小學(xué)教學(xué)教案

等比數(shù)列教學(xué)案。

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《等比數(shù)列教學(xué)案》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)
知能目標解讀
1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來.
2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.
3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運用.
重點難點點撥
重點：等比數(shù)列性質(zhì)的運用.
難點：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.
學(xué)習方法指導(dǎo)
1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項及以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因為隨意取出連續(xù)三項及以上的數(shù)，則以取得的第一個數(shù)為首項，且仍滿足從第2項起，每一項與它的前一項的比都是同一個常數(shù)，且這個常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比數(shù)列.
2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢顺傻炔畹娜椉耙陨系臄?shù)，按原數(shù)列的先后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡言之：下角標成等差，項成等比.我們不妨設(shè)從等比數(shù)列{an}中依次取出的數(shù)為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則===…=qm(q為原等比數(shù)列的公比)，所以此數(shù)列成等比數(shù)列.
3.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q,c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，且公比仍為q;?{|an|}?也是等比，且公比為|q|.我們可以設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,且滿足=q,則==q,所以數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數(shù)列，公比為|q|.
4.在等比數(shù)列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下：因為aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因為m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首末兩端相等的兩項之積等于首末兩項之積.
5.若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1,q2,則
（1）{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數(shù)列，且公比為.
理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2;(2)=,
所以｛}仍為等比數(shù)列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的項與序號的關(guān)系
（1）兩項關(guān)系
通項公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項關(guān)系
項的運算性質(zhì)
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），
則aman＝.
2.等比數(shù)列的項的對稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積（若有中間項則等于中間項的平方），即a1an＝a2=ak=a2(n為正奇數(shù)).
［答案］1.qn-mapaqa2p
2.an-1an-k+1
思路方法技巧
命題方向運用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m(m、n∈N+)解題
［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
［分析］解答本題可充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式，求得q,再求a10.
［解析］解法一：設(shè)公比為q,由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
［說明］比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，使問題變得簡單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問題時，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.
變式應(yīng)用1已知數(shù)列{an}是各項為正的等比數(shù)列，且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.
［解析］解法一：由已知條件a10,q0，且q≠1,這時
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,
顯然，a1+a8a4+a5.
解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當0q1時，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞減，1-q3與a1-a5同為正數(shù)，
當q1時，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，1-q3與a1-a5同為負數(shù)，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8a4+a5.
命題方向運用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=（）
A.10B.25C.50D.75
［分析］已知等比數(shù)列中兩項的積的問題，常常離不開等比數(shù)列的性質(zhì)，用等比數(shù)列的性質(zhì)會大大簡化運算過程.
［答案］B
［解析］解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，
∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
［說明］在等比數(shù)列的有關(guān)運算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算，若按照常規(guī)解法，往往是建立a1,q的方程組，這樣解起來很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進行整體變換，會起到化繁為簡的效果.
變式應(yīng)用2在等比數(shù)列{an}中，各項均為正數(shù)，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an0,
∴a4+a8===.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用
［例3］試判斷能否構(gòu)成一個等比數(shù)列{an}，使其滿足下列三個條件：
①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一個自然數(shù)m,使am-1,am,am+1+依次成等差數(shù)列，若能，請寫出這個數(shù)列的通項公式；若不能，請說明理由.
［分析］由①②條件確定等比數(shù)列{an}的通項公式，再驗證是否符合條件③.
［解析］假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列{an},不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由條件①②及a1a6=a3a4,得
a1+a6=11a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數(shù)列的通項為an=2n-1或an=26-n.
對于an=2n-1,若存在題設(shè)要求的m,則
2am=am-1+（am+1+）,得
2（2m-1）=2m-2+2m+,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.
對于an=26-n,若存在題設(shè)要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項為an=26-n.
［說明］求解數(shù)列問題時應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項kn.
［解析］由題意得a22=a1a4，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以數(shù)列{kn}的通項為kn=3n+1.
名師辨誤做答
［例4］四個實數(shù)成等比數(shù)列，且前三項之積為1，后三項之和為1，求這個等比數(shù)列的公比.
［誤解］設(shè)這四個數(shù)為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
［辨析］上述解法中，四個數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2,則公比為正數(shù)，但題設(shè)并無此條件，因此導(dǎo)致結(jié)果有誤.
［正解］設(shè)四個數(shù)依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

