高中等差數(shù)列的教案

數(shù)列的概念學(xué)案。

第一章數(shù)列
本章概述
●課程目標(biāo)
1.雙基目標(biāo)
（1）通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；
（2）通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；
（3）探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式.在公式的推導(dǎo)過程中，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、類比、抽象、概括等過程，經(jīng)過反思、交流，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、探索、歸納的能力，體會由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；
（4）體會等差數(shù)列與一次函數(shù)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；
（5）能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比數(shù)列模型，并能運(yùn)用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
2.情感目標(biāo)
（1）通過本章學(xué)習(xí)提高觀察、分析、歸納、猜想的能力.
（2）“興趣是最好的老師”，數(shù)列中的奧妙與趣味定會激發(fā)你去學(xué)習(xí)，去思考，去探索.
（3）通過建立數(shù)列模型，以及應(yīng)用數(shù)列模型解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生提出、分析、解決問題的能力，提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).
●重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及判定，等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.
難點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.
●方法探究
1.結(jié)合實(shí)例，通過觀察、分析、歸納、猜想，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)列概念、公式、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和推證過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推公式，體會遞推方法是給出數(shù)列和研究有關(guān)數(shù)列問題的重要方法.
2.借助類比、對比，體會數(shù)列是一種特殊的函數(shù).經(jīng)歷類比函數(shù)研究數(shù)列，使用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題，對比等差數(shù)列研究等比數(shù)列，對比一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的過程.
3.引導(dǎo)學(xué)生收集有關(guān)資料，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)等差（等比）關(guān)系，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型的過程，探索它們的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)，體會它們的廣泛應(yīng)用.
4.幫助學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、梳理和體驗(yàn)本章蘊(yùn)含著的豐富的數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，進(jìn)一步感受“觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想、證明”的方法和模型化思想，函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)疊加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比錯(cuò)位相減等具體方法.
本章注意問題：
（1）多結(jié)合實(shí)例，通過實(shí)例去理解數(shù)列的有關(guān)概念.數(shù)列與函數(shù)密切相關(guān)，多角度比較兩者之間的異同，加深對兩方面內(nèi)容的理解.在解題或復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)自覺地運(yùn)用函數(shù)的思想方法去思考和解決數(shù)列問題，特別是對等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題.運(yùn)用函數(shù)思想方法以及利用它所得到的許多結(jié)論，不僅可以深化對數(shù)列知識的理解，而且可使這類問題的解答更為快速、合理.
（2）善于對比學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)等差數(shù)列后，再學(xué)等比數(shù)列時(shí)，可以把等差數(shù)列作為模型，從等差數(shù)列研究過的問題入手，再探求出等比數(shù)列的相應(yīng)問題，兩相對照，可以發(fā)現(xiàn)，在這兩種數(shù)列的定義、一般形式、通項(xiàng)形式、中項(xiàng)及性質(zhì)中，用了一些相類似的語句和公式形式，但內(nèi)容卻不相同，之所以有這樣的區(qū)別，原因在于“差”與“比”不同.通過對比學(xué)習(xí)，加深了對兩種特殊數(shù)列本質(zhì)的理解，會收到事半功倍的效果.
（3）要重視數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)作用.本章蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)給予充分注意，解題時(shí)多考慮與之相聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想方法.
§1數(shù)列
第1課時(shí)數(shù)列的概念
知能目標(biāo)解讀
1.通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念.
2.掌握并理解數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)公式、遞推公式的概念，能區(qū)分項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，并能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
3.了解數(shù)列的分類.
4.了解數(shù)列的表示方法：列表法、圖像法、通項(xiàng)公式法、遞推公式法.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：了解數(shù)列的概念和簡單表示方法，體會數(shù)列是反映自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.
