高中向量的教案
發(fā)表時(shí)間：2020-08-05平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）。
一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？以下是小編為大家收集的“平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）”歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）教學(xué)目的：
1掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；
2能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題；
3掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
授課類(lèi)型：新授課
課時(shí)安排：1課時(shí)
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)?
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，
（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0
3．“投影”的概念：作圖
定義：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為||；當(dāng)=180時(shí)投影為||
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影||cos的乘積
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量
1==||cos；2=0
3當(dāng)與同向時(shí)，=||||；當(dāng)與反向時(shí)，=||||
特別的=||2或
4cos=；5||≤||||
6．判斷下列各題正確與否：
1若=，則對(duì)任一向量，有=0(√)
2若，則對(duì)任一非零向量，有0(×)
3若，=0，則=(×)
4若=0，則、至少有一個(gè)為零(×)
5若，=，則=(×)
6若=，則=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(×)
7對(duì)任意向量、、，有()()(×)
8對(duì)任意向量，有2=||2(√)
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1．交換律：=
證：設(shè)，夾角為，則=||||cos，=||||cos
∴=
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：()=()=()
證：若0，()=||||cos，()=||||cos，()=||||cos，
若0，()=||||cos()=||||(cos)=||||cos，
()=||||cos，
()=||||cos()=||||(cos)=||||cos
3．分配律：(+)=c+
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=,=，=，
∵+（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，
即|+|cos=||cos1+||cos2
∴|||+|cos=||||cos1+||||cos2
∴(+)=+即：(+)=+
說(shuō)明：（1）一般地，()≠（）
（2）＝，≠＝
（3）有如下常用性質(zhì)：２＝｜｜２，
（＋）（＋）＝＋＋＋
(＋)２＝２＋２＋２
三、講解范例：
例1已知、都是非零向量，且+3與75垂直，4與72垂直，求與的夾角
解：由(+3)(75)=072+16152=0①
(4)(72)=07230+82=0②
兩式相減：2=2
代入①或②得：2=2
設(shè)、的夾角為，則cos=∴=60
例2求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和
解：如圖：ABCD中，，，=
∴||2=
而=
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四邊形ABCD中，＝，＝，＝，＝，且＝＝＝，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量
解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋?br> 一方面：∵＋＋＋＝0，
∴＋＝－（＋），∴(＋)２＝（＋）２
即｜｜２＋２＋｜｜２＝｜｜２＋２＋｜｜２
由于＝，
∴｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜｜２①
同理有｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜｜２②
由①②可得｜｜＝｜｜，且｜｜＝｜｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由＝，有（－）＝０，而由平行四邊形ABCD可得＝－，代入上式得(2)＝０
即＝０，∴⊥也即AB⊥BC
綜上所述，四邊形ABCD是矩形
評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即＋＋＋＝，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系
四、課堂練習(xí)：
1下列敘述不正確的是（）
A向量的數(shù)量積滿足交換律?B向量的數(shù)量積滿足分配律?
C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律?D是一個(gè)實(shí)數(shù)
2已知||=6,||=4,與的夾角為６０°，則(+2)(-3)等于（）
A72B-72?C36?D-36
3||=3,||=4,向量+與-的位置關(guān)系為（）
A平行B垂直?C夾角為?D不平行也不垂直
4已知||=3,||=4,且與的夾角為150°，則(+)２＝
5已知||=2,||=5,=-3,則|+|=______,|-|=
6設(shè)||=3,||=5,且+λ與－λ垂直，則λ＝
參考答案：1C2B3B4２５－１+256±
五、小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題
六、課后作業(yè)
1已知||=1,||=,且(-)與垂直，則與的夾角是（）
?A60°?B30°?C135°?D４５°
2已知||=2,||=1,與之間的夾角為，那么向量＝-4的模為（）
?A2?B2?C6?D12
3已知、是非零向量，則||=||是(+)與(-)垂直的（）
?A充分但不必要條件?B必要但不充分條件?
C充要條件D既不充分也不必要條件
4已知向量、的夾角為，||=2,||=1,則|+||-|=
5已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么=
6已知⊥、與、的夾角均為60°，且||=1,||=2,||=3,則(+2-)２＝______
7已知||=1,||=,(1)若∥,求;(2)若、的夾角為６０°，求|+|；?(3)若-與垂直，求與的夾角
8設(shè)、是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量=2+與=2-3的夾角???
9對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使|+t|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)與+t的夾角
參考答案：1D2B3C45–63611
7(1)-(2)(3)45°?8120°990°?
