高中向量的教案

平面向量的坐標(biāo)。

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，減輕教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。那么一篇好的教案要怎么才能寫(xiě)好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“平面向量的坐標(biāo)”，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

平面向量的坐標(biāo)
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能
（1）掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示.
（2）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算.
（3）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
2.過(guò)程與方法
教材利用正交分解引出向量的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上得到平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示；最后通過(guò)講解例題，鞏固知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力.
3.情感態(tài)度價(jià)值觀
通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)認(rèn)識(shí)到在全體有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（即點(diǎn)或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對(duì)的直觀形象）；讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的思想；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神.
二.教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn):平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示.
難點(diǎn):平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行的坐標(biāo)表示.
三.學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：
(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.
教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).
四.教學(xué)設(shè)想
【創(chuàng)設(shè)情境】
（回憶）平面向量的基本定理（基底）=λ1+λ2
其實(shí)質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合.
【探究新知】
（一）、平面向量的坐標(biāo)表示
1．在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來(lái)表示
思考：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來(lái)表示呢？
取軸、軸上兩個(gè)單位向量,作基底，則平面內(nèi)作一向量
記作：=(x,y)稱(chēng)作向量的坐標(biāo)

如：===(2,2)===(2,1)
===(1,5)=(1,0)=(0,1)=(0,0)

由以上例子讓學(xué)生討論：
①向量的坐標(biāo)與什么點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)？
②每一平面向量的坐標(biāo)表示是否唯一的？
③兩個(gè)向量相等的條件是？（兩個(gè)向量坐標(biāo)相等）
[展示投影]思考與交流：
直接由學(xué)生討論回答：
思考1．（1）已知(x1,y1)(x2,y2)求+，的坐標(biāo)
(2)已知(x,y)和實(shí)數(shù)λ,求λ的坐標(biāo)
解：+=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)
即：+=(x1+x2,y1+y2)
同理：=(x1x2,y1y2)
λ=λ(x+y)=λx+λy
∴λ=(λx,λy)
結(jié)論：①.兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
②.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。
思考2.已知你覺(jué)得的坐標(biāo)與A、B點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
∵==(x2,y2)(x1,y1)
=(x2x1,y2y1)
結(jié)論：③.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。
[展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）
例1.已知三個(gè)力(3,4),(2,5),(x,y)的合力++=
求的坐標(biāo).
解：由題設(shè)++=得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)
即：∴∴(5,1)
例4.已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。
解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，
仿例2得：D1=(2,2)
當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，
仿例2得：D2=(4,6)
當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，
仿例2得：D3=(6,0)
【鞏固深化，發(fā)展思維】
1．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
解：設(shè)P(x,y)則(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)
∴∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-)
2．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=(-3,-3)
3．已知：四點(diǎn)A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3)求證：四邊形ABCD是梯形。
解：∵=(-2,3)=(-4,6)∴=2
∴∥且||||∴四邊形ABCD是梯形
【探究新知】
[展示投影]思考與交流：
思考：共線向量的條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得=λ，那么這個(gè)條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？
設(shè)其中
由得
消去λ：∵∴中至少有一個(gè)不為0
結(jié)論：∥()用坐標(biāo)表示為
注意：
①消去λ時(shí)不能兩式相除∵y1,y2有可能為0.

②這個(gè)條件不能寫(xiě)成∵有可能為0.
③向量共線的兩種判定方法：∥()
[展示投影]例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）
例5.如果向量
向量，試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線
解法1.利用可得于是得
解法2.易得
故當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線
例6.若向量=(-1,x)與=(-x,2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)與=(-x,2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
[學(xué)習(xí)小結(jié)]（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補(bǔ)充）
【鞏固深化，發(fā)展思維】
1.教材P89練習(xí)2--4
2.已知
3．已知點(diǎn)A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求證：AB∥CD
4．證明下列各組點(diǎn)共線：①A(1,2)，B(-3,4)，C(2,3.5)
②P(-1,2)，Q(0.5,0)，R(5,-6)
5．已知向量=(-1,3)=(x,-1)且∥求x.
[學(xué)習(xí)小結(jié)]（學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補(bǔ)充）
①向量加法運(yùn)算的坐標(biāo)表示.
②向量減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示.
③實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示.
④向量共線的條件.
五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)
1．作業(yè)：習(xí)題2--4A組第1，2，3，7，8題．
2．（備選題）：已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)=(2-1,7-5)=(1,2)
又∵2×2-4-1=0∴∥
又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)=(2,4)
2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
六、課后反思：

延伸閱讀

2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

預(yù)習(xí)課本P94～98，思考并完成以下問(wèn)題
(1)怎樣分解一個(gè)向量才為正交分解？
(2)如何由a，b的坐標(biāo)求a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定義
把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量．
2．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．
(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．
(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[點(diǎn)睛](1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：
文字描述符號(hào)表示
加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa＝(λx1，λy1)
重要結(jié)論一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)
[點(diǎn)睛](1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān)．
(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)．()
(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()
(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無(wú)關(guān)．()
(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則3a＋2b的坐標(biāo)是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐標(biāo)表示

[典例]
如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和與的坐標(biāo)．
[解]由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

