小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)教案

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何探索題巡視。

二．幾何探索題巡視

探索類問題是近幾年中考命題的重點(diǎn)，不少省市還作為壓軸的大題。筆者研究了各地中考試卷，對(duì)命題特點(diǎn)、解題方法做了一些探討。本文以中考題為例說明之，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

一、實(shí)驗(yàn)型探索題

例1.等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等腰三角形面積的方法：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點(diǎn)A和底邊BC各等分點(diǎn)的線段，即可把這個(gè)三角形的面積m等分。

圖1

問題提出：任意給定一個(gè)正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？

探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個(gè)問題，我們先從簡單問題入手怎樣從正三角形的中心（正多邊形的各對(duì)稱軸的交點(diǎn)，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？

如果要把正三角形的面積4等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)（如圖2(1)），這些線段將這個(gè)三角形分成了3個(gè)全等的等腰三角形）；再把所得到的每個(gè)等腰三角形的底邊4等分，連接中心和各邊等分點(diǎn)（如圖2(2)，這些線段把這個(gè)三角形分成了12個(gè)面積相等的小三角形）；最后依次把相鄰的3個(gè)小三角形拼合在一起（如圖2(3)），這樣就能把這個(gè)正三角形的面積4等分了。

圖2

（1）實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證：仿照上述方法，利用刻度尺在圖3中畫出一種將正三角形的面積5等分的示意圖。

圖3

（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個(gè)正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由。

（3）拓展與延伸：怎樣從正方形（如圖4）的中心引線段，才能將這個(gè)正方形的面積m等分（敘述分法即可，不要求說明理由）？

圖4

（4）問題解決：怎樣從正n邊形（如圖5）的中心引線段，才能使這個(gè)正n邊形的面積m等分？（敘述分法，不要求說明理由）

圖5

分析：這類問題的特點(diǎn)是先給出一個(gè)解決問題的范例，然后要求解答一個(gè)類似的問題，最后將結(jié)論或方法推廣到一般情況。這類問題文字較多，首先應(yīng)弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的問題，然后詳細(xì)閱讀范例，從中領(lǐng)會(huì)解決問題的方法，并能運(yùn)用這個(gè)方法解決問題。

解：（1）先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)，再把正三角形各邊分別5等分，連接中心和各分點(diǎn)，然后將每3個(gè)相鄰的小三角形拼在一起，就可將正三角形的面積5等分了（圖略）。

（2）先連接正三角形的中心和各頂點(diǎn)，再把正三角形各邊分別m等分，連接中心和各個(gè)分點(diǎn)，然后把每3個(gè)相鄰的小三角形拼合在一起，即可把這個(gè)正三角形的面積m等分了。

理由：每個(gè)小三角形的底和高都相等，因此它們的面積都相等，每3個(gè)拼合在一起的圖形面積當(dāng)然也都相等，即把正三角形的面積m等分。

（3）先連接正方形的中心和各頂點(diǎn)，然后將正方形各邊m等分，連接中心和各分點(diǎn)，再依次將相鄰的4個(gè)小三角形拼合在一起，這就把這個(gè)正方形的面積m等分了。

（4）連接正n邊形的中心和各頂點(diǎn)，然后將這個(gè)正n邊形各邊m等分，再依次將n個(gè)相鄰的小三角形拼在一起，這就將這個(gè)正n邊形的面積m等分了。

二、操作型探索題

例2.已知線段AC＝8，BD＝6。

（1）已知線段AC⊥BD于O（O不與A、B、C、D四點(diǎn)重合），設(shè)圖6（1）、圖6（2）和圖6（3）中的四邊形ABCD的面積分別為S1、S2、S3，則S1＝_________，S2＝_________，S3＝_________；

圖6

（2）如圖6（4），對(duì)于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點(diǎn)A、B、C、D重合）的任意情形，請(qǐng)你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)線段BD與AC（或CA）的延長線垂直相交時(shí)，猜想順次連接點(diǎn)A、B、C、D所圍成的封閉圖形的面積是多少。

分析：題（1）實(shí)際上是將BD沿AC由下向上移動(dòng)，計(jì)算BC在不同位置時(shí)四邊形ABCD的面積，再觀察計(jì)算結(jié)果。題（2）是AC沿BD左右移動(dòng)，計(jì)算四邊形ABCD的面積，再觀察計(jì)算結(jié)果。題（3）是在更一般的情況下探索規(guī)律。這種由淺入深的探索方式是中考探索類問題的特點(diǎn)。

