小學(xué)語(yǔ)文的教學(xué)教案

數(shù)列的函數(shù)特性教學(xué)案。

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“數(shù)列的函數(shù)特性教學(xué)案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第2課時(shí)數(shù)列的函數(shù)特性
知能目標(biāo)解讀
1.熟練掌握數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的含義.
2.能夠用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究數(shù)列的增減性、最值、圖像等問題.
3.能夠通過(guò)探求數(shù)列的增減性或畫出數(shù)列的圖像來(lái)求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的含義.
2.能夠用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究數(shù)列的增減性、最值、圖像等問題.
難點(diǎn)：用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究數(shù)列的增減性、最值、圖像等問題.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.數(shù)列的概念與函數(shù)概念的聯(lián)系
(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，特殊在定義域是正整數(shù)集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù).
(2)數(shù)列與函數(shù)不能畫等號(hào)，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值.
(3)利用函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，可以從函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列的表示方法及有關(guān)性質(zhì).
2.數(shù)列的表示方法
(1)數(shù)列的圖像是無(wú)限個(gè)或有限個(gè)離散的孤立的點(diǎn).
(2)若數(shù)列是以解析式的形式給出的，則數(shù)列的圖像是相應(yīng)函數(shù)圖像上的一系列孤立的點(diǎn).
(3)數(shù)列是一類離散函數(shù)，它是刻畫離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型，有很廣泛的應(yīng)用.
(4)列表法不必通過(guò)計(jì)算就能知道兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比較直觀，但是它只能表示有限個(gè)元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.數(shù)列的單調(diào)性
（1）遞增數(shù)列：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即an+1an(n∈N+)，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列.
（2）遞減數(shù)列：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的項(xiàng)，即an+1an(n∈N+)，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列.
（3）常數(shù)列：如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列.
（4）擺動(dòng)數(shù)列：一個(gè)數(shù)列{an}，從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列.?
注意：
(ⅰ)有關(guān)數(shù)列的分類，由于分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類方法也不一致：
(ⅱ)數(shù)列的單調(diào)性的判斷，定義法是十分重要的方法，即計(jì)算an+1-an，并研究差的符號(hào)的正負(fù)；除了應(yīng)用定義判斷外，也可以利用其函數(shù)性質(zhì)判定，例如數(shù)列an=3-n，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=3-x是減函數(shù)，因此可判斷數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
4.如何證明數(shù)列的單調(diào)性證明數(shù)列的單調(diào)性的主要方法有：
(1)定義法：其中之一是作差比較，為了便于判斷an+1-an的符號(hào)，通常將an+1-an變成常數(shù)形式或因式連乘積的形式或平方和形式.
除了作差比較外，也可以采用作商的方法，作商時(shí)，首先應(yīng)明確數(shù)列的項(xiàng)an的符號(hào)(an0還是an0)，將其商與1進(jìn)行比較，從而確定數(shù)列的單調(diào)性，對(duì)于多項(xiàng)式應(yīng)進(jìn)行因式分解，對(duì)于根式，進(jìn)行分子（或分母）有理化.
(2)借助于數(shù)列圖像的直觀性，證明數(shù)列的單調(diào)性.
知能自主梳理
1.幾種數(shù)列的概念
（1）數(shù)列按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為數(shù)列，數(shù)列，數(shù)列和數(shù)列.
（2）一般地，一個(gè)數(shù)列｛an｝，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做數(shù)列；
（3）一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做數(shù)列；
（4）一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列叫做數(shù)列；
（5）如果數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做數(shù)列.
2.數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的與它的
(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的
公式.
3.an與Sn的關(guān)系
S1(n=1)
若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn，即Sn=a1+a2+…+an,則an=
(n≥2)
［答案］1.(1)遞增遞減擺動(dòng)常（2）an+1an遞增(3)an+1an遞減（4）擺動(dòng)（5）常
2.第1項(xiàng)任一項(xiàng)an前一項(xiàng)an-1遞推
3.Sn-Sn-1
思路方法技巧
命題方向數(shù)列表示法的應(yīng)用
［例1］(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式填表：
n12…5……n
an……153…3(3+4n)
(2)畫出數(shù)列{an}的圖像，其中an=3n-1.
［分析］(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入相應(yīng)的n值得到所求的項(xiàng)，解關(guān)于n的方程得項(xiàng)對(duì)應(yīng)的n值.
(2)在直角坐標(biāo)系下，描出點(diǎn)(n,an).
［解析］(1)由第n項(xiàng)可知此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=3(4n+3),
所以a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69.
令3(4n+3)=153，解得n=12.
故填充完整的表格為：?
n12…5…12…n
an2133…69…153…3(3+4n)
(2)∵an=3n-1，列表：

