b+a)(a+b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=
五、思維拓展
1、如果x2-y2=6,x+y=3，則x-y=
2、計(jì)算：20072-4014×2008+20082
3、計(jì)算：123462-12345×12347
4、計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）
平方差公式導(dǎo)學(xué)案
一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家都在十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南虢贪刚n件。只有規(guī)劃好教案課件計(jì)劃，新的工作才會(huì)更順利！你們清楚有哪些教案課件范文呢？小編收集并整理了“平方差公式導(dǎo)學(xué)案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！
章節(jié)與課題§9.4.2平方差公式課時(shí)安排2課時(shí)
使用人使用日期或周次
本課時(shí)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
或?qū)W習(xí)任務(wù)1、經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程，能總結(jié)出平方差公式及語(yǔ)言敘述.
2、能正確運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.
3、培養(yǎng)語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力.
本課時(shí)
重點(diǎn)難點(diǎn)
或?qū)W習(xí)建議教學(xué)重點(diǎn)：理解平方差公式，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.
教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo).
本課時(shí)
教學(xué)資源
的使用電腦、投影儀.
學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)要求
或?qū)W法指導(dǎo)教師
二次備課欄
自學(xué)準(zhǔn)備與知識(shí)導(dǎo)學(xué)：
1、看圖回答：邊長(zhǎng)為的小正方形紙片放
置在邊長(zhǎng)為的大正方形紙片上，你能求出
陰影部分的面積嗎？
⑴陰影部分由2個(gè)相同的直角梯形組成，梯
形的上底等于_____，下底等于_____，高等
于_____，因此梯形的面積等于___________，
陰影部分的面積等于____________________.
⑵大正方形的面積等于_____，小正方形的面
積等于_____，因此陰影部分的面積等于____________.
⑶顯然，⑴和⑵中求得的面積一樣.由此可得出的結(jié)論是：
__________________=____________，這個(gè)公式稱為平方差公式.
2、你還能用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則得到同樣的結(jié)論嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的過(guò)程.
(a+b)(a-b)=
3、你能說(shuō)出平方差公式的特點(diǎn)，以及它與完全平方公式的不同點(diǎn)嗎？
4、平方差公式的語(yǔ)言敘述是：_____________________________________.
5、總結(jié)：完全平方公式（2個(gè)）、平方差公式通常稱為乘法公式，在計(jì)算時(shí)可以直接使用.
分別從整體和局部?jī)蓚€(gè)方面去思考.
梯形的面積=
(上底+下底)×高÷2.
公式的語(yǔ)言敘述：兩數(shù)和乘兩數(shù)差等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
學(xué)習(xí)交流與問(wèn)題研討：
1、例題一(準(zhǔn)備好，跟著老師一起做！)
用平方差公式計(jì)算：⑴⑵
2、例題二(有困難，大家一起討論吧！)
計(jì)算：⑴⑵
分析：把⑴中的看作平方差公式中的，把看作，把⑵中的看作平方差公式中的，把看作，再用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.
與公式比較，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的．
練習(xí)檢測(cè)與拓展延伸：
1、鞏固練習(xí)一
⑴口答下列各題
①②
③④
⑵判斷正誤
①（）②（）
③（）④（）
⑶填空
①
②
③
④
2、鞏固練習(xí)二
⑴課本P67練一練1、2；⑵補(bǔ)充習(xí)題P381、2.
3、提升訓(xùn)練
⑴課本P67練一練3；
⑵計(jì)算：
4、當(dāng)堂測(cè)試
探究與訓(xùn)練P45-464-9.
分析：與公式比較，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的．要更好、更靈活的掌握平方差公式.
課后反思或經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：
1、通過(guò)適量的練習(xí)使學(xué)生能夠正確熟練的運(yùn)用乘法公式進(jìn)行混合運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用公式簡(jiǎn)單計(jì)算，讓學(xué)生在應(yīng)用公式的過(guò)程中，提高變形應(yīng)用公式的能力.
