高中向量的教案
發(fā)表時間：2020-10-13§3.2.3坐標法中解方程組求向量的有關問題。
§3.2.3坐標法中解方程組求向量的有關問題
【學情分析】：
教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,前面已經學習了直線的方向向量和平面的法向量，并且對坐標法也有一定的認識，本節(jié)課是進一步通過坐標法來解決立體幾何的一些問題。我們可以將這些問題，轉化為空間向量的代數運算和方程組來解決。
【教學目標】：
（1）知識與技能：能根據圖形的特點建立合適的空間坐標系并用坐標表示點和向量；對某個向量能用解方程組的方法求其坐標.
（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合與問題轉化的思想方法，加深對相關內容的理解。
（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。
【教學重點】：
解方程組求向量的的坐標.
【教學難點】：
解方程組求向量的的坐標..
【教學過程設計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖
一、復習引入
1．單位向量，平面的法向量
（1）單位向量－－模為1的向量。
（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。
2．坐標法。為探索新知識做準備.
二、探究與練習
一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”
學生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）
（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
二、例題
例1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求證：平面A1BC1的法向量為直線DB1的方向向量.
分析：（1）建立空間坐標系；
（2）用坐標表示向量
（3）設平面A1BC1的方向向量為n=(x,y,z)，由下列關系
列方程組求x,y,z.
（4）證明向量n//
（解略）
思考：有更簡單的方法嗎？
向量與、的數量積為零即可。
例2，ABCD是一個直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD與平面SBA所成二面角的余弦。
分析：求二面角的余弦，可以轉換為求它們的方向向量夾角的余弦。所以本題關鍵是求平面的法向量。
解：以A為原點建立空間直角坐標系，使點A、C、D、S的坐標分別為A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。
設平面
分析：建立坐標系，將向量坐標化，然后進行坐標形式下的向量運算。為簡化運算，可以選擇以三角形的一個頂點為原點、一條邊所在直線為一條軸、三角形所在平面為坐標平面的坐標系。
探究：不建立坐標系，如何解決這個問題？
――求每個力向上的分力。讓學生通過回顧尋找將立體幾何問題轉化為向量問題的步驟。（工作總結之家 wWw.dg15.CoM）
例1在建立坐標系后，比較簡單，容易把握。分析中的方法是為配合本次課的課題而設計的。
由學生回答本例的簡便解法。
例2是一個典型的通過解方程組求法向量的問題，這類問題可以不用作出二面角的平面角就求出結果。
取y＝2，因為只要向量的方向。
例3是數學與物理的綜合應用問題，求合力轉化為向量的加法。
幫助學生理解如何建立坐標系。
單位向量的模為1。
開拓學生思維。
三、訓練與提高1，課本P113第11題。
答案：3/8.學生進行提高訓練應用.
四、小結1．根據圖形特點建立合適的空間直角坐標系，用坐標表示點和向量，通過向量解決問題。
2．個別點和向量的坐標先假設，再列方程組來求出。反思歸納
五、作業(yè)課本P112，第6題和P113第10題。
練習與測試：
（基礎題）
1，已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若＝，則x＋y＋z＝．
答：0
2，把邊長為的正三角形沿高線折成的二面角，點到的距離是（）
A．B．C．D．
答：D
3，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果a與b為共線向量，則
A.x=1,y=1B.x=,y=－C.x=,y=－D.x=－,y=
解析：因為a=(2x,1,3)與b=(1,－2y,9)共線，故有==,∴x=,y=－,應選C.
答案：C
4，若空間三點A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共線，則p=__________,q=__________.
解析：∵A、B、C三點共線，則=λ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，
∴∴λ=，代入得p=3,q=2.
答案：32
（中等題）
5，棱長為a的正方體OABC—O1A1B1C1中，E、F分別為棱AB、BC上的動點，且AE=BF=x（0≤x≤a）.如圖，以O為原點，直線OA、OC、OO1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
⑴求證：A1F⊥C1E；
⑵當△BEF的面積取得最大值時，求二面角B1—EF—B的正切值.
證明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）
所以，由此得=0，
A1F⊥C1E
（2）當△BEF的面積取得最大值時，E、F應分別為相應邊的中點，可求得二面角B1—EF—B的正切值.
6，如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.
試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
解：以A為坐標原點，建立下圖所示的空間直角坐標系.
設DF=x，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).
∴=(1，－，－1)，=(1，0，1)，=(x,1,0).
∴=1－1=0，即D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF=0x－=0，即x=.
故當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.
