小學三角形教案

§14．3．1．1等腰三角形。

§14．3．1．1等腰三角形
教學目標
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性質(zhì)．
3．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應用．
教學重點
1．等腰三角形的概念及性質(zhì)．
2．等腰三角形性質(zhì)的應用．
教學難點
等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應用．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境
在前面的學習中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個簡單平面圖形關于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案．這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形．來研究：①三角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？
有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是．
問題：那什么樣的三角形是軸對稱圖形？
滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形．
我們這節(jié)課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．導入新課
要求學生通過自己的思考來做一個等腰三角形．
作一條直線L，在L上取點A，在L外取點B，作出點B關于直線L的對稱點C，連結AB、BC、CA，則可得到一個等腰三角形．
等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角．
思考：
1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸．
2．等腰三角形的兩底角有什么關系？
3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？
4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？
結論：等腰三角形是軸對稱圖形．它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因為等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．
要求學生把自己做的等腰三角形進行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么關系．
沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．
由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)：
1．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì)．同學們現(xiàn)在就動手來寫出這些證明過程）．
如右圖，在△ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，因為
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
]如右圖，在△ABC中，AB=AC，作頂角∠BAC的角平分線AD，因為
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度數(shù)．
分析：
根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形內(nèi)角和為180°，就可求出△ABC的三個內(nèi)角．
把∠A設為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來表示，這樣過程就更簡捷．
解：因為AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等邊對等角）．
設∠A=x，則
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[師]下面我們通過練習來鞏固這節(jié)課所學的知識．
Ⅲ．隨堂練習
（一）課本P141練習1、2、3．
（二）閱讀課本P138～P140，然后小結．
Ⅳ．課時小結
這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對性質(zhì)作了簡單的應用．等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．
我們通過這節(jié)課的學習，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應用它們．
Ⅴ．作業(yè)
（一）課本P147─1、3、4、8題．
課后作業(yè)：＜＜課堂感悟與探究＞＞
板書設計
14．3．1．1等腰三角形（一）
一、設計方案作出一個等腰三角形
二、等腰三角形性質(zhì)
1．等邊對等角
2．三線合一

參考練習
一、選擇題
1．如果△ABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（）
A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線
C．平分一角和這個角對邊的直線;D．某一個角的平分線
2．等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長為16cm．
求這個等腰三角形的邊長．
解：設三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2）cm，根據(jù)題意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三邊長為4cm、6cm和6cm．

相關閱讀

等腰三角形

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，大家靜下心來寫教案課件了。需要我們認真規(guī)劃教案課件工作計劃，才能對工作更加有幫助！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“等腰三角形”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

等腰三角形的判定

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。是時候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個新的規(guī)劃了，接下來的工作才會更順利！你們了解多少教案課件范文呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“等腰三角形的判定”，希望對您的工作和生活有所幫助。

第十二講等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等，實際解題中的一個常用技巧是，構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務，常用的構造方法有：
1．“角平分線+平行線”構造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關系”構造等腰三角形．

例題求解
【例1】如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長依次是1、9、9、5，那么這個六邊形的周長是cm．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥設法將六邊形的問題轉化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構造等邊三角形是解本例的關鍵．
注證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個三角形，則考慮證對應的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個三角形兩邊，則考慮用等角對等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等量代換證明．
類似的，我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉化，向外補形與對內(nèi)分割是基本的兩種轉化方式．
【例2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有()
A．2個B．4個C．6個D．8個
(江蘇省競賽題)
思路點撥AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點的個數(shù)．
【例3】如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競賽題)
思路點撥如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會找到解題的不同方法．
【例4】如圖甲，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點E，直線BM、CN交于點F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖乙中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結論是否仍然成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)

思路點撥圖甲中有多對全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎．
注若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點有幾個?請讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構造等腰三角形；(2)對內(nèi)作角平分線．
【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點，求證：AM⊥CD．(武漢市選拔賽試題)
思路點撥證明∠AMC=90°或應用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，通過作輔助線將五邊形問題恰當?shù)剞D化為三角形問題是解本例的關鍵．

學歷訓練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O點．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長+△ENO的周長－△FHO的周長．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有個．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”競賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E點，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個結論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫出正確結論的序號．(把你認為正確結論的序號都填上)(2002午天津市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山東省競賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形()
A．只有一個且為等腰三角形
B．至少有兩個且都為等腰三角形
C．只有一個但不是等腰三角形
D．至少有兩個，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系．
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論．(廣東省中考題)