難點(diǎn)：將數(shù)列作為一種函數(shù)去認(rèn)識、了解.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.數(shù)列的定義
(1)數(shù)列與數(shù)集是不同的，有序性是數(shù)列的基本屬性.兩組完全相同的數(shù)，由于排列的順序不一樣，就構(gòu)成了不同的數(shù)列.因此用記號{an}表示數(shù)列時(shí)，不能把{an}看成一個(gè)集合，這是因?yàn)椋孩贁?shù)列{an}中的項(xiàng)是有序的，而集合中的元素是無序的；②數(shù)列{an}中的數(shù)是可以重復(fù)的，即數(shù)列{an}中可以有相等的項(xiàng)，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互異的；③數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)以外的其他事物.
(2)數(shù)列中的項(xiàng)的表示通常用英文字母加右下角標(biāo)來表示，如an.其中的右下角標(biāo)n表示項(xiàng)的位置序號.
(3){an}與an是不同的概念，{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…，而an僅表示數(shù)列的第n項(xiàng).
2.數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指出現(xiàn)在這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)an，由于數(shù)列{an}的每一項(xiàng)的序號n與這一項(xiàng)an的對應(yīng)關(guān)系可以看成序號集合到項(xiàng)的集合的函數(shù)，故數(shù)列中的項(xiàng)是一個(gè)函數(shù)值，即f(n).而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是這個(gè)函數(shù)值f(n)對應(yīng)的自變量的值，即n的集合是自然數(shù)集（或其子集）.
3.數(shù)列的分類
判斷一個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，應(yīng)明確數(shù)列元素的構(gòu)成以及影響構(gòu)成元素的要素是有限還是無限的.
4.通項(xiàng)公式
(1)由于數(shù)列可看做是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集)的函數(shù)，數(shù)列中的各項(xiàng)為當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，該函數(shù)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，項(xiàng)數(shù)n是相應(yīng)的自變量.
(2)如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)；同時(shí)，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的項(xiàng)，如果是的話，是第幾項(xiàng).
(3)如所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.
如的近似值，精確到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所構(gòu)成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就沒有通項(xiàng)公式.
注意：
(1)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1)n，可以寫成an=(-1)n+2，還
-1(n為奇數(shù))
可以寫成an=，這些通項(xiàng)公式雖然形式上不同，但都表示同一數(shù)列.
1(n為偶數(shù)),
(2)有些數(shù)列，只給出它的前幾項(xiàng)，并沒有給出它的構(gòu)成規(guī)律，那么僅由前面幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列通項(xiàng)公式并不唯一.如數(shù)列2,4,8,…根據(jù)有限項(xiàng)可以寫成an=2n，也可以寫成an=n2-n+2.只要符合已知前幾項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律即可.
5.數(shù)列的遞推公式
(1)遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)（或第二項(xiàng)以后的某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法.
(2)關(guān)于遞推公式及應(yīng)用需注意的幾個(gè)問題：
①通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別
通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，通過通項(xiàng)公式就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)（或多個(gè)）相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.
②如何用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列
用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出①“基礎(chǔ)”——數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)；②遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示.
注意：(1)并不是任何數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式或遞推公式.
(2)以后學(xué)習(xí)或研究的數(shù)列往往以遞推公式的方式給出定義或提供信息.
(3)根據(jù)數(shù)列的遞推公式可求數(shù)列中的任一項(xiàng).
例如：設(shè)數(shù)列{an}滿足：
a1=1
，寫出這個(gè)數(shù)的前5項(xiàng).
an=1+(n1)
由題意可知a1=1,a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=，a4=1+=1+=，a5=1+=1+=.
∴此數(shù)列前5項(xiàng)分別為：1，2，，，.
本例顯示，遞推公式和通項(xiàng)公式是反映數(shù)列構(gòu)成規(guī)律的兩個(gè)不同形式.遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系，它雖然揭示了一些數(shù)列的性質(zhì)，但要了解數(shù)列的全貌，還需要進(jìn)行計(jì)算，它的計(jì)算并不方便.而通項(xiàng)公式更注重整體性和統(tǒng)一性，利用通項(xiàng)公式可求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).

