小學三角形教案

等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明。

課題32.1等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明（1）課型新授課

教學目標1、了解作為證明基礎的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學重點了解作為證明基礎的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學方法觀察法

教學后記

教學內(nèi)容及過程學生活動

一、復習：

1、什么是等腰三角形？

2、你會畫一個等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？

二、新課講解：

之前，我們已經(jīng)證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經(jīng)證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。

同學們和我一起來回憶上學期學過的公理:

1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;

3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等;（SAS）

4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;（ASA）

5.三邊對應相等的兩個三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.

由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論：

推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（AAS）

證明過程：

已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）

∠C=180°-(∠A+∠B)

∠F=180°-(∠D+∠E)

∠C=∠F（等量代換）

BC=EF（已知）

△ABC≌△DEF（ASA）

這個推論雖然簡單，但也應讓學生進行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。

三、議一議：

（1）還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎？

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？

等腰三角形（包括等邊三角形）的性質學生已經(jīng)探索過，這里先讓學生盡可能回憶出來，然后再考慮哪些能夠立即證明。

定理：等腰三角形的兩個底角相等。

這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。

求證：∠B＝∠C

證明：取BC的中點D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

四、想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？

應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特征，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一”。

推論等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

五、隨堂練習：

做教科書習題第1，2題。

六、課堂小結：

通過本課的學習我們了解了作為基礎的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。

七、課外作業(yè)：

同步練習

板書設計：

這個推論雖然簡單，但也應讓學生進行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。

學生充分討論問題1，借助等腰三角形紙片回憶有關性質

讓學生盡可能回憶出來，然后再考慮哪些能夠立即證明

讓同學們通過探索、合作交流找出其他的證明方法

學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發(fā)現(xiàn)等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一”。

課題32.1等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明（2）課型新授課

教學目標1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

3、結合實例體會反證法的含義。

教學重點等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學難點能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學方法

教學后記

教學內(nèi)容及過程

教師活動學生活動

一、等腰三角形性質的探究

1．讓學生回憶上節(jié)課的教學內(nèi)容，引導學生思考從等腰三角形中能找到哪些相等的線段。

2．播放課件，結合剛才的問題講解例1的命題，并為后面將此性質拓展埋下伏筆。

3．分別演示：

∠ABC,∠ACE=∠ACB,k=,時,BD是否與CE相等。引導學生探究、猜測當k為其他整數(shù)時，BD與CE的關系。

4.引導學生探究，對于上述例題，當AD=AC,AE=AB,k=,時，通過對例題的引申，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，經(jīng)歷探究—猜測—證明的學習過程。

5．引導學生進一步推廣，把上面3、4中的k取一般的自然數(shù)后，原結論是否仍然成立?要求學生說明理由或給出證明。

6．對學生探究的結果予以匯總、點評，鼓勵學生在自己做題目的時候也要多思多想，并要求學生對猜測的結果給出證明。

7．提出新的問題，引導學生從“等角對等邊”這個命題的反面思考問題，即思考它的逆命題是否成立。適時地引導學生思考可以用哪些方法證明?培養(yǎng)學生的推理能力。

8．歸納學生提出的各種證法，清楚的分析證明的思路，培養(yǎng)學生演繹證明的初步的推理能力。

9．啟發(fā)學生思考：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等，這個結論是否成立?如果成立，能否證明。這實際上是“等邊對等角”的逆否命題，通過這樣的表述可以提高學生的思維能力。

10．總結這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學生了解。

11．小結這兩個課時的內(nèi)容。

作業(yè)：

同步練習

板書設計：

1．積極思考，回憶以前所學知識，聯(lián)想新問題。

2．認真觀看例1圖形中線段的關系，積極思考，認真聽講。

3．對于課件的演示很感興趣，憑直觀感覺可以猜測，不管k為何值，BD=CE總成立。基于前面例題的啟發(fā)，想要給出證明。一部分學生可以自己給出證明，一部分學生需要老師的幫助。

4．在已經(jīng)探究了角的大小的改變對于BD，CE的等長性沒有影響，有了一些成就感之后，又面臨新的任務：BD＝CE嗎?因此學生會滿懷熱情地進行這部分探究活動，而且有了前面的體驗，探究也會比較順利。

