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      小學(xué)五年級教案

      發(fā)表時間:2020-12-01

      八年級上冊《用“平方差公式”分解因式》學(xué)案。

      八年級上冊《用“平方差公式”分解因式》學(xué)案

      用“完全平方公式”分解因式
      一、學(xué)習(xí)目標(biāo):
      1.使學(xué)生會用完全平方公式分解因式.
      2.使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟,多方法的分解因式
      二、重點(diǎn)難點(diǎn):
      重點(diǎn):讓學(xué)生掌握多步驟、多方法分解因式方法
      難點(diǎn):讓學(xué)生學(xué)會觀察多項式特點(diǎn),恰當(dāng)安排步驟,恰當(dāng)?shù)剡x用不同方法分解因式
      三、合作學(xué)習(xí)
      創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
      完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2
      講授新課
      1.推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點(diǎn).
      將完全平方公式倒寫:
      a2+2ab+b2=(a+b)2;
      a2-2ab+b2=(a-b)2.
      凡具備這些特點(diǎn)的三項式,就是一個二項式的完全平方,將它寫成平方形式,便實(shí)現(xiàn)了因式分解
      用語言敘述為:兩個數(shù)的平方和,加上(或減去)這兩數(shù)的積的2倍,等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方
      形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子稱為完全平方式.
      由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出,如果把乘法公式反過來,那么就可以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.

      練一練.下列各式是不是完全平方式?
      (1)a2-4a+4;(2)x2+4x+4y2;
      (3)4a2+2ab+b2;(4)a2-ab+b2;

      四、精講精練
      例1、把下列完全平方式分解因式:
      (1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.

      例2、把下列各式分解因式:
      (1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.

      課堂練習(xí):教科書練習(xí)
      補(bǔ)充練習(xí):把下列各式分解因式:
      (1)(x+y)2+6(x+y)+9;(2)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;

      五、小結(jié):兩個數(shù)的平方和,加上(或減去)這兩數(shù)的積的2倍,等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方
      形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子稱為完全平方式.
      六、作業(yè):1、

      2、分解因式:
      X2-4x+42x2-4x+2(x2+y2)2-8(x2+y2)+16(x2+y2)2-4x2y2JAB88.COM

      45ab2-20a-a+a3a-ab2a4-1(a2+1)2-4(a2+1)+4

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      八年級上冊《平方差公式》教案


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      八年級上冊《平方差公式》教案

      一、教材分析

      本節(jié)課選自人教版八年級上冊第14章第二節(jié)內(nèi)容,它是在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項式乘法之后,自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法,是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對它的學(xué)習(xí)和研究,不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法,而且為以后的因式分解、分式的化簡等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ),同時也為學(xué)習(xí)完全平方公式提供了方法.因此,平方差公式作為初中階段的第一個公式,在教學(xué)中具有很重要地位,同時也是最基本、用途最廣泛的公式之一.

      二、學(xué)情分析

      1.學(xué)生的知識技能基礎(chǔ):學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中,已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的有關(guān)內(nèi)容,并經(jīng)歷了用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程,有了一定的符號感.經(jīng)過一個學(xué)期的培養(yǎng),學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作、交流的能力.學(xué)生剛學(xué)過多項式的乘法,已具備學(xué)習(xí)并運(yùn)用平方差公式的知識結(jié)構(gòu),通過創(chuàng)造問題情境,讓學(xué)生承擔(dān)任務(wù),在探究相應(yīng)問題中,建立并運(yùn)用公式,從而使拓展學(xué)生知識技能結(jié)構(gòu)成為可能.通過實(shí)際問題的探究,學(xué)生已感受到多項式乘法運(yùn)算的重要性,同時,具備了對式的運(yùn)算基礎(chǔ)“快”“準(zhǔn)”的積極心理,學(xué)生已具備學(xué)習(xí)公式的知識與技能結(jié)構(gòu),通過新課程教學(xué)的實(shí)施,培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立探索、合作交流的習(xí)慣.

      2.學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ):學(xué)生已熟練掌握了冪的運(yùn)算和整式乘法,但在進(jìn)行多項式乘法運(yùn)算時常常會出現(xiàn)符號錯誤及漏項等問題;另外,數(shù)學(xué)公式中字母具有高度概括性、廣泛應(yīng)用性.