（aq）3=1,①
aq+aq2+aq3=1.②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比為或-.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等比數(shù)列｛an｝中，若a6=6,a9=9,則a3等于（）
A.4B.C.D.3?
［答案］A?
［解析］解法一：∵a6=a3q3,
∴a3q3=6.?
a9=a6q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a26=a3a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數(shù)列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于（）
A.90B.30C.70D.40
［答案］D
［解析］∵q2==2,?
∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.
3.如果數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，那么（）?
A.數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛2an｝是等比數(shù)列
C.數(shù)列｛lgan｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛nan｝是等比數(shù)列
［答案］A
［解析］數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2,故選A.
二、填空題
4.若a,b,c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.?
［答案］1?
2b=a+c,
［解析］由題意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比數(shù)列｛an｝中，公比q=2,a5=6,則a8=.?
［答案］48
［解析］a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數(shù)列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
［解析］∵{an}為等比數(shù)列,?
∴a1a9=a3a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
當a3=4時，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
當a3=16時，a3+a7=a3（1+q4）=20,
∴1+q4=，∴q4=.?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強化作業(yè)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中，a4=6,a8=18,則a12=（）
A.24B.30C.54D.108?
［答案］C?
［解析］∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8q4=54.
2.在等比數(shù)列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為（）
A.124B.128C.130D.132
［答案］B?
［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝為等比數(shù)列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）
A.5B.10C.15D.20?
［答案］A?
［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5)2=25,?
又∵an0,∴a3+a5=5.
4.在正項等比數(shù)列｛an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于（）
A.16B.32C.64D.256?
［答案］C?
［解析］由已知，得a1a19=16,?
又∵a1a19=a8a12=a102,
∴a8a12=a102=16,又an0,?
∴a10=4,
∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9=2a25,a2=1,則a1=（）?
A.B.C.D.2?
［答案］B?
［解析］∵a3a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴（）2=2,?
∴q2=2,∵q0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
6.在等比數(shù)列｛an｝中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,則等于（）
A.B.C.D.6
［答案］A
a7a11=a4a14=6
［解析］∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵anan+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
7.已知等比數(shù)列｛an｝中，有a3a11=4a7,數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7,則b5+b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
［答案］C
［解析］∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0abc,且a,b,c成等比數(shù)列的整數(shù)，n為大于1的整數(shù)，則logan,logbn,logcn成
（）
A.等差數(shù)列?B.等比數(shù)列?
C.各項倒數(shù)成等差數(shù)列?D.以上都不對?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等比數(shù)列，∴b2=ac.?
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=,?
∴+=.
二、填空題
9.等比數(shù)列｛an｝中，an0，且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等于.
［答案］27
［解析］由題意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=-,則等于.
［答案］-3
［解析］＝
==-3.
11.(2012株州高二期末)等比數(shù)列{an}中，an0,且a5a6=9,則log3a2+log3a9=.
［答案］2
［解析］∵an0,∴l(xiāng)og3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.（2011廣東文，11）已知｛an｝是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=.
［答案］2?
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因為a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因為an為遞增數(shù)列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數(shù)列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求a10.
［解析］∵a4a7=a3a8=-512，
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數(shù)，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×（-2）7＝512.
14.設(shè)｛an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比數(shù)列的通項公式an.?
［解析］由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8，
∵a22=a1a3，∴a2=2,又b1b2b3=-3,
設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，得?
log2（）log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比數(shù)列｛an｝的通項公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠2010年生產(chǎn)某種機器零件100萬件，計劃到2012年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬件.如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個百分率是多少？2011年生產(chǎn)這種零件多少萬件？.
［解析］設(shè)每一年比上一年增長的百分率為x,則從2010年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1＋x)2,成等比數(shù)列.
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21,
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(萬件)，?
所以每年增長的百分率為10％，2011年生產(chǎn)這種零件110萬件.
16.等差數(shù)列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}前20項的和S20.
［解析］設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比數(shù)列得a3a10=a26，?
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
當d=0時，S20=20a4=200，?
當d=1時，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.

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1.1.2等比數(shù)列性質(zhì)

課型

新課

課程

分析

等比數(shù)列是又一特殊數(shù)列，它與前面我們剛剛所探討過的等差數(shù)列僅有一字之差，所以我們可用比較法來學(xué)習等比數(shù)列的相關(guān)知識。在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上，牢固掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。

學(xué)情

分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了等差數(shù)列，對于等比數(shù)列學(xué)生對比等差數(shù)列學(xué)習較容易接受。

設(shè)計

理念

采用比較式數(shù)學(xué)法，從而使學(xué)生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點，以便理解、掌握與應(yīng)用.