5．興致高漲，憑直覺猜測結論仍然成立。但有些學生給出全部證明可能會有困難。

6．認真聽講，在掌握結論的同時受到老師的鼓勵，有很高的熱情進行后續(xù)學習。

7．較少接觸這樣的命題，因此會感到新鮮，有用已知公理和定理對命題的真假性進行判斷的欲望。在老師指導下完成證明。

8，積極動腦思考，認真聽講，獲得對演繹證明的初步體會。

9．可以從直觀上得出結論，但是此處要求證明，體會到證明的必要性。遇到認知上的沖突，激起學習欲望。

10．懷有強烈的求知欲聽講，對反證法有了感性認識和一定的理解。

11．體會老師的講解，并根據(jù)小結記憶掌握知識。

（學生小結：掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。）

課題32.1等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明（3）課型新授課

教學目標1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明直角三角形的有關性質定理和等邊三角形的判定定理。

教學重點等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理。

教學難點能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理。

教學方法

教學后記

教學內(nèi)容及過程

教師活動學生活動

一、定理：一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

1．引導學生回憶上節(jié)課的內(nèi)容，讓學生思考：等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形?讓學生對普遍聯(lián)系和相互轉化有一個感性的認識。

2．肯定學生的回答，并讓學生進一步思考：有一個角是60°的等腰三家形是等邊三角形嗎?組織學生交流自己的想法。滲透分類討論的思維方法。

3．關注學生得出證明思路的過程，講評。講解定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

二、一種特殊直角三角形的性質

1．讓學生拼擺事先準備好的三角尺，提問：能拼成一個怎樣的三角形?能否拼出一個等邊三角形?并說明理由。

2．肯定學生的發(fā)現(xiàn)和解釋，在此基礎上進一步深入提問：在直角三角形中，30°所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系?

3．演示規(guī)范的證明步驟，同時引導學生意識到：通過實際操作探索出的結論還需要給予理論證明。

4．讓學生準備一張正方形紙片，，按要求動手折疊。

5．講解例題，應用定理。

6．布置學生做練習。

練習：課本隨堂練習1

四、課堂小結：

通過這節(jié)課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？

五、作業(yè)：同步練習

板書設計：

1．積極地自主探索、思考等腰三角形成為等邊三角形的條件?？赡軙倪吅徒莾蓚€角度給出答案。

2．積極思考，通過老師的點撥，分類討論當這個角分別是底角和頂角的情況。

3．認真聽講，體會分類討論的數(shù)學思維方法，理解定理。

1．積極動手操作，并很快得到結果：可以拼出等邊三角形。

2．在拼擺的基礎上繼續(xù)探索，得出結論。并在探索的過程中得到證明的思路。

3．認真聽講，體會從探索和嘗試中得到結論的過程和證明方法的步驟，掌握定理。

4．很有興趣地折疊紙片，體會定理的應用。

5．聽講，體會定理的應用。

6．認真做練習。

（學生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理）

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等腰梯形的性質定理和判定定理及其證明

教案課件是老師工作中的一部分，大家在著手準備教案課件了。將教案課件的工作計劃制定好，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的等腰梯形的性質定理和判定定理及其證明，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

32.4等腰梯形的性質定理和判定定理及其證明
教學目標：
知識目標：理解和掌握等腰梯形的性質定理的內(nèi)容及簡單的應用；
能力目標：通過動手操作，探索等腰梯形的性質及其證明方法，初步培養(yǎng)學生探索問題和研究問題的能力；
情感目標：營造一個相互協(xié)作的課堂氣氛，引領學生自主探究、集體討論，激發(fā)學生的學習熱情；
教學重點與難點：
1、等腰梯形性質的探究及證明；
2、等腰梯形性質定理的簡單應用。
教學過程：
1、復習舊知，引入新課
填空（1）的四邊形是平行四邊形；
（2）的四邊形是平行四邊形；
（3）的四邊形是平行四邊形；
（4）的四邊形是平行四邊形；
（5）的四邊形是平行四邊形；
（6）一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；
用舉反例的方法舉出有一組對邊平行，一組對邊相等但并不是平行四邊形的圖形即等腰梯形，從而由這個錯誤的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定義；我們這節(jié)課就來研究等腰梯形的性質。
2、自主探索、提出猜想
把學生分成以四個人一組的若干小組，提供給每個小組一個等腰梯形的模型，讓同學們用各種數(shù)學工具通過各種數(shù)學方法，如翻折、旋轉等來探索等腰梯形有哪些性質？
同學們可能會得出下面一些結論：
（1）兩腰相等；
（2）兩個底角相等；
（3）等腰梯形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
（4）兩條對角線相等；
…………
3、交流反饋、共同論證
結論（1）由等腰梯形的定義可以得到而不用證明；
結論（2）的證明探索：（學生討論交流，提出各自的證明思路）
（如果學生沒有思路，教師可以引導證明兩個角相等
的兩種思路：）
一是把兩個角轉化到同一個三角形中，用“等邊對等角”證明；