10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD=BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為．(北京市競賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A=．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC=，∠ADC=．(天津市競賽題)
15．有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為度．(江蘇省競賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P有()
A．1個B．4個C．7個D．10個
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC與AB+AC的大小關系不確定，與P點位置有關

19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國初中數(shù)學競賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求證：AC=BD+DC．(天津市競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點，連接每兩點，使任意三點構成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值，則這四點的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(江蘇省競賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點的一動點，F(xiàn)是CD上一動點，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動時，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．

八年級數(shù)學上冊13.3.1等腰三角形1等腰三角形的性質(zhì)學案新版新人教版

課題：13.3.1（1）等腰三角形的性質(zhì)
【學習目標】
1、經(jīng)歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形；了解等腰三角形是軸對稱圖形；
能夠探索、歸納、驗證等腰三角形的性質(zhì)，并學會應用等腰三角形的性質(zhì)。
2、培養(yǎng)分類討論、方程的思想和添加輔助線解決問題的能力。
【學習重難點】
重點：等腰三角形性質(zhì)的探索和應用。
難點：等腰三角形的性質(zhì)的驗證。
一、知識鏈接
復習舊知：
1、等腰三角形的周長是35cm，腰長是底邊的2倍，則該三角形的底邊長是________cm，腰長是__________cm。
2、等腰三角形的兩邊長分別為8cm和6cm，那么它的周長為（）
A、20cmB、22cmC、20cm或22cmD、都不對
3、已知等腰三角形的一個外角等于70°，那么底角的度數(shù)是（）
A、110°B、55°C、35°D、以上都不對
4、已知等腰三角形的一個外角等于130°，那么底角的度數(shù)是（）
A、50°B、65°C、50°或65°D、以上都不對

自主學習（新知）：精讀課本第75-76頁，用紅色的筆對有關概念進行勾畫并找出自己的疑惑和要討論的問題，準備在課堂上討論質(zhì)疑。
如下圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的三角形有什么特點？
操作結論：剪刀剪過的兩條邊_______，即△ABC中的邊____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定義：有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的兩邊叫做________，另一邊叫做_________，兩腰所夾的角叫做_________，底邊與腰的夾角叫__________。
一、合作與探究
（一）如上圖，把剪出的三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段與角，由這些重合的線段與角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？
重合的角重合的線段

1、通過操作可以得到等腰三角形的以下性質(zhì)：
性質(zhì)1等腰三角形的兩個_______相等（簡寫“等邊對等_____”）
性質(zhì)2等腰三角形的頂角_______線、底邊上的_____線、底邊上的_____相互重合（簡寫成“三線合一”）
2、如圖，等腰三角形性質(zhì)1用數(shù)學符號表示：
∵AB=AC
∴∠_____=∠_____

3.等腰三角形性質(zhì)2你理解了嗎？
思考：如圖，在△ABC中，AB=AC，如何用數(shù)學符號表示性質(zhì)2?
（1）等腰三角形底邊上的高AD，既是底邊上的，又是頂角；
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD⊥BC，∴____=____，∠_____=∠_____；
（2）等腰三角形的底邊上中線AD，既是底邊上的，又是頂角
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____；
（3）等腰三角形的頂角的平分線AD，既是底邊上的，又是底邊上的，
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是角平分線，∴_____=_____，____⊥____。
（二）你能利用三角形全等來證明性質(zhì)1（等邊對等角）嗎？（你有幾種方法？）
如右圖△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C

4、受性質(zhì)1證明的啟發(fā)，你能證明性質(zhì)2（等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）嗎?請證之。
（三）等腰三角形性質(zhì)的應用
例1如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度數(shù)。
三、鞏固練習
基礎練習：
1、等腰三角形一個底角為72°,它的頂角為______。
2、等腰三角形一個角為70°，它的另外兩個角為分別為________________。
3、等腰三角形一個角為110°，它的另外兩個角為___________。
4、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30，DE垂直平分AC，
則∠BCD的度數(shù)為（）
A、80°B、75°C、65°D、45°

拓展提升：
1、已知一個等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為_______________。
2、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，且AD=AE。求證：BD=CE

3、已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE。求：∠EDC的度數(shù)。

四、要點歸納
1.等腰三角形的定義
2.等腰三角形的性質(zhì)：
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個_______相等（簡寫“等邊對等_____”）
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角_______線、底邊上的_____線、底邊上的_____相互重合（簡寫成“三線合一”）
課后反思：.