學(xué)習目標

知識目標

掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

能力目標

會求等比數(shù)列的通項公式,運用等比數(shù)列的性質(zhì)。

德育目標

1.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識、提高學(xué)生創(chuàng)新意識、提高學(xué)生的邏輯推理能力、增強學(xué)生的應(yīng)用意識。

板書設(shè)計

3.1.2課題探究一練習性質(zhì)1探究二性質(zhì)2應(yīng)用舉例探究三性質(zhì)3

課后反饋

解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項是a1,公比是q,

①②

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（一）回顧等比數(shù)列的有關(guān)概念

（1）定義式：

（2）通項公式：

導(dǎo)入本課題意：與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，它還有一些規(guī)律性質(zhì)，本節(jié)課，就讓我們一起來探尋一下它到底有一些怎樣的性質(zhì)。

二．推進新課

題：就任一等差數(shù)列｛an｝，計算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？類比猜想一下，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？

引導(dǎo)探：…性質(zhì)1（板書）：在等比數(shù)列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引導(dǎo)學(xué)生通過類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)進而推證出性質(zhì)2)

已知｛an｝是等比數(shù)列.

（1）是否成立？成立嗎？為什么？

（2）是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？是否成立？你又能得到什么結(jié)論？)

合作探：…性質(zhì)2（板書）：在等比數(shù)列中（本質(zhì)上就是等比中項）

探究三：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是等差數(shù)列的前n項和，則也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

性質(zhì)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為的前項之和，則新構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為。

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備注

②當時，則（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

由①②得，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為。三．應(yīng)用舉例：（理解、鞏固）

例1．1）在等比數(shù)列｛an｝中，已知

2)在等比數(shù)列｛bn｝中，b4＝3，求該數(shù)列的前7項之積。例2在等比數(shù)例中，求

例3等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且，求

的值

例4、在等比數(shù)列中，,求的值.解：因是等比數(shù)列，所以是等比數(shù)列，所以

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備注

1、下列命題中:(1)常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;

(2)若{an}是等差數(shù)列，則{3－2an}也是等差數(shù)列;

(3)若{an}是等比數(shù)列，則{an+an+1}也是等比數(shù)列;

(4)若{an}是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列.

其中正確的命題是_____________(填命題序號)

2、在等比數(shù)列中，，則的值為_______

3、在等比數(shù)列中，，，求的值.解：因為由上述等比數(shù)列性質(zhì)知，構(gòu)造新數(shù)列其是首項為，公比為的等比數(shù)列，是新數(shù)列的第5項，所以。4、已知等比數(shù)列前項的和為2，其后項的和為12，求再后面項的和.解：由，，因成等比數(shù)列，其公比為，所以問題轉(zhuǎn)化為：求的值.因為得，所以或，于是.

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備注

（1）等比數(shù)列的性質(zhì)1、性質(zhì)2性質(zhì)3內(nèi)容及推導(dǎo)方法歸納。

（2）等比數(shù)列三性質(zhì)的探尋，我們是通過類比等差聯(lián)想到等比，猜想在等比數(shù)列中可能存在的性質(zhì)規(guī)律。然后先從簡單的等比數(shù)列加以驗證，再推出一般式，并加以嚴格的邏輯證明。這個過程所用的類比、聯(lián)想、猜想、從特殊到一般，最后給予證明得出結(jié)論的想法和方法，我們稱為數(shù)學(xué)思想方法。是解決問題、科學(xué)發(fā)現(xiàn)、探究自然的一種重要的思維方法和手段。它無處不體現(xiàn)在我們解決問題的思維過程中，希望大家今后留心思考，對提高你們的學(xué)習能力及分析解決問題的能力將有極大的幫助。

等比數(shù)列教案

教學(xué)設(shè)計
2．3.1等比數(shù)列
整體設(shè)計
教學(xué)分析
等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項公式等，兩個數(shù)的等差(等比)中項、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時要充分利用類比的方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
等比數(shù)列是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，這是本節(jié)的中心思想方法．本節(jié)首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項公式，進而研究圖象，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應(yīng)用．
等比數(shù)列概念的引入，可按教材給出的幾個具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義．也可將幾個等差數(shù)列和幾個等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進行分類，由此對比地概括等比數(shù)列的定義．根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解．啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)進而畫出數(shù)列的圖象．
由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，充分利用類比思想，教師只需把握課堂的節(jié)奏，真正作為一節(jié)課的組織者、引導(dǎo)者出現(xiàn)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．
大量的數(shù)學(xué)思想方法滲透是本章的特色，如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學(xué)中要充分體現(xiàn)這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，所有能力的體現(xiàn)最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)．
三維目標
1．通過實例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
2．通過現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，達到提高學(xué)生學(xué)習興趣的目的．
3．通過對等比數(shù)列概念的歸納，進一步培養(yǎng)學(xué)生嚴密的思維習慣和嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度．體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程．
重點難點
教學(xué)重點：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)．
教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式解決相關(guān)問題，在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法．
課時安排
2課時

