小學圓的教案

圓、扇形、弓形的面積(三)。

老師會對課本中的主要教學內(nèi)容整理到教案課件中，大家應該開始寫教案課件了。我們制定教案課件工作計劃，才能對工作更加有幫助！你們會寫多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“圓、扇形、弓形的面積(三)”，僅供您在工作和學習中參考。

教學目標：

1、簡單組合圖形的分解；

3、通過簡單組合圖形的分解，培養(yǎng)學生的觀察能力、發(fā)散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力．

4、通過對S△與S扇形關(guān)系的探討，進一步研究正多邊形與圓的關(guān)系，培養(yǎng)學生抽象思維能力和歸納概括能力．

教學重點：

簡單組合圖形的分解．

教學難點：

正確分解簡單的組合圖形．

教學過程：

一、新課引入：

上節(jié)課學習了弓形面積的計算，并且從中獲得了簡單組合圖形面積的計算可轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和與差來解決的方法．今天我們繼續(xù)學習“7．20圓、扇形、弓形的面積(三)”，鞏固化簡單組合圖形為規(guī)則圖形和與差的方法．

學生在學習弓形面積計算的基礎(chǔ)上，獲得了通過分解簡單組合圖形，計算其面積的方法．但要正確分解圖形，還需一定題量的練習，所以本堂課為學生提供練習題讓學生們互相切磋、探討．通過正多邊形的有關(guān)計算的復習進一步理解正多邊形與圓的關(guān)系，隨著正多邊形邊數(shù)增加，周長越來越趨向于圓的周長，面積越來越趨向于圓的面積，使學生初步體會極限的思想，了解S△與S扇形之間的關(guān)系．

二、新課講解：

(復習提問)：1．圓面積公式是什么？2．扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3．當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4．當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5．當弓形的弧是優(yōu)弧時，其面積怎樣求？(以上各題均安排中下生回答．)

(幻燈顯示題目)：如圖7-168，已知⊙O上任意一點C為圓心，以R

從題目中可知⊙O的半徑為R，“以⊙O上任意一點C為圓心，以R為半徑作弧與⊙O相交于A、B．”為我們提供的數(shù)學信息是什么？(安排中上生回答：A、B到O、C的距離相等，都等于OC等于R．)

轉(zhuǎn)化為弓形面積求呢？若能，輔助線應怎樣引？(安排中等生回答：能，連結(jié)AB．)

大家觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)我們所求圖形實質(zhì)是兩個弓形的組合，即

倍？(安排中下生回答：因已知OA=OC=AC所以△OAC是等邊三角

同學們討論研究一下，S△AOB又該如何求呢？(安排中上等生回答：求S△AOB，需知AB的長和高的長，所以設(shè)OC與AB交點為D．∵∠AOC=60°，OA=R∴解Rt△AOD就能求出AB與高OD．)連結(jié)OC交AB于D怎么就知OD⊥AB？(安排中等生回答：根據(jù)垂徑定理∵C是AB中點．)

同學們互相研究看，此題還有什么方法？

下面給出另外兩種方法，供參考：

幻燈展示題目：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積．

請同學們仔細觀察圖形，思考如何分解這個組合圖形．同學間互相討論、研究、交流看法：

現(xiàn)將學生可能提出的幾種方案列出，供參考：

方案1．S陰=S正方形-4S空白．觀察圖形不難看出SⅡ+SⅣ=S正方形-

方案2．觀察圖形，由于正方形ABCD∴∠AOB=90°，由正方形的軸對稱性可知陰影部分被分成八部分．觀察發(fā)現(xiàn)半圓AOB的面積-△

即可．即S陰=4S瓣而S瓣=S半⊙-S△AOB∴S陰=4．(S半⊙-S△AOB)=2S⊙-4S△AOB=2S⊙-S正方形．Jab88.COM

方案4．觀察扇形EAO，一瓣等于2個弓形，一個S弓形=S扇OA-

方案5．觀察Rt△ABC部分．用半圓BOC與半圓AOB去蓋Rt△ABC，發(fā)現(xiàn)這兩個半圓的和比Rt△ABC大，大出一個花瓣和兩個弓形，而這兩個弓形的和就又是一個瓣．因此有2個S瓣=2個S半圓-SRt△ABC=

