高中橢圓的教案

§2.2.1橢圓的標準方程。

§2.2.1橢圓的標準方程

教學目標：

（一）、知識與技能：理解橢圓標準方程的推導；掌握橢圓的標準方程；會根據(jù)條件求橢圓的標準方程，會根據(jù)橢圓的標準方程求焦點坐標。

（二）、過程與方法：讓學生經(jīng)歷橢圓標準方程的推導過程，進一步掌握求曲線方程的一般方法，體會數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想；培養(yǎng)學生運用類比、聯(lián)想等方法提出問題。

（三）、情感態(tài)度與價值觀：通過具體的情境感知研究橢圓標準方程的必要性和實際意義；體會數(shù)學的對稱美、簡潔美，培養(yǎng)學生的審美情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。

教學重點：橢圓的標準方程

教學難點：橢圓標準方程的推導

教學過程：

（一）、問題情境：

生活中存在著大量的橢圓，比如：餐桌

問題1：汽車貯油罐的橫截面的外輪廓線的形狀是橢圓，怎樣設計才能精確地制造它們？

問題2：把一個圓壓扁了，像一個橢圓，它究竟是不是橢圓？

問題3：電影放映機上的聚光燈泡的反射鏡、運用高能沖擊波擊碎腎結(jié)石的碎石機等儀器設備都是運用橢圓的性質(zhì)制造的。怎樣才能準確地制造它們？

學生回憶

橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做焦距．

注：滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？

（1）平面內(nèi)；若把平面內(nèi)去掉，則軌跡是什么？

（2）橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數(shù)；記為2a；

兩焦點之間的距離稱為焦距，記為2c,即:＝2c.

（3）常數(shù),若，則軌跡是什么？若呢？

（二）師生探究：

1、回顧求圓的標準方程的基本步驟

建立坐標系、設點、找等量關(guān)系、代入坐標、化簡

2、如何建立適當?shù)淖鴺讼担?p>原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸。)

①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担航⒅苯亲鴺讼祒oy，使x軸經(jīng)過點,并且O與線段的中點重合

②設點：設是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為，那么焦點的坐標分別為.又設M與的距離之和等于常數(shù)

y

F2

o

P

F1③根據(jù)條件得

所以得：

x

④化簡：整理得：

由橢圓的定義可知：

令，其中，代入上式整理得:

思考：怎樣推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程？

問題1:橢圓標準方程的特點是什么?

問題2:如何判斷橢圓焦點位置?

橢圓的定義

平面內(nèi)到兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡。

圖形

標準方程

焦點坐標

a,b,c的關(guān)系

焦點位置的判斷

分母哪個大，焦點就在哪個軸上（三）學生活動

一、基礎訓練

1、若動點P到兩定點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和為8，則動點P的軌跡為（B）

A.橢圓B.線段F1F2

C.直線F1F2D.不存在

2、求下列橢圓的焦點坐標

1、2、3、4、

3、已知橢圓的方程為，則，，，焦點坐標為：，焦距為如果曲線上一點P到焦點的距離為8，則點P到另一個焦點的距離等于。

二、例題講解

例1、求適合下列條件的橢圓方程

（1）a＝4，b＝3，焦點在x軸上；

（2）b=1，，焦點在y軸上;

（3）若橢圓滿足：，，焦點在x軸上，求它的標準方程;

變：若把焦點在x軸上去掉呢？

(4)兩個焦點分別是,且經(jīng)過;

（5）已知橢圓經(jīng)過兩點，求它的標準方程;

解答：（1）

（2）

（3），変題：

（4）

(5)

反思研究：（1）求橢圓方程的步驟：1.定型，2.定位，3.定量

（2）橢圓的標準方程可統(tǒng)一成

例2、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為m，外輪廓線上的點到兩個焦點之和為3m，求這個橢圓的標準方程。

解：以兩焦點所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，則這個橢圓的標準方程為

根據(jù)題意知，所以

因此，這個橢圓的標準方程為：

課堂小結(jié)：這節(jié)課我們學習了橢圓的標準方程，掌握了求焦點在x軸上和在y軸上的標準方程，求標準方程常用的方法：待定系數(shù)法，坐標轉(zhuǎn)移法；有時還需要數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想。

作業(yè)布置

教材P30頁習題2.2第2，3，4，5題

課后作業(yè)：創(chuàng)新作業(yè)

相關(guān)閱讀

2.2.1圓的標準方程

橢圓及其標準方程

俗話說，磨刀不誤砍柴工。教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師能夠更輕松的上課教學。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的橢圓及其標準方程，僅供參考，歡迎大家閱讀。

橢圓的定義和標準方程

橢圓的定義和標準方程（一）
知識點整理
1.掌握橢圓的定義，會用定義解題；
2.掌握橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)，熟練地進行基本量間的互求，會根據(jù)所給的方程畫出圖形；
3.掌握求橢圓的標準方程的基本步驟——①定型（確定它是橢圓）；②定位（判斷它的中心在原點、焦點在哪條坐標軸上）；③定量（建立關(guān)于基本量的方程或方程組，解基本量）。
雙基練習
1.橢圓的長軸位于軸，長軸長等于；短軸位于軸，短軸長等于；焦點在軸上，焦點坐標分別為，離心率=，準線方程是，焦點到相應準線的距離（焦準距）等于；左頂點坐標是；下頂點坐標是，橢圓上的點P的橫坐標的范圍是，縱坐標的范圍是，的取值范圍是。
2.橢圓上的點P到左準線的距離是10，那么P到其右焦點的距離是（）
A.15B.12C.10D.8
3.⊿ABC中，已知B、C的坐標分別是（－3，0）、（3，0），且⊿ABC的周長等于16，則頂點A的軌跡方程是。
4.若橢圓短軸一端點到橢圓一焦點的距離是該焦點到同側(cè)長軸一端點距離的3倍，則橢圓的離心率是；若橢圓兩準線之間的距離不大于長軸長的3倍，則它的離心率的取值范圍是。
典型例題
例1已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且過點P（3，2），求橢圓的方程。

例2從橢圓上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點F1，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，且。（1）求該橢圓的離心率；（2）若該橢圓的準線方程是，求橢圓的方程。

課后作業(yè)
1.橢圓上一點M到左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，O為坐標原點，則|ON|=.。
2.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的最大面積為1，則此橢圓長軸的長的最小值是.
3.設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點的距離為，求此橢圓的方程。

4.已知橢圓的中心在原點，焦點F1（0，－1）、F2（0，1），直線y=4是橢圓的一條準線，（1）求橢圓的方程；（2）設P點在這個橢圓上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2.

5.橢圓的焦點分別為F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A、B，若⊿ABF2的面積是20，求直線的方程。

6.求經(jīng)過點（2，0）與圓(x+2)2+y2=36內(nèi)切的圓的圓心M的軌跡方程。

橢圓及其標準方程教案

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學質(zhì)量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“橢圓及其標準方程教案”，希望能對您有所幫助，請收藏。