n1234…
an13927…
在直角坐標(biāo)系中圖像如下：
［說(shuō)明］(1)列表法不必通過(guò)計(jì)算就能知道兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比較直觀，但它只能表示有限個(gè)元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)數(shù)列an=3n-1的圖像是函數(shù)y=3x-1(x0)上的無(wú)窮多個(gè)孤立的點(diǎn).
變式應(yīng)用1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,作出該數(shù)列的圖像.
［解析］分別取n=1,2,3,…,得到點(diǎn)（1,1）,(2,3),(3,5),…,描點(diǎn)作出圖像.如圖，它的圖像是直線y=2x-1上的一些等間隔的點(diǎn).
命題方向數(shù)列單調(diào)性的判斷
［例2］已知函數(shù)f(x)=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
［分析］（1）已知函數(shù)關(guān)系式，由條件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解這個(gè)關(guān)于an的方程即可；（2）只需證明an+1-an0或1(an0)即可.
［解析］（1）∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±.
∵an0,∴an=-n.
（2）=
=1.
即{an}是遞減數(shù)列.
［說(shuō)明］我們常把遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列，由于數(shù)列可看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此，判斷函數(shù)性質(zhì)的方法同樣適用于數(shù)列.比較an與an+1大小的常用方法有：①作差法：若an+1-an0,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；若an+1-an0，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.②作商法：若1,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；若1，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
變式應(yīng)用2寫出數(shù)列1,,,,,…的通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性.
［解析］該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=,
∴an+1-an=-=.
∵n∈N+,∴(3n+1)(3n-2)0,
∴an+1an,∴該數(shù)列為遞減數(shù)列.
命題方向數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的求法
［例3］求數(shù)列{-2n2+9n+3}中的最大項(xiàng).
［分析］由通項(xiàng)公式可以看出an與n構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系，求二次函數(shù)的最值可采用配方法.此時(shí)應(yīng)注意自變量n為正整數(shù).
［解析］由已知an=-2n2+9n+3=-2(n-)2+.
由于n為正整數(shù),故當(dāng)n=2時(shí),an取得最大值為13.
所以數(shù)列{-2n2+9n+3}的最大值為a2=13.
［說(shuō)明］數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系,因此有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問題可用函數(shù)最值的求法去解決,但要注意函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這一約束條件.
變式應(yīng)用3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.
(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？
（2）n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.
［解析］（1）由n2-5n+40,解得1n4.
∵n∈N＋,∴n=2,3.
∴數(shù)列有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù).
（2）∵an=n2-5n+4=（n-）2-,可知對(duì)稱軸方程為n==2.5.
又∵n∈N＋,∴n=2或3時(shí)，an有最小值，其最小值為22-5×2+4=-2.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題
［例4］在一次人才招聘會(huì)上，有A、B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資1500元，以后每年月工資比上年月工資增加230元，B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上年月工資的基礎(chǔ)上增加5%，設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時(shí)錄取，試問：該人在A公司工作比在B公司工作月工資收入最多可以多多少元？并說(shuō)明理由(精確到1元).
［分析］根據(jù)題意，先建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的函數(shù)模型解決問題.由于自變量n∈N+,函數(shù)解析式可以看作數(shù)列的通項(xiàng)公式，因此可運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性求解.
［解析］設(shè)在A公司月工資為an，在B公司月工資為bn，則
問題等價(jià)于求cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1(n∈N+)的最大值.
當(dāng)n≥2時(shí)，cn-cn-1=230-100×1.05n-2;
當(dāng)cn-cn-10,即230-100×1.05n-20時(shí)，1.05n-22.3，得n19.1.
因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，cn-1cn,
于是當(dāng)n≥20時(shí)，cncn-1.
所以c19=a19-b19≈827(元).
即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多827元.
［說(shuō)明］數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域?yàn)檎麛?shù)集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，因此，用函數(shù)的觀點(diǎn)去考察數(shù)列問題也是一種有效的途徑.
變式應(yīng)用4某企業(yè)由于受2011年國(guó)家財(cái)政緊縮政策的影響，預(yù)測(cè)2012年的月產(chǎn)值（萬(wàn)元）組成數(shù)列{an}，滿足an=2n2-15n+3,問第幾個(gè)月的產(chǎn)值最少，最少是多少萬(wàn)元？
［解析］由題意知，實(shí)質(zhì)是求數(shù)列{an}的最小項(xiàng).
由于an=2n2-15n+3=2（n-）2-，
圖像如圖所示，由圖像知n=4時(shí)，a4最小，a4=-25，即第4個(gè)月產(chǎn)值最少，最少為-25萬(wàn)元.
名師辨誤做答
［例5］已知an=a（）n(a≠0且a為常數(shù))，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.
［誤解］∵an-an-1=a（）n-a（）n-1=-a（）n0,
∴數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.
［辨析］錯(cuò)誤原因是誤認(rèn)為a0,其實(shí)對(duì)非零實(shí)數(shù)a應(yīng)分a0和a0兩種情況討論.
［正解］∵an-an-1=-a（）n(n≥2,n∈N*),
∴①當(dāng)a0時(shí)，an-an-10,∴anan-1,
∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
②當(dāng)a0時(shí)，an-an-10,∴anan-1,
∴數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知數(shù)列｛an｝,a1=1,an-an-1＝n-1(n≥2)，則a6=（）
A.7B.11C.16D.17?
［答案］C?
［解析］∵a1=1,an-an-1=n-1(n≥2)，
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,?
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,?
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,?
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
2.(2012濟(jì)南高二檢測(cè))數(shù)列{an}中，an=-n2+11n,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）
A.B.30C.31D.32
［答案］B
［解析］an=-n2+11n=-（n-）2+,?
∵n∈N+,∴當(dāng)n=5或6時(shí)，an取最大值30，故選B.
3.一給定函數(shù)y=f(x)的圖像在下列圖中，并且對(duì)任意a1∈(0,1),由關(guān)系式an+1=f(an)得到數(shù)列{an}滿足an+1an(n∈N+)，則該函數(shù)的圖像是（）
［答案］A
［解析］由關(guān)系式an+1=f(an)得到數(shù)列{an}滿足an+1an,可得f(an)an,即f(x)x.故要使該函數(shù)y=f(x)圖像上任一點(diǎn)（x,y）都滿足yx,圖像必在直線y=x的上方，所以A正確.
說(shuō)明：借用函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列時(shí)，要注意函數(shù)的一般性及數(shù)列的特殊性之間的關(guān)系，不可不加區(qū)分，混為一談，表達(dá)時(shí)要清楚明白，數(shù)列問題有時(shí)用圖像來(lái)處理，往往可以使問題巧妙、簡(jiǎn)捷地獲得解決.