知能自主梳理
1.數(shù)列的概念
（1）數(shù)列：一般地，按照一定排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.
（2）項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的.
（3）數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為：.數(shù)列的第1項(xiàng)a1也稱，an是數(shù)列的第n項(xiàng)，叫數(shù)列的.
2.數(shù)列的分類
項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作.
3.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an=f(n)，那么式子叫作數(shù)列{an}的.
4.數(shù)列的表示方法
數(shù)列的表示方法一般有三種：、、.
［答案］1.(1)次序(2)項(xiàng)(3)｛an｝首項(xiàng)通項(xiàng)
2.有窮數(shù)列無窮數(shù)列
3.通項(xiàng)公式
4.列表法圖像法解析法
思路方法技巧
命題方向數(shù)列的概念
［例1］下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？
(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;
(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…;
(5)6,6,6,6,6.
［分析］此類問題的解決，必須要對數(shù)列及其有關(guān)概念理解認(rèn)識到位，結(jié)合有關(guān)概念及定義來解決.
［解析］（1）是集合，不是數(shù)列；（2）、（3）、（4）、（5）是數(shù)列.
其中（3）、（4）是無窮數(shù)列，（2）、（5）是有窮數(shù)列.
變式應(yīng)用1下列說法正確的是()
A.數(shù)列2,3,4與數(shù)列4,3,2是同一數(shù)列
B.數(shù)列1,2,3與數(shù)列1,2,3,…是同一數(shù)列
C.1,4,2,，不是數(shù)列
D.數(shù)列{2n-3}與-1,1,3,5,…不一定是同一數(shù)列
［答案］D
［解析］由數(shù)列的概念知A中的兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同，但排列順序不一樣，B中的兩個(gè)數(shù)列前者為有窮數(shù)列，后者為無窮數(shù)列，故A、B均不正確，C中顯然是數(shù)列，D中數(shù)列{2n-3}是確定數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=2n-3，但-1,1,3,5，…前4項(xiàng)符合an=2n-3,但后面的項(xiàng)不一定符合此規(guī)律，故不一定是同一數(shù)列.
命題方向數(shù)列的通項(xiàng)公式
［例2］寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式
(1)3,5,9,17,33,…;
(2)，，，，…；
(3),2,，8，，…;
(4)，，，，….
［分析］通過觀察，找出所給出的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n關(guān)系的規(guī)律，再寫通項(xiàng)公式.
［解析］(1)通過觀察，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別減去1，變?yōu)?,4,8,16,32,…其通項(xiàng)公式為2n，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n+1.
(2)通過觀察，發(fā)現(xiàn)分子部分為正偶數(shù)數(shù)列{2n}，分母各項(xiàng)分解因式：13,35，57，79,…為相鄰奇數(shù)的乘積，即(2n-1)(2n+1)，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.
(3)由于在所給數(shù)列的項(xiàng)中，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再觀察，在數(shù)列,，，，，…中，分母為2，分子為n2，故an=.
(4)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n-1；分子的前
一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，其通項(xiàng)公式為(n+1)2，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，其通項(xiàng)公式為n，綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an==.
［說明］在根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式時(shí)，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn).解題的注意力應(yīng)集中到尋求數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系上來，觀察這幾項(xiàng)的表示式中哪些部分是變化的，哪些部分是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而歸納出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)關(guān)系的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式.
變式應(yīng)用2寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
（1）1，3，7，15，31，…;
（2）1，，，，…；
（3）0.9，0.99，0.999，……，0.，….
［解析］（1）注意觀察各項(xiàng)發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別加上1，變?yōu)?,4,8,16,32,…,其通項(xiàng)公式為2n,故原數(shù)列通項(xiàng)公式為an=2n-1,n∈N+;
（2）調(diào)整為，，，，它的前幾項(xiàng)都是自然數(shù)的倒數(shù)，∴an=；
（3）0.9=1－0.1，0.99=1－0.01，0.999=1－0.001，…
∴第n項(xiàng)an=0.=1－0.1=1－.
命題方向數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用
［例3］在數(shù)列｛an｝中通項(xiàng)公式是an＝（-1）n-1,寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并判斷是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)，如果不是，請說明理由.
［分析］由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，令an=,判斷是否有正整數(shù)解即可.
［解析］a1=(-1)0＝，a2=(-1)1＝－，a3=(-1)2＝.
a4=(-1)3＝－，a5=(-1)4＝.
∴該數(shù)列前5項(xiàng)分別為：，－，，-,.
令(-1)n-1=得
n1且為奇數(shù)
8n2-81n+81=0.
∴n=9.所以是該數(shù)列中的第9項(xiàng).
［說明］已知數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫出該數(shù)列中的任意一項(xiàng)，可以判斷一個(gè)數(shù)（或代數(shù)式）是否為該數(shù)列中的項(xiàng).令通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)，若方程有正整數(shù)解，則該數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)，否則不是.