方案6．用四個半圓蓋正方形，發(fā)現(xiàn)其和比正方形大，大的部分恰是S即：

在學生們充分討論交流之后，要求學生仔細回味展示出來的不同解法．尤其要琢磨這些解法是怎樣觀察、思考的．

幻燈展示練習題：1．如圖7-176，已知正△ABC的半徑為R，則它的外接圓周長是____；內(nèi)切圓周長是____；它的外接圓面積是____；

2．如圖7-177，已知正方形ABCD的半徑R，則它的外接圓周長是____；內(nèi)切圓周長是____；它的外接圓面積是____；它的內(nèi)切圓面積

3．如圖7-178，已知正六邊形ABCDEF的半徑R，則它的外接圓的周長是____；內(nèi)切圓周長是____；它的外接圓

將上面三片復合到一起．如圖7-179，讓學生觀察，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，周長和面積有什么變化？(安排中等學生回答：隨著正多邊形邊數(shù)的增加，周長越來越接近圓的周長，面積越來越接近圓的面積．)正因為如此，所以古代人用增加正多邊形邊數(shù)的方法研究圓周率π，研究圓的周長與圓的面積的計算．

大家再觀察，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，邊長越來越接近于弧，再看正多邊形的邊心距越來越接近于圓的半徑，所以以邊長為底，邊心距

三、課堂小結(jié)：

安排學生歸納所學知識內(nèi)容：1．簡單組合圖形的分解；2．復習了正多邊形的計算以及以此為例，復習了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算．進一步理解了正多邊形和圓的關(guān)系定理．

四、布置作業(yè)

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圓、扇形、弓形的面積(二)

教案課件是老師不可缺少的課件，大家應該開始寫教案課件了。只有寫好教案課件計劃，才能夠使以后的工作更有目標性！你們知道哪些教案課件的范文呢？下面是小編為大家整理的“圓、扇形、弓形的面積(二)”，希望對您的工作和生活有所幫助。

教學目標：

1、使學生在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎(chǔ)上，會計算弓形面積；

2、會計算一些簡單的組合圖形的面積．

3、通過弓形面積的計算培養(yǎng)學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

4、通過運用弓形面積的計算解決實際問題，培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學問題的能力；

5、通過學生對弓形及簡單組合圖形面積的計算，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力．

教學重點：

弓形面積的計算．

教學難點：

(1)簡單組合圖形的分解．

(2)從實際問題中抽象出數(shù)學模型．

教學過程：

一、新課引入：

上一節(jié)我們復習了圓的面積，在它的基礎(chǔ)上我們學習了扇形的面積，本節(jié)課就要在前一課的基礎(chǔ)上學習弓形面積的計算．

弓形是一個最簡單的組合圖形之一，由于有圓的面積、扇形面積、三角形面積做基礎(chǔ)，很容易計算弓形的面積．

由于計算弓形的面積不像圓面積和扇形面積那樣有公式，當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半．也就是說要計算弓形的面積首先要觀察這個弓形是怎么組合而成的，從而得到啟發(fā)；一些組合圖形的面積總要分解為幾個規(guī)則圖形的和與差來解決的方法．所謂規(guī)則圖形指的是有計算公式的圖形．因此弓形面積的計算以及受它啟發(fā)的分解組合圖形求面積的方法就是本節(jié)課的重點．本節(jié)擬就三部分組成：1．師生共同觀察分解弓形，然后作有關(guān)的練習．2．運用弓形面積的計算解決實際問題．3．受分解弓形的啟發(fā)分解一些簡單的圖形．

二、新課講解：

(復習提問)：1．請回答圓的面積公式．2．請回答扇形的面積公

(以上三問應安排中下生回答)4．請同學看圖7-163，弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形，哪位同學記得弓形的定義？(安排中下生回答：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．)

所組的弓形．它的面積能不能跟扇形面積聯(lián)系上呢？(安排中上生回答：能，連結(jié)OA、OB)．大家再觀察圖形，這個弓形的面積如何通過扇形

也就是說組成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面積應該等于以此劣弧與半徑組成的扇形面積減去這兩半徑與弦組成的三角形的面積．

和半徑OA、OB組成的圖形是扇形嗎？為什么？(安排中上生回答：是，因為它符合扇形的定義．)

如果弦AB是⊙O的直徑，那么以AB為弦，半圓為弧的弓形的面積又是多少？(安排中下生回答：圓面積的一半．)

于是我們得出結(jié)論：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優(yōu)弧，則它的面積等于以此優(yōu)弧為弧的扇形面積加上三角形的面積．也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣??？優(yōu)??？只有對它分解正確才能保證計算結(jié)果的正確．

哪位同學知道要對這種題進行計算，首先要作什么工作？(安排中下

三角形AOB的面積怎么求？(安排中上生回答：過O作OD⊥AB，垂

以只要解此△AOD即可求出OD、AD的長，則S△AOB可求．)

