高中函數(shù)與方程教案

4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在。

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽課，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？經(jīng)過(guò)搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

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函數(shù)的性質(zhì)

《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座
第四講—函數(shù)的基本性質(zhì)
一．課標(biāo)要求(例題5，練習(xí)題7，習(xí)題9)
1．通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；
2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
二．命題走向
從近幾年來(lái)看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。
預(yù)測(cè)2011年高考的出題思路是：通過(guò)研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。
預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是：
（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。
三．要點(diǎn)精講
1．單調(diào)性
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；
注意：
○1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；
○2必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2)
（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。
（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射
g:x→u=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)
y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；
②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。
（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟
利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：
○1任取x1，x2∈D，且x1x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3變形（通常是因式分解和配方）；
○4定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；
○5下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。
（5）簡(jiǎn)單性質(zhì)
①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；
②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；
③在公共定義域內(nèi)：
增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；
增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。

2．奇偶性
（1）定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；
如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.
如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。
注意：
○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；
例如：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但是不能說(shuō)它在整個(gè)定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的，只能說(shuō)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
○2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。
（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
○2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；
○3作出相應(yīng)結(jié)論：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。
（3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：
①圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。
注意：
○1函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
○2函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對(duì)于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）．函數(shù)的最值的求法
①若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。
②利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
③基本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時(shí)常用此法（但有注意等號(hào)是否取得）。
④導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，一般采用此法
⑤數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。
4．周期性
（1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；
（2）性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)T，則稱它為f(x)的最小正周期；
②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。
（3）周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點(diǎn)，主要難點(diǎn)是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況：
①函數(shù)值之和等于零型，
即函數(shù)對(duì)于定義域中任意滿足，則有，故函數(shù)的周期是
②函數(shù)圖象有，兩條對(duì)稱軸型。
函數(shù)圖象有，兩條對(duì)稱軸，即，，從而得，故函數(shù)的周期是
③兩個(gè)函數(shù)值之積等于，即函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)型
若，則得，所以函數(shù)的周期是；同理若，則的周期是
四．典例解析
題型一判斷證明函數(shù)的單調(diào)性
例1．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。
（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。
解：（1）依題意，對(duì)一切，有，即。
∴對(duì)一切成立，則，∴，
∵，∴。
（2）(定義法)設(shè)，則
，
由，得，，
∴，
即，∴在上為增函數(shù)。
（導(dǎo)數(shù)法）∵，
∴
∴在上為增函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。
例2．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> 分解基本函數(shù)為、
顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：
所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。
（2）解：，，
令，得或，
令，或
∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。
點(diǎn)評(píng)：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。
練習(xí)1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函數(shù)
在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
2．（2007天津改編）在上定義的函數(shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（）
A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
[解析]C；由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由在區(qū)間是減函數(shù)知在區(qū)間是增函數(shù)，又由及是奇函數(shù)，得到
，進(jìn)而得，所以是以4為周期的函數(shù)，故在上是減函數(shù)。
題型二：判斷函數(shù)的奇偶性
例3．討論下述函數(shù)的奇偶性：

解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，
，
∴f(x)為偶函數(shù)；
（另解）先化簡(jiǎn)：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡(jiǎn)后再解決要容易得多。
（2）須要分兩段討論：
①設(shè)方法正確解題過(guò)程不對(duì)！
②設(shè)
③當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，對(duì)x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)；
（3），∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> ∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn)A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過(guò)程（要保證定義域不變）。
例4．(2002天津文.16)設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫正確答案的序號(hào)）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。③可以看成y=－f（－x）,那么－f（x）≠—y所以③不正確。
點(diǎn)評(píng)：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對(duì)學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。
題型三：最值問題
例題5（2000年上海）已知函數(shù)
當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
[解題思路]當(dāng)時(shí)，，這是典型的“對(duì)鉤函數(shù)”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；
[解析]當(dāng)時(shí)，
，。在區(qū)間上為增函數(shù)。
在區(qū)間上的最小值為。
【名師指引】對(duì)于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號(hào)是否成立，否則會(huì)得到
而認(rèn)為其最小值為，但實(shí)際上，要取得等號(hào)，必須使得，這時(shí)
所以，用均值不等式來(lái)求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；
題型四：周期問題
例題6．（執(zhí)信中學(xué)09屆訓(xùn)練題）設(shè)是定義在上的正值函數(shù),且滿足
.若是周期函數(shù),則它的一個(gè)周期是（）
.；.；.；.
[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得
，，
，所以，即的一個(gè)周期是6
例題7．（06年安徽改編）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________
[解析]；由得，進(jìn)而得
所以
例題8．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為（）
A．B．C．D．
解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對(duì)稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x)=f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一個(gè)周期為2b－2a，
故知f(x)的一個(gè)周期為4(b－a)。選項(xiàng)為D。
點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱（a≠b），則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。
例題9．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵是以為周期的周期函數(shù)，
∴，
又∵是奇函數(shù)，
∴，
∴。
②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函數(shù)，
∴，
又知在上是一次函數(shù)，
∴可設(shè)，而，
∴，∴當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，。
∴當(dāng)時(shí)，有，
∴。
當(dāng)時(shí)，，
∴
∴。
點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。