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空間向量的坐標運算
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準備好教案，這是教師的任務之一。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實現教學目標。教案的內容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標運算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間向量的坐標運算高考要求
要使學生理解空間向量、空間點的坐標的意義，掌握向量加法、減法、數乘、點乘的坐標表示以及兩點間的距離、夾角公式通過解題，會應用空間向量的坐標運算解決立體幾何中有關平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點歸納
1空間直角坐標系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；
（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；
2．空間直角坐標系中的坐標：
在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．
3．空間向量的直角坐標運算律：
（1）若，，
則，
，
，
，，
．
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標
4模長公式：若，，
則，．
5．夾角公式：．
6．兩點間的距離公式：若，，
則，
或
題型講解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設面ABC的法向量，
則⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），單位法向量=±（，－，）
點評：一般情況下求法向量用待定系數法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標設為1，再求另兩個坐標平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應有兩解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點坐標和長度；
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件
解：（1）設P（x，y，z）是AB的中點，
則=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴點P的坐標是（2，1，），
dAB==
（2）設點P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則=
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標就是方程中x,y,z的系數），即為P的坐標應滿足的條件
點評：空間兩點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點為（，，），且|P1P2|=
例3棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點建立如圖所示的坐標系，
設存在點P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即點P與D1重合
∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，則有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）設SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，連結SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求
點評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應用向量的數量積直接計算，避免了作輔助線、平移轉化的麻煩，但需建立恰當的坐標系；解法二雖然避免了建系，但要選點、平移、作輔助線、解三角形
例5如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點
（1）求的長；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點評：①通過建立空間直角坐標系，點用三維坐標表示，向量用坐標表示，進行向量的運算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線一個需要經過嚴密推理論證的問題就這樣被簡單機械的運算代替了
②本題是高考題，標準答案的解法較為復雜，而運用代數向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應作為立體幾何復習的一個重點去掌握通過坐標法計算數量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點
例7如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側棱長為a
建立適當的坐標系，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標；⑵求AC1與側面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當的坐標系”，一般應使盡量多的點在數軸上或便于計算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐標系中，取A1B1的中點M，
于是M（0，），連結AM，MC1
則有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側面ABB1A1所成的角的正弦為：
=
∴AC1與側面ABB1A1所成的角為30°
例8棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點，（1）求EF長度；（2）求；3）求點A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點有關的問題，建立空間直角坐標系比較方便，適當建立坐標系后，正確地寫出相關點的坐標及向量然后進行運算即可得解
解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的數量cos==
A到EF的距離=
點評：點到直線的距離的向量求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應的距離
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）證明：，
，
設平面AGC的法向量為，
設平面BGC的法向量為，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
設平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設平面BGC的方程為：
則∴平面BGC的法向量為
點評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應坐標就是0；
②平面經過原點時平面方程中的常數項等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結：
1運用空間向量的坐標運算解決幾何問題時，首先要恰當建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進而寫出向量的坐標，再結合公式進行論證、計算，最后轉化為幾何結論
2本節(jié)知識是代數化方法研究幾何問題的基礎，向量運算分為向量法與坐標法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關系為重點利用兩個向量（非零）垂直數量積為零，可證明空間直線垂直；利用數量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線的距離等
學生練習
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果與為共線向量，則
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）與=（1，－2y，9）共線，故有==
∴x=，y=－應選C答案：C
2在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數是①點P關于x軸對稱點的坐標是P1（x，－y，z）②點P關于yOz平面對稱點的坐標是P2（x，－y，－z）③點P關于y軸對稱點的坐標是P3（x，－y，z）④點P關于原點對稱的點的坐標是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P關于x軸的對稱點為P1（x，－y，－z），關于yOz平面的對稱點為P2（－x，y，z），關于y軸的對稱點為P3（－x，y，－z）故①②③錯誤答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋與2－互相垂直，則k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4設OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則與的夾角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則||的值是__________
解析：設點P（x，y，z），則由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則||==答案：
8設點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根據共面向量定理，設=x+y（x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點確定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿、、方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）設BP=t，則CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的頂點是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）試求這個三角形的面積
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S=||||
=||||=
在本題中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11證明正三棱柱的兩個側面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因為異面對角線OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以OA⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為∶1
12如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E為AB的中點，F為PD的中點，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
則cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（a，－，0），F（0，，a）
則||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1則∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小為45°
課前后備注
向量的坐標表示與坐標運算
課時7向量平行的坐標表示（2）
【學習目標】
鞏固平面向量坐標的概念，掌握平行向量的坐標表示，并且能用它解決向量平行（共線）的有關問題。
【知識掃描】
1．共線向量的條件是有且只有一個實數λ使得=λ.()
2．設=(x1,y1)=(x2,y2)其中,則∥()x1y2-x2y1=0
注：（1）該條件不能寫成∵x1,x2有可能為0
（2）向量共線的條件有兩種形式：∥()
歸納:向量平行的坐標表示要注意正反兩方面，
即若則
【例題選講】
例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，
（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.