      三、教學(xué)目標(biāo)

      1.知識目標(biāo):經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程,掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征并能熟練應(yīng)用.

      2.能力目標(biāo):運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算,獲得一些數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn),進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的符號感、推理和歸納能力及解決問題的能力.

      3.情感目標(biāo):讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊到一般再到特殊”(即:特例─歸納─猜想─驗(yàn)證─用數(shù)學(xué)符號表示—解決問題)這一數(shù)學(xué)活動過程,積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn),體會數(shù)學(xué)的簡潔美和數(shù)形結(jié)合的思想方法.培養(yǎng)他們合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的意識.

      通過幾方面的合力,提高學(xué)生歸納概括、邏輯推理等核心素養(yǎng)水平.

      四、教學(xué)重難點(diǎn)

      教學(xué)重點(diǎn):體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程,理解公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征,能用自己的語言說明公式及其特點(diǎn);并會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算.

      教學(xué)難點(diǎn):從廣泛意義上理解公式中的字母含義,具體問題要具體分析,會運(yùn)用公式進(jìn)行計算.

      五、信息技術(shù)應(yīng)用思路

      1.本課運(yùn)用了信息技術(shù)輔助教學(xué),主要使用的技術(shù)有:PPT課件、幾何畫板.

      2.使用幾何畫板技術(shù),演示利用動態(tài)繪圖軟件研究周期性快速切換、更改周期,形象演示圖形變化,利用面積法推導(dǎo)平方差公式;在導(dǎo)入、難點(diǎn)突破、練習(xí)鞏固等環(huán)節(jié)使用信息技術(shù).

      3.預(yù)期效果:激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;找準(zhǔn)并突破難點(diǎn);提高課堂學(xué)習(xí)效率.整個教學(xué)過程用PPT節(jié)約了時間,使課容量適中;多媒體更能吸引學(xué)生的注意力,更利于課堂的完整.

      六、教學(xué)過程設(shè)計

      (一)創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入課題

      問題1:美麗壯觀的城市廣場,是人們休閑旅游的地方,已經(jīng)成為現(xiàn)代化城市的一道風(fēng)景線.某城市廣場呈長方形,長為1003米,寬997米.

      你能用簡便的方法計算出它的面積嗎?看誰算得快:

      師生活動:學(xué)生欣賞圖片,感受生活中的數(shù)學(xué)問題,并進(jìn)行生活中的數(shù)學(xué)向數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換.

      信息技術(shù)支持:PPT演示由現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題入手,創(chuàng)設(shè)情境,從中挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題.

      (二)探索新知,嘗試發(fā)現(xiàn)

      問題2:時代中學(xué)計劃將一個邊長為m米的正方形花壇改造成長(m+1)米,寬為(m-1)米的長方形花壇.你會計算改造后的花壇的面積嗎?

      計算下列多項式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

      (1)(m+1)(m-1)=;

      (2)(5+x)(5-x)=;

      (3)(2x+1)(2x-1)=.

      師生活動:學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過小組討論探究,進(jìn)行多項式的乘法,計算出結(jié)論.

      信息技術(shù)支持:PPT動畫演示.

      結(jié)論是一個平方減去另一個平方的形式,效果十分鮮明.

      (三)總結(jié)歸納,發(fā)現(xiàn)新知

      問題3:依照以上三道題的計算回答下列問題:

      (1)式子的左邊具有什么共同特征?

      (2)它們的結(jié)果有什么特征?

      (3)能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)?

      問題4:你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?

      教師提問,學(xué)生通過自主探究、合作交流,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

      師生活動:學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過小組討論探究,歸納平方差公式的語言敘述.式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,右邊是這兩個數(shù)的平方差,

      信息技術(shù)支持:PPT和幾何畫板演示,培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識和合情推理的能力以及概括總結(jié)知識的能力.

      (四)數(shù)形結(jié)合,幾何說理

      問題5:在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形,然后把剩余的兩個長方形拼成一個長方形,你能用這兩個圖形的面積說明平方差公式嗎?

      提示:a2-b2與(a+b)(a-b)都可表示該圖形的面積.