請同學們把這題計算出來．(安排一學生上黑板做，其余在練習本上

請同學們討論研究第2題，并計算出它的結(jié)果．(安排中上生上黑板

(幻燈提供例題：)水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面積．(精確到0.01m2)

“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數(shù)學信息？(安排中上生回答：⊙O的半徑是0.6m．)“其中水面高是0.3m”．又為你提供了什么信息？(安排中上生回答：弓形高CD是0.3m．)“求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？(安排中等生回答：

長，看看已知條件，你打算怎么辦？(安排中上學生回答：因弓形高CD已知，半徑已知，所以弦心距OD可求，根據(jù)垂徑定理，Rt△AOD可解，即∠AOD的度數(shù)可求，所以∠AOB的度數(shù)可求．n既然可求當然

請問△AOB的面積又該如何求？(安排中等學生回答：通過解此△AOD可求出AD的長，再據(jù)垂徑定理可求AB的長，OD已求，所以S△AOB可求．)

請同學們完成這道應用題．(安排一位中上學生到黑板做，其余學生在練習本上完成)．

弓形面積雖然沒有計算公式，但可以選用圖形分解法，將它轉(zhuǎn)化為扇形與三角形的和或差來解決，那么其它一些組合圖形，不也可以用圖形分解法來求其面積嗎？

幻燈示題：如圖7-166，已知正△ABC的邊長為a，分別以A、B、

圖形面積S．

顯然圖形中陰影部分的面積無計算公式，因此必須將它轉(zhuǎn)化為有公式圖形的和或差來解決．想想看，你打算如何求S陰？(安排中等生回答：S陰=S正△ABC-3S扇)

正三角形的邊長為a，顯然S正△ABC可求．由于正△ABC，所以∠

請同學們完成此題．(安排一中上學生上黑板，其余在練習本上完成)．

幻燈示題：已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，

大家觀察，圖(7-167)中的陰影部分面積應當如何求？(安排中下生回

我的看法對還是不對？為什么？(安排舉手的學生回答：圖形BCAD不是扇形，因為扇形的定義是在同一個圓中，一條弧和過弧端點的兩條半徑

的半徑．因此將陰影面積看成兩扇形的差是錯誤的．)

請同學們按照正確思路完成此題．(安排一中等學生上黑板，其余學生在練習本上做)

三、課堂小結(jié)：

哪位同學能為本節(jié)課作總結(jié)？(安排中上學生回答：1．弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優(yōu)弧還是劣弧，從而選擇分解方案．2．應用弓形面積解決實際問題．3．分解簡單組合圖形為規(guī)則圓形的和與差．)

四、布置作業(yè)

教材P．183練習1、2；P．188中12．

《圓、扇形、弓形》學案

《圓、扇形、弓形》學案

教學目標：

1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎(chǔ)上，會計算弓形面積；

2、培養(yǎng)學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

3、通過面積問題實際應用題的解決，向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實際的觀點．

教學重點：扇形面積公式的導出及應用．

教學難點：對圖形的分解和組合、實際問題數(shù)學模型的建立．

教學活動設(shè)計：

（一）概念與認識

弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．

弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形．弓形是一個最簡單的組合圖形之一．

（二）弓形的面積

提出問題：怎樣求弓形的面積呢？

學生以小組的形式研究，交流歸納出結(jié)論：

（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；

（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；

（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半．

理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優(yōu)弧，則它的面積等于以此優(yōu)弧為弧的扇形面積加上三角形的面積．也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣??？優(yōu)?。恐挥袑λ纸庹_才能保證計算結(jié)果的正確．

（三）應用與反思

練習：

(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；

(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______．

（學生獨立完成，鞏固新知識）

例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面積．(精確到0.01m2)

教師引導學生并滲透數(shù)學建模思想，分析：

（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數(shù)學信息？

（2）求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？

（3）扇形、三角形、弓形是什么關(guān)系，選擇什么公式計算？

學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法．

反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據(jù)條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉(zhuǎn)化為扇形與三角形的和或差來解決．

例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作．求與圍成的新月牙形ACED的面積S．

解：∵，

有∵，

，，

∴．

組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用．

（四）總結(jié)

1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優(yōu)弧還是劣弧，從而選擇分解方案；

2、應用弓形面積解決實際問題；

3、分解簡單組合圖形為規(guī)則圓形的和與差．

（五）作業(yè)教材P183練習2；P188中12．

弧長和扇形的面積

弧長及扇形的面積

教學目標

(一)教學知識點

1．經(jīng)歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程；

2．了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會應用公式解決問題．

(二)能力訓練要求

1．經(jīng)歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養(yǎng)學生的探索能力．

2．了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓練學生的數(shù)學運用能力．

(三)情感與價值觀要求

1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式，讓學生體驗教學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性以及數(shù)學結(jié)論的確定性．