二、填空題
4.已知f(1)=2,f(n+1)=(n∈N+),則f(4)=.
［答案］
［解析］∵f(1)=2,f(n+1)=(n∈N＋),?
∴f(2)==,
f(3)===,
f(4)===.
5.已知數(shù)列{an}中，an=an+m(a0,n∈N＋)滿足a1=2,a2=4,則a3=.
［答案］2?
2=a+ma=2a=-1
［解析］∵a1=2,a2=4,?∴,∴（舍去）或,
4=a2+mm=0m=3
∴a3=(-1)3+3=2.
三、解答題
6.證明數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列.?
［證明］令an=，
∴an+1-an=-
=-?
=-0,?
∴an+1an.所以數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知數(shù)列{an}滿足an+1-an-3=0，則數(shù)列{an}是（）
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.不能確定
［答案］A?
［解析］由條件得an+1-an=30可知an+1an，
所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.
2.設(shè)an=-n2+10n+11，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為（）?
A.5B.11C.10或11D.36
［答案］D
［解析］∵an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
∴當(dāng)n=5時(shí)，an取最大值36.
3.數(shù)列｛an｝中，a1=0，以后各項(xiàng)由公式a1a2a3…an＝n2給出，則a3+a5等于（）
A.B.C.D.
［答案］C?
［解析］∵a1a2a3…an=n2,?
∴a1a2a3=9,a1a2=4,∴a3＝.?
同理a5=,∴a3+a5=+=.
4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=lg1536-(n-1)lg2，則使得an0成立的最小正整數(shù)n的值為（）
A.11B.13C.15D.12?
［答案］D?
［解析］lg1536-lg2n-10,lg1536lg2n-1,
即2n-11536,代入驗(yàn)證得答案為D.
5.已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+(n≥3)，則a5=（）
A.B.C.4D.5?
［答案］A?
［解析］a3=a2+=3+1=4.
a4=a3+=4+=.
a5=a4+=+=.
6.在數(shù)列{an}中，a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2)，則的值是（）
A.B.C.D.
［答案］C
［解析］∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1)3=2+(-1)=1,∴a3=,
又a3a4=a3+(-1)4,∴a4=3,?
∵a4a5=a4+(-1)5=2,∴a5=,?
∴==.
7.已知Sk表示數(shù)列的前k項(xiàng)和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N+)，那么此數(shù)列是（）
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列
［答案］C
［解析］∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，
∴Sk=0(k∈N+).?
可知此數(shù)列每一項(xiàng)均為0，
即an=0是常數(shù)列.
8.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（）n-1［（）n-1-1］，則關(guān)于an的最大項(xiàng)，最小項(xiàng)敘述正確的是（）
A.最大項(xiàng)為a1,最小項(xiàng)為a3
B.最大項(xiàng)為a1,最小項(xiàng)不存在
C.最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為a3
D.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a4
［答案］A?
［解析］令t=（）n-1，則它在N+上遞減且0t≤1，而an=t2-t，在0t≤時(shí)遞減，在t≥時(shí)遞增，且n=1時(shí)，t=1，n=2時(shí)，t=，n=3時(shí)，t=，n=4時(shí)，t=，且a4a3，故選A.
二、填空題
9.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2-4n-12（n∈N+），則
（1）這個(gè)數(shù)列的第四項(xiàng)是；?
（2）65是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)；?
（3）這個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起以后各項(xiàng)為正數(shù).
［答案］－12117
［解析］(1)a4=42-4×4-12＝-12.
(2)令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,?
∴n=11或n=-7(舍去).?
故65是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng).?
（3）令n2-4n-120,得n6或n2.?
∴這個(gè)數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)為正數(shù).
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(a、b、c都是正實(shí)數(shù))，則an與an+1的大小關(guān)系是.
［答案］an+1an
［解析］∵a,b,c均為實(shí)數(shù)，f(x)==在(0,+∞)上是增函數(shù)，故數(shù)列an=在n∈N+時(shí)為遞增數(shù)列，∴anan+1.
11.已知｛an｝是遞增數(shù)列，且對(duì)任意的自然數(shù)n(n≥1)，都有an=n2+λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.
［答案］λ-3
［解析］由｛an｝為遞增數(shù)列，得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ0恒成立，
即λ-2n-1在n≥1時(shí)恒成立，?
令f(n)=-2n-1,f(n)max=-3.
只需λf(n)max=-3即可.
12.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+13n，關(guān)于該數(shù)列，有以下四種說(shuō)法：
(1)該數(shù)列有無(wú)限多個(gè)正數(shù)項(xiàng)；(2)該數(shù)列有無(wú)限多個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)；(3)該數(shù)列的最大項(xiàng)就是函數(shù)f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是該數(shù)列中的一項(xiàng).?
其中正確的說(shuō)法有.（把所有正確的序號(hào)都填上）
［答案］(2)(4)?
［解析］令-2n2+13n0，得0n，故數(shù)列{an}有6項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，有無(wú)限個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng).當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列{an}取到最大值，而當(dāng)x=3.25時(shí)函數(shù)f(x)取到最大值.
令-2n2+13n=-70，得n=10，或n=-（舍去）.即-70是該數(shù)列的第10項(xiàng).
三、解答題
13.已知數(shù)列1，2，，，，….
（1）寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an;
（2）判斷數(shù)列｛an｝的增減性.?
［解析］（1）數(shù)列1，2，，，，….可變?yōu)?，，，，，?觀察該數(shù)列可知，每一項(xiàng)的分母恰與該項(xiàng)序號(hào)n對(duì)應(yīng)，而分子比序號(hào)n的3倍少2，?∴an=.
(2)∵an==3-,
∴an+1=3-,?
∴an+1-an=3--3+=-=0,?∴an+1an.故數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.
14.根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖像表示出來(lái).
(1)an=(-1)n+2;
(2)an=.
［解析］(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.圖像如圖1.?
(2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.圖像如圖2.?
15.已知數(shù)列｛an｝,a1=2,an+1=2an，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，猜想an,并加以證明.
［證明］由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=222=23,?
a4=2a3=223=24.?
猜想an=2n(n∈N+).?
證明如下：?
由a1=2,an+1=2an,?
得==…===2.?
∴an=…a1=22…22＝2n.
16.已知函數(shù)f(x)=,設(shè)f(n)=an(n∈N+).求證：≤an1.
［解析］解法一：因?yàn)閍n-1=-1=-0,?
an-=-＝≥0,?
所以≤an1.
解法二：an===1-1,?
an+1-an=-
=
=.?
由n∈N+得an+1-an0，即an+1an,
所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.?
所以an的最小值為a1=,即an≥.
所以≤an1.