      師生活動:通過學(xué)生小組合作,完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.

      信息技術(shù)支持:PPT演示,進(jìn)一步利用動畫的演示鞏固對平方差公式的理解程度,培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.

      (五)剖析公式,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

      1.左邊是兩個二項式相乘,其中“a與a”是相同項,“b與-b”是相反項;右邊是二項式,相同項與相反項的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2.

      2.讓學(xué)生說明以上四個算式中,哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b,明確公式中a和b的廣泛含義,歸納得出:a和b可能數(shù)或代表式.

      師生活動:在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義,抓住概念的核心.

      信息技術(shù)支持:通過PPT練習(xí)實(shí)現(xiàn)了知識向能力的轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生主動嘗試運(yùn)用所學(xué)知識尋求解決問題.

      (六)鞏固運(yùn)用,內(nèi)化新知

      問題6:判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計算:

      (1)(2x+3a)(2x–3b);

      (2)(-m+n)(m-n).

      問題7:利用平方差公式計算:

      (1)(3x+2y)(3x-2y);

      (2)(-7+2m2)(-7-2m2).

      師生活動:學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流,進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征,掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件.

      信息技術(shù)支持:PPT展示書寫步驟,有利于節(jié)省時間,提高效率,規(guī)范學(xué)生書寫.

      (七)拓展應(yīng)用,強(qiáng)化思維

      問題8:利用平方差公式計算情景導(dǎo)航中提出的問題:

      即:1003×997=(1000+3)(1000-3)=10002-32=1000000-9=999991.

      問題9:小明家有一塊“L”形的自留地,現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分,種上兩種不同的蔬菜,請你來幫小明設(shè)計,并算出這塊自留地的面積.

      師生活動:設(shè)計此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式,由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項,關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征,同時訓(xùn)練了學(xué)生逆向思維能力.

      信息技術(shù)支持:PPT展示書寫步驟,有利于節(jié)省時間.

      (八)總結(jié)概括,自我評價

      問題10:這節(jié)課你有哪些收獲?還有什么困惑?

      提示:從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結(jié).

      師生活動:使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認(rèn)識,分組討論后交流.

      信息技術(shù)支持:PPT演示,復(fù)習(xí)、鞏固本節(jié)課的知識,在掌握基礎(chǔ)知識的前提下,增加提高練習(xí),適當(dāng)增加靈活度,進(jìn)一步深化對知識的理解.

      (九)課后作業(yè)

      1.必做題:課本P36習(xí)題2.1A組1、2.

      2.選做題:課本P36習(xí)題2.1B組1、2.

      作業(yè)分層處理有較大的彈性,體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則,尊重學(xué)生的個體差異.

      七、教學(xué)反思

      1.本節(jié)課通過與學(xué)生生活緊密聯(lián)系問題及多媒體圖畫設(shè)計引入,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,同時在教學(xué)中以學(xué)生自主探究為主,為不同學(xué)生設(shè)計練習(xí),有利于提升了學(xué)生的自信心.

      2.多媒體的應(yīng)用能使學(xué)生充分體驗(yàn)到教育信息技術(shù)的優(yōu)點(diǎn),在操作過程中體會學(xué)習(xí)的快樂,特別是操作簡單,學(xué)習(xí)效率大大提升,在學(xué)習(xí)過程中使教學(xué)軟件與本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合在一起,使學(xué)生的思維始終關(guān)注學(xué)科本質(zhì).

      3.信息技術(shù)的應(yīng)用,便于及時發(fā)現(xiàn)問題,反饋教學(xué),使教與學(xué)更有層次性、針對性、實(shí)效性.教師要善于抓住這個契機(jī),充分利用多媒體技術(shù),利用圖形結(jié)合功能,降低難度,增強(qiáng)直觀性.信息技術(shù)的應(yīng)用大大提高了課堂效率.