變式應(yīng)用3以下四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列{n（n＋1）}中的項(xiàng)（）
A.380B.39C.32D.?23
［分析］數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式f(n)=n(n+1)，對于某個(gè)數(shù)m，若m是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則n（n+1）=m必有正整數(shù)解.若無正整數(shù)解，則m肯定不是{an}中的項(xiàng).
［答案］A
［解析］依次令n(n+1)=23或32或39檢驗(yàn)知無整數(shù)解.只有n（n+1）=380有整數(shù)解n=19.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向數(shù)列的遞推公式
［例4］在數(shù)列{an}中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5.
［分析］由a1=2，a2=1及遞推公式an+2=3an+1-an,依次找出a3,a4,a5,a6即可.
［解析］解法一：∵a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,
∴a3=3a2-a1=3×1-2=1,
a4=3a3-a2=3×1-1=2,
a5=3a4-a3=3×2-1=5,
a6=3a5-a4=3×5-2=13,
∴a6+a4-3a5=13+2-3×5=0.
解法二：∵an+2=3an+1-an,
令n=4,則有a6=3a5-a4,∴a6+a4-3a5=0.
［說明］遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，應(yīng)用遞推公式可以求數(shù)列中的項(xiàng)，但需要一項(xiàng)一項(xiàng)遞推，故在運(yùn)算過程中要特別細(xì)心.
變式應(yīng)用4已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an=2an-1+1(n≥2)，那么a5=.
［答案］31
［解析］由遞推關(guān)系式an=2an-1+1和a1=1可得
a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,
a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.
名師辨誤做答
［例5］已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,0,1,0，則下列各式可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的有（）
①an=［1+(-1)n+1］;②an=sin2π，(n∈N+);③an=［1+(-1)n+1］+(n-1)(n-2);④an=;
1(n為偶數(shù))
⑤an=
0(n為奇數(shù))
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
［誤解］D
［辨析］誤解的原因是認(rèn)為通項(xiàng)公式只有一個(gè)而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
［正解］B將n=1,2,3,4分別代入驗(yàn)證可知①②④均正確.均可以作為數(shù)列的通項(xiàng)公式，而③⑤不是數(shù)列的通項(xiàng)公式，答案選B.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.數(shù)列，，2，，…，則2是該數(shù)列的（）
A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng)
［答案］B
［解析］數(shù)列，，2，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(n∈N＋),令2＝,得n=7.故選B.
2.數(shù)列0，，，，，…的通項(xiàng)公式為（）
A.an=B.an=C.an=D.an=
［答案］C
［解析］解法一：驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a1=0,排除A、D；當(dāng)n=2時(shí)，a2=,排除B，故選C.
解法二：數(shù)列0，，，，，…即數(shù)列，，，，，…，
∴該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,故選C.
3.數(shù)列1，3，6，10，x，21，…中，x的值是（）
A.12B.13C.15D.16
［答案］C?
［解析］∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,?
x-10=5
∴,∴x=15.
21-x=6
二、填空題
4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1,則ak+1=.?
［答案］2k+3
［解析］∵an=2n+1,∴ak+1=2(k+1)+1=2k+3.
5.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=(n∈N+),則是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).?
［答案］10
［解析］令an=,即=,?
解得n=10或n=-12（舍去）.
三、解答題
6.根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)的規(guī)律，寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.?
(1)-1,1,-1,1;?
(2)-3,12,-27,48;?
(3)，,，;?
(4)，，，.?
［解析］(1)各項(xiàng)絕對值為1，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n;
(2)各項(xiàng)絕對值可以寫成3×12,3×22,3×32,3×42,…，又因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n3n2;
(3)因?yàn)?,=，各項(xiàng)分母依次為5,8,11,14，為序號3n+2；分子依次為3,4,5,6為序號n+2，故通項(xiàng)公式為an=;
(4)因?yàn)榉帜?,15,35,63可看作22-1,42-1,62-1，82-1，故通項(xiàng)公式為an==.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知數(shù)列,,,,…,,則0.96是該數(shù)列的（）?
A.第22項(xiàng)B.第24項(xiàng)C.第26項(xiàng)D.第28項(xiàng)
［答案］B?
［解析］因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為an=,?由=0.96得n=24，故選B.
2.已知an=n2+n,那么（）
A.0是數(shù)列中的項(xiàng)B.20是數(shù)列中的項(xiàng)?
C.3是數(shù)列中的項(xiàng)?D.930不是數(shù)列中的項(xiàng)
［答案］B?
［解析］∵an=n(n+1),且n∈N+,
∴an的值為正偶數(shù)，故排除A、C；
令n2+n=20,即n2+n-20=0,解得n=4或n=-5(舍去).
∴a4=20,故B正確；
令n2+n=930,即（n+31）(n-30)=0.
∴n=30或n=-31(舍去)
∴a30=930,故D錯(cuò).
3.下面四個(gè)結(jié)論：
①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，3……，n}）上的函數(shù).
②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn).?