解：（1）242424

（2）對(duì)于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點(diǎn)A、C、B、D重合）的任意情形，四邊形ABCD的面積為定值24。證明如下：

顯然，

（3）所圍成的封閉圖形的面積仍為24。

三、觀察猜想型探索題

例3.（山西省）如圖7，正方形ABCD的邊CD在正方形EFGC的邊CE上，連接BE、DG。

圖7

（1）觀察并猜想BE與DG之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）圖7中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的三角形？若存在，請(qǐng)說明旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，說明理由。

分析：證明題是直接給出結(jié)論，要求尋找結(jié)論成立的理由，而這一類探索題是題目沒有給出結(jié)論，要求自己下結(jié)論，并證明結(jié)論成立。這就要求有較強(qiáng)的觀察猜想能力。

解：（1）BE＝DG，證明如下：

在Rt△BCE和Rt△DCG中，BC＝CD，CE＝CG，

∴△BCE≌△DCG。故BE＝DG。

（2）將Rt△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可與Rt△DCG重合。

四、圖形計(jì)數(shù)型探索題

例4.如圖8，在圖（1）中，互不重疊的三角形有4個(gè)，在圖（2）中，互不重疊的三角形有7個(gè)，在圖（3）中，互不重疊的三角形有10個(gè)，…，則在圖（n）中互不重疊的三角形有_______個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）。

圖8

分析：這類圖形計(jì)數(shù)型探索題有線段計(jì)數(shù)、射線計(jì)數(shù)、角計(jì)數(shù)等。解這類題首先要通過幾個(gè)具體圖形尋找規(guī)律，然后寫出公式，或稱一般表達(dá)式。解題的關(guān)鍵是找規(guī)律。

解：圖（1）：1＋1×3＝4；圖（2）：1＋2×3＝7；圖（3）：1＋3×3＝10。

所以圖（n）中有1＋3n個(gè)互不重疊的三角形，應(yīng)填3n＋1。

五、其他類型探索題

例5.如圖9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。

(1)(2)

圖9

（1）在圖9（1）中，判斷能否在AB上確定一點(diǎn)E，使得AC2＝AEAB，并說明理由；

（2）在圖9（2）中，在條件（1）的結(jié)論下，延長EC到P。連接PB，如果PB＝PE，試判斷PB和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

分析：一般的探索題是由特殊到一般，探求結(jié)論的普遍性，而這道題是兩個(gè)小題互相獨(dú)立，只是基本圖形相同。題（1）是作出滿足線段關(guān)系式的圖形，題（2）是判斷圖形中的一些線段的相互關(guān)系。

解：（1）作法有多種，這里舉一例。如圖10，在⊙O上取點(diǎn)D，使＝，連接CD交AB于點(diǎn)E，則有AC2＝AEAB。連接BC，顯然△ACE∽△ABC，則AB：AC＝AC：AE，故AC2＝AEAB。

圖10圖11

（2）如圖11，過點(diǎn)B作⊙O的直徑BF，連接CF、BC?？梢宰C明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切線。

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中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：信息型題

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中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之八：信息型題

所謂信息型題就是根據(jù)文字、圖象、圖表等給出數(shù)據(jù)信息，進(jìn)而依據(jù)這些給出的信息通過整理、分析、加工、處理等手段解決的一類實(shí)際問題

【范例講析】：

例1：某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加。（人均住房面積=該區(qū)住房總面積/該區(qū)人口總數(shù)，單位：m2/人），該開發(fā)區(qū)2003～2005年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別如下圖：請(qǐng)根據(jù)兩圖所所提供的信息，解答下面的問題：

⑴該區(qū)2004年和2005年兩年中，哪一年比上一年增加的住房面積多？增加多少萬m2?