教學(xué)過程
第1課時
導(dǎo)入新課
思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044mm的白紙一次又一次地對折，如果對折1000次(假設(shè)是可能的)，紙的厚度將是4.4×10296m，相當于約5.0×10292個珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：你如果能將一張報紙對折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．將一張報紙對折會有那么大的厚度嗎？這就是我們今天要解決的問題，讓學(xué)生帶著這大大的疑問來展開新課．
思路2.(實例導(dǎo)入)先給出四個數(shù)列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由學(xué)生自己去探究這四個數(shù)列，每個數(shù)列相鄰兩項之間有什么關(guān)系？這四個數(shù)列有什么共同點？讓學(xué)生觀察這些數(shù)列與上節(jié)課學(xué)習的等差數(shù)列有什么不同？由此引入新課．
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法.
2閱讀課本本節(jié)內(nèi)容的①②③3個背景實例，領(lǐng)會三個實例所傳達的思想，寫出由3個實例所得到的數(shù)列.
3觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同的特征？你能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列嗎？
4類比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當?shù)恼Z言給出等比數(shù)列的定義？
5類比等差中項的概念，你能說出什么是等比中項嗎？它與等差中項有什么不同？
6你能舉出既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的例子嗎？
7類比等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？
8類比等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系，你能說明等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系嗎？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列概念的學(xué)習過程，指導(dǎo)學(xué)生閱讀并分析教科書中給出的3個實例．
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列①②③的共同特點：
對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的比都等于2；
對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的比都等于3；
對于數(shù)列③，從第2項起，每一項與前一項的比都等于－12.
也就是說，這些數(shù)列有一個共同的特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一常數(shù)，這里仍是后項比前項，而不是前項比后項，具有這樣特點的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列．讓學(xué)生類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義：
一般地，如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．
這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q≠0，上面的三個數(shù)列都是等比數(shù)列，公比依次是2,3，－12.
①給出等比數(shù)列的定義后，讓學(xué)生嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列的定義，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)．
②再讓學(xué)生思考既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？學(xué)生思考后很快會舉出1,1,1，…既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，其公比為1，公差為0.
教師可再提出：常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？讓學(xué)生充分討論后可得出0,0,0，…是常數(shù)列，但不是等比數(shù)列．
③至此，學(xué)生已經(jīng)清晰了等比數(shù)列的概念，比如，從等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列中的任意一項不為零，公比可以為正，可以為負，但不能為0.
④類比等差中項的概念，我們可得出等比中項的概念：如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項．如果G是x和y的等比中項，那么Gx＝y(tǒng)G，即G2＝xy，G＝±ab.因此同號的兩個數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，一個正數(shù)和一個負數(shù)沒有等比中項．顯然，在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項；反之，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項，那么這個數(shù)列是等比數(shù)列．
課件演示：不完全歸納法得到等差數(shù)列通項公式的過程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
歸納得到an＝a1＋(n－1)d.
類比這個過程，可得等比數(shù)列通項公式的歸納過程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
歸納得到an＝a1qn－1.
這樣做可以幫助學(xué)生體會歸納推理對于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論的作用．這個結(jié)論的正確性可用后面的數(shù)學(xué)歸納法進行嚴格證明，現(xiàn)在我們先承認它．
下面我們再類比等差數(shù)列，探究推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的其他方法：
∵{an}是等比數(shù)列，
∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.
把以上n－1個等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到
ana1＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
對于通項公式，教師引導(dǎo)學(xué)生明確這樣幾點：
(1)不要把公式錯誤地寫成an＝a1qn.
(2)對公比q，要和等差數(shù)列的公差一樣，強調(diào)“從第2項起，每一項與它的前一項的比”，不要把相鄰兩項的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負，但不能為0.
(3)在等比數(shù)列a，aq，aq2，aq3，…中，當a＝0時，一切項都等于0；當q＝0時，第二項以后的項都等于0，這不符合等比數(shù)列的定義．因此等比數(shù)列的首項和公比都不能為0.
(4)類比等差數(shù)列中d＞0，d＜0時的情況，若q＞0，則相鄰兩項符號同號，若q＜0，則各項符號異號；若q＝1，則等比數(shù)列為非零常數(shù)列；若q＝－1，則為如2，－2,2，－2，…這樣的數(shù)列；若|q|＜1，則數(shù)列各項的絕對值遞減．
最后讓學(xué)生完成下表，從定義、通項公式比較等差數(shù)列、等比數(shù)列的異同，加深概念的理解．

等差數(shù)列等比數(shù)列
定義從第2項起，每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù)從第2項起，每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)
首項、公差(公比)取值有無限制沒有任何限制首項、公比都不能為0
通項公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1