③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的.?
④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.?
其中正確的是（）
A.①②B.①②③?C.②③D.①②③④
［答案］A
［解析］數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的也可以是無限的.數(shù)列通項(xiàng)的表示式可以不唯一.例如數(shù)列1，0，-1，0，1，0，-1，0……的通項(xiàng)可以是an=sin，也可以是an=cos等等.
4.數(shù)列2，0，4，0，6，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）?
A.an=［1+(-1)n］B.an=［1+(-1)n+1］
C.an=［1+(-1)n+1］D.an=［1+(-1)n］
［答案］B
［解析］經(jīng)驗(yàn)證可知B符合要求.
3n+1(n為奇數(shù))
5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,則a2a3等于（）
2n-2(n為偶數(shù))
A.70B.28C.20D.8
［答案］C
［解析］由通項(xiàng)公式可得a2=2,a3=10,∴a2a3=20.
6.(2012天津武清區(qū))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-14n+45，則下列敘述正確的是（）
A.20不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)B.只有第5項(xiàng)是20
C.只有第9項(xiàng)是20?D.這個(gè)數(shù)列第5項(xiàng)、第9項(xiàng)都是20
［答案］D?
［解析］令an=20,得n2-14n+45=0,解得n=5或n=9,故選D.
7.已知數(shù)列,,，,,…,則5是它的第（）?
A.18項(xiàng)B.19項(xiàng)C.20項(xiàng)D.21項(xiàng)
［答案］D
［解析］觀察可得{an}的通項(xiàng)公式:an=,(n∈N+),5==,所以n=21.
8.已知數(shù)列{an}對任意的p、q∈N+滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）
A.-165B.-33C.-30D.-21
［答案］C
［解析］∵對任意p、q∈N+都有ap+q=ap+aq.
∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.
二、填空題
9.已知數(shù)列,3,,,3,…,,…,則9是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).
［答案］14
［解析］數(shù)列可寫為,，，，，…，,…,?
所以an=,?令=9.∴n=14.
10.已知數(shù)列{an}中，an+1=對任意正自然數(shù)n都成立，且a7=，則a5=.
［答案］1?
［解析］由已知a7==,∴a6=.
又∵a6==,∴a5=1.
11.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=,則它的前4項(xiàng)為.?
［答案］，，，.?
［解析］取n=1,2,3,4,即可計(jì)算出結(jié)果.
當(dāng)n=1時(shí)，a1==,?
當(dāng)n=2時(shí)，a2==,?
當(dāng)n=3時(shí)，a3==,?
當(dāng)n=4時(shí)，a4==.
12.下列有四種說法，其中正確的說法是.?
①數(shù)列a,a,a,…是無窮數(shù)列；
②數(shù)列0,-1,-2,-3,…的各項(xiàng)不可能為正數(shù)；
③數(shù)列｛f(n)｝可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)N+或它的有限子集｛1，2，…，n｝的函數(shù)值；
④已知數(shù)列｛an｝，則數(shù)列｛an+1-an｝也是一個(gè)數(shù)列.
［答案］①④
［解析］題中①④顯然正確，對于②，數(shù)列只給出前四項(xiàng)，后面的項(xiàng)是不確定的，所以②不正確，對于③，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)N+或它的有限子集｛1，2,…,n｝的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，所以③不正確.
三、解答題
13.根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出它的前4項(xiàng)：?
（1）an=;?
（2）an=.?
［解析］(1)在通項(xiàng)公式中依次取n=1,2,3,4,便可得數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)為:
a1=,a2==,a3=,a4==.?
(2)在通項(xiàng)公式中依次取n=1,2,3,4,便可得數(shù)列｛an｝的前4項(xiàng)為：a1=-1,a2=,a3=-,a4=.
14.數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6.
（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？
（2）150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？
（3）該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始以后各項(xiàng)都是正數(shù)？
［解析］（1）當(dāng)n=4時(shí)，a4=42-4×7+6＝－6.?
（2）令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).?
(3)令an=n2-7n+60，解得n6或n1(舍)，
∴從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)都是正數(shù).
15.已知數(shù)列｛an｝中，a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）88是否是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)？?
［解析］（1）設(shè)an=an+b,?
∴a1=a+b=2,①
a17=17a+b=66,②
②-①得16a=64,∴a=4,b=-2,?
∴an=4n-2(n∈N+).
(2)令4n-2=88，∴4n=90,n=N+(舍去)，
∴88不是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng).
16.（1）在數(shù)列1,,3,,,…中，3是數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（2）已知無窮數(shù)列：1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…,判斷420與421是否為該數(shù)列的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？
［解析］(1)∵a1=1=,a2==,?a3=,a4=,
由此歸納得an==.
令an==3,∴n=12.
故3是此數(shù)列的第12項(xiàng).?
(2)由an=n(n+1)=420,解得n=20或n=-21（舍去），故420是此數(shù)列的第20項(xiàng).?
由an=n(n+1)=421,得n2+n-421=0，此方程無正整數(shù)解，故421不是該數(shù)列中的項(xiàng).?
［說明］數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(n)，對于一個(gè)數(shù)m,若m是此數(shù)列中的項(xiàng)，則方程f(n)=m必有正整數(shù)解；反之，若f(n)=m無正整數(shù)解，則m肯定不是此數(shù)列中的項(xiàng).

