一元二次方程高中教案
發(fā)表時(shí)間：2020-12-17一元二次方程的根的判別式。
19.3一元二次方程的根的判別式
一、填空題
1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），則根的判別式為_(kāi)________;當(dāng)_________時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)_______時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則_______時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
2.利用根的判別式,判斷方程根的情況,首先將方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判別式為_(kāi)________,則方程根的情況___________.
3.不解方程,判斷方程根的情況:
(1)4p(p-1)-3=0.△_________,則方程____________:
(2)△_________,則方程__________________.
(3)△___________,則方程_________________.
4.當(dāng)k_________時(shí),方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
5.當(dāng)m________時(shí),方程x2-(m+1)x+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
6.如果方程x2-2x+=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,那么c的取值是__________.
二、解答題
7．已知關(guān)于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.
8．證明關(guān)于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
9．已知關(guān)于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且a，b，c是△ABC的三條邊，判斷△ABC的形狀.
三、選擇題
10．關(guān)于x的方程x2-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.
（A）k≥0（B）k＞0（C）k＞-1（D）k≥-1
11．關(guān)于x的方程mx2-mx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）.
（A）m=0（B）m=7（C）m=4（D）m＞4且m≠0
12．若關(guān)于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則k的最小整數(shù)應(yīng)是（）.
(A)-1(B)2(C)3(D)4
13.關(guān)于x的方程nx2-(2n-1)x+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則n的值為().
(A)n≤(B)≤且n≠0(C)n≥-(D)n≥-或n≠0
14.若關(guān)于y的方程y2-19y+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么方程y2+19y-k=0的根的情況是().
(A)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
(C)無(wú)實(shí)數(shù)根(D)無(wú)法判定
四、填空題
15．若方程組有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m值為_(kāi)_________.
16.已知方程x2-有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求銳角a=_________.
五、解答題
17．判斷關(guān)于y的方程y2+3（m-1）y+2m2-4m+=0的根的情況.
18．當(dāng)m＞3時(shí)，討論關(guān)于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).
19．關(guān)于x的方程x2+3x+a=0中有整數(shù)解，a為非負(fù)整數(shù)，求方程的整數(shù)解.
20．當(dāng)m=1時(shí)，求證關(guān)于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有實(shí)數(shù)根.
延伸閱讀
一元二次方程根的判別式教案
為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識(shí)點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，準(zhǔn)備教案課件的時(shí)刻到來(lái)了。在寫(xiě)好了教案課件計(jì)劃后，新的工作才會(huì)如魚(yú)得水！你們知道哪些教案課件的范文呢？以下是小編為大家收集的“一元二次方程根的判別式教案”但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。
2.3一元二次方程根的判別式教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證.
【過(guò)程與方法】
經(jīng)歷思考、探究過(guò)程，發(fā)展總結(jié)歸納能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).
【情感態(tài)度】
積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)其產(chǎn)生好奇心和求知欲.
【教學(xué)重點(diǎn)】
能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證.
【教學(xué)難點(diǎn)】
從具體題目來(lái)推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)系.
教學(xué)過(guò)程
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎么解一元二次方程，對(duì)嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個(gè)一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便地出兩個(gè)題考考我.
【教學(xué)說(shuō)明】這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最佳的心理狀態(tài).
二、思考探究，獲取新知
1.問(wèn)題：什么是求根公式？它有什么作用？
2.觀察求根公式回答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)b2-4ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？
（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？
（3）當(dāng)b2-4ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有幾個(gè)根？
3.綜上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況是由b2-4ac來(lái)判斷的.
【歸納結(jié)論】我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac
⑴當(dāng)Δ=b2-4ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即，.
⑵當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.
⑶當(dāng)Δ=b2-4ac0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
4.不解方程判定下列方程的根的情況.