1.7 平方差公式(二)
1.7平方差公式(二)
教學(xué)目的
進(jìn)一步使學(xué)生理解掌握平方差公式，并通過(guò)小結(jié)使學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達(dá)式與文字表達(dá)式在應(yīng)用上的差異．
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：公式的應(yīng)用及推廣．
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)提問(wèn)
1．（1）用較簡(jiǎn)單的代數(shù)式表示下圖紙片的面積．
（2）沿直線裁一刀，將不規(guī)則的右圖重新拼接成一個(gè)矩形，并用代數(shù)式表示出你新拼圖形的面積．
講評(píng)要點(diǎn)：
沿HD、GD裁開(kāi)均可，但一定要讓學(xué)生在裁開(kāi)之前知道
HD＝BC＝GD＝FE＝a－b，
這樣裁開(kāi)后才能重新拼成一個(gè)矩形．希望推出公式：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2．（1）敘述平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式及文字表達(dá)式；
（2）試比較公式的兩種表達(dá)式在應(yīng)用上的差異．
說(shuō)明：平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式在使用上有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)．（1）公式具體，易于理解；（2）公式的特征也表現(xiàn)得突出，易于初學(xué)的人“套用”；（3）形式簡(jiǎn)潔．但數(shù)學(xué)表達(dá)式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對(duì)具體問(wèn)題存在一個(gè)判定a、b的問(wèn)題，否則容易對(duì)公式產(chǎn)生各種主觀上的誤解．
依照公式的文字表達(dá)式可寫(xiě)出下面兩個(gè)正確的式子：
經(jīng)對(duì)比，可以讓人們體會(huì)到公式的文字表達(dá)式抽象、準(zhǔn)確、概括．因而也就“欠”明確（如結(jié)果不知是誰(shuí)與誰(shuí)的平方差）．故在使用平方差公式時(shí)，要全面理解公式的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用公式的兩種表達(dá)式，比如用文字公式判斷一個(gè)題目能否使用平方差公式，用數(shù)學(xué)公式確定公式中的a與b，這樣才能使自己的計(jì)算即準(zhǔn)確又靈活．
3．判斷正誤：
（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×)（2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)
（3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；(×)（4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)
二、新課
例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
（1）102×98；（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)．
解：（1）102×98（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)
＝(100＋2)(100－2)＝(y2－4)(y2＋4)
＝1002－22＝10000－4＝(y2)2－42＝y(tǒng)4－16．
＝9996；
2．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
（1）103×97；（2）(x＋3)(x－3)(x2＋9)；
（3）59.8×60.2；（4）(x－)(x2＋)(x＋)．
3．請(qǐng)每位同學(xué)自編兩道能運(yùn)用平方差公式計(jì)算的題目．
例2填空：
（1）a2－4＝(a＋2)()；（2）25－x2＝(5－x)()；（3）m2－n2＝()()；
思考題：什么樣的二項(xiàng)式才能逆用平方差公式寫(xiě)成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積？
（某兩數(shù)平方差的二項(xiàng)式可逆用平方差公式寫(xiě)成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積）
練習(xí)
填空：
1．x2－25＝()()；
2．4m2－49＝(2m－7)()；
3．a(chǎn)4－m4＝(a2＋m2)()＝(a2＋m2)()()；
例3計(jì)算：
（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)；（2）(m2＋n－7)(m2－n－7)．
解：（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)（2）(m2＋n－7)(m2－n－7)
＝[(a＋b)－3][(a＋b)＋3]＝[(m2－7)＋n][(m2－7)－n]
＝(a＋b)2－9＝a2＋2ab＋b2－9．＝(m2－7)2－n2
＝m4－14m2＋49－n2．
三、小結(jié)
1．什么是平方差公式？一般兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的積應(yīng)是幾項(xiàng)式？
2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？
3．怎樣判斷一個(gè)多項(xiàng)式的乘法問(wèn)題是否可以用平方差公式？
四、布置作業(yè)
1．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
（1）(a2＋b)(a2－b)；（2）(－4m2＋5n)(4m2＋5n)；
（3）(x2－y2)(x2＋y2)；（4）(9a2＋7b2)(7b2－9a2)．
2．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：
（1）69×71；（2）53×47；（3）503×497；（4）40×39．
教后記：
