小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

中考數(shù)學(xué)歸納猜想型問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案。

2012年中考復(fù)習(xí)二輪材料

歸納猜想型問題

一．專題詮釋

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時(shí)可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義。

二．解題策略和解法精講

歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點(diǎn)。

三．考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：猜想數(shù)式規(guī)律

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…則排在第六個位置的整式為．

【分析】符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式為正號，n為偶數(shù)時(shí)，符號為負(fù)號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第n個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個對應(yīng)的指數(shù)是n．

【解答】根據(jù)分析的規(guī)律，得：第六個位置的整式為：﹣26x6=﹣32x6．

故答案為：﹣32x6．

【評注】此題考查的知識點(diǎn)是單項(xiàng)式，確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)，把一個單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．

例2．（2011山東濟(jì)寧）觀察下面的變形規(guī)律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的問題：

（1）若n為正整數(shù)，請你猜想＝；

（2）證明你猜想的結(jié)論；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根據(jù)的定義規(guī)則，可知，，，．則有．

（2）觀察數(shù)表可知，第1問中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發(fā)現(xiàn)．

【解答】（1）

（2）證明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【評注】歸納猜想題，提供的信息是一種規(guī)律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開發(fā)，一般只要注重觀察數(shù)字（式）變化規(guī)律，經(jīng)歸納便可猜想出結(jié)論．本題屬于典型的開放性探究題，其中的分?jǐn)?shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差1，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。問題設(shè)置層次感較強(qiáng)，遵循了從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律．從培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓(xùn)練思維的好題．

考點(diǎn)二：猜想圖形規(guī)律

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來，再對所列式進(jìn)行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。

例1．（2011重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，…則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】規(guī)律的歸納：通過觀察圖形可以看到每轉(zhuǎn)動4次后便可重合，即4次一個循環(huán)，10÷4＝2…2，所以應(yīng)和圖②相同．

【解答】∵圖②平行四邊形有5個=1+2+2，

圖③平行四邊形有11個=1+2+3+2+3，

圖④平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴圖⑥的平行四邊形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故選C．

【評注】本題是規(guī)律的歸納題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題歸納出規(guī)律，然后套用題目提供的對應(yīng)關(guān)系解決問題，具有一定的區(qū)分度．根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．

例2．（2011浙江舟山）一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】該紙鏈?zhǔn)?的倍數(shù)，中間截去的是剩下3+5n，從選項(xiàng)中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．

【解答】由題意設(shè)被截去部分為5n+2+1=5n+3，從其選項(xiàng)中看，故選D．

【評注】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．

考點(diǎn)三：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問題時(shí)，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.

活動一：

如圖甲所示，從點(diǎn)A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處互相垂直，A1A2為第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時(shí)a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.

圖甲

活動二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

圖乙

【分析】（1）顯而易見，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【評注】這是一道典型的歸納猜想型問題，以物理學(xué)中反射的知識作為命題載體，而三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解決問題的主干數(shù)學(xué)知識。

例2．（2011浙江衢州）是一張等腰直角三角形紙板，.

要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由.

圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取時(shí)，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.

【分析】解決問題的關(guān)鍵看內(nèi)接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上，通過對例題的分析，直角三角形的內(nèi)接正方形有兩種，比較兩者的大小，可知，直角邊上的內(nèi)接正方形的邊長比斜邊上的內(nèi)接正方形的邊長大。

【解答】(1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設(shè)，則由題意，得

又

甲種剪法所得的正方形的面積更大

說明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，

解法2：如圖甲，由題意得

如圖乙，設(shè)

甲種剪法所得的正方形的面積更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索規(guī)律可知：‘

剩余三角形的面積和為：

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為

第二次剪取后剩余三角形面積和為

第三次剪取后剩余三角形面積和為

……

第十次剪取后剩余三角形面積和為

【評注】類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種數(shù)學(xué)方法，它可以使一些數(shù)學(xué)問題簡單化，也可以使我們的思維更加廣闊。數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)形式是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求在教學(xué)過程中，有目的地進(jìn)行思維訓(xùn)練，通過思維類比，不斷在解決問題中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會得到相應(yīng)的提高。

考點(diǎn)四：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負(fù)號要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。

例1．（2010河北）將正方體骰子（相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1．在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來。如右圖所示。