2．通過用弧長及扇形面積公式解決實際問題，讓學生體驗數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高他們的學習積極性，同時提高大家的運用能力．

教學重點

1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程．

2．了解弧長及扇形面積計算公式．

3．會用公式解決問題．

教學難點

1．探索弧長及扇形面積計算公式

2．用公式解決實際問題．

教學方法

學生互相交流探索法

教具準備

2．投影片四張

第一張：(記作§3．7A)

第二張：(記作§3．7B)

第三張：(記作§3．7C)

第四張：(記作§3．7D)

教學過程

Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[師]在小學我們已經(jīng)學習過有關(guān)圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進行探索．

Ⅱ．新課講解

一、復習

1．圓的周長如何計算？

2．圓的面積如何計算？

3．圓的圓心角是多少度？

[生]若圓的半徑為r，則周長l＝2πr，面積S＝πr2，圓的圓心角是360°．

二、探索弧長的計算公式

投影片(§3．7A)

如圖，某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm．

(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

[師]分析：轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品應被傳送一個圓的周長；因為圓的周長對應360°的圓心角，所以轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送圓周長的；轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送轉(zhuǎn)1°時傳送距離的n倍．

[生]解：(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送2π×10＝20πcm；

(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送cm；

(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送n×＝cm．

[師]根據(jù)上面的計算，你能猜想出在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式嗎？請大家互相交流．

[生]根據(jù)剛才的討論可知，360°的圓心角對應圓周長2πR，那么1°的圓心角對應的弧長為，n°的圓心角對應的弧長應為1°的圓心角對應的弧長的n倍，即n×．

[師]表述得非常棒．

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為：

l＝．

下面我們看弧長公式的運用．

三、例題講解

投影片(§3．7B)

制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即的長(結(jié)果精確到0.1mm)．

分析：要求管道的展直長度，即求的長，根根弧長公式l＝可求得的長，其中n為圓心角，R為半徑．

解：R＝40mm，n＝110．

∴的長＝πR＝×40π≈76.8mm．

因此，管道的展直長度約為76.8mm．

四、想一想

投影片(§3．7C)

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗．

(1)這只狗的最大活動區(qū)域有多大？

(2)如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？

[師]請大家互相交流．

[生](1)如圖(1)，這只狗的最大活動區(qū)域是圓的面積，即9π；

(2)如圖(2)，狗的活動區(qū)域是扇形，扇形是圓的一部分，360°的圓心角對應的圓面積，1°的圓心角對應圓面積的，即×9π＝，n°的圓心角對應的圓面積為n×＝．

[師]請大家根據(jù)剛才的例題歸納總結(jié)扇形的面積公式．

[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，1°的圓心角對應的扇形面積為，n°的圓心角對應的扇形面積為n．因此扇形面積的計算公式為S扇形＝πR2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角．

五、弧長與扇形面積的關(guān)系

[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為l＝πR，n°的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝πR2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？請大家互相交流．

[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，

∴πR2＝RπR．∴S扇形＝lR．

六、扇形面積的應用

投影片(§3．7D)

扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120°，求的長(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2)

分析：要求弧長和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個問題就解決了．

解：的長＝π×12≈25.1cm．

S扇形＝π×122≈150.7cm2．

因此，的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2．

Ⅲ．課堂練習

隨堂練習

Ⅳ．課時小結(jié)

本節(jié)課學習了如下內(nèi)容：

1．探索弧長的計算公式l＝πR，并運用公式進行計算；

2．探索扇形的面積公式S＝πR2，并運用公式進行計算；

3．探索弧長l及扇形的面積S之間的關(guān)系，并能已知一方求另一方．

Ⅴ．課后作業(yè)

習題3．10

Ⅵ．活動與探究

如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的的長為6πcm，的長為10πcm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．

分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據(jù)扇形面積S＝lR，l已知，則需要求兩個半徑OC與OA，因為OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：設(shè)OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根據(jù)已知條件有：

得．

∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．

∴OC＝18＋12＝30．

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96πcm2．

所以陰影部分的面積為96πcm2．

板書設(shè)計

§3．7弧長及扇形的面積

一、1．復習圓的周長和面積計算公式；

2．探索弧長的計算公式；

3．例題講解；

4．想一想；

5．弧長及扇形面積的關(guān)系；

6．扇形面積的應用．

二、課堂練習

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)