精選閱讀

數(shù)列的一般概念

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助教師營造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？下面是小編為大家整理的“數(shù)列的一般概念”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

3.1數(shù)列的一般概念（第一課時(shí)）
教學(xué)目的：
⒈理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系.
⒉了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)
⒊對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的個(gè)通項(xiàng)公式
教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，前n項(xiàng)和與an的關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：（課件第1頁）
觀察這些例子，看它們有何共同特點(diǎn)？（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義）
上述例子的共同特點(diǎn)是：⑴均是一列數(shù)；⑵有一定次序.
從而引出數(shù)列及有關(guān)定義
二、講解新課：數(shù)列的相關(guān)概念（課件第2頁）
例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“1”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“”是這個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng).
結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義.②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，3是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等。

下面我們再來看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式）對于上面的數(shù)列○5，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號有這樣的對應(yīng)關(guān)系：
序號12345
↓↓↓↓↓
項(xiàng)
這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號可用一個(gè)公式：來表示其對應(yīng)關(guān)系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng)
結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對應(yīng)關(guān)系
如：數(shù)列①：；
注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列○3；
⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.
⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).
（課件第3頁）

數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.
例題：
四、課堂練習(xí)：五、課后作業(yè)：（課件第5頁）

高三數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念與簡單表示法》學(xué)案分析

高三數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念與簡單表示法》學(xué)案分析

第一課時(shí)2.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法（一）
教學(xué)要求：理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項(xiàng)的特征寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.
教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)，抽象、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：
1.在必修①課本中，我們在講利用二分法求方程的近似解時(shí)，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，取其一半?！啊?，再取一半還剩“”，、、、、、、，如此下去，即得到1，，，，、、、、、、
2.生活中的三角形數(shù)、正方形數(shù).
二、講授新課：
1.教學(xué)數(shù)列及其有關(guān)概念：
①數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
②數(shù)列中排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)、、、、、、排在第位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).
③數(shù)列的一般形式可以寫成，簡記為.
④數(shù)列的分類：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動(dòng)數(shù)列.
2.教學(xué)數(shù)列的表示方法：
①討論下列數(shù)列中的每一項(xiàng)與序號的關(guān)系：
1，，，，、、、；，、、、；，、、、.
（數(shù)列的每一項(xiàng)都與序號有關(guān)，即數(shù)列可以看成是項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的函數(shù).）
②數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).）
③數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法.
3.例題講解：
例、寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函數(shù)表示）③－1，，－，，、、、
思考：是不是所有的數(shù)列都存在通項(xiàng)公式？根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式是唯一的嗎？
4.小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.
三、鞏固練習(xí)：
1.練習(xí)：、根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9,11,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；(5)2,－6,18,－54,162,…….
2.作業(yè)：教材P38頁第1①②、2題
第二課時(shí)2.1.2數(shù)列的概念與簡單表示法（二）
教學(xué)要求：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系.
教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：
1.復(fù)習(xí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故其表示方法有列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法.
2.提問：已知數(shù)列滿足，能寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)嗎？（學(xué)生討論個(gè)別回答教師點(diǎn)評）