前三次變換過程為下圖所示：

可以發(fā)現(xiàn)，三次變換可還原成初始狀態(tài)。十次意味著三輪還原后又變換了一次，所以狀態(tài)為上圖所示，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是5。

【解答】B。

【評注】歷年以“骰子”形式出現(xiàn)的中考題不在少數(shù)。本題以考查學(xué)生空間想象能力為出發(fā)點(diǎn)，將空間轉(zhuǎn)化融入到正方體的旋轉(zhuǎn)中。正方體表面展開圖識別對面本不難，但這樣一來難度陡然上升。三次變換循環(huán)的規(guī)律也要煞費(fèi)周折。有點(diǎn)動手操作題的味道。題目呈現(xiàn)方式靈活，考查形式新穎，使日常熟悉的東西平中見奇。要求考生有很強(qiáng)的空間感，給平時(shí)靠死記硬背得分的同學(xué)一個下馬威，也給教學(xué)中不重視動手探究的老師敲響了警鐘。

例2.（2011湖南邵陽）數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示了一道試題：

如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B，C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。

（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補(bǔ)充完整。

證明：在AB上截取EA=MC，連結(jié)EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°?！?/p>

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM為等邊三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°?！?/p>

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵_(dá)_________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是∠D1C1P1的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠A1M1N1=90°時(shí)，結(jié)論A1M1=M1N1是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）

（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請你猜想：當(dāng)∠AnMnNn=______°時(shí)，結(jié)論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

【分析】證明線段相等，三角形全等是一種重要的方法。根據(jù)題目條件，結(jié)合圖形，對應(yīng)邊角還是不難找的。關(guān)鍵是到正方形、正多邊形，哪些條件變了，哪些沒變。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）結(jié)論成立；

（3）。

【評注】三角形全等的判定是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識，第一問明顯考查“角邊角”方法的條件尋找。而從三角形到正方形的變化，抓住不變的東西，透視問題的本質(zhì)，也不難得到正確答案。再到正多邊形，是一個質(zhì)的飛躍。在這道題中，先探討簡單情景下存在的某個結(jié)論，然后進(jìn)一步推廣到一般情況下，原來結(jié)論是否成立，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，難度不算大，具有一定的區(qū)分度．

四．真題演練

1.（2011四川成都）設(shè),,,…,

設(shè)，則S=_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．

2.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個圖形有個小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

3．（2011河北）如圖9，給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號為1，2，3，4，5.若從某一頂點(diǎn)開始，沿正五邊形的邊順時(shí)針行走，頂點(diǎn)編號的數(shù)字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.

如：小宇在編號為3的頂點(diǎn)時(shí)，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號為1的頂點(diǎn)；然后從1→2為第二次“移位”.

若小宇從編號為2的頂點(diǎn)開始，第10次“移位”后，則他所處頂點(diǎn)的編號是____________.

4.（2010四川內(nèi)江）閱讀理解：

我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對稱中心的坐標(biāo)為（x1＋x22，y1＋y22）.

觀察應(yīng)用：

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P1(0，－1)、P2(2，3)的對稱中心是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

（2）另取兩點(diǎn)B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一電子青蛙從點(diǎn)P1處開始依次關(guān)于點(diǎn)A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P2處，接著跳到點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)P3處，第三次再跳到點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)P4處，第四次再跳到點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P5處，…．則P3、P8的坐標(biāo)分別為，;

拓展延伸：

（3）求出點(diǎn)P2012的坐標(biāo)，并直接寫出在x軸上與點(diǎn)P2012、點(diǎn)C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆項(xiàng)法即可求和．

2.或

3.根據(jù)“移位”的特點(diǎn)，然后根據(jù)例子尋找規(guī)律，從而得出結(jié)論．

∵小宇在編號為3的頂點(diǎn)上時(shí)，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號為1的頂點(diǎn)；然后從1→2為第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五個頂點(diǎn)五次移位為一個循環(huán)返回頂點(diǎn)3，

同理可得：小宇從編號為2的頂點(diǎn)開始，第10次“移位”，即連續(xù)循環(huán)兩次，故仍回到頂點(diǎn)3．

故答案為：3．

4.設(shè)A、P3、P4、…、Pn點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且為正整數(shù)).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵點(diǎn)P3與P2關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵點(diǎn)P4與P3關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐標(biāo)和P1的坐標(biāo)相同，P8的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐標(biāo)與P2的坐標(biāo)相同，為P2012(2，3);