二是把兩個角轉化到兩個全等三角形中，用“全等三角形的對應角相等”證明；
完善結論后得到：
等腰梯形的性質定理等腰梯形的同一條底邊上的兩個內(nèi)角相等。
結論（3）：
觀察翻折、旋轉的動畫演示后，由軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可以直接得到：
等腰梯形是軸對稱圖形，經(jīng)過兩底中點的直線是它的對稱軸。
等腰梯形不是中心對稱圖形！
結論（4）的證明可以讓學生獨立完成，請一個同學上黑板板書，其他同學自己在課堂練習本上完成。

4、運用新知、學為己用
例1：（1）如圖，在等腰梯形ABCD中，∠B=600，求其它三個角的度數(shù)。（口答）

（2）如圖，延長等腰梯形ABCD的兩腰BA與CD，相交于點E。已知：EA=6，求ED的長度。

教師板演，規(guī)范學生幾何計算題的書寫格式。
例2：已知等腰梯形的一個底角為600，它的兩底分別是16cm、30cm。求它的腰長。
(兩種添線方法)

例3：如圖，已知腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC⊥BD，垂足為O，AD=5，BC=9，求梯形的高。

要求：學生分成幾個小組，小組討論，協(xié)作完成；
5、反思小結、體味新知
通過本節(jié)課的學習：
我掌握了：一個定理…
我學會了：一種數(shù)學方法…
我經(jīng)歷了：一次探索研究…
我發(fā)現(xiàn)了：………
………
要求：學生思考、口答；
6、分層作業(yè)、自主發(fā)展
1、同步練習
2、思考題：
你能把上底與兩腰的長度都為2，下底為4的等腰梯形（如下圖）分成四個全等的等腰梯形嗎？

《相似三角形判定定理的證明》教案

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細規(guī)劃教案課件。認真做好教案課件的工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們了解多少教案課件范文呢？以下是小編為大家收集的“《相似三角形判定定理的證明》教案”僅供您在工作和學習中參考。

《相似三角形判定定理的證明》教案

課題

相似三角形判定定理的證明

課時

1

課型

新授

學習目標的表述：

1.通過自主學習探索、合作交流，會表述相似三角形判定定理證明的思路和方法。

2.通過合作探究和練習，會綜合應用相似三角形判定定理以及性質解決相關問題。

設置的依據(jù)：

1.《課程標準》的要求

了解相似三角形判定定理的證明過程

2.教材分析

本節(jié)課內(nèi)容是九年級第四章第五節(jié)，學生對三角形之間的全等關系已有深度的認識。而本章相似三角形是全等三角形的拓展和延伸，是學生在初中階段對三角形關系的收官之章。學生在學習了“平行線分線段成比例”、“相似三角形的定義”、“探索相似三角形的條件”等知識的基礎上進行的，它既是對前面所學知識的綜合應用，也是對這些知識的拓展與延伸。本節(jié)作為選學內(nèi)容，目標要求學生對相似三角形的判定定理作為了解，但為了讓學有余力的學生得到不同的發(fā)展，對于這一選學內(nèi)容的指導，重視證明思路探索和尋求。所以本節(jié)的重點是證明思路探索以及相似性質和判定的綜合應用。

3.學情分析

本課時的教學內(nèi)容是相似三角形的判定定理證明。而在這之前，學生已對“平行線分線段成比例”這個基本事實熟練掌握，充分了解相似三角形的概念。因此為即將學習相似三角形判定定理的證明打下基礎?？赡軙霈F(xiàn)的問題有1、證明的思路和方法不清晰2、添加平行線的意圖和作用不明確。