(1)3x2+4x-3=0
(2)4x2=12x-9
(3)7y=5(y2+1)
解：(1)因?yàn)棣?b2-4ac=42-4×3×（-3）
=520
所以，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2）將原方程化為一般形式，得
4x2-12x+9=0
因?yàn)棣?b2-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
（3）將原方程化為一般形式，得
5y2-7y+5=0
因?yàn)棣?b2-4ac=(-7)2-4×5×5
=-510
所以，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂(lè)趣.
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.已知方程x2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則p與q的關(guān)系是．
【答案】p2-4q=0
2.若方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是-2和3，則p，q的值分別為.
【答案】-1，-6
3.判斷下列方程是否有解：
（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0
解析：演算或口算出b2－4ac，從而判斷是否有根
解：（1）有（2）沒(méi)有
4.不解方程，判定方程根的情況.
（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進(jìn)行分析即可．
解：（1）化為16x2+8x+3=0
這里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-1280
所以，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=170
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=1210
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
5.若關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因?yàn)橐辉畏匠蹋╝-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范圍．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80
∴a-2
∵ax+30即ax-3,∴x-3/a
∴所求不等式的解集為x-3/a
6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，判斷方程的根的情況；
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，求方程的根．
分析：（1）判斷一元二次方程根的情況，只要看根的判別式Δ=b2－4ac的值的符號(hào)即可判斷：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.
解：（1）∵當(dāng)m=3時(shí)，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，原方程變?yōu)閤2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.
∴x1=1，x2=-3.
7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2．
(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式；
(2)求證：拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入已知方程即可求得q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）由關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根的判別式的符號(hào)來(lái)證明拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根為2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
（2）證明：令x2+px+q=0．則Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，
所以，關(guān)于x的方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
【教學(xué)說(shuō)明】使學(xué)生能及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，同時(shí)對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生留出自由的發(fā)展空間.
四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補(bǔ)充.
課后作業(yè)
布置作業(yè):教材“習(xí)題2.3”中第1、2、3題.
教學(xué)反思
本節(jié)課的教學(xué)堅(jiān)持從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以學(xué)生為主體，注重對(duì)新理念的貫徹和教學(xué)方法的使用；在突破難點(diǎn)時(shí)，多種方法并用，注意培養(yǎng)自學(xué)能力；堅(jiān)持當(dāng)堂訓(xùn)練，例題、練習(xí)的設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)，重點(diǎn)突出，對(duì)方法的總結(jié)言簡(jiǎn)意賅；學(xué)生能夠積極、主動(dòng)的參與，充分經(jīng)歷了知識(shí)的形成、發(fā)展與應(yīng)用的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中掌握了知識(shí)，形成了技能，發(fā)展了思維；教學(xué)效果很好！
中考數(shù)學(xué)一元二次方程根的判別式復(fù)習(xí)
教案課件是老師工作中的一部分，大家應(yīng)該開(kāi)始寫(xiě)教案課件了。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，才能使接下來(lái)的工作更加有序！那么到底適合教案課件的范文有哪些？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“中考數(shù)學(xué)一元二次方程根的判別式復(fù)習(xí)”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。
初三第一輪復(fù)習(xí)第9課時(shí)：
一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
（一）知識(shí)梳理
1、一元二次方程根的一般形式：；
它的根的判別式△=，利用△判斷一元二次方程根的情況.
2、韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）及其逆定理：
（二）課前預(yù)習(xí)
1.方程化為一般形式為_(kāi)_____，其中=____，=____，=____．
2.關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為零，則的值等于_____．
3.關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為x1=1，x2=－2，則分解因式的結(jié)果是______．
【解題指導(dǎo)】
例1是什么數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：
（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根？
例2如果關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于的方程的根的情況.
例3當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程；
（1）有兩個(gè)正數(shù)根？（2）有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)跟？
例4若的兩根分別為、，則：
【鞏固練習(xí)】
1、已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則實(shí)數(shù)的值為.
2、設(shè)、是方程的兩根，則的值是.
3、關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是.
4、若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是______．
5、為何值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根.