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等比數(shù)列教學(xué)案

俗話說(shuō)，居安思危，思則有備，有備無(wú)患。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《等比數(shù)列教學(xué)案》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)
知能目標(biāo)解讀
1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來(lái).
2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.
3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運(yùn)用.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用.
難點(diǎn)：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因?yàn)殡S意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，則以取得的第一個(gè)數(shù)為首項(xiàng)，且仍滿足從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比數(shù)列.
2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢?biāo)成等差的三項(xiàng)及以上的數(shù)，按原數(shù)列的先后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡(jiǎn)言之：下角標(biāo)成等差，項(xiàng)成等比.我們不妨設(shè)從等比數(shù)列{an}中依次取出的數(shù)為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則===…=qm(q為原等比數(shù)列的公比)，所以此數(shù)列成等比數(shù)列.
3.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q,c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，且公比仍為q;?{|an|}?也是等比，且公比為|q|.我們可以設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,且滿足=q,則==q,所以數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數(shù)列，公比為|q|.
4.在等比數(shù)列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下：因?yàn)閍man=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因?yàn)閙+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項(xiàng)數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首末兩端相等的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)之積.
5.若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1,q2,則
（1）{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數(shù)列，且公比為.
理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2;(2)=,
所以｛}仍為等比數(shù)列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系
（1）兩項(xiàng)關(guān)系
通項(xiàng)公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項(xiàng)關(guān)系
項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），
則aman＝.
2.等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積（若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的平方），即a1an＝a2=ak=a2(n為正奇數(shù)).
［答案］1.qn-mapaqa2p
2.an-1an-k+1
思路方法技巧
命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m(m、n∈N+)解題
［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
［分析］解答本題可充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，求得q,再求a10.
［解析］解法一：設(shè)公比為q,由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
［說(shuō)明］比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，使問題變得簡(jiǎn)單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問題時(shí)，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.
變式應(yīng)用1已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.
［解析］解法一：由已知條件a10,q0，且q≠1,這時(shí)
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,
顯然，a1+a8a4+a5.
解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當(dāng)0q1時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞減，1-q3與a1-a5同為正數(shù)，
當(dāng)q1時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，1-q3與a1-a5同為負(fù)數(shù)，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8a4+a5.
命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=（）
A.10B.25C.50D.75
［分析］已知等比數(shù)列中兩項(xiàng)的積的問題，常常離不開等比數(shù)列的性質(zhì)，用等比數(shù)列的性質(zhì)會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.
［答案］B
［解析］解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，
∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
［說(shuō)明］在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算，若按照常規(guī)解法，往往是建立a1,q的方程組，這樣解起來(lái)很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果.
變式應(yīng)用2在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an0,
∴a4+a8===.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用
［例3］試判斷能否構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{an}，使其滿足下列三個(gè)條件：
①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一個(gè)自然數(shù)m,使am-1,am,am+1+依次成等差數(shù)列，若能，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
［分析］由①②條件確定等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否符合條件③.
［解析］假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列{an},不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由條件①②及a1a6=a3a4,得
a1+a6=11a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數(shù)列的通項(xiàng)為an=2n-1或an=26-n.
對(duì)于an=2n-1,若存在題設(shè)要求的m,則
2am=am-1+（am+1+）,得
2（2m-1）=2m-2+2m+,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.
對(duì)于an=26-n,若存在題設(shè)要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項(xiàng)為an=26-n.
［說(shuō)明］求解數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.
［解析］由題意得a22=a1a4，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以數(shù)列{kn}的通項(xiàng)為kn=3n+1.
名師辨誤做答
［例4］四個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且前三項(xiàng)之積為1，后三項(xiàng)之和為1，求這個(gè)等比數(shù)列的公比.
［誤解］設(shè)這四個(gè)數(shù)為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a(bǔ)=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
［辨析］上述解法中，四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2,則公比為正數(shù)，但題設(shè)并無(wú)此條件，因此導(dǎo)致結(jié)果有誤.
［正解］設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

