小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

九年級數(shù)學(xué)根的判別式。

教案課件是老師不可缺少的課件，大家應(yīng)該開始寫教案課件了。只有寫好教案課件計劃，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！你們知道哪些教案課件的范文呢？下面是小編為大家整理的“九年級數(shù)學(xué)根的判別式”，希望對您的工作和生活有所幫助。

2.2一元二次方程的解法4

班級姓名學(xué)號

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況

2、用公式法解一元二次方程的過程中，進(jìn)一步理解代數(shù)式b2－4ac對根的情況的判斷作用

3、在理解根的判別式的過程中，體會嚴(yán)密的思維過程

學(xué)習(xí)重點：一元二次方程的根的情況與系數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)難點：由一元二次方程的根的情況求方程中字母系數(shù)的取值

教學(xué)過程

一、情境引入：

1.一元二次方程的求根公式時什么？用公式法解一元二次方程的一般步驟是什么？

一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時，它的根是

用公式法解一元二次方程首先要把它化為一般形式，進(jìn)而確定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)解(根)

2.用公式法解下列方程：

⑴x2＋x－1=0⑵x2－2x＋3=0⑶2x2－2x＋1=0

3．觀察上面解一元二次方程的過程，一元二次方程的根的情況與一元二次方程中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項有關(guān)嗎？能否根據(jù)這個關(guān)系不解方程得出方程的解的情況呢？

二、探究學(xué)習(xí)：

1．嘗試：

不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？

⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3

（答案：（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根）

問題：你能得出什么結(jié)論？

可以發(fā)現(xiàn)b2－4ac它的符號決定著方程的解。

2．概括總結(jié)．

由此可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情況可由b2－4ac來判定：

當(dāng)b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

當(dāng)b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

當(dāng)b2－4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根

我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判別式。

若已知一個一元二次方程的根的情況，是否能得到判別式的值的符號呢？

當(dāng)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，b2－4ac＞0

當(dāng)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時，b2－4ac=0

當(dāng)一元二次方程沒有實數(shù)根時，b2－4ac＜0

3.概念鞏固：

（1）方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac=，所以方程的根的情況是.

（2）下列方程中，沒有實數(shù)根的方程是（）

A.x2=9B.4x2=3(4x-1)

C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0

（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數(shù)根，那么總成立的式子是（）

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0

C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥0

4.典型例題：

例1不解方程，判斷下列方程根的情況：

1、；2、；

3、4、x2-2mx+4（m-1）=0

解：1.∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0

∴該方程有兩個相等的實數(shù)根

2.移項，得x2+4x-2=0

∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0

∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根

3.移項，得4x2+3x+1=0

∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0

∴該方程沒有實數(shù)根

4.∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0

∴該方程有兩個實數(shù)根

例2：m為任意實數(shù)，試說明關(guān)于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有兩個不相等的實數(shù)根。

解：

∵不論m取任何實數(shù)，總有（m+5）2≥0

∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0

∴不論m取任何實數(shù)，上述方程總有兩個不相等的實數(shù)根

例3：m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：

（1）有兩個不相等的實數(shù)根？

（2）有兩個相等的實數(shù)根？

（3）沒有實數(shù)根？

解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1

∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2-4ac＞0

即8m+9＞0∴m＞

（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，則b2-4ac=0

即8m+9=0∴m=

（3）若方程沒有實數(shù)根，則b2-4ac＜0

即8m+9＜0∴m＜

∴當(dāng)m＞時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

當(dāng)m=時，方程有兩個相等的實數(shù)根

當(dāng)m＜時，方程沒有實數(shù)根

例4：已知關(guān)于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。

解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根

∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0

4k2+4k+1-4k2-12k＞0

-8k+1＞0即k＜

5.鞏固練習(xí)：

練習(xí)1.不解方程，判斷方程根的情況：

（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x

練習(xí)2.k取什么值時，方程x2-kx+4=0有兩個相等的實數(shù)根？求這時方程的根。

練習(xí)3.已知a、b、c分別是三角形的三邊，則關(guān)于x的一元二次方程

（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況是（）

A、沒有實數(shù)根B、可能有且僅有一個實數(shù)根

C、有兩個相等的實數(shù)根D、有兩個不相等的實數(shù)根。

三、歸納總結(jié)：

一元二次方程的根的情況與系數(shù)的關(guān)系？

b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式。利用根的判別式可以在不解方程的情況下判斷一元二次方程的根的情況；反過來由方程的根的情況也可以得知b2-4ac的符號，進(jìn)而得出方程中未知字母的取值情況。

【課后作業(yè)】

班級姓名學(xué)號

1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情況是（）

A.有兩個不等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.不能確定

2、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=.