⑵由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，預(yù)計(jì)到2007年底，該區(qū)人口總數(shù)比2005年底增加2萬，為使到2007年底該區(qū)人均住房面積達(dá)到11m2/人，試求2006年和2007年這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增加率應(yīng)達(dá)到百分之幾？

【闖關(guān)奪冠】

如圖表示一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的函數(shù)圖像（分別為正比例函數(shù)和一次函數(shù)）．兩地間的距離是80千米．請(qǐng)你根據(jù)圖像回答或解決下面的問題：

（1）誰出發(fā)的較早？早多長時(shí)間？誰到到達(dá)乙地較早？早到多少時(shí)間？

（2）兩人在途中行駛的速度分別是多少？

（3）請(qǐng)你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（4）指出在什么時(shí)間段內(nèi)兩車均行駛在途中（不包括端點(diǎn)）；在這一時(shí)間段內(nèi)，請(qǐng)你分別按下列條件列出關(guān)于時(shí)間x的方程或不等式（不要化簡，也不要求解）：

①自行車行駛在摩托車前面；

②自行車與摩托車相遇；

③自行車行駛在摩托車后面．

中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：幾何綜合題

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之十二幾何綜合題

幾何綜合題一般以圓為基礎(chǔ)，涉及相似三角形等有關(guān)知識(shí)；這類題雖較難，但有梯度，一般題目中由淺入深有1～3個(gè)問題，解答這種題一般用分析綜合法．

【范例講析】：

1.⊿ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．

（1）求證：DF是⊙O的切線．

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的長．

2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線與⊙O相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)AC.

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)若AD=3，AC=，求直徑AB的長。

【闖關(guān)奪冠】

1.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

4.如圖，已知⊙O的兩條弦AC、BD相交于點(diǎn)Q，OA⊥BD．

（1）求證：AB2=AQAC：

（2）若過點(diǎn)C作⊙O的切線交DB的延長線于點(diǎn)P，

求證：PC=PQ．

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：探索性問題

老師在新授課程時(shí)，一般會(huì)準(zhǔn)備教案課件，大家在用心的考慮自己的教案課件。寫好教案課件工作計(jì)劃，才能使接下來的工作更加有序！你們清楚有哪些教案課件范文呢？下面是小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：探索性問題”，希望能為您提供更多的參考。

六．探索性問題

一、探索性問題是指命題中缺少一定的題設(shè)或沒有明確的結(jié)論,需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充、并加以證明的問題.其典型特點(diǎn)是不確定性.主要包括(1)條件探索型，(2)結(jié)論探索型，(3)存在性探索型等.

條件探索型是指結(jié)論已明確，需要探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目；結(jié)論探索型是指在一定的條件下無結(jié)論或結(jié)論不明確，需要探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目；而存在型探索題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目。

探索性問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強(qiáng)、難度較大，不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而倍受關(guān)注。

探索性問題解法，根據(jù)已知條件，從基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法出發(fā)，結(jié)合基本圖形，抓住本質(zhì)聯(lián)系進(jìn)行探究，常用觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、歸納、類比等方法，進(jìn)行分析、歸納、猜想、比較、推理等，直到得出答案。題目的答案也是多種多樣的，有的題目有唯一解，有的題無解，也有的題要分幾種情況討論。

解結(jié)論探索型題的方法是由因?qū)Ч?；解條件探索型的方法是執(zhí)果索因；解存在性探索題先假設(shè)要探索的問題存在，繼而進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算，若得出矛盾或錯(cuò)誤的結(jié)論，則不存在，反之即為所求的結(jié)論。解題時(shí)應(yīng)注意知識(shí)的綜合運(yùn)用。

二、理解掌握

例一、已知：（如圖）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的條件是_____（只填一個(gè)）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)

說明：該圖是初二幾何的基本圖形，是解決其他問題的基礎(chǔ)，應(yīng)牢記。

例二、如圖，☉O與☉O1外切于點(diǎn)T，AB為其外公切線，PT為內(nèi)公切線，AB與PT相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段,請(qǐng)寫出一個(gè)正確結(jié)論,并加以證明.(本題將按正確答案的難易程度評(píng)分)

結(jié)論1:PA=PB=PT結(jié)論2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2)

結(jié)論3:∠BAT=∠TBO1結(jié)論4:∠OTA=∠PTB

結(jié)論5:∠APT=∠BO1T結(jié)論6:∠BPT=∠AOT

結(jié)論7:ΔOAT∽ΔPBT結(jié)論8:ΔAPT∽ΔBO1T

設(shè)OT=R,O1T=r,結(jié)論9:PT2=Rr

結(jié)論10:AB=2√Rr結(jié)論11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr

結(jié)論12:以AB為直徑的☉P必定與直線OO1相切于T點(diǎn).