七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）
八、課后記及備用資料：
1常用數(shù)量積運(yùn)算公式：在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛
即(＋)２＝２＋２＋２，（－）２＝２－２＋２
上述兩公式以及(＋)(－)＝２－２這一類(lèi)似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過(guò)程中可以直接應(yīng)用
2應(yīng)用舉例
例1已知｜｜＝２，｜｜＝５，＝－３，求｜＋｜，｜－｜
解：∵｜＋｜２＝（＋）２＝２＋２＋２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜＋｜＝，∵（｜－｜）２＝（－）２＝２－2＋２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜－｜＝．
例2已知｜｜＝8，｜｜＝10，｜＋｜＝16，求與的夾角θ(精確到１°)
解：∵（｜＋｜）２＝（＋）２＝２＋2＋２＝｜｜２＋2｜｜｜｜ｃｏｓθ＋｜｜２
∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°
延伸閱讀
平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）
平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）
教學(xué)目的：
1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；
4掌握向量垂直的條件
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
授課類(lèi)型：新授課
課時(shí)安排：1課時(shí)
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過(guò)概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得
把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作
4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若，，
則，，
若，，則
5．∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
6．線段的定比分點(diǎn)及λ
P1,P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1,P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，
使=λ，λ叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：
λ0(內(nèi)分)(外分)λ0(λ-1)(外分)λ0(-1λ0)
7定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：
若點(diǎn)P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ為實(shí)數(shù)，且＝λ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱(chēng)λ為點(diǎn)P分所成的比
8點(diǎn)P的位置與λ的范圍的關(guān)系：
①當(dāng)λ＞０時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn)
②當(dāng)λ＜０()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為的外分點(diǎn)
9線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)＝，＝，
可得=
10．力做的功：W=||||cos，是與的夾角
二、講解新課：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角
說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向；
（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；
（3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥；
（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0≤≤180
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，
（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0
探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積×，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且=0，不能推出=因?yàn)槠渲衏os有可能為0
（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c
但是==
如右圖：=||||cos=|||OA|，=||||cos=|||OA|
=但
(5)在實(shí)數(shù)中，有(aa)c=a(ac)，但是()()
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線
3．“投影”的概念：作圖
定義：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為||；當(dāng)=180時(shí)投影為||
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影||os的乘積
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量
1==||cos
2=0
3當(dāng)與同向時(shí)，=||||；當(dāng)與反向時(shí)，=||||
特別的=||2或
4os=
5||≤||||
三、講解范例：
例1判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由
①＝；②0＝０；③－＝；④｜｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，則對(duì)任一非零有≠０；⑥＝０，則與中至少有一個(gè)為；⑦對(duì)任意向量，，都有（）＝（）；⑧與是兩個(gè)單位向量，則２＝２
解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確；
對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有＝０；
對(duì)于②：應(yīng)有０＝；
對(duì)于④：由數(shù)量積定義有｜｜＝｜｜｜｜｜c(diǎn)osθ｜≤｜｜｜｜，這里θ是與的夾角，只有θ＝０或θ＝π時(shí)，才有｜｜＝｜｜｜｜；
對(duì)于⑤：若非零向量、垂直，有＝０；
對(duì)于⑥：由＝０可知⊥可以都非零；
對(duì)于⑦：若與共線，記＝λ
則＝（λ）＝λ（）＝λ（），
∴（）＝λ（）＝（）λ＝（）
若與不共線，則()≠（）
評(píng)述：這一類(lèi)型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律
例2已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求
解：①當(dāng)∥時(shí)，若與同向，則它們的夾角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18；
若與反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當(dāng)⊥時(shí)，它們的夾角θ＝90°，
∴＝０；
③當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有
＝｜｜｜｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9
評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)∥時(shí)，有0°或180°兩種可能
四、課堂練習(xí)：
五、小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問(wèn)題
六、課后作業(yè)：
七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）
八、課后記及備用資料：
1概念辨析：正確理解向量夾角定義
對(duì)于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)誤是一些易見(jiàn)的錯(cuò)誤，如：
1已知△ABC中，＝５，＝８，Ｃ＝６０°，求
對(duì)此題，有同學(xué)求解如下：
解：如圖，∵｜｜＝＝５，｜｜＝＝８，Ｃ＝６０°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)osＣ＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒(méi)能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，Ｃ并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120°
2向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律
分析：若有（）＝（），設(shè)、夾角為，、夾角為β，則()＝｜｜｜｜c(diǎn)osα，
()＝｜｜｜｜c(diǎn)osβ
∴若＝，α＝β，則｜｜＝｜｜，進(jìn)而有：（）＝()
這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：
已知｜｜＝１，｜｜＝１，｜｜＝，與夾角是60°，與夾角是45°，則：
()＝（｜｜｜｜c(diǎn)os60°）＝，
()＝（｜｜｜｜c(diǎn)os45°）＝
而≠，故（）≠（）
高二數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律25
作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫(xiě)呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律25”供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。
第8課時(shí)二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
教學(xué)目的：
1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；
2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題；
3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
授課類(lèi)型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).?
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.
2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
3．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.
4．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、講解新課：
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1．交換律：ab=ba
證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)
證：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
說(shuō)明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、講解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
兩式相減：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60
例2求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和.
解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.
解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋?br> 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等.
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
綜上所述，四邊形ABCD是矩形.
評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；
(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.
四、課堂練習(xí)：
1.下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù)
2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０°，則(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.
6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）
八、課后記：
平面向量的數(shù)量積
俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，減輕高中教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“平面向量的數(shù)量積”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。
課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。
【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。
例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角
例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。
【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測(cè)案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=
2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角
【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。
6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？
8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。
課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
3、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
4、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。
【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。
例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角
例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。
【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測(cè)案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=
2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角
【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。
6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？
8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。
《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫(xiě)呢？小編收集并整理了“《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！
《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案
教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平面向量數(shù)量積應(yīng)用的準(zhǔn)確把握
教學(xué)過(guò)程：
題型一：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算
【例題1】.關(guān)于平面向量，有下列5個(gè)命題：
①若，則
②‖
③
④
⑤非零向量和滿足，則與的夾角為
其中真命題的序號(hào)為（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
【例題2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，滿足條件(8－)＝30，則x＝__________.
題型二：向量的夾角與模
【例題3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求與的夾角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面積．
變式訓(xùn)練1：已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是
變式訓(xùn)練2：已知平面向量且。
題型三：向量數(shù)量積的應(yīng)用
【例題4】.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值為。
變式訓(xùn)練：已知
課堂練習(xí)：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，則在方向上的投影為_(kāi)_____．
2、設(shè)x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，則|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE→CB→的值為_(kāi)_________
DE→DC→的最大值為_(kāi)_______．
4、在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB→AF→＝2，則AE→BF→的值是________．
課堂小結(jié)：
