高中橢圓的教案

橢圓的標準方程。

一名優(yōu)秀負責的教師就要對每一位學生盡職盡責，教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助教師提高自己的教學質量。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“橢圓的標準方程”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

橢圓的標準方程（—）

教學目標：
1、通過本節(jié)課課前及課堂上的探索研究過程，使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程；
2、復習和鞏固求軌跡方程的基本方法.
3、能夠理解橢圓軌跡和方程之間的關系，進一步提高學生解析能力；
教學重點：
1、橢圓的定義和橢圓的標準方程及其求法，
2、橢圓曲線和方程之間的相互關系．
教學難點：
1、建立適當?shù)淖鴺讼?，求橢圓標準方程．
2、利用橢圓的定義和標準方程研究曲線．
教學方式：體驗式
教學手段：多媒體演示．
學生特點：本節(jié)課的教學對象為高中實驗班學生，數(shù)學基礎較好．
教學過程：
1、給出橢圓定義
由學生根據課前的預習敘述橢圓的定義：
1）橢圓的定義：
平面內與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓．F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點；叫做橢圓的焦距．
2）展示學生通過預習橢圓知識，結合橢圓的知識所作的“圖形”，并介紹橢圓的做法，幫助同學了解橢圓的定義，同時引出橢圓標準方程
2、推導橢圓標準方程
推導方程：（以下方程推導過程由學生完成）
①建系：以和所在直線為軸，線段的中點為原點建立直角坐標系；
②設點：設是橢圓上任意一點，設，則，；
③列式：由得；
④化簡：移項平方后得，
整理得，，
兩邊平方后整理得，
由橢圓的定義知，，即，∴，令，其中，代入上式，得，兩邊除以，得：（））
3．進一步認識橢圓標準方程
（掌握橢圓的標準方程，以及兩種標準方程的區(qū)分）
（1）方程（）叫做橢圓的標準方程．它表示焦點在軸上，焦點坐標為，，其中．
（2）方程方程（）也是橢圓的標準方程．它表示焦點在軸上，焦點坐標為，，其中．
4．通過例題鞏固橢圓的標準方程.
例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是(－3，0)，(3，0)，橢圓上任意一點與兩焦點的距離的和等于8；
(2)兩個焦點的坐標分別是(0,－4)，(0，4)，并且橢圓經過點.
5．再次展示學生所作橢圓，讓學生利用橢圓方程和橢圓定義來判斷所作的“橢圓”，并說明判斷的依據，進一步橢圓定義和橢圓的標準方程.
6．小結：
這節(jié)課我們圍繞橢圓及其標準方程研究了橢圓這幾個方面的問題：
（1）橢圓的定義；
（2）橢圓的標準方程推導；
（3）利用橢圓的定義和標準方程研究曲線；
7．作業(yè)：
（1）P42，練習A第1，2，3，4題；（2）求演示圖形5中橢圓的方程.

擴展閱讀

橢圓及其標準方程

俗話說，磨刀不誤砍柴工。教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內容，幫助教師能夠更輕松的上課教學。寫好一份優(yōu)質的教案要怎么做呢？下面的內容是小編為大家整理的橢圓及其標準方程，僅供參考，歡迎大家閱讀。

橢圓的定義和標準方程

橢圓的定義和標準方程（一）
知識點整理
1.掌握橢圓的定義，會用定義解題；
2.掌握橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質，熟練地進行基本量間的互求，會根據所給的方程畫出圖形；
3.掌握求橢圓的標準方程的基本步驟——①定型（確定它是橢圓）；②定位（判斷它的中心在原點、焦點在哪條坐標軸上）；③定量（建立關于基本量的方程或方程組，解基本量）。
雙基練習
1.橢圓的長軸位于軸，長軸長等于；短軸位于軸，短軸長等于；焦點在軸上，焦點坐標分別為，離心率=，準線方程是，焦點到相應準線的距離（焦準距）等于；左頂點坐標是；下頂點坐標是，橢圓上的點P的橫坐標的范圍是，縱坐標的范圍是，的取值范圍是。
2.橢圓上的點P到左準線的距離是10，那么P到其右焦點的距離是（）
A.15B.12C.10D.8
3.⊿ABC中，已知B、C的坐標分別是（－3，0）、（3，0），且⊿ABC的周長等于16，則頂點A的軌跡方程是。
4.若橢圓短軸一端點到橢圓一焦點的距離是該焦點到同側長軸一端點距離的3倍，則橢圓的離心率是；若橢圓兩準線之間的距離不大于長軸長的3倍，則它的離心率的取值范圍是。
典型例題
例1已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，且過點P（3，2），求橢圓的方程。

例2從橢圓上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點F1，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，且。（1）求該橢圓的離心率；（2）若該橢圓的準線方程是，求橢圓的方程。

課后作業(yè)
1.橢圓上一點M到左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，O為坐標原點，則|ON|=.。
2.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的最大面積為1，則此橢圓長軸的長的最小值是.
3.設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點的距離為，求此橢圓的方程。

4.已知橢圓的中心在原點，焦點F1（0，－1）、F2（0，1），直線y=4是橢圓的一條準線，（1）求橢圓的方程；（2）設P點在這個橢圓上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2.

5.橢圓的焦點分別為F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A、B，若⊿ABF2的面積是20，求直線的方程。

6.求經過點（2，0）與圓(x+2)2+y2=36內切的圓的圓心M的軌跡方程。

橢圓及其標準方程教案

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生更好的消化課堂內容，幫助高中教師提高自己的教學質量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“橢圓及其標準方程教案”，希望能對您有所幫助，請收藏。

橢圓及其標準方程1

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內容，讓教師能夠快速的解決各種教學問題。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“橢圓及其標準方程1”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學目標

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；
2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；
3．通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；
4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；
5．通過讓中國學習聯(lián)盟膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識．

教學建議

教材分析

1．知識結構

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于．這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于時無軌跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼?，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．

③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．

④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程“而沒有證明，”方程的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

（3）兩種標準方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；

橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大．

另外，形如中，只要，，同號，就是橢圓方程，它可以化為．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓．

教法建議

（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣．

為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程（3edu.net）中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗?，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）．雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法．

（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。