3、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.不能確定

4、關(guān)于x的方程x2+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k()

A.k＞-1B.k≥-1C.k＞1D.k≥0

5、已知方程x2-mx+n=0有兩個相等的實數(shù)根，那么符合條件的一組m，n的值可以是m=,n=.

6、若方程有實數(shù)根，則的范圍是_____________________。

7、若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則___________。

8、不解方程，判斷下列方程根的情況

（1）；（2）；（3）

（4）3x2－x＋1=3x（5）5（x2＋1）=7x（6）3x2－4x=－4

9、k取何值時，關(guān)于x的方程2x2-(k+2)x+2k-2=0有兩個相等的實數(shù)根.？求出這時方程的根。

10、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的最大整數(shù)值。

11、當(dāng)m為何值時，方程8mx2＋（8m＋1）x＋2m=0

⑴有兩個不相等的實數(shù)根？⑵有兩個相等的實數(shù)根？⑶沒有實數(shù)根？

12、已知a、b、c為△ABC的三邊，且關(guān)于x的方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀。

擴(kuò)展閱讀

九年級數(shù)學(xué)上冊2.3一元二次方程根的判別式（湘教版）

九年級上冊《一元二次方程根的判別式》學(xué)案

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，到寫教案課件的時候了。我們制定教案課件工作計劃，才能更好地安排接下來的工作！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？下面是小編精心為您整理的“九年級上冊《一元二次方程根的判別式》學(xué)案”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

九年級上冊《一元二次方程根的判別式》學(xué)案

一、知識要點：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式是用來判別一元二次方程根的情況的；即方程有的實數(shù)根；方程有的實數(shù)根；方程無實數(shù)根。

2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。

（2）以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是。

二、典例精析：

一元二次方程根的判別式

[基礎(chǔ)知識]

例1、不解方程，判斷關(guān)于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情況。

[跟蹤練習(xí)]

1、不解方程判斷下列方程的根的情況

（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7x2+(m+5)x+m-6=0

例2、若關(guān)于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍。

[跟蹤練習(xí)]

已知關(guān)于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根據(jù)下列條件求實數(shù)m的取值范圍：

（1）有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）有兩個相等的實數(shù)根；

（3）有兩個實數(shù)根；

（4）沒有實數(shù)根；

（5）有實數(shù)根。

[拓展研究]

例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有兩個實數(shù)根，化簡。

[跟蹤練習(xí)]

已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡。

例4、已知a、b、c分別為△ABC三條邊的長，并且關(guān)于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)∠B=90o時試判斷△ABC的形狀。

例5、已知x2+2x=m-1沒有實數(shù)根，求證：x2+mx=1-2m必定有兩個不相等的實數(shù)根。

同步練習(xí)：（中考鏈接）

1、（2009上海金山）下列一元二次方程沒有實數(shù)解的是（）

A、x2-2x-1=0B、(x-1)(x-3)=0C、x2-2=0D、x2+x+1=0

2、（2008四川）已知關(guān)于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的最大整數(shù)值是（）

A、-2B、-1C、0D、1

3、（2009北京石景山）若關(guān)于x的方程2x2-ax+a-2=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是。

4、（2008天津）已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是。

5、（2008浙江寧波）已知：關(guān)于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0

（1）當(dāng)m取何值時，方程有兩個實數(shù)根；

（2）當(dāng)m選取一個合適的整數(shù)，使方程有兩個不相等的實數(shù)根，并求出這兩個根。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

例1、設(shè)x1，x2是方程x2-6x+3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值。

（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2|

[跟蹤練習(xí)]