討論結(jié)果：(1)～(3)略．
(4)等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．
(5)并不是所有的兩個數(shù)都有等比中項．
(6)除0外的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
(7)(8)略．
應(yīng)用示例
例1由下面等比數(shù)列的通項公式，求首項與公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝1410n.
活動：本例的目的是讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的概念及通項公式，可由學(xué)生口答或互相提問．
解：(1)an＝22n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝141010n－1，
∴a1＝14×10＝52，q＝10.
點評：可通過通項公式直接求首項，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
變式訓(xùn)練
設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則2a1＋a22a3＋a4的值為()
A.14B.12C.18D．1
答案：A
解析：由題意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

例2(教材本節(jié)例3)
活動：本例是等比數(shù)列通項公式的靈活運用，可讓學(xué)生自己完成．
點評：解完本例后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察a5，a10，a15，a20的規(guī)律．
變式訓(xùn)練
已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通項公式．
解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0.
∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，
∴2q＋2q＝203.
解得q1＝13，q2＝3.
當q＝13時，a1＝18.
∴an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.
當q＝3時，a1＝29，
∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求an的表達式．
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，要求an的表達式，通過轉(zhuǎn)化{an＋1}是等比數(shù)列來求解．
解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，則有an＋1＋1an＋1＝2.
∴{an＋1}是等比數(shù)列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1.
點評：教師引導(dǎo)學(xué)生進行解后反思．如本題(1)，不能忽視對an＋1≠0的說明，因為在等比數(shù)列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否則解題會出現(xiàn)漏洞．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，求證：{an}是等比數(shù)列．
證明：∵{lgan}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d(常數(shù))．
∴{an}是等比數(shù)列．

知能訓(xùn)練
1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()
A．64B．81C．128D．243
2．在等比數(shù)列中，已知首項為98，末項為13，公比為23，則項數(shù)為()
A．3B．4C．5D．6
答案：
1．A解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
所以a7＝a1q6＝64.
2．B解析：設(shè)等比數(shù)列為{an}．
又∵a1＝98，q＝23，an＝13，∴qn－1＝ana1，即(23)n－1＝827.
∴n－1＝3，n＝4，即項數(shù)為4.
課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及簡單的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明方法．可讓學(xué)生對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同，讓學(xué)生用列表的形式給出．
2．教師點出，通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習，在掌握知識的同時，我們還學(xué)到了探究新問題的方法，提高了我們解決問題的能力，進一步明確了學(xué)習必須經(jīng)歷探究問題全過程的意義，必須領(lǐng)悟凝練數(shù)學(xué)思想方法．
作業(yè)
課本習題2—3A組1；習題2—3B組1.
設(shè)計感想
本教案設(shè)計將類比思想貫穿整節(jié)課始終，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有極其相似的特點，比較它們的結(jié)構(gòu)和運算性質(zhì)，運用類比的方法，可使很多相關(guān)性質(zhì)得以類比和遷移；讓學(xué)生體會到：有些看似陌生的知識并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事．
本教案設(shè)計加強了實際背景的教學(xué)，等比數(shù)列有著非常廣泛的實際應(yīng)用：如產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計的問題；儲蓄，分期付款的有關(guān)計算等等．教學(xué)時不是簡單地告訴學(xué)生等比數(shù)列的定義及通項公式的內(nèi)容，而是通過實際問題創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義．
本教案設(shè)計突出了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體．新課程倡導(dǎo)強調(diào)過程，強調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗，學(xué)生的思維能力就是在這種過程的體驗中逐漸提高的．
(設(shè)計者：張曉君)

第2課時
導(dǎo)入新課
思路1：(類比導(dǎo)入)等差數(shù)列具有豐富而重要的性質(zhì)，通過復(fù)習等差數(shù)列的性質(zhì)，由學(xué)生猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì)．這樣既復(fù)習了舊知識，同時又讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)現(xiàn)過程，這種引入符合新課程理念．
思路2：讓學(xué)生先完成本節(jié)的思考與討論及探索與研究，借助學(xué)生的探究，師生共同歸納出相關(guān)性質(zhì)，自然地引入新課．(這種從課本上的練習題入手的方法，其好處是：直截了當，節(jié)省課堂時間，教師也比較輕松，只是學(xué)生的思維活動層次較第一種弱一些，但也是一種不錯的導(dǎo)入選擇)
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶上節(jié)課等比數(shù)列的概念，等比中項、通項公式的概念.
2回憶怎樣證明一個數(shù)列是等比數(shù)列？
3類比等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，探究等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系.
4類比等差數(shù)列的性質(zhì)，你能探究出等比數(shù)列有哪些重要結(jié)論？

