高中向量的教案

平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義。

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

一、教材分析
本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.
二．教學(xué)目標(biāo)
1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；
2．體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；
3．體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。
三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，2、性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用。
難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念
四、學(xué)情分析
我們的學(xué)生屬于平行分班，沒有實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生已有的知識(shí)和實(shí)驗(yàn)水平有差距。有些學(xué)生對(duì)于基本概念不清楚，所以講解時(shí)需要詳細(xì)
五、教學(xué)方法
1．實(shí)驗(yàn)法：多媒體、實(shí)物投影儀。
2．學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。
3．新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)
六、課前準(zhǔn)備
1．學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。
2．教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。。
七、課時(shí)安排：1課時(shí)
八、教學(xué)過程
(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。

（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。
創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課
1、提出問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？
期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。
2、提出問題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？
期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用
3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
（三）合作探究，精講點(diǎn)撥
探究一：數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。
（2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎?
期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱︱b︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定義說明：
①記法“”中間的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？
期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。
（4）學(xué)生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符號(hào)

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.
解：①當(dāng)∥時(shí)，若與同向，則它們的夾角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18；
若與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當(dāng)⊥時(shí)，它們的夾角θ＝90°，
∴＝０；
③當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有
＝｜｜｜｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9
評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)∥時(shí)，有0°或180°兩種可能.
變式：對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使|+t|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)與+t的夾角。

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：OB1=︱││︱cos
2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？
期望學(xué)生回答：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度︱︱與在的方向上的投影
︱︱cos的乘積。

3.研究數(shù)量積的物理意義
請(qǐng)同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。

探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
1、提出問題6：
比較︱︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結(jié)論？
2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）、提出問題7：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？
預(yù)測(cè)：學(xué)生可能會(huì)提出以下猜想：
①=
②（）=()
③（+）=+
（2）、分析猜想：
猜想①的正確性是顯而易見的。
關(guān)于猜想②的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先來討論：猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？
期望學(xué)生回答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測(cè)②是不正確的。
（3）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：

例2、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？
解：（+2）（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

=-72
評(píng)述：可以和實(shí)數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運(yùn)算律

變式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。
教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）
（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義，那么，在下一節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。模。夾角。這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分，著重分析坐標(biāo)的作用
設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對(duì)本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。
九、板書設(shè)計(jì)

十、教學(xué)反思
本課的設(shè)計(jì)采用了課前下發(fā)預(yù)習(xí)學(xué)案，學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)、考點(diǎn)、探究點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易忘、易混點(diǎn)等，最后進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，課后進(jìn)行延伸拓展，以達(dá)到提高課堂效率的目的。我首先安排讓學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學(xué)生從代數(shù)和

幾何兩個(gè)方面對(duì)數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認(rèn)識(shí)。通過嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個(gè)探究活動(dòng)，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運(yùn)算律則是通過和實(shí)數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識(shí)。
臨清三中數(shù)學(xué)組編寫人：王曉燕審稿人：劉桂江李懷奎
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
預(yù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：
2.兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
3．“投影”的概念：作圖
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，e是與同向的單位向量.
1e=e=
2=
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，e是與同向的單位向量.
e=e=
3當(dāng)與同向時(shí)，=當(dāng)與反向時(shí)，=特別的=||2或
4cos=
5||≤||||

三、提出疑惑：
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1說出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2.學(xué)會(huì)用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；
學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義
二、學(xué)習(xí)過程
創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課
1、提出問題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

2、提出問題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？

3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
探究一：
數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字語言表述“功的計(jì)算公式”嗎?
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定義說明：
①記法“”中間的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？

（4）學(xué)生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符號(hào)

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.
解：
變式：
.對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使|+t|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)與+t的夾角.

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：OB1=︱││︱cos
2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？

3.研究數(shù)量積的物理意義
請(qǐng)同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：

探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
1、提出問題6：比較︱︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結(jié)論？

2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）、提出問題7：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也用？

（2）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：

例2、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？
解：

變式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（三）反思總結(jié)

(四)當(dāng)堂檢測(cè)

1.已知||=5，||=4，與的夾角θ=120o，求.

2.已知||=6，||=4，與的夾角為60o求(+2)(-3)
.
3.已知||=3，||=4，且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直.

4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.

5.已知||=1，||=，(1)若∥，求；(2)若、的夾角為６０°，求|+|；(3)若-與垂直，求與的夾角.

6.設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量=2m+n與=2n-3m的夾角.

課后練習(xí)與提高
1.已知||=1，||=，且(-)與垂直，則與的夾角是（）
A.60°B.30°C.135°D.４５°
2.已知||=2，||=1，與之間的夾角為，那么向量m=-4的模為（）
A.2B.2C.6D.12
3.已知、是非零向量，則||=||是(+)與(-)垂直的（）
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件?
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知向量、的夾角為，||=2，||=1，則|+||-|=.
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么=.
6.已知⊥、c與、的夾角均為60°，且||=1，||=2，|c|=3，則(+2-c)２＝______.

參考答案：
1.D2.B3.A
4.5.1446.11

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高中數(shù)學(xué)必修四2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導(dǎo)學(xué)案

2.4平面向量的數(shù)量積
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
編審：周彥魏國慶
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；
【自學(xué)新知】
知識(shí)回顧：（1）兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作＝，＝，則
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角.
說明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向；
（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；
（3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥；
新知梳理：
1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是θ，則叫與的數(shù)量積，記作，即有=，（０≤θ≤π）.并規(guī)定向量與任何向量的數(shù)量積為.