6、已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（1）取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩根，滿足？若存在，求出方程的兩根；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【課后作業(yè)】班級(jí)姓名
一、必做題:
1、若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）
A.B.且C.D.且
2、設(shè)方程x2－4x－1=0的兩個(gè)根為x1與x2，則x1x2的值是()．
A．－4B．－1C．1D．0
3、下列方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）．
A．B．C．D．
4、若方程的兩根為、，則的值為()
A．3B．－3C．D．
5、若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（）
A.1B.2C.-1D.-2
6、如果關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么．
7、關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.
8、一元二次方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為．
9、已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
10、已知：關(guān)于的方程
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的一個(gè)根是，求另一個(gè)根及值．
11、已知ａ、ｂ、ｃ分別是△ABC的三邊，其中ａ＝1，ｃ＝4，且關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀.
12、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
二、選做題：
1、若a、b為方程式x24(x1)=1的兩根，且a＞b，則=（）
A．－5B．－4C．1D.3
2、定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
3、關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是（）
A．1B．12C．13D．25
4、關(guān)于x的方程只有一解（相同解算一解），則a的值為（）
A．B．C．D．或
5、設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）
A．2006B．2007C．2008D．2009
6、已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．
（1）求及a的值；（2）求的值．
判別一元二次方程根的情況
每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。必須要寫(xiě)好了教案課件計(jì)劃，未來(lái)的工作就會(huì)做得更好！究竟有沒(méi)有好的適合教案課件的范文？以下是小編收集整理的“判別一元二次方程根的情況”，供您參考，希望能夠幫助到大家。
22.2.22判別一元二次方程根的情況
學(xué)習(xí)內(nèi)容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判別ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況及其運(yùn)用．
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：b2-4ac0一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac=0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；b2-4ac0一元二次方程沒(méi)有實(shí)根．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵
從具體題目來(lái)推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)系．
學(xué)習(xí)指導(dǎo)
一、復(fù)習(xí)與思考
用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0（2）3x2-2x+1=0（3）4x2+x+1=0
二、合作學(xué)習(xí)，解讀目標(biāo)
(一).從前面的具體問(wèn)題，說(shuō)明一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況有哪幾種？條件分別是什么？
（二）、通過(guò)下列習(xí)題研討說(shuō)明結(jié)論的應(yīng)用：
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情況，其中正確的有（）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
B．∵b2-4ac=-8，∴方程無(wú)解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解
D．∵b2-4ac=8，∴方程無(wú)解
2.不解方程，判定2x2-3=4x的根的情況是______（填“二個(gè)不等實(shí)根”或“二個(gè)相等實(shí)根或沒(méi)有實(shí)根”）．
3.不解方程，試判定下列方程根的情況．
（1）2+5x=3x2（2）x2-（1+2）x++4=0
4.不解方程，判別關(guān)于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情況．
（三）、上述結(jié)論的逆命題同樣成立，分析下面例題：
例．若關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因?yàn)橐辉畏匠蹋╝-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范圍．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80
a-2
∵ax+30即ax-3
∴x-
∴所求不等式的解集為x-
應(yīng)用訓(xùn)練：
5．一元二次方程x2-ax+1=0的兩實(shí)數(shù)根相等，則a的值為（）．
A．a(chǎn)=0B．a(chǎn)=2或a=-2
C．a(chǎn)=2D．a(chǎn)=2或a=0
6．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，則k的取值范圍是（）．
A．k≠2B．k2C．k2且k≠1D．k為一切實(shí)數(shù)
綜合提高題
7．當(dāng)c0時(shí)，判別方程x2+bx+c=0的根的情況．
8．．某集團(tuán)公司為適應(yīng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，趕超世界先進(jìn)水平，每年將銷(xiāo)售總額的8%作為新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)研究資金，該集團(tuán)2000年投入新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)研究資金為4000萬(wàn)元，2002年銷(xiāo)售總額為7.2億元，求該集團(tuán)2000年到2002年的年銷(xiāo)售總額的平均增長(zhǎng)率．