      七年級數(shù)學(xué)下冊《用平方差公式分解因式》導(dǎo)學(xué)案2


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      七年級數(shù)學(xué)下冊《用平方差公式分解因式》導(dǎo)學(xué)案2
      3.3公式法
      第2課時用完全平方公式分解因式
      教學(xué)目標(biāo)
      會用完全平方公式對多項式進(jìn)行因式分解;
      經(jīng)歷探索運(yùn)用完全平方公式分解因式的過程,體會逆向思維的作用,滲透化歸思想.
      體會從正、反兩個方向認(rèn)識和研究事物的方法。
      重點(diǎn)難點(diǎn)
      重點(diǎn)
      能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解。
      難點(diǎn)
      準(zhǔn)確判斷多項式是否符合完全平方公式的特點(diǎn)。
      教學(xué)過程
      一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入
      整式乘法與因式分解的過程是互逆的,如果把學(xué)過的乘法公式反過來,則可以進(jìn)行某些多項式的因式分解,上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用平方差公式因式分解。想一想,我們還學(xué)習(xí)了什么乘法公式?
      鼓勵學(xué)生回答,完全平方公式:
      ,
      二、公式探究
      1.把乘法公式反過來,就是因式分解的公式:
      ,
      用語言敘述為:兩個數(shù)的平方和,加上(或減去)這兩數(shù)的乘積的2倍,等于這兩數(shù)和(或差)的平方。
      那么什么樣的多項式可以用這個公式因式分解呢?請大家互相交流,找出這個多項式的特點(diǎn)。
      多項式的特點(diǎn):(1)多項式是三項式;
      (2)其中兩項可以寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式,另一項是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍。
      具有上述特點(diǎn)的多項式稱為完全平方式。
      如果一個多項式是完全平方式,就可以用公式因式分解。
      2.下列多項式是不是完全平方式?
      (1);(2);(3);(4)
      學(xué)生口答并敘述自己的判定理由。
      三、典例剖析
      例1把因式分解.
      教師引導(dǎo)學(xué)生觀察,這個多項式是不是完全平方式?公式里的指的是什么?
      分析后板書過程,規(guī)范書寫格式。

      解:

      練習(xí):
      填空:(若某一欄不適用,填入“不適用”)

      多項式能否表示成或的形式
      各表示什么

      例2把下列多項式因式分解:
      (1);(2);
      (3);(4)
      教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上去觀察多項式是不是完全平方式,或者做適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化成完全平方式。學(xué)生思考后得到:第(1)題要把看成一個整體;第(2)題把三項都添進(jìn)帶負(fù)號的括號;第(3)題把變形成;第(4)題先化簡整理成一個多項式。
      板書解題過程,規(guī)范書寫格式。
      師生共同總結(jié)分解步驟:(1)將多項式轉(zhuǎn)化成完全平方式;(2)用完全平方公式因式分解。
      例3把下列多項式因式分解:
      (1);(2)
      學(xué)生獨(dú)立思考,小組內(nèi)交流后得到因式分解的一般步驟:(1)若有公因式先提公因式(2)若沒有公因式則轉(zhuǎn)化成公式的形式,用公式法進(jìn)行因式分解。
      注意,因式分解一定要分解到每個因式都不能再分解為止。
      四、課堂練習(xí)
      基礎(chǔ)訓(xùn)練:
      1.把下列多項式因式分解:
      (1);(2);
      (3);(4).
      學(xué)生獨(dú)立完成,小組內(nèi)自主糾錯,教師巡視點(diǎn)撥。
      提高訓(xùn)練
      2.把下列多項式因式分解:
      (1);(2);
      (3);(4).
      鼓勵學(xué)生認(rèn)真觀察和分析,在整體和轉(zhuǎn)化的思想指導(dǎo)下,靈活地運(yùn)用所學(xué)的方法進(jìn)行因式分解。
      五、小結(jié)
      讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲,還存在的問題。
      總結(jié)概括出:1.平方差公式的特點(diǎn);
      2.完全平方公式的特點(diǎn);
      3.因式分解的一般步驟;
      4.整體和轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用。
      先讓學(xué)生總結(jié)歸納,再共同概括,教師點(diǎn)明注意問題。
      六、布置作業(yè)
      教材P67第2題,第5題.