在x軸上與點(diǎn)P2012、點(diǎn)C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)為

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分練習(xí)部分

1.（2011湖南常德）先找規(guī)律，再填數(shù)：

2.（2011四川內(nèi)江）同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為12+22+32+…+n2．但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個數(shù)呢?下面我們就一起來探究并解決這個問題．首先，通過探究我們已經(jīng)知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)時(shí)，我們可以這樣做：

(1)觀察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)歸納結(jié)論：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)實(shí)踐應(yīng)用：

通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)n為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個數(shù)是．

3.（2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第（是大于0的整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．

4.（2011廣東東莞）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為.

5．（2011廣東汕頭）如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.

（1）表中第8行的最后一個數(shù)是，它是自然數(shù)的平方，第8行共有個數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是，最后一個數(shù)是，第n行共有個數(shù)；

（3）求第n行各數(shù)之和．

6.（2011四川涼山）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù)等等。

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式。

（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：

7.（2011江蘇南通）如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線y＝33x相切．設(shè)三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3，則當(dāng)r1＝1時(shí)，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)計(jì)算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點(diǎn)分別為A、B、C，求OA的長（用含的代數(shù)式表示）.

（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.

（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運(yùn)長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運(yùn)鋼管數(shù)最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運(yùn)多少根鋼管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各數(shù)之和等于3×3；第3行各數(shù)之和等于5×7；第4行各數(shù)之和等于7×7-13；類似的，第n行各數(shù)之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.設(shè)直線y＝33x與三個半圓分別切于A，

B，C，作AEX軸于E，則在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。則。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二裝運(yùn)鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根據(jù)如圖所示的運(yùn)算程序，分情況列出算式，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為12，第三次輸出的結(jié)果為6，第四次輸出的結(jié)果為3，第五次輸出的結(jié)果為3，以后每次輸出的結(jié)果都是3．所以選擇B。

3.圖案是一圈一圈的?？梢愿鶕?jù)每圈中棋子的個數(shù)得出規(guī)律。第1個圖案需要7＝1＋6枚棋子，第2個圖案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3個圖案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此規(guī)律可得第6個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面積，第二個正三角形的面積是前一個正三角形面積的四分之一，第8個正△A8B8C8的面積是第一個正方形面積的，所以，第8個正△A8B8C8的面積是，選擇C。

5.當(dāng)OAn與軸正半軸重合時(shí)，度數(shù)為360m＋90是10的倍數(shù)，從2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必須是8的倍數(shù)或是8的倍數(shù)多4，當(dāng)m為1，2，3時(shí)，無解，當(dāng)m為4時(shí)，360m＋90＝1530，符合題意。故答案選B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二裝運(yùn)鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江紹興中考題）(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,

CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的長.

(3)已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，

過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。

相關(guān)閱讀

中考數(shù)學(xué)操作型問題專題復(fù)習(xí)

初三第二輪復(fù)習(xí)專題二：操作型問題

【知識梳理】

操作型問題主要借助三角板、紙片等工具進(jìn)行圖形的折與展、割與補(bǔ)、平移與旋轉(zhuǎn)等變換，通過動手操作和理性的思考，考查學(xué)生的空間想象、推理和創(chuàng)新能力。

解決這類問題需要通過觀察、操作、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等實(shí)踐活動和思維過程，靈活運(yùn)用所學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)，探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問題．關(guān)鍵是抓住圖形變化中的不變性。

【課前預(yù)習(xí)】

1、如圖，在一張△ABC紙片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開，計(jì)劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個角為銳角的菱形；④正方形，以上圖形一定能被拼成的有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

2．如圖，如果將矩形紙沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個直角三角形，展開后得到一個等腰三角形，那么展開后三角形的周長是()

A．2＋B．2＋2C．12D．18

3．將兩個形狀相同的三角尺放置在一張矩形紙片上，按如圖所示畫線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是_______．

【例題精講】

例1、動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如圖①所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動．若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動的最大距離為______．