若方程2x2-2x-1=0的兩根為α、β，不解方程，求①α+β=，②αβ=，③α2+β2=，④=，⑤（α-1）（β-1）=。

例2、已知方程2x2+kx-8=0的一個根是，求另一個根及k的值。

[跟蹤練習(xí)]

已知一元二次方程x2+4x-m=0的一個根為，則另一個根是，且m=。

例3、已知關(guān)于x的方程2x2-mx-2m+1=0的兩個實數(shù)的平方和等于，求m的值。

[跟蹤練習(xí)]

1、（2007重慶市）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的兩個不相等的實數(shù)根為α、β，滿足，求m的值。

2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個實數(shù)根且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個實數(shù)根的積大21，求m的值。

例4、已知一元二次方程的根為3，-4，求這個方程。

[跟蹤練習(xí)]

已知一元二次方程的根為-1，2，求這個方程。

例5、（2006青島市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，則αβ+α+β的值為。

同步練習(xí)：

1、（2009蘭州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩個實數(shù)根，則的值為。

2、（2008成都）已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一個根，則實數(shù)k的值是。

3、（2007錦州）設(shè)方程x2+x-2=0的兩個根為α、β，則（α-1）（β-1）的值等于。

4、已知是關(guān)于x的方程x2-4x+c=0的一個根，則c的值是。

5、若方程組的解是某個一元二次方程的兩個根，則這個一元二次方程是。

6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。

（1）當(dāng)m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）設(shè)x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且滿足x12+x1x2=1，求m的值。

一元二次方程的根的判別式

19.3一元二次方程的根的判別式
一、填空題
1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），則根的判別式為_________;當(dāng)_________時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,當(dāng)_______時,方程有兩個相等的實數(shù)根,則_______時,方程無實數(shù)根.
2.利用根的判別式,判斷方程根的情況,首先將方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判別式為_________,則方程根的情況___________.
3.不解方程,判斷方程根的情況:
(1)4p(p-1)-3=0.△_________,則方程____________:
(2)△_________,則方程__________________.
(3)△___________,則方程_________________.
4.當(dāng)k_________時,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有兩個不相等的實數(shù)根.
5.當(dāng)m________時,方程x2-(m+1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根.
6.如果方程x2-2x+=0沒有實數(shù)根,那么c的取值是__________.
二、解答題
7．已知關(guān)于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍.

8．證明關(guān)于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有兩個不相等的實數(shù)根.

9．已知關(guān)于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個相等的實數(shù)根，且a，b，c是△ABC的三條邊，判斷△ABC的形狀.
三、選擇題
10．關(guān)于x的方程x2-2有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）.
（A）k≥0（B）k＞0（C）k＞-1（D）k≥-1
11．關(guān)于x的方程mx2-mx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）.
（A）m=0（B）m=7（C）m=4（D）m＞4且m≠0

12．若關(guān)于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0無實數(shù)根，則k的最小整數(shù)應(yīng)是（）.
(A)-1(B)2(C)3(D)4
13.關(guān)于x的方程nx2-(2n-1)x+n=0有兩個實數(shù)根,則n的值為().
(A)n≤(B)≤且n≠0(C)n≥-(D)n≥-或n≠0

14.若關(guān)于y的方程y2-19y+k=0有兩個相等的實數(shù)根,那么方程y2+19y-k=0的根的情況是().
(A)有兩個不相等的實數(shù)根(B)有兩個相等的實數(shù)根
(C)無實數(shù)根(D)無法判定
四、填空題
15．若方程組有一個實數(shù)根，則m值為__________.

16.已知方程x2-有兩個相等的實數(shù)根,求銳角a=_________.
五、解答題
17．判斷關(guān)于y的方程y2+3（m-1）y+2m2-4m+=0的根的情況.

18．當(dāng)m＞3時，討論關(guān)于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的實數(shù)根的個數(shù).

19．關(guān)于x的方程x2+3x+a=0中有整數(shù)解，a為非負(fù)整數(shù)，求方程的整數(shù)解.

20．當(dāng)m=1時，求證關(guān)于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有實數(shù)根.