（aq）3=1,①
aq+aq2+aq3=1.②
由①得a=q-1,把a(bǔ)=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比為或-.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等比數(shù)列｛an｝中，若a6=6,a9=9,則a3等于（）
A.4B.C.D.3?
［答案］A?
［解析］解法一：∵a6=a3q3,
∴a3q3=6.?
a9=a6q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a26=a3a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數(shù)列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于（）
A.90B.30C.70D.40
［答案］D
［解析］∵q2==2,?
∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.
3.如果數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，那么（）?
A.數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛2an｝是等比數(shù)列
C.數(shù)列｛lgan｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛nan｝是等比數(shù)列
［答案］A
［解析］數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2,故選A.
二、填空題
4.若a,b,c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.?
［答案］1?
2b=a+c,
［解析］由題意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比數(shù)列｛an｝中，公比q=2,a5=6,則a8=.?
［答案］48
［解析］a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數(shù)列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
［解析］∵{an}為等比數(shù)列,?
∴a1a9=a3a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個(gè)根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
當(dāng)a3=4時(shí)，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
當(dāng)a3=16時(shí)，a3+a7=a3（1+q4）=20,
∴1+q4=，∴q4=.?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中，a4=6,a8=18,則a12=（）
A.24B.30C.54D.108?
［答案］C?
［解析］∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8q4=54.
2.在等比數(shù)列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為（）
A.124B.128C.130D.132
［答案］B?
［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝為等比數(shù)列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）
A.5B.10C.15D.20?
［答案］A?
［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5)2=25,?
又∵an0,∴a3+a5=5.
4.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于（）
A.16B.32C.64D.256?
［答案］C?
［解析］由已知，得a1a19=16,?
又∵a1a19=a8a12=a102,
∴a8a12=a102=16,又an0,?
∴a10=4,
∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9=2a25,a2=1,則a1=（）?
A.B.C.D.2?
［答案］B?
［解析］∵a3a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴（）2=2,?
∴q2=2,∵q0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
6.在等比數(shù)列｛an｝中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,則等于（）
A.B.C.D.6
［答案］A
a7a11=a4a14=6
［解析］∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵anan+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
7.已知等比數(shù)列｛an｝中，有a3a11=4a7,數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7,則b5+b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
［答案］C
［解析］∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0abc,且a,b,c成等比數(shù)列的整數(shù)，n為大于1的整數(shù)，則logan,logbn,logcn成
（）
A.等差數(shù)列?B.等比數(shù)列?
C.各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列?D.以上都不對(duì)?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等比數(shù)列，∴b2=ac.?
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=,?
∴+=.
二、填空題
9.等比數(shù)列｛an｝中，an0，且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等于.
［答案］27
［解析］由題意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=-,則等于.
［答案］-3
［解析］＝
==-3.
11.(2012株州高二期末)等比數(shù)列{an}中，an0,且a5a6=9,則log3a2+log3a9=.
［答案］2
［解析］∵an0,∴l(xiāng)og3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.（2011廣東文，11）已知｛an｝是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=.
［答案］2?
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因?yàn)閍2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因?yàn)閍n為遞增數(shù)列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數(shù)列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求a10.
［解析］∵a4a7=a3a8=-512，
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數(shù)，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×（-2）7＝512.
14.設(shè)｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.?
［解析］由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8，
∵a22=a1a3，∴a2=2,又b1b2b3=-3,
設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，得?
log2（）log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠2010年生產(chǎn)某種機(jī)器零件100萬(wàn)件，計(jì)劃到2012年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬(wàn)件.如果每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率相同，這個(gè)百分率是多少？2011年生產(chǎn)這種零件多少萬(wàn)件？.
［解析］設(shè)每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率為x,則從2010年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1＋x)2,成等比數(shù)列.
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21,
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(萬(wàn)件)，?
所以每年增長(zhǎng)的百分率為10％，2011年生產(chǎn)這種零件110萬(wàn)件.
16.等差數(shù)列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.
［解析］設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比數(shù)列得a3a10=a26，?
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
當(dāng)d=0時(shí)，S20=20a4=200，?
當(dāng)d=1時(shí)，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.