例2、如圖，在一塊正方形ABCD木板上需貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價(jià)分別為每平方米60元、80元、40元．

【探究1】如果木板邊長為2米，F(xiàn)C＝1米，則一塊木板用墻紙的費(fèi)用需________元；

【探究2】如果木板邊長為1米，求一塊木板需用墻紙的最省費(fèi)用；

【探究3】設(shè)木板的邊長為a(a為整數(shù))，當(dāng)正方形EFCG的邊長為多少時(shí)，墻紙費(fèi)用最??？如果用這樣的多塊木板貼一堵墻(7×3平方米)進(jìn)行裝飾，要求每塊木板A型的墻紙不超過1平方米，且盡量不浪費(fèi)材料，則需要這樣的木板多少塊？

例3、如下圖，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片如圖②，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角形紙片擺成如圖③的形狀，使點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合(在圖③至圖⑥中統(tǒng)一用F表示)．

小明在對這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個問題，請你幫助解決．

(1)將圖③中的△ABF沿BD向右平移到圖④的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，請你求出平移的距離．

(2)將圖③中的△ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖⑤的位置，A1F交DE于點(diǎn)G，請你求出線段FG的長度．

(3)將圖③中的△ABF沿直線AF翻折到圖⑥的位置，AB1交DE于點(diǎn)H，請證明：AH＝DH.

例4．如圖所示，有一張長為5，寬為3的矩形紙片ABCD，要通過適當(dāng)?shù)募羝?，得到一個與之面積相等的正方形．

(1)該正方形的邊長為______(結(jié)果保留根號)；

(2)現(xiàn)要求只能用兩條裁剪線，請你設(shè)計(jì)一種裁剪的方法，在圖中畫出裁剪線，并簡要說明剪拼的過程．

【鞏固練習(xí)】

1、七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，用它可以拼出多種圖形．請你用七巧板中標(biāo)號為①②③的三塊板（如圖①）經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)拼成圖形．

(1)拼成矩形，在圖②中畫出示意圖；

(2)拼成等腰直角三角形．在圖③中畫出示意圖．

注意：相鄰兩塊板之間無空隙，無重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫在小方格的頂點(diǎn)上．

2、如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.

(1)實(shí)踐與操作:利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母

(保留作圖痕跡，不寫作法)．

①作△ABC的外接圓，圓心為O；

②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊△ACD；

③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.

(2)綜合與運(yùn)用:在你所作的圖中，若AB＝4，BC＝2，

則：①AD與⊙O的位置關(guān)系是_______．②線段AE的長為_______．

【課后作業(yè)】班級姓名

一、必做題：

1、如圖，沿著虛線將長方形剪成兩部分，那么由這兩部分既能拼成平行四邊形，又能拼成三角形和梯形的是()

2、如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；…，根據(jù)以上操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數(shù)是()A．669B．670C．671D．672

3、如圖，從邊長為(a＋4)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a＋1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則矩形的面積為()

A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2

4、請將含60°頂角的菱形分割成至少含一個等腰梯形且面積相等的六部分，用實(shí)線畫出分割后的圖形．

5．如圖，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．

(1)請直接寫出點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.畫出圖形，

直接寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)請直接寫出:以A,B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

6、如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°，正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動．

(1)請?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn)A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；

(2)求正方形在整個翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

二、選做題：

7、在二行三列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子(相對面上分別標(biāo)有1點(diǎn)和6點(diǎn)，2點(diǎn)和5點(diǎn)，3點(diǎn)和4點(diǎn))，在每一種翻動方式中，骰子不能后退．開始時(shí)骰子如圖①那樣擺放，朝上的點(diǎn)數(shù)是2；最后翻動到如圖②所示的位置，此時(shí)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不可能是下列數(shù)中的()

A．5B．4C．3D．1

8、正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝b(b2a)，且邊AD和AE在同一直線上．小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b＝a時(shí)，如圖①，在BA上選取中點(diǎn)G，連接FG和CG，移動△FAG和△CBG的位置可構(gòu)成正方形FGCH.

(1)類比小明的剪拼方法，請你就圖②和圖③兩種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．

⑵要使(1)中所剪拼的新圖形是正方形須滿足BG:AE=.