評價任務的設計：

1.通過自主學習和目標檢測一的探索和交流，會表述相似三角形判定定理證明的思路和方法。（目標1）

2.通過合作交流與目標檢測二，會利用相似三角形性質判定定理進行簡單的計算或證明。（目標2）

設計意圖：

本節(jié)課的重點是了解三角形判定定理的證明，能熟練應用判定定理解決相關問題。難點是認識證明中的轉化思想，能綜合應用相似三角形的判定定理以及性質。在學習中注重學生合作能力，想象能力，化歸能力的合理評價，對能主動參與合作交流、積極操作、勇于發(fā)言、善于創(chuàng)新的行為給予及時的評價和鼓勵。

教學設計

學習

目標

學習活動

評價標準

教師活動

目標達成情況

反思與

評價

目標1：.經(jīng)歷探索相似三角形判定定理（1）的證明過程，通過自主學習（預習課本）及合作交流，能在教師的引導下表述自己的思路和方法，并完成相似三角形判定定理（2）（3）的證明。能說出證明中的轉化思想。

舊知鏈接

1、相似三角形的定義？

2、平行線分線段成比例定理及推論？

3、相似三角形相似的判定定理有哪些？

會準確說出定義、定理的文字語言及幾何語言

結合課件的圖形學生回答問題，同時，讓學生上講臺上寫出定理的幾何語言。

教師認真傾聽并對回答及時評價和補充，同時對回答問題的學生鼓勵和表揚。

自主學習

1.）閱讀課本99頁定理1，教師提示文字證明題的步驟，學生說出定理的條件和結論，思考定理的證明思路和方法。

引導學生思考問題：1.在沒給出判定定理的情況下，怎么證明相似？（相似三角形的定義）2.現(xiàn)有條件下，依據(jù)相似三角形的定義，還需要得到什么條件？（對應邊成比例）3.添加什么樣的輔助線可以得到線段的比例式？（平行線）4.怎么做平行？（在大三角形內(nèi)部或外部構造與小三角形全等的三角形。）

2）.定理的證明思路？

3）.同伴幫助下，寫出定理的證明過程。

會寫出定理的條件和結論

會說出證明的思路和方法

教師組織同桌2人相互協(xié)作完成定理的已知求證及圖形。同時教師巡視點撥學困生。鼓勵學生大膽思考問題，對他們及時給予表揚同時表揚優(yōu)等生帶動學困生的合作精神。

展示2組學生的成果，教師指出問題并及時矯正。對優(yōu)秀小組給予表揚。教師點撥解題關鍵：做平行線找比例式。

目標檢測一(學生活動1)

1.8人小組合作：

證明：定理2兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

（教師提示：1.證明相似的方法除定義外，又多了什么方法？該選擇哪個？2.參照定理1的證明，完成的定理2證明

）小組長組織交出一份成果。

2.4人小組合作，獨立完成證明過程。

證明：定理3三邊成比例的兩個三角形相似。

（教師提示：1.證明相似的方法除定義外，又多了什么方法？該選擇哪個？）。

學生小組交流，能拿出較為完善的成果

學生小組交流，大部分能拿出較為完善的成果

教師巡視各小組并適時給予點撥，并幫助完善。對交流中思考積極的學生進行表揚，展示部分小組的成果。對優(yōu)秀小組的組長及成員大力表揚。教師點撥解題關鍵：做平行線找比例式。

教師參與各小組的活動并適時給予點撥，并幫助完善。學生做完教師批改組長的，組長批改組員的。教師點撥解題關鍵：做平行線找比例式。

目標2：通過活動2，能綜合應用相似三角形判定定理以及性質解決相關問題。

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計合作交流（學生活動2）

（4人小組合作交流）

1.已知：如圖，在ABC中，D是AC上一點，∠CBD的平分線交AC于點E，且AE=AB

求證：AE2=AD·AC．

(1)要證明結論中的等積式，一般將等積式轉化成比例式。

(2)要證明比例式往往從（平行線分線段成比例）和（相似三角形對應邊成比例入手）。

(3)結合幾何圖形我們從后者入手，結合比例式找相似三角形？

(4)發(fā)現(xiàn)找不到怎么辦？（將條件中的等線段進行代換）

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計

教師設置問題梯度分解證明思路:

(1)從已知條件中我們能得到那些結論？

(2)根據(jù)結論我們選擇哪個定理進行證明？

(3)具體的步驟有哪些？

每小組組長說出證明思路，組員展示證明過程。7成達標。

獨立完成證明過程。小組長負責批改組員。并幫助學困生完善證明過程。

學生合作交流時教師積極觀察各小組的交流，主動參與個別組的討論并及時指導。教師巡視各小組并適時給予點撥，并幫助完善。對交流中思考積極的學生進行表揚，展示部分小組的成果。對優(yōu)秀小組的組長及成員大力表揚。