五．思維總結(jié)
1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；
2．對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映；
3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；
4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。
5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集。
6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)一般用于簡(jiǎn)單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。

巧解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“巧解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)變式
1．三角函數(shù)圖象變換：
將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？

變式1：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：（1）先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．

變式2：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：（1）先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變），即可得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．

變式3：將函數(shù)的圖像作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像？
解：
另解：
（1）先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；
（2）再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；
（3）再將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到函數(shù)的圖象．

2．三角函數(shù)性質(zhì)
求下列函數(shù)的最大、最小值以及達(dá)到最大(小)值時(shí)的值的集合．
(1)；(2)

變式1：已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于（）
（A）（B）（C）2（D）3
答案選B

變式2：函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）
B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）
D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
答案選A．因?yàn)楹瘮?shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間．

變式3：關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：
①對(duì)任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；
②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
③存在，使f（x）是奇函數(shù)；
④對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。
其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。
答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）=sinx是奇函數(shù)．當(dāng)=2（k+1）π，k∈Z時(shí)f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)．當(dāng)=2kπ+，k∈Z時(shí)，f（x）=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時(shí)，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù)．所以②和③都是正確的．無(wú)論為何值都不能使f（x）恒等于零．所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．①和④都是假命題．

函數(shù)方程

競(jìng)賽講座15
-函數(shù)方程
一、相關(guān)知識(shí)
函數(shù)方程的解是

函數(shù)方程的解是

二、函數(shù)方程的題型
許多函數(shù)方程的解決僅以初等數(shù)學(xué)為工具，解法富于技巧，對(duì)人類的智慧具有明顯的挑戰(zhàn)
意味，因此，函數(shù)方程是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一種常見的題型。
1、確定函數(shù)的形式
尚無(wú)一般解法，需因題而異，其解是多樣的：有無(wú)限多解的，有有限個(gè)解的，有可能無(wú)解（如：方程無(wú)解）。
2、確定函數(shù)的性質(zhì)
3、確定函數(shù)值
三、求函數(shù)的解析式
1、換元法
例題1、設(shè)函數(shù)滿足條件，求。

例題2、設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集，且滿足條件，求。

：函數(shù)在處沒有定義，但對(duì)所有非零實(shí)數(shù)有：，求。
答案：
：求滿足條件的。

2、賦值法
例題1、設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，且，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，都有：
，求。

例題2、設(shè)函數(shù)定義于自然數(shù)集上，且，若對(duì)于任意自然數(shù)、，都有：，求。

四、究函數(shù)的性質(zhì)
例題、設(shè)函數(shù)定義于上，且函數(shù)不恒為零，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，恒有：。
①求證：
②求證：
③求證：

：若對(duì)常數(shù)和任意，等式都成立，求證：函數(shù)是周期函數(shù)。
：設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，函數(shù)不恒為零，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，都有：，求證：。

函數(shù)的概念與性質(zhì)

函數(shù)的概念與性質(zhì)
一、學(xué)習(xí)要求
①了解映射的概念，理解函數(shù)的概念；
②了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性奇偶性的方法；
③了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)；
④理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；
⑤理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；⑥能夠應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單實(shí)際問題．

二、兩點(diǎn)解讀
重點(diǎn)：①求函數(shù)定義域；②求函數(shù)的值域或最值；③求函數(shù)表達(dá)式或函數(shù)值；④二次函數(shù)與二次方程、二次不等式相結(jié)合的有關(guān)問題；⑤指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)；⑥求反函數(shù)；⑦利用原函數(shù)和反函數(shù)的定義域值域互換關(guān)系解題．
難點(diǎn)：①抽象函數(shù)性質(zhì)的研究；②二次方程根的分布．

三、課前訓(xùn)練
1．函數(shù)的定義域是（D）
（A）（B）（C）（D）
2．函數(shù)的反函數(shù)為（B）
（A）（B）
（C）（D）
3．設(shè)則．
4．設(shè)，函數(shù)是增函數(shù)，則不等式的解集為(2,3)

四、典型例題
例1設(shè)，則的定義域?yàn)椋ǎ?br> （A）（B）
（C）（D）
解：∵在中，由，得，∴，
∴在中，．
故選B
例2已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）
（A）（B）（C）（D）
解：∵是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴；又當(dāng)時(shí)，，∴，∴，且，解得：．∴綜上，，故選C
例3函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則
解：∵函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，
∴，即的周期為4，
∴，
∴
例4設(shè)的反函數(shù)為,若×
，則2
解：
∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2
（另解∵,
∴）
例5已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)為何值時(shí)，大于3且小于3？
解：令，則方程
的兩個(gè)實(shí)根可以看成是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)（如圖所示），
故有：，所以：，
解之得：
例6已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)．如果函數(shù)的值域?yàn)椋骲的值；
解：函數(shù)的最小值是，則＝6，∴；