[活學(xué)活用]
已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，||＝43，∠x(chóng)OA＝60°，
(1)求向量的坐標(biāo)；
(2)若B(3，－1)，求的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[典例](1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標(biāo)．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．

[活學(xué)活用]
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：選A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
解析：設(shè)P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[典例]已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第二象限？
[解]因?yàn)椋剑玹＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若點(diǎn)P在第二象限，則1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一題多變]
1．[變條件]本例中條件“點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P在第二象限”若換為“B為線段AP的中點(diǎn)”試求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
則1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試問(wèn)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說(shuō)明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，該方程組無(wú)解．
故四邊形OABP不能成為平行四邊形．
向量中含參數(shù)問(wèn)題的求解
(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變．
(2)解答這類(lèi)由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個(gè)方程(組)，就能達(dá)到解題的目的．
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，則λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：選A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：選Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且＝－2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：選D設(shè)P(x，y)，則＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，||＝6，∠x(chóng)OA＝150°，向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，點(diǎn)A(－1，－2)．
(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．
(2)若點(diǎn)P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求λ與y的值．
解：(1)設(shè)B(x1，y1)，
因?yàn)椋?4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2，y2)，
則x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：選D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故選D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：選D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：選A設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即點(diǎn)D2，72，故選A.
4．對(duì)于任意的兩個(gè)向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，規(guī)定運(yùn)算“?”為m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，運(yùn)算“?”為m?n＝(a＋c，b＋d)．設(shè)f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，則(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：選B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中，正確結(jié)論有________個(gè)．
解析：由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ＝________.
解析：過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求的坐標(biāo)．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴F為AD的中點(diǎn)．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且點(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n.
解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
因?yàn)椋?，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)锳(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因?yàn)椋絤＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
兩式相減得m－n＝y(tǒng)0－x0，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

平面向量坐標(biāo)表示

平面向量坐標(biāo)表示
年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題平面向量坐標(biāo)表示
授課時(shí)間撰寫(xiě)人
學(xué)習(xí)重點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算；
2.能用兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，求所構(gòu)造向量的坐標(biāo)；

教學(xué)過(guò)程
一自主學(xué)習(xí)
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量＋，－，λ的坐標(biāo)分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
思考3：已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標(biāo)如何？

二師生互動(dòng)
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo).

變式：若與的交點(diǎn)為，試求點(diǎn)的坐標(biāo).

練1.已知向量的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習(xí)
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設(shè)點(diǎn)，，且
，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
5.作用于原點(diǎn)的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點(diǎn)，及，，，求點(diǎn)、、的坐標(biāo)。

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.若點(diǎn)、、，且，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？向量的坐標(biāo)為多少？

2.已知向量，，，試用來(lái)表示.

平面向量共線的坐標(biāo)表示

平面向量共線的坐標(biāo)表示
教學(xué)目的：
（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性
授課類(lèi)型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得
把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，特別地，，，.
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若，，
則，，.
若，，則
二、講解新課：
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵∴x2，y2中至少有一個(gè)不為0
（2）充要條件不能寫(xiě)成∵x1，x2有可能為0
(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()
三、講解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.
例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
例4若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)與=(-x，2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習(xí)：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.
6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）
八、課后記：

平面向量的坐標(biāo)表示

總課題向量的坐標(biāo)表示總課時(shí)第23課時(shí)
分課題平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算分課時(shí)第2課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)掌握平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
重點(diǎn)難點(diǎn)掌握平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量坐標(biāo)表示的理解
引入新課
1、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)是如何表示的？。
2、以原點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，能不能也用坐標(biāo)來(lái)表示呢？例：
3、平面向量的坐標(biāo)表示。

4、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
已知、、實(shí)數(shù)，那么
；；。
例題剖析
例1、如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，，求向量的坐標(biāo)。

例2、如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標(biāo)。

例3、用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解：如圖，質(zhì)量為的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對(duì)物體的摩擦力。

例4、已知，，是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。
鞏固練習(xí)
1、與向量平行的單位向量為（）
、、、或、

2、已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求向量的坐標(biāo)。

3、已知四邊形的頂點(diǎn)分別為，，，，求向量，的坐標(biāo)，并證明四邊形是平行四邊形。
4、已知作用在原點(diǎn)的三個(gè)力，，，求它們的合力的坐標(biāo)。
5、已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且，求的坐標(biāo)。
課堂小結(jié)
平面向量的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
課后訓(xùn)練
班級(jí)：高一（）班姓名__________
一、基礎(chǔ)題
1、若向量，，則，的坐標(biāo)分別為（）
、，、，、，、，
2、已知，終點(diǎn)坐標(biāo)是，則起點(diǎn)坐標(biāo)是。
3、已知，，向量與相等.則。
4、已知點(diǎn)，，，則。
5、已知的終點(diǎn)在以，為端點(diǎn)的線段上，則的最大值和最小值分別等于。
6、已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

7、已知向量，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量，，求向量的坐標(biāo)。

8、已知點(diǎn)，及，，求點(diǎn)，和的坐標(biāo)。

三、能力題
9、已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足，
當(dāng)為何值時(shí)：（1）點(diǎn)在直線上？（2）點(diǎn)在第四象限內(nèi)？