9、閱讀下面的材料：

小偉遇到這樣一個問題，如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．若梯形ABCD的面積為1，試求以AC、BD、AD＋BC的長度為三邊長的三角形的面積．

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計(jì)算其面積即可．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題，他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長線于點(diǎn)E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的長度為三邊長的三角形（如圖②）．

請你回答：圖②中△BDE的面積等于_______．

參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下面的問題：

如圖③，△ABC的三條中線分別為AD、BE、CF．

(1)在圖③中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；

(2)若△ABC的面積為1，則以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于_______．

中考數(shù)學(xué)新概念型問題專題復(fù)習(xí)

教案課件是老師需要精心準(zhǔn)備的，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。只有寫好教案課件計(jì)劃，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？下面是小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)新概念型問題專題復(fù)習(xí)”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

2013年中考數(shù)學(xué)專題講座二：新概念型問題
一、中考專題詮釋
所謂“新概念”型問題，主要是指在問題中概念了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新概念進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.“新概念”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點(diǎn).在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力
二、解題策略和解法精講
“新概念型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)：一是掌握問題原型的特點(diǎn)及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移．
三、中考典例剖析
考點(diǎn)一：規(guī)律題型中的新概念
例1（2012永州）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，…就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差．如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2．如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列．例如數(shù)列1，3，9，19，33，…，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，…，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，…是一個二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，…的第五個數(shù)應(yīng)是．
思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，…，由此得出相鄰兩數(shù)之差依次大2，故13的后一個數(shù)比13大8．
解答：解：由數(shù)字規(guī)律可知，第四個數(shù)13，設(shè)第五個數(shù)為x，
則x-13=8，解得x=21，即第五個數(shù)為21，
故答案為：21．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)字變化規(guī)律類問題．關(guān)鍵是確定二階等差數(shù)列的公差為2．
對應(yīng)訓(xùn)練
1．（2012自貢）若x是不等于1的實(shí)數(shù)，我們把稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是=-1，-1的差倒數(shù)為=，現(xiàn)已知x1=-，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4是x3的差倒數(shù)，…，依次類推，則x2012=．
考點(diǎn)二：運(yùn)算題型中的新概念
例2（2012菏澤）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，概念=ad-bc，上述記號就叫做2階行列式．若=8，則x=．
思路分析：根據(jù)題中的新概念將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值．
解：根據(jù)題意化簡=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8，
整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，
解得：x=2．
故答案為：2
點(diǎn)評：此題考查了整式的混合運(yùn)算，屬于新概念的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項(xiàng)法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．
對應(yīng)訓(xùn)練
2．（2012株洲）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，則（4，5）（6，8）=．
考點(diǎn)三：探索題型中的新概念
例3（2012南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點(diǎn)，P是⊙O上的動點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角．
（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=°；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；
（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．

思路分析：（1）①根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可求解；
②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系．
解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，∠AP1B=∠AOB=45°；
當(dāng)點(diǎn)P在劣弧上時(shí)，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．
第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；
第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④，
∠APB=∠MAN+∠ANB．
點(diǎn)評：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，本題難度較大，注意分類思想的運(yùn)用．
對應(yīng)訓(xùn)練
3．（2012陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是三角形；
（2）若拋物線y=-x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線y=-x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)四：開放題型中的新概念
例4（2012北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下概念：
若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|；
若|x1-x2|＜|y1-y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1-y2|．
例如：點(diǎn)P1（1，2），點(diǎn)P2（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q交點(diǎn)）．
（1）已知點(diǎn)A（-，0），B為y軸上的一個動點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=x+3上的一個動點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo)．
思路分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的概念可以確定|0-y|=2，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)閨--0|≥|0-y|，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|--0|=；
（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，x0+3）．根據(jù)材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為-x0=x0+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，即E（-，）．解答思路同上．
解：（1）①∵B為y軸上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|--0|=≠2，
∴|0-y|=2，
解得，y=2或y=-2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，-2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為；