數(shù)列的概念與簡單表示方法

數(shù)列的概念與簡單表示方法（二）
一．學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，理解數(shù)列的遞推公式及性質(zhì)。
二.問題導(dǎo)學(xué)
1.什么是數(shù)列的遞推公式？

2.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)開_______________（或它的有限子集得函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對應(yīng)的一列______________.
三.典型例題
例1.已知函數(shù)數(shù)列滿足。
⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
⑵證明：數(shù)列是遞減數(shù)列。

例2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為。
⑴數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？
⑵為何值時(shí)，有最小值？并求出此最小值。

例3.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。
四．課堂檢測
1.已知?jiǎng)t數(shù)列是（）
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)項(xiàng)D.不能確定
2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為且滿足則此數(shù)列第4項(xiàng)是（）
A．1B.C.D.
3.已知數(shù)列滿足若，則的值為（）
A.B.C.D.
4.在數(shù)列中，的值是___________________.
5.數(shù)列中的最大項(xiàng)是____________.
6.在數(shù)列中，且，則的值為________________.
7.數(shù)列的通項(xiàng)公式是。
⑴依次寫出該數(shù)列的前3項(xiàng)；
⑵判斷25是不是該數(shù)列中的某項(xiàng)；
⑶求該數(shù)列的最小項(xiàng)。

8.在數(shù)列中，，
⑴求證：⑵求。

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)

課時(shí)20等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)
教學(xué)目標(biāo)：1．掌握等比數(shù)列的概念。
2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行簡單的應(yīng)用。
教學(xué)過程：
1．觀察以下數(shù)列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點(diǎn)？
等比數(shù)列的定義：

。
定義的符號表示，注意點(diǎn)：①，②。
3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請指出公比的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比數(shù)列的未知項(xiàng)。
（1）；（2）。
5．已知是公比為的等比數(shù)列，新數(shù)列也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？

6．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為。
（1）依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？
（2）數(shù)列（其中常數(shù)）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？

二、通項(xiàng)公式
1．推導(dǎo)通項(xiàng)公式
例1．在等比數(shù)列中，
（1）已知，求；（2）已知，求。

例2．在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

例3．已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（1）求首項(xiàng)和公比；
（2）問表示這個(gè)數(shù)列的點(diǎn)在什么函數(shù)的圖像上？

例4．類比等差數(shù)列填空：
等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)

定義從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)。
首項(xiàng)，公差（比）
取值有無限制沒有任何限制
相應(yīng)圖像的特點(diǎn)直線上孤立的點(diǎn)
課后作業(yè)：
1．成等比數(shù)列，則=。
2．在等比數(shù)列中，
（1）已知，則=，=。
（2）已知，則=。
（3）已知，則=。
3．設(shè)是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？
（1）是等比數(shù)列（）；（2）是等比數(shù)列（）
（3）是等比數(shù)列（）；（4）是等比數(shù)列（）
（5）是等比數(shù)列（）；（6）是等比數(shù)列（）
4．設(shè)成等比數(shù)列，公比=2，則=。
5．在G.P中，（1）已知，求；（2）已知，求。

6．在兩個(gè)同號的非零實(shí)數(shù)和之間插入2個(gè)數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用表示這個(gè)等比數(shù)列的公比。

7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項(xiàng)，依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)。

8．已知五個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，求的值。

9．在等比數(shù)列中，，求。

10．三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

11．已知等比數(shù)列，若，求公比。

12．已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，（），設(shè)，求證：是等比數(shù)列。

問題統(tǒng)計(jì)與分析題源：