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對上一節(jié)課的探究做一簡要回顧，借以熟悉等比數(shù)列的有關(guān)概念，為進一步探究做好必要的準備，然后讓學(xué)生借助信息技術(shù)或用描點作圖畫出課本“探究”中(2)(3)要求的圖象(如圖)，說說通項公式為an＝2n－1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y＝2x－1的圖象的關(guān)系．然后交流、討論，歸納出二者之間的關(guān)系．事實上，等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝a1qqn，而y＝a1qqx(q≠1)是一個不為零的常數(shù)a1q與指數(shù)函數(shù)qx的乘積．從圖象上看，表示數(shù)列{a1qqn}中的各項的點是函數(shù)y＝a1qqx的圖象上的孤立點．
和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊涵著許多重要的性質(zhì)，類比等差數(shù)列的探究方法，教師與學(xué)生一起探究．
就任一等差數(shù)列{an}，計算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？
在等差數(shù)列{an}中，我們已經(jīng)探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，那么我們可以類比猜想：對于等比數(shù)列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，則aman＝apas.讓學(xué)生對此給出證明．
證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則有aman＝a1qm－1a1qn－1＝a21qm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝a21qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas.
經(jīng)過這個證明過程，我們得到了等比數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，則有aman＝apas.
結(jié)合等比中項，我們很容易有這樣的結(jié)論：
(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積；
(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方．
結(jié)合上節(jié)學(xué)習的內(nèi)容，教師與學(xué)生一起探究歸納可得到等比數(shù)列以下重要結(jié)論：
1．等比數(shù)列的判斷方法
(1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常數(shù)，an－1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(3)an＝cqn(c、q均是不為零的常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．
2．主要性質(zhì)
(1)當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數(shù)列；當q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數(shù)列，當q＝1時，{an}是常數(shù)列；當q＜0時，{an}是擺動數(shù)列．
(2)an＝amqn－m(m、n∈N*)．
(3)當m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)時，有aman＝apaq.
(4)當數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列．
(5)數(shù)列{an}中，公比q≠1，則連續(xù)取相鄰兩項的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．
學(xué)習等比數(shù)列時，時刻與等差數(shù)列進行對比，學(xué)會用類比、方程的思想解決問題．
討論結(jié)果：(1)讓學(xué)生默寫．
(2)有3種證明方法，比較常用的方法是：a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(3)等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)．
(4)最常用的是活動中的第3個性質(zhì)．
應(yīng)用示例
例1一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項．
活動：本例是課本上例題3，由題意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差數(shù)列一樣，這是屬于基本量運算的題目，其基本量為a1，q.教師引導(dǎo)學(xué)生探究，由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求得通項公式，再由通項公式求得數(shù)列的任意項．這個過程可以幫助學(xué)生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系．
解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝32，③
把③代入①，得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
答：這個數(shù)列的第1項和第2項分別是163與8.
點評：通過本題讓學(xué)生體會方程思想．
變式訓(xùn)練
在等比數(shù)列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，則a18a10等于()
A．－23或－32B.23C.32D.23或32
答案：D
解析：∵a5a7＝a2a10，由a2a10＝6，a2＋a10＝5，
得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.
∴a18a10＝a10a2＝32或a18a10＝23.

例2(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比數(shù)列{bn}中，b4＝3，求該數(shù)列前七項之積；
(3)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活動：本例三個小題屬基本概念題，讓學(xué)生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考探究，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝a9a10a1＝1005＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b24＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七項之積為(32)3×3＝37＝2187.
(3)∵a5是a2與a8的等比中項，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1458.
另解：a8＝a5q3＝a5a5a2＝54×54－2＝－1458.
點評：通過本例，讓學(xué)生熟悉公式，善于聯(lián)想，善于將解題過程簡化．
變式訓(xùn)練
已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝11－log2a2n＋13，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
由題意得a1＋a1q2＝15，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝45，解得q＝2，a1＝3，
∴an＝32n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2a2n＋13＝11－2n.
∴數(shù)列{bn}是首項為9，公差為－2的等差數(shù)列．
從而Sn＝n9＋11－2n2＝－n2＋10n.