（2）①∵C是直線y=x+3上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，x0+3），
∴-x0=x0+2，
此時(shí)，x0=-，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：，
此時(shí)C（-，）；
②E（-，）．
--x0=x0+3-，
解得，x0=-，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，），
最小值為1．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的概念是正確解題的關(guān)鍵．
對應(yīng)訓(xùn)練
4．（2012臺州）請你規(guī)定一種適合任意非零實(shí)數(shù)a，b的新運(yùn)算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=-，（-3）⊕5=5⊕（-3）=-，…
你規(guī)定的新運(yùn)算a⊕b=（用a，b的一個代數(shù)式表示）．
考點(diǎn)五：閱讀材料題型中的新概念
例5（2012常州）平面上有兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD=150°（如圖），現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”：
（1）點(diǎn)O的“距離坐標(biāo)”為（0，0）；
（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，0）；在直線AB上，且到直線CD的距離為q（q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（0，q）；
（3）到直線AB、CD的距離分別為p，q（p＞0，q＞0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p，q）．
設(shè)M為此平面上的點(diǎn)，其“距離坐標(biāo)”為（m，n），根據(jù)上述對點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”的規(guī)定，解決下列問題：
（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：
①滿足m=1，且n=0的點(diǎn)M的集合；
②滿足m=n的點(diǎn)M的集合；
（2）若點(diǎn)M在過點(diǎn)O且與直線CD垂直的直線l上，求m與n所滿足的關(guān)系式．（說明：圖中OI長為一個單位長）
思路分析：（1）①以O(shè)為圓心，以2為半徑作圓，交CD于兩點(diǎn)，則此兩點(diǎn)為所求；②分別作∠BOC和∠BOD的角平分線并且反向延長，即可求出答案；
（2）過M作MN⊥AB于N，根據(jù)已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出sin60°==，求出即可．
解：（1）①如圖所示：
點(diǎn)M1和M2為所求；

②如圖所示：
直線MN和直線EF（O除外）為所求；

（2）如圖：
過M作MN⊥AB于N，
∵M(jìn)的“距離坐標(biāo)”為（m，n），
∴OM=n，MN=m，
∵∠BOD=150°，直線l⊥CD，
∴∠MON=150°-90°=60°，
在Rt△MON中，sin60°==，
即m與n所滿足的關(guān)系式是：m=n．
點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)值，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的動手操作能力和計(jì)算能力，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
對應(yīng)訓(xùn)練
5．（2012欽州）在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y），若規(guī)定以下兩種變換：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）．
按照以上變換有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（）
A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）
四、中考真題演練
一、選擇題
1．（2012六盤水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．則g[f（-5，6）]等于（）
A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）
2．（2012湘潭）文文設(shè)計(jì)了一個關(guān)于實(shí)數(shù)運(yùn)算的程序，按此程序，輸入一個數(shù)后，輸出的數(shù)比輸入的數(shù)的平方小1，若輸入，則輸出的結(jié)果為（）
A．5B．6C．7D．8
點(diǎn)評：本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意得出輸出數(shù)的式子是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2012麗水）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律．圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)3，6，9，12，…稱為三角形數(shù)．類似地，圖2中的4，8，12，16，…稱為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）
A．2010B．2012C．2014D．2016
二、填空題
4．（2012常德）規(guī)定用符號[m]表示一個實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此規(guī)定[]的值為．
5．（2012隨州）概念：平面內(nèi)的直線與相交于點(diǎn)O，對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線、的距離分別為a、b，則稱有序非實(shí)數(shù)對（a，b）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述概念，距離坐標(biāo)為（2，3）的點(diǎn)的個數(shù)是（）
A．2B．1C．4D．3
6．（2012荊門）新概念：[a，b]為一次函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1，m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程+=1的解為．
7．（2012自貢）如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是．

8．（2012泉州）在△ABC中，P是AB上的動點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）．
（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時(shí)，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有條；
（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=時(shí)，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的．
三、解答題
9．（2012銅仁地區(qū)）如圖，概念：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα==，根據(jù)上述角的余切概念，解下列問題：
（1）ctan30°=；
（2）如圖，已知tanA=，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．

10．（2012無錫）對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作d（P1，P2）．
（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；
（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點(diǎn)，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．
11．（2012廈門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連接AB．如果點(diǎn)P在直線y=x-1上，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“臨近點(diǎn)”．
（1）判斷點(diǎn)C（）是否是線段AB的“臨近點(diǎn)”，并說明理由；
（2）若點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“臨近點(diǎn)”，求m的取值范圍．

12．（2012蘭州）如圖，概念：若雙曲線y=（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為雙曲線