《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教學(xué)案例

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教學(xué)案例”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

酶的特性

第五章第1節(jié)降低化學(xué)反應(yīng)活化能的酶
二、酶的特性
一、教材分析
本節(jié)課主要講述酶在生物新陳代謝中的重要作用及其生理特性,教材對(duì)酶的本質(zhì)和特性作了重點(diǎn)介紹。本章本節(jié)課內(nèi)容是高二生物教材的重難點(diǎn)內(nèi)容。自然界中的一切生命現(xiàn)象皆與酶的活動(dòng)有關(guān)。在本章節(jié)中通過(guò)探索驗(yàn)證酶的特性的教學(xué)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生建立科學(xué)的思維方法和研究精神。
二、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)控制自變量，觀察和檢測(cè)因變量的變化及設(shè)置對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組。
2、能力目標(biāo)：學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言闡明實(shí)驗(yàn)探究的結(jié)果。
概述溫度和pH影響酶的活性。
4、情感態(tài)度價(jià)值觀：體驗(yàn)科學(xué)探究過(guò)程,領(lǐng)悟科學(xué)探究方法，體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)合作精神。
二、教學(xué)重點(diǎn)：
1、學(xué)會(huì)控制自變量，觀察和檢測(cè)因變量的變化及設(shè)置對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組。
2、學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言闡明實(shí)驗(yàn)探究的結(jié)果。
三、教學(xué)難點(diǎn)：
確定和控制對(duì)照實(shí)驗(yàn)中的自變量和無(wú)關(guān)變量，觀察和檢測(cè)因變量的變化。
四、學(xué)情分析
學(xué)生通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了實(shí)驗(yàn)操作基礎(chǔ)，這節(jié)課的三個(gè)實(shí)驗(yàn)是在前面的基礎(chǔ)上完成的，所以學(xué)生對(duì)此并不陌生。
五、教學(xué)方法
1．實(shí)驗(yàn)法：比較過(guò)氧化氫在不同條件下的分解。
2．學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。
3．新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)
六、課前準(zhǔn)備
實(shí)驗(yàn)材料用具的準(zhǔn)備、課件制作、學(xué)生預(yù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容
七、課時(shí)安排：1課時(shí)
八、教學(xué)過(guò)程
(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。
（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。
教師：通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容---酶的高效性的實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)入新課。
提問：酶的催化效率如此高效，酶能否催化任意一個(gè)化學(xué)反應(yīng)?
（三）合作探究、精講點(diǎn)撥。
探究一：酶的專一性
教師演示“淀粉酶對(duì)淀粉和蔗糖的水解作用”實(shí)驗(yàn)，學(xué)生邊看邊做此實(shí)驗(yàn)，仔細(xì)觀察根據(jù)現(xiàn)象可知:淀粉酶只能催化淀粉水解，而不能催化蔗糖水解。說(shuō)明生物體內(nèi)某些酶只能催化某些分子結(jié)構(gòu)相近的物質(zhì)，而不能催化所有物質(zhì)。如二肽酶能水解任意兩種氨基酸組成的二肽。所以，每一種酶只能催化一種或一類化合物。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得出這樣的結(jié)論：酶的催化作用具有專一性。
提問：酶所催化的反應(yīng)是不是在任何條件下都能發(fā)揮作用呢？
探究二：溫度和PH值對(duì)酶活動(dòng)的影響
1.實(shí)驗(yàn)分組和實(shí)驗(yàn)材料的選擇
將學(xué)生分組，兩小組探究溫度對(duì)酶活性的影響，另兩組探究pH對(duì)酶活性的影響。
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)酶材料進(jìn)行選擇。向?qū)W生展示α—淀粉酶（工業(yè)用酶，適宜溫度60℃），還有新鮮的肝臟研磨液，提問：肝臟研磨液里主要包含那種酶？
問：如果選用過(guò)氧化氫酶來(lái)探究溫度對(duì)酶的影響，合適不合適？
教師補(bǔ)充：如果我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中設(shè)置高溫條件，溫度不僅會(huì)對(duì)酶的活性產(chǎn)生影響，還會(huì)對(duì)化學(xué)反應(yīng)本身的速率產(chǎn)生影響。這樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就不夠嚴(yán)密。建議用α—淀粉酶來(lái)探究溫度對(duì)酶活性的影響，用過(guò)氧化氫酶來(lái)探究PH對(duì)酶活性的影響。
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所選材料對(duì)要探究的問題做出假設(shè)。
指出：控制好變量對(duì)于設(shè)計(jì)一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、可行性?qiáng)的實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)尤為重要。在大屏幕上列出思考問題：
（1）你所設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的自變量是什么？如何控制？
（2）實(shí)驗(yàn)的因變量是什么？反映因變量的指標(biāo)是？如何對(duì)其指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)？
（3）無(wú)關(guān)變量有哪些？如何進(jìn)行控制？
應(yīng)遵循的原則：對(duì)照原則
單一變量原則
等量原則和控制無(wú)關(guān)變量
2.實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)和討論
在學(xué)生討論、互評(píng)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出比較合理完善的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，將方案展示如下：
溫度組：
⑴取六支潔凈的試管，分別標(biāo)號(hào)1,2，3，4,5和6。
⑵向1～３號(hào)試管中各加入１ｍｌα—淀粉酶溶液，向４～６號(hào)試管中各加入２ｍｌ淀粉溶液。
⑶將１號(hào)和４號(hào)試管放入０℃冰水浴中，２號(hào)和５號(hào)試管放入６０℃水浴中，３號(hào)和６號(hào)試管放入１００℃沸水浴中，均保溫５分鐘。
⑷分別將置于相同溫度下的兩支試管中的溶液混合均勻，仍然分別在０℃、６０℃、１００℃條件下保溫，讓混合液反應(yīng)５分鐘。
⑸將反應(yīng)后的三支試管取出，分別加入等量碘液，震蕩搖勻，觀察溶液顏色變化，是否變藍(lán)及變藍(lán)程度，記錄下來(lái)。