例2．已知點A（1，1），B（-1，5）及，，求點C、D、E的坐標，判斷向量是否共線。
例3．已知A、B、C三點的坐標分別為（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，
求證：
例4．已知四點A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。(1)求實數x,使兩向量，共線；（2）當向量，共線時，A、B、C、D四點是否在同一直線上？
例5．設向量=（k,12），=(4,5),=(10,k),當k為何值時，A、B、C三點共線。
例6．已知=2，=（-1，），且∥，求向量。
【課內練習】課本P75練習1-3
1．三點A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共線的條件為
2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三點共線，則C點坐標是
3．向量=（3，7），=（-3，），（），若∥，則x等于
4．已知=（1，2），=（x，1）,且(+2)∥(2-),則x的值為
【課后作業(yè)】
1．以下各向量中，與向量=（-5，4）平行的向量是
A（5k,4k）B()C(-10,2)D(-5k,-4k)
2．與=（15，8）平行的所有單位向量是
3．已知=（3，4），=（sinx，cosx）,且∥，則tanx=
4．已知=（-2，1-cos），=（1+cos，-），且，則銳角=
5．下列各組向量相互平行的是
A=（-1，2），=（3，5）B=（1，2），=（2，1）
C=（2，-1），=（3，4）D=（-2，1），=（4，-2）
6．已知=（2，3），=（-1，2）若k-與-k平行，求k的值。
7．已知向量=（6，1），=（x，y）=（-2，-3），當向量∥時，求實數x,y應滿足的關系式。
8．已知=（x，2），=（3,-1）是否存在實數x,使向量-2與2+平行？若存在，求出x;若不存在，說明理由。
9．已知三個向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1），回答下列問題：
（1）求3+-2；（2）求滿足=m+n的實數m和n；
（3）若(+k)//(2-)，求實數k的值；
（4）設=（x,y）,滿足且=1，求
10、已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－２，１）、（－１，３）、（３，４），求頂點D的坐標.
11、平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且知＝（３，７），＝（－２，１），求坐標.
問題統(tǒng)計與分析
利用二分法求方程的近似解
經驗告訴我們，成功是留給有準備的人。高中教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。您知道高中教案應該要怎么下筆嗎？為此，小編從網絡上為大家精心整理了《利用二分法求方程的近似解》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
4.1.2用二分法求方程的近似解一、教學目標
1、知識與技能:
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，會用二分法求解具體方程的近似解；
（2）體會程序化解決問題的思想，為算法的學習作準備。
2、過程與方法：
（1）讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發(fā)思想；
（2）讓學生歸納整理本節(jié)所學的知識。
3、情感、態(tài)度與價值觀：
①體會二分法的程序化解決問題的思想,認識二分法的價值所在，使學生更加熱愛數學；
②培養(yǎng)學生認真、耐心、嚴謹的數學品質。
二、教學重點、難點
重點：用二分法求解函數f(x)的零點近似值的步驟。
難點：為何由︱a－b︳＜便可判斷零點的近似值為a(或b)?
三、學法與教法
1、想－想。2、教法：探究交流，講練結合。
四、教學過程
（一）、創(chuàng)設情景，揭示課題
提出問題：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程㏑x＋2x－6=0的根；聯(lián)系函數的零點與相應方程根的關系，能否利用函數的有關知識來求她的根呢？
（2）通過前面一節(jié)課的學習，函數f(x)=㏑x＋2x－6在區(qū)間內有零點；進一步的問題是，如何找到這個零點呢？
（二）、研討新知
一個直觀的想法是：如果能夠將零點所在的范圍盡量的縮小，那么在一定的精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。
取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區(qū)間（2.5，3）內；
再取區(qū)間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在范圍確實越來越小了；重復上述步驟，那么零點所在范圍會越來越小，這樣在有限次重復相同的步驟后，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區(qū)間上任意的一點作為零點的近似值，特別地可以將區(qū)間的端點作為零點的近似值。例如，當精確度為0.01時，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我們可以將x=2.54作為函數f(x)=㏑x＋2x－6零點的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
這種求零點近似值的方法叫做二分法。
1．師：引導學生仔細體會上邊的這段文字，結合課本上的相關部分，感悟其中的思想方法．
生：認真理解二分法的函數思想，并根據課本上二分法的一般步驟，探索其求法。
2．為什么由︱a－b︳＜便可判斷零點的近似值為a（或b）？
先由學生思考幾分鐘，然后作如下說明：
設函數零點為x0，則a＜x0＜b，則：0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a－b︳＜，所以︱x0－a︳＜b－a＜,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜,
即a或b作為零點x0的近似值都達到了給定的精確度。
（三）、鞏固深化，發(fā)展思維
1、學生在老師引導啟發(fā)下完成下面的例題
例2．借助計算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精確到0.01）
問題：原方程的近似解和哪個函數的零點是等價的？
師：引導學生在方程右邊的常數移到左邊，把左邊的式子令為f(x),則原方程的解就是f（x）的零點。
生：借助計算機或計算器畫出函數的圖象，結合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用二分法求解．
（四）、歸納整理，整體認識
在師生的互動中，讓學生了解或體會下列問題：
1、本節(jié)我們學過哪些知識內容？2、你認為學習“二分法”有什么意義？3、在本節(jié)課的學習過程中，還有哪些不明白的地方？
（五）、布置作業(yè)：P102習題3.1A組第四題，第五題。
用二分法求方程的近似解
教案課件是老師上課中很重要的一個課件，大家應該要寫教案課件了。只有制定教案課件工作計劃，新的工作才會如魚得水！你們會寫適合教案課件的范文嗎？小編特地為您收集整理“用二分法求方程的近似解”，僅供您在工作和學習中參考。
§3.1.2用二分法求方程的近似解
學習目標
1.根據具體函數圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解；
2.通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數觀點處理問題的意識.