思考感悟：
1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量？它的符號(hào)什么時(shí)候?yàn)檎渴裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？

2、兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？
（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定.
（2）向量的數(shù)量積寫成；符號(hào)“”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能為0.

2．“投影”的概念：
作圖：
定義：||cos叫做向量在方向上的投影.

思考感悟：
投影不是向量，是一個(gè)數(shù)量。當(dāng)為銳角時(shí)投影為值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為值，當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)=0時(shí)投影為||；當(dāng)=180時(shí)投影為||

3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積等于與||cos的乘積.

4.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)，為兩個(gè)非零向量，
(1)=
(2)當(dāng)與同向時(shí)，=，
當(dāng)與反向時(shí)，=
特別的：=||2或；
||≤||||；
cos=
5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①交換律：=
②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()③分配律：(+)=+
說明：
（1）一般地，()≠（）
（2）＝＝
對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1．下列敘述不正確的是（）
A.向量的數(shù)量積滿足交換律
B.向量的數(shù)量積滿足分配律
C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律
D.是一個(gè)實(shí)數(shù)
2．||=3，||=4，向量+與-的位置關(guān)系為（）
A.平行B.垂直
C.夾角為D.不平行也不垂直
3.已知|m→|=，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9，則m→,n→的夾角為（）
A.150B.120
C.60D.30

4.已知，，，則向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。

【合作探究】
典例精析：
例1．證明：

變式1．已知||=6，||=4，與的夾角為60o，求：
（1）(+2)(-3).
（2）|+|與|-|.

例2．已知||=12，||=9，，求與的夾角。

變式2．已知||=3，||=4，且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．下列命題中：①若≠，且=，則=；②若=，則3＜4;
③()=(),對(duì)任意向量，，都成立；④22=()2；正確命題的個(gè)數(shù)為____

2．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夾角為30°，則為（）
A．B．
C．D．

3．若||=||=|－|,則與+的夾角為（）
A．30°B．60°
C．150°D．120°

4.．已知、均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|+3|=（）
A．B．
C．D．4

【課時(shí)作業(yè)】
1.已知||=1，||=，且(-)與垂直，則與的夾角是（）
A.60°B.30°
C.135°D.４５°2.若向量的夾角為，，則向量的模
為

3．向量、滿足（－）（2+）=－4，且||=2，||=4，則與夾角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→BC→.

5．已知||=8，||=10，|+|=16，求與的夾角.

6*.向量互相垂直，向量互相垂直，求與夾角。

7*.已知||=3，||=3，與夾角為，求使向量的夾角為銳角時(shí)，的取值范圍。

8．(2012全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.

【延伸探究】
已知平面上三個(gè)向量的模都是1，他們互相之間的夾角均是，
（1）求證：
（）若，求得取值范圍。

平面向量的數(shù)量積

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，減輕高中教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“平面向量的數(shù)量積”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測(cè)案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=
2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
3、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
4、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測(cè)案（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1、求下列各組中兩個(gè)向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=

2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時(shí)：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時(shí)，向量+與－3垂直？
（3）為何值時(shí)，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實(shí)數(shù)的值。

2018人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義講義

2．4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
預(yù)習(xí)課本P103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？
(2)向量b在a方向上的投影怎么計(jì)算？數(shù)量積的幾何意義是什么？
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個(gè)非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值來決定．
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．
2．向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．
3．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|，
當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對(duì)于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個(gè)向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，則一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，則a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，則a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，則a與b的夾角為()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，則a·b＝________；
(2)若a∥b，則a·b＝________；
(3)若a⊥b，則a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算

[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．

(2)如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法
運(yùn)算．

[活學(xué)活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
與向量的模有關(guān)的問題

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
從而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．

[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.

兩個(gè)向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1．(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：選C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b)．
證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：選B∵3a＋2b與ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cosθ的值．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：選B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：選B∵＝，即一組對(duì)邊平行且相等，·＝0，即對(duì)角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
6．給出以下命題：
①若a≠0，則對(duì)任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0；
③a與b是兩個(gè)單位向量，則a2＝b2.
其中，正確命題的序號(hào)是________．
解析：上述三個(gè)命題中只有③正確，因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時(shí)，有a·b＝0，顯然①②錯(cuò)誤．
答案：③
7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1與e2是兩個(gè)夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的
夾角．
解：因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a與b的夾角為120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，則向量m＝a－4b的模為()
A．2B．23
C．6D．12
解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：選D法一：因?yàn)閏osA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.
法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故選D.

3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因?yàn)閨a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，則·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如圖，作＝＝a，
＝b，則＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．設(shè)兩個(gè)向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化簡(jiǎn)即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
當(dāng)夾角為π時(shí)，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此時(shí)夾角不是鈍角，
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
－7，－142∪－142，－12.

《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平面向量數(shù)量積應(yīng)用的準(zhǔn)確把握
教學(xué)過程：
題型一：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算
【例題1】.關(guān)于平面向量，有下列5個(gè)命題：
①若，則
②‖
③
④
⑤非零向量和滿足，則與的夾角為
其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）
【例題2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，滿足條件(8－)＝30，則x＝__________.

題型二：向量的夾角與模
【例題3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求與的夾角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面積．

變式訓(xùn)練1：已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是

變式訓(xùn)練2：已知平面向量且。
題型三：向量數(shù)量積的應(yīng)用
【例題4】.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值為。

變式訓(xùn)練：已知

課堂練習(xí)：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，則在方向上的投影為______．
2、設(shè)x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，則|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE→CB→的值為__________
DE→DC→的最大值為________．
4、在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB→AF→＝2，則AE→BF→的值是________．
課堂小結(jié)：