      七年級數(shù)學(xué)下冊《用平方差公式分解因式》導(dǎo)學(xué)案1


      七年級數(shù)學(xué)下冊《用平方差公式分解因式》導(dǎo)學(xué)案1

      3.3公式法
      第1課時用平方差公式分解因式
      教學(xué)目標(biāo)
      經(jīng)歷用平方差公式因式分解的探索過程;
      會用平方差公式對多項式進(jìn)行因式分解;
      經(jīng)歷探索運(yùn)用平方差公式分解因式的過程,體會逆向思維的作用,滲透化歸思想.
      體會從正、反兩個方向認(rèn)識和研究事物的方法。
      重點(diǎn)難點(diǎn)
      重點(diǎn)
      能靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。
      難點(diǎn)
      對平方差公式特點(diǎn)的理解和把握。
      教學(xué)過程
      一、復(fù)習(xí)回顧
      1.什么特點(diǎn)的多項式可以用提公因式法進(jìn)行因式分解?
      2.如果一個多項式的各項沒有公因式,是否就不能因式分解了呢?
      通過討論,感受到還需要尋找其它方法
      3.觀察乘法公式:
      大家判斷一下,把這個式子反過來,從右邊到左邊地使用,是否是因式分解?
      學(xué)生觀察、討論:反過來就是
      根據(jù)因式分解的定義,這是因式分解。
      教師總結(jié):把乘法公式從右到左地使用,就可以把某些形式的多項式進(jìn)行因式分解,這種因式分解的方法叫做公式法。
      什么形式的多項式可以用平方差公式進(jìn)行因式分解?怎樣分解呢?
      二、公式探究
      1.請大家觀察公式左邊的式子,找出它的特點(diǎn)。
      學(xué)生討論交流,并用數(shù)學(xué)語言敘述:是一個二項式,每一項都可以化成整式的平方,整體看是兩個整式的平方差。體會式子中的字母可以是單項式,也可以是多項式。
      2.師生共同歸納:如果一個二項式,它能夠化成兩個整式的平方差,就可以用平方差公式因式分解,分解成兩個整式的和與這兩個整式的差的積。
      3.把下列多項式因式分解:
      (1);(2);(3);(3)
      學(xué)生口答,教師給予肯定或點(diǎn)撥。
      三、典例剖析
      例1把下列多項式因式分解.
      (1);(2)
      教師引導(dǎo)學(xué)生將每個多項式化成兩個單項式的平方差,利用平方差公式因式分解,板書分解過程.
      注意,因式分解要進(jìn)行到不能分解為止。
      專項訓(xùn)練:
      填空:
      (1);(2);(3);(4)
      例2把因式分解.
      教師引導(dǎo)學(xué)生觀察多項式的特點(diǎn),是否是兩個整式的平方差,體會兩個多項式的平方差也可以用公式來分解。教師板書解答過程,強(qiáng)調(diào)步驟清晰、運(yùn)算仔細(xì)。
      例3把因式分解.
      教師引導(dǎo)學(xué)生觀察多項式的特點(diǎn),雖不能直接轉(zhuǎn)化成兩項的平方差,但兩項有公因式,可以先提取公因式,再用公式。
      教師板書解答過程后,引導(dǎo)學(xué)生歸納分解因式的一般步驟:(1)若有公因式先提公因式(2)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)的平方差形式(3)用公式法進(jìn)行因式分解。
      四、課堂練習(xí)
      基礎(chǔ)訓(xùn)練:
      1.把下列多項式因式分解:
      (1);(2);(3);
      (4);(5);(6);(7)
      學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí),練習(xí)的過程中注意模仿教師的解答過程。然后以小組為單位討論交流,并派代表闡述自己的心得體會,其他同學(xué)做補(bǔ)充。
      提高訓(xùn)練
      2.用簡便方法計算:
      (1);(2)
      3.手表表盤的外圓直徑D=3.2cm,內(nèi)圓直徑d=2.8cm,在外圓與內(nèi)圓之間涂有防水材料。試求涂上防水材料的圓環(huán)的面積(結(jié)果保留)。怎樣計算較簡便?
      五、小結(jié)
      對本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中的收獲進(jìn)行總結(jié):(1)因式分解的兩種方法;(2)平方差公式的特點(diǎn);(3)化歸的思想方法。
      先讓學(xué)生總結(jié)歸納,再共同概括,教師點(diǎn)明注意問題。
      六、布置作業(yè)
      教材P66第1題,P67第3,6題.

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