舊知提示（預習教材P89~P91，找出疑惑之處）
復習1：什么叫零點？零點的等價性？零點存在性定理？
對于函數，我們把使的實數x叫做函數的零點.
方程有實數根函數的圖象與x軸函數.
如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點.
復習2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？
合作探究
探究：有12個小球，質量均勻，只有一個是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個球的，要求次數越少越好.
解法：第一次，兩端各放個球，低的那一端一定有重球；
第二次，兩端各放個球，低的那一端一定有重球；
第三次，兩端各放個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.
思考：以上的方法其實這就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求的零點所在區(qū)間？如何找出這個零點？
新知：二分法的思想及步驟
對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且0的函數，通過不斷的把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：給定精度ε，用二分法求函數的零點近似值的步驟如何呢？
①確定區(qū)間，驗證，給定精度ε；
②求區(qū)間的中點；[高考資源網]
③計算：若，則就是函數的零點；若，則令（此時零點）；若，則令（此時零點）；
④判斷是否達到精度ε；即若，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟②~④．
典型例題
例1借助計算器或計算機，利用二分法求方程的近似解.
練1.求方程的解的個數及其大致所在區(qū)間.
練2.求函數的一個正數零點（精確到）
零點所在區(qū)間中點函數值符號區(qū)間長度
練3.用二分法求的近似值.
課堂小結
①二分法的概念；②二分法步驟；③二分法思想.
知識拓展
高次多項式方程公式解的探索史料
在十六世紀，已找到了三次和四次函數的求根公式，但對于高于4次的函數，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀，根據阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認識到高于4次的代數方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解．同時，即使對于3次和4次的代數方程，其公式解的表示也相當復雜，一般來講并不適宜作具體計算．因此對于高次多項式函數及其它的一些函數，有必要尋求其零點近似解的方法，這是一個在計算數學中十分重要的課題.
學習評價
1.若函數在區(qū)間上為減函數，則在上（）.
A.至少有一個零點B.只有一個零點
C.沒有零點D.至多有一個零點
2.下列函數圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點近似值的是（）.
3.函數的零點所在區(qū)間為（）.
A.B.C.D.
4.用二分法求方程在區(qū)間[2，3]內的實根，由計算器可算得，，，那么下一個有根區(qū)間為.
課后作業(yè)
1．若函數f(x)是奇函數，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為()
A．－1B．0C．3D．不確定
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)0，則f(x)＝0在[a，b]內()
A．至少有一實數根B．至多有一實數根
C．沒有實數根D．有惟一實數根
3．設函數f(x)＝13x－lnx(x＞0)則y＝f(x)()
A．在區(qū)間1e，1，(1，e)內均有零點B．在區(qū)間1e，1，(1，e)內均無零點
C．在區(qū)間1e，1內有零點；在區(qū)間(1，e)內無零點[高考資源網]
D．在區(qū)間1e，1內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點
4．函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內，則m的取值范圍是()
A．m≤1B．0m≤1C．m1D．0m1
6．函數f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零點有()
A．0個B．1個C．2個D．3個
7．函數y＝3x－1x2的一個零點是()
A．－1B．1C．(－1,0)D．(1,0)
8．函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，則f(x)在(1,2)上零點的個數為()
A．至多有一個B．有一個或兩個C．有且僅有一個D．一個也沒有
9．根據表格中的數據，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為()
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)
10．求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的簡圖．