學生展示這四個問題時要抓住這幾個問題的關鍵點。

教師點撥關鍵點：1.等積式轉化成比例式2.比例式中的等線段代換3.“三點定形”確定相似三角形

教師觀注學困生，點撥學困生，幫助完善。教師批改小組長的作業(yè)，對優(yōu)秀小組的組長及成員表揚。

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計目標檢測二

學生獨立完成

已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點．

（1）求證：ADQQCP．（2）AQ與PQ的位置關系如何？說明理由。

教師小結后，學生識記（一線三等角）的模型，明確這種模型常在證明全等或相似中出現(xiàn)。

8成學生能獨立完成推理的大部分。同桌相互批改。

學生思考1分鐘后，教師再提示：證明兩個三角形相似時，一般的順序是先找角相等用判定定理1，再次找夾等角的兩邊的比例式用判定定理2，最后三邊成比例用判定定理3

教師指定學生演板，訂正不足。教師巡視點撥學困生，尋找閃光點，對表現(xiàn)優(yōu)秀者進行表揚。

教師小結：強調圖形的模型（一線三等角）

小結

通過本節(jié)課的學習你有什么收獲？

從知識、技能、思想方法、數(shù)學模型等幾方面進行總結。

作業(yè)

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計作業(yè)布置：

課本102頁1小題。1．如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點，AE=BF=CD，那么ABC與DEF相似嗎？請證明你的結論．

這部分作業(yè)要所有學生都能認真的完成。

作業(yè)/拓展

《相似三角形判定定理的證明》基于標準的教學設計課本102頁問題解決4.如圖，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s．如果P，Q兩動點同時運動，那么何時PBQ與ABC相似？

等腰三角形的判定

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。是時候對自己教案課件工作做個新的規(guī)劃了，接下來的工作才會更順利！你們了解多少教案課件范文呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“等腰三角形的判定”，希望對您的工作和生活有所幫助。

第十二講等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質，這些性質為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等，實際解題中的一個常用技巧是，構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質為解題服務，常用的構造方法有：
1．“角平分線+平行線”構造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關系”構造等腰三角形．

例題求解
【例1】如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長依次是1、9、9、5，那么這個六邊形的周長是cm．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥設法將六邊形的問題轉化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構造等邊三角形是解本例的關鍵．
注證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個三角形，則考慮證對應的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個三角形兩邊，則考慮用等角對等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等量代換證明．
類似的，我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉化，向外補形與對內(nèi)分割是基本的兩種轉化方式．
【例2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有()
A．2個B．4個C．6個D．8個
(江蘇省競賽題)
思路點撥AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點的個數(shù)．
【例3】如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競賽題)
思路點撥如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會找到解題的不同方法．
【例4】如圖甲，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點E，直線BM、CN交于點F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖乙中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結論是否仍然成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)

思路點撥圖甲中有多對全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎．
注若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點有幾個?請讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因導果)是兩種最基本的分析方法．
處理題設條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構造等腰三角形；(2)對內(nèi)作角平分線．
【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點，求證：AM⊥CD．(武漢市選拔賽試題)
思路點撥證明∠AMC=90°或應用等腰三角形“三線合一”的性質，通過作輔助線將五邊形問題恰當?shù)剞D化為三角形問題是解本例的關鍵．

學歷訓練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O點．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長+△ENO的周長－△FHO的周長．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有個．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”競賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E點，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個結論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫出正確結論的序號．(把你認為正確結論的序號都填上)(2002午天津市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山東省競賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)都是質數(shù)，則這樣的三角形()
A．只有一個且為等腰三角形
B．至少有兩個且都為等腰三角形
C．只有一個但不是等腰三角形
D．至少有兩個，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系．
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論．(廣東省中考題)

10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD=BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為．(北京市競賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A=．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC=，∠ADC=．(天津市競賽題)
15．有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為度．(江蘇省競賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質的點P有()
A．1個B．4個C．7個D．10個
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC與AB+AC的大小關系不確定，與P點位置有關

19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國初中數(shù)學競賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求證：AC=BD+DC．(天津市競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點，連接每兩點，使任意三點構成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值，則這四點的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(江蘇省競賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點的一動點，F(xiàn)是CD上一動點，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動時，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．