說明：你還能得出其它的結(jié)論嗎？試試看。本題是由初三幾何書上的例題改編的，對(duì)基本圖形的再認(rèn)識(shí)，對(duì)圖形間的內(nèi)在關(guān)系的深刻挖掘，有助于透徹理解知識(shí)。

例三、已知二次函數(shù)ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的圖象經(jīng)過點(diǎn)Ａ（－３，６）、和ｘ軸交于點(diǎn)Ｂ（－１，０）和點(diǎn)Ｃ，拋物線的頂點(diǎn)為Ｐ.

（１）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（２）線段ＯＣ上是否存在點(diǎn)Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ

分析：函數(shù)的解析式為ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２

＝１／２（ｘ－１）２－２，

各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：Ａ（-3，6）、Ｂ（-1，0）、Ｃ（3，0）、

Ｅ（-3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，-2）.

設(shè)存在點(diǎn)Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD.作AE⊥x軸于點(diǎn)E，則ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD∴ΔABC∽ΔPDC∴AC:ＰＣ＝ＢＣ:ＤＣ，即６√２:２√２＝４:(3-a)

解之得:a=5/3.∴存在這樣的點(diǎn)D(5/3,0),使∠CAB=∠CPD.

說明：本題是代數(shù)與幾何結(jié)合的探索性題，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難點(diǎn)是尋求數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)，用到的數(shù)學(xué)思想方法多，如數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，轉(zhuǎn)化思想，待定系數(shù)法，配方法，采用觀察、試驗(yàn)、猜想、比較等方法，把角相等轉(zhuǎn)化為三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系得出方程，從而解決問題。與函數(shù)有關(guān)的探索題如果所求的點(diǎn)在圖象上，有時(shí)還要代入解析式，利用方程組來解決問題。

三、鞏固訓(xùn)練

1、已知AC、AB是☉O的弦，ABAC,（如圖）能否在AB上確定一點(diǎn)E，使AC2=AEAB

分析：作AM=AC，連結(jié)CM交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CB，可證ΔACE∽ΔABC，即可得出結(jié)論。

2、關(guān)于ｘ的方程x２-（5k+1）x+k２-2=0，是否存在負(fù)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

提示：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2.

由根與系數(shù)關(guān)系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.

由題意知得方程,化簡得4k2-5k-9=0,∴k1=-1,k2=9/4(不合題意,舍去)

把k=-1代入根的判別式,Δ=200.

∴存在滿足條件的k,k=-1.

3、已知一次函數(shù)Y=-X+6和反比例函數(shù)Y=k/x（k≠0）.(1)k滿足什么條件時(shí),這兩個(gè)函數(shù)在(2)設(shè)(1)中的兩個(gè)公共點(diǎn)分別為A、Ｂ，∠ＡＯＢ是銳角還是鈍角？

答案：（1）k9且k≠0：

（2）分兩種情況討論當(dāng)0k9時(shí)，∠ＡＯＢ是銳角；當(dāng)k0時(shí)，∠ＡＯＢ是鈍角。

四、拓展應(yīng)用

1、如圖,在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），

那么(1)當(dāng)t為何值時(shí)，ΔQAP為等腰三角形？

（2)求四邊形QAPC的面積；提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似？

解：（1）對(duì)于任時(shí)刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t。

當(dāng)QA=AP時(shí)，ΔQAP為等腰三角形，即6-t=2t，解得t=2（秒），

∴當(dāng)t=2秒時(shí)，ΔQAP為等腰三角形，

（2）在ΔQAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，

∴SΔQAC=1/2QADC=1/2（6-t）12=36-6t.

在ΔAPC中,AP=2t,BC=6,

∴SΔAPC=1/2APBC=1/22t6=6t.

∴S四邊形QAPC=SΔQAC+SΔAPC=(36-6t)+6t=36(厘米2)

（3）略解：分兩種情況討論：①當(dāng)QA:AB=AP:BC時(shí)，ΔQAP∽ΔABC，

可解得t=1.2（秒）

②當(dāng)QA:BC=AP:AB時(shí)，ΔPAQ∽ΔABC，可解得t=3（秒）

∴當(dāng)t=1.2秒或t=3秒時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似.

2、如圖，已知在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)FC（ABAE）。

（1）ΔAEF與ΔECF是否相似。若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，說明理由。

（2）設(shè)AB/BC=k，是否存在這樣的k值，使得ΔAEF與ΔECF相似？

若存在，證明你的結(jié)論；

若不存在，說明理由。