例3三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個數(shù)．
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，因為所求三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和已知，故可設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，再根據(jù)已知條件尋找關(guān)于a、d的兩個方程，通過解方程組即可獲解．
解：設(shè)所求三個數(shù)為a－d，a，a＋d，
則由題設(shè)得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，
解此方程組，得a＝5，d＝2.∴所求三個數(shù)為3,5,7.
點評：此類問題要注意設(shè)未知數(shù)的技巧．若設(shè)所求三個數(shù)為a，b，c，則列出三個方程求解，運算過程將過于繁雜．因此在計算過程中，應(yīng)盡可能地少設(shè)未知數(shù)．
例4根據(jù)下圖中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？
活動：本題是給出數(shù)列的前幾項要求寫出數(shù)列的遞推公式．這種題型難度較大．但本題用程序框圖給出了數(shù)列的前5項，而遞推公式就包含在程序框圖中，這就大大降低了題目的難度．教學(xué)時教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧程序框圖，引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列．
解：若將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×12，a3＝a2×12.
于是，可得遞推公式a1＝1，an＝12an－1n1.
由于anan－1＝12，
因此，這個數(shù)列是等比數(shù)列．
其通項公式是an＝(12)n－1.
點評：通過本題讓學(xué)生明確，要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對于任意正整數(shù)n，an＋1an是一個常數(shù)即可，同時也再一次體會到能夠用框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述數(shù)列．
知能訓(xùn)練
1．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長？(精確到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8.∴a2＝2.
從而a1＋a3＝5，a1a3＝4.
解之，得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1.
當a1＝1時，q＝2，當a1＝4時，q＝12.
∴an＝2n－1或an＝4(12)n－1＝23－n(n∈N*)．
點評：本例解答中易產(chǎn)生的錯誤是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分別得出q＝±2或q＝±12.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4(12)n－1或an＝4(－12)n－1.教師引導(dǎo)學(xué)生尋找產(chǎn)生這一錯誤的原因是忽視了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0這一隱含條件．
2．解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩留量是an，
由條件可得，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5.
兩邊取對數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5，
用計算器算得n≈4.
答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．
點評：本例是一道應(yīng)用題，反映的是等比數(shù)列通項公式的基本量運算問題．在解題過程中，用對數(shù)的知識解方程可以幫助學(xué)生回顧對數(shù)的性質(zhì)，本題重在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實際問題情境中數(shù)列的等比關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力．
課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同．從函數(shù)的角度看，如果說等差數(shù)列可以與一次函數(shù)聯(lián)系起來，那么等比數(shù)列則可以與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來．
2．學(xué)習本節(jié)內(nèi)容應(yīng)注意等比數(shù)列定義的運用，靈活選設(shè)未知數(shù)，注意總結(jié)常用解題技巧．有關(guān)本內(nèi)容的高考題主要體現(xiàn)在考查化歸能力、方程思想、分類討論思想以及數(shù)學(xué)建模能力上，并能用這些知識解決一些實際問題．
作業(yè)
課本習題2—3A組2、3、4.
設(shè)計感想
本教案設(shè)計突出了教學(xué)梯度．因為從實際教學(xué)來看，對這部分內(nèi)容的學(xué)習不少同學(xué)仍然是困難重重，從中折射出他們學(xué)習方式存在的問題，死記硬背仍然是公式學(xué)習的主要形式．在練習環(huán)節(jié)，不少學(xué)生只會做與課本例題完全一致的習題，如果稍加變式，就束手無策，反映出數(shù)學(xué)思維的僵化及簡單．但是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直接面對的重要課題，也是提升教學(xué)效果的關(guān)鍵．因此在設(shè)計梯度方面注重了一題多解，這有助于學(xué)生思維的發(fā)散性及靈活性的培養(yǎng)，以及克服思維的僵化，變式教學(xué)又可以提升思維視野的廣度，題后反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
本教案設(shè)計注重了教學(xué)過程的更優(yōu)化、更合理化，因為長期以來的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程．為了應(yīng)付考試，為了使公式、定理應(yīng)用達到所謂的熟能生巧，教學(xué)中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進行強化．在概念公式的教學(xué)中往往采用的是“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強化成只會套用公式機械解題，這樣的學(xué)生面對新問題就會束手無策，更不利于今后的創(chuàng)新式高考．
本教案設(shè)計清晰了課堂教學(xué)的層次階段，本節(jié)課可以劃分為三個階段，第一階段是等比數(shù)列性質(zhì)的推得和理解過程；第二階段是等比數(shù)列性質(zhì)的歸納、理解和應(yīng)用的過程；第三階段是歸納小結(jié)．這三個階段自然是以第一、第二階段為主．這樣便于學(xué)生課堂推進，也便于教師對整個課堂的宏觀調(diào)控．
備課資料
一、備用例題
例1.已知無窮數(shù)列10，10，10，…，10，….
求證：(1)這個數(shù)列成等比數(shù)列；
(2)這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的110；
(3)這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中．