pH組：
⑴取六支潔凈的試管，分別標(biāo)號(hào)1,2，3，4,5和6。
⑵向1～３號(hào)試管中各加入２ｍｌ肝臟研磨液，向
４～６號(hào)試管中各加入２ｍｌH2O2溶液。　
⑶向１號(hào)和４號(hào)試管中各加入２滴5%的NaOH溶液，向２號(hào)和５號(hào)試管中各加入２滴蒸餾水，向３號(hào)和６號(hào)試管中各加入２滴5%的鹽酸溶液，靜置２分鐘。
⑷分別將１號(hào)和４號(hào)、２號(hào)和５號(hào)、３號(hào)和６號(hào)試管中的溶液混合，震蕩，觀察混合后的三支試管中氣泡產(chǎn)生的劇烈程度和氣泡生成量的多少，記錄。
3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析和討論
如果實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不明顯，引導(dǎo)學(xué)生共同討論分析、總結(jié)原因。如：①試劑量取、混合等實(shí)驗(yàn)步驟操作是否規(guī)范;②在先后取不同試劑時(shí)，量筒有無(wú)清洗干凈；③在酶與底物混合后，有無(wú)在與混合前相同的條件下給予充分的反應(yīng)時(shí)間。等等。
4.得出結(jié)論
每種酶都有發(fā)揮自己活性的最適溫度和最適pH，當(dāng)溫度過(guò)高或者是過(guò)低，酶的活性都會(huì)下降，且高溫可以使酶永久失活，pH過(guò)酸或者是過(guò)堿，酶的活性也都會(huì)下降。
5.拓展延伸：如果給一個(gè)未知的酶，如何測(cè)定它發(fā)揮活性的最適溫度和最適pH？

（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。
教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）
（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。
完成本節(jié)的課后練習(xí)及課后延伸拓展作業(yè)。
設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對(duì)本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。
九、板書設(shè)計(jì)
一、酶的專一性
二、酶的作用條件較溫和
十、教學(xué)反思
1、這節(jié)課是根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)“培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)，倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)”而設(shè)計(jì)的。筆者在本節(jié)課中設(shè)計(jì)了三個(gè)不同方式、不同程度的探究實(shí)驗(yàn)，一個(gè)是實(shí)驗(yàn)錄像的觀察，另一個(gè)是利用課件模擬酶的專一性實(shí)驗(yàn)，第三個(gè)是實(shí)際的實(shí)驗(yàn)探究。第二、第三個(gè)實(shí)驗(yàn)是在學(xué)生已掌握的實(shí)驗(yàn)一的方法后，在進(jìn)一步的思考與討論中開展的。目的是做到既關(guān)注知識(shí)結(jié)論，更關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。
2、酶的專一性和酶所需的作用條件實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)比較靈活，需要和物質(zhì)鑒定實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，難度較大，宜以課題小組的形式進(jìn)行討論。另外，由于受儀器設(shè)備的限制，對(duì)于酶的催化作用的原理不宜探究過(guò)深。
3、新課標(biāo)的理念，在于突出發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)習(xí)的過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維能力。而通過(guò)重現(xiàn)和虛擬手段模擬生命現(xiàn)象，是生物科學(xué)的一種重要研究方法。在本節(jié)課中，通過(guò)虛擬實(shí)驗(yàn)操作模擬酶的專一性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過(guò)程，把抽象復(fù)雜的生命現(xiàn)象，轉(zhuǎn)化為直觀具體、肉眼可見的過(guò)程，既有利于學(xué)生理解掌握，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和與人合作交流的能力。