例2.設(shè)a，b，c，d均為非零實數(shù)，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求證：a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.
證法一：關(guān)于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有實根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
則必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比數(shù)列．
設(shè)公比為q，則b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
證法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴ba＝cb＝d.∴a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.
二、備用習題
1．公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為()
A．1B．2C．3D．4
2．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，則a3a6a9…a30等于()
A．210B．220C．216D．215
3．各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5等于……()
A．33B．72C．84D．189
4．在83和272之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為__________．
5．在等比數(shù)列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比較an＋1與bn＋1的大?。?br> 參考答案：
1．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意，得a23＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q＝a3a2＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
a33q3a36q3a39q3…a330q3＝230，
∴a33a36a39…a330＝(2q)30.
∴a3a6a9…a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
解析：設(shè)插入的三個數(shù)為a、b、c，則b2＝83×272＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝±12.
當q＝12時，a12＝a1q11＝2561211＝18；
當q＝－12時，a12＝a1q11＝256×(－12)11＝－18.
(2)a1q2a1q4＝18，即a21q6＝18.
又a1q3a1q7＝72，即a21q10＝72.
兩式相除得q4＝7218＝4，∴q＝±2.
6．解：由題意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝c2(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋c2(q2n－1)－cqn＝c2(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契數(shù)列的奇妙性質(zhì)
我們看章頭圖中的斐波那契數(shù)列，它有一系列奇妙的性質(zhì)，現(xiàn)簡列以下幾條，供讀者欣賞．
1．從首項開始，我們依次計算每一項與它的后一項的比值，并精確到小數(shù)點后第四位：
11＝1.000021＝2.0000
32＝1.500053＝1.6667
85＝1.6000138＝1.6250
2113＝1.61543421＝1.6190
5534＝1.61768955＝1.6182
14489＝1.6180253144＝1.6181
如果將這一工作不斷地繼續(xù)下去，這個比值將無限趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)位于1.6180與1.6181之間，它還能準確地用黃金數(shù)1＋52表示出來．
2．我們在初中曾經(jīng)遇到過楊輝三角形，如下圖所示，楊輝三角形中虛線上的數(shù)的和恰好組成斐波那契數(shù)列：
3．在斐波那契數(shù)列中，請你驗證下列簡單的性質(zhì)：
前n項和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a2n－1＋a2n＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a2n－1－(－1)n(n≥3)．
據(jù)載首先是由19世紀法國數(shù)學(xué)家呂卡將級數(shù){Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名為斐波那契級數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用.1680年意大利—法國學(xué)者卡西尼發(fā)現(xiàn)該級數(shù)的重要關(guān)系式Un＋1Un－1－U2n＝(－1)n.1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項表達式，19世紀初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明了這一表達式Sn＝[(1＋52)n－(1－52)n]，現(xiàn)在稱之為比內(nèi)公式．
世界上有關(guān)斐波那契數(shù)列的研究文獻多得驚人．斐波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中引人入勝，而且它的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)列、運籌學(xué)及優(yōu)化理論方面為數(shù)學(xué)家們展開了一片施展才華的廣闊空間．

等比數(shù)列中項

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真寫教案課件了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“等比數(shù)列中項”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

1.3.2等比數(shù)列中項
教學(xué)目標:
1．明確等比中項概念．
2．進一步熟練掌握等比數(shù)列通項公式.
3．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.
教學(xué)重點:1.等比中項的理解與應(yīng)用
2.等比數(shù)列定義及通項公式的應(yīng)用
教學(xué)難點:靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義及通項公式解決一些相關(guān)問題.
教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)法
教學(xué)過程:
(I)復(fù)習回顧:我們共同來回憶上節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容.
生：等比數(shù)列定義：等比數(shù)列通項公式：
（Ⅱ）講授新課:與等差數(shù)列對照，看等比數(shù)列是否也具有類似性質(zhì)？
生：（1）成等差數(shù)列
如果在中間插入一個數(shù)G,使成等比數(shù)列，即
若，則，即成等比數(shù)列∴成等比數(shù)列
師：綜上所述，如果在中間插入一個數(shù)G，使成等比數(shù)列，那么G叫做的等經(jīng)中項.
生：（2）若m+n=p+q，則
師：若在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？
生：由定義得：
（2）若m+n=p+q，則
師：下面來看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問題？
例1：一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.
解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是，公比是q，那么：，①，②
由②÷①可得第③把③代入①可得
答：這個數(shù)列的第1項與第2項是和8.
例2：已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.
證明：設(shè)數(shù)列的首項是，公比為q1;的首項為b1，公比為q2，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為：
它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列.
（Ⅲ）課堂練習:課本P23練習1.(老師結(jié)合學(xué)生所做，講評練習.)
書面練習:課本P25練習1、2、3
（Ⅳ）課時小結(jié):
（1）若a，G，b成等比數(shù)列，則叫做與的等經(jīng)中項.
（2）若m+n=p+q，
2．預(yù)習提綱：①等比數(shù)列前n項和公式；
②如何推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項公式？
小結(jié)：
課題
一、定義
等比中項
成等比數(shù)列若m+n=p+q
則
二、例題
例1
例2復(fù)習回顧
,A,b成等差數(shù)列
則

作業(yè)：P30習題A組7題