等比數(shù)列學(xué)案

第3課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
知能目標(biāo)解讀
1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法--錯(cuò)位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)的問題.在應(yīng)用時(shí)，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.
3.能夠利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的求和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.
難點(diǎn)：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及公式的靈活運(yùn)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}，其首項(xiàng)為a1，公比為q，則其前n項(xiàng)和公式為
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是說(shuō)，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進(jìn)行討論.
（2）等比數(shù)列{an}中，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，n時(shí)，用公式Sn=，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，an時(shí)，用公式Sn=.
2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)
除課本上用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).
(1)合比定理法
由等比數(shù)列的定義知：==…==q.
當(dāng)q≠1時(shí)，=q,即=q.
故Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(2)拆項(xiàng)法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(3)利用關(guān)系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn=,
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
注意：
(1)錯(cuò)位相減法，合比定理法，拆項(xiàng)法及an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時(shí)常用到，要領(lǐng)會(huì)這些技巧.
(2)錯(cuò)位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{anbn}的前n項(xiàng)和.
3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個(gè)：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識(shí)可知，解決等比數(shù)列問題時(shí)，這五個(gè)量中只要已知其中的任何三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)量.
（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時(shí)，注意分q=1和q≠1的討論.
4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，令A(yù)=，則等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).
當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù)）.
(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點(diǎn).當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點(diǎn).
知能自主梳理
1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式
（1）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)公比q≠1時(shí)，Sn==;當(dāng)q=1時(shí)，Sn=.
(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法是.
2.公式特點(diǎn)
（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q≠0,q≠1，則數(shù)列{an}為.
（2）在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個(gè)量，在這五個(gè)量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)錯(cuò)位相減法
2.（1）等比數(shù)列（2）三二
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
［例1］設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
［分析］應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)公比q的討論.
［解析］當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=3a3,符合題目條件；
當(dāng)q≠1時(shí)，=3a1q2,
因?yàn)閍1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
綜上所述，公比q的值是1或－.
［說(shuō)明］（1）在等比數(shù)列中，對(duì)于a1,an,q,n,Sn五個(gè)量，已知其中三個(gè)量，可以求得其余兩個(gè)量.
（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應(yīng)分q=1或q≠1兩種情況討論.
（3）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，當(dāng)q≠1時(shí)，若已知a1,q,n利用Sn=來(lái)求；若已知a1,an,q,利用Sn=來(lái)求.
變式應(yīng)用1在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
將q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)求解.
［解析］∵{an}為等比數(shù)列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［說(shuō)明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時(shí)，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.
變式應(yīng)用2等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
當(dāng)q=時(shí)，a1=,
∴S4==28.
當(dāng)q=-時(shí)，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和在實(shí)際問題中的應(yīng)用
［例3］某公司實(shí)行股份制，一投資人年初入股a萬(wàn)元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬(wàn)元.
（1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；
（2）寫出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；
（3）為實(shí)現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對(duì)于原始投資a萬(wàn)元恰好翻兩番的目標(biāo)，若a=395,則x的值應(yīng)為多少?(在計(jì)算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和為
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依題意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
設(shè)1.2520=t,∴l(xiāng)gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
變式應(yīng)用3某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貨款的年利息為10％，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？
［解析］第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名師辨誤做答
［例4］求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n項(xiàng)和.
［誤解］所求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所給數(shù)列除首項(xiàng)外，每一項(xiàng)都與a有關(guān)，而條件中沒有a的范圍，故應(yīng)對(duì)a進(jìn)行討論.
［正解］由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,…中依次取出1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)，……的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項(xiàng)和中共含有原數(shù)列的前（1+2+…+n）項(xiàng).所以Sn=1+a+a2+…+a.①當(dāng)a=0時(shí)，Sn=1.②當(dāng)a=1時(shí)，Sn=.③當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn=.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由題意得==.故選C.
2.等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和等于首項(xiàng)的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比數(shù)列｛2n｝的首項(xiàng)為2，公比為2.?
∴Sn===2n+1-2,故選D.
二、填空題
4.若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），則a5=;前8項(xiàng)的和S8=.（用數(shù)字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
兩式相減，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答題
6.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1qn-1，由已知條件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
將a1q3=-8代入①式，得q2=-2,沒有實(shí)數(shù)q滿足此式，故舍去.?
將a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
當(dāng)q=2時(shí)，得a1=1,所以S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以依題意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因?yàn)閧an}是實(shí)數(shù)列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.?
公比q的值為q==±2,?
當(dāng)q=2時(shí)，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中，a2=9,a5=243,則{an}的前4項(xiàng)和為（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=4n+a，則a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］設(shè)等比數(shù)列為｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項(xiàng)和為1，那么前10項(xiàng)和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故選B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q為整數(shù)，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］設(shè)公比為q,則q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比數(shù)列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故選B.
7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故選A.
8.正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝滿足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空題
9.等比數(shù)列，-1，3，…的前10項(xiàng)和為.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n為正奇數(shù))?
11.已知數(shù)列{an}中，an=，則a9=.
2n-1（n為正偶數(shù)）
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,則a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1與q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,則，
a3=a1q2=1
從而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,則，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
綜上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大綱文科，17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
［解析］設(shè){an}的公比為q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)當(dāng)a1=3,q=2時(shí)，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當(dāng)a1=2,q=3時(shí)，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知實(shí)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn,證明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因?yàn)閍4,a5+1,a6成等差數(shù)列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)證明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘會(huì)上，A、B兩家公司分別開出了工資標(biāo)準(zhǔn)：
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.
大學(xué)生王明被A、B兩家公司同時(shí)錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過(guò)一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.

王明的選擇過(guò)程第n年月工資為an第n年月工資為bn
首項(xiàng)為1500，公差為230的等差數(shù)列首項(xiàng)為2000，公比為1＋5％的等比數(shù)列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

結(jié)論顯然S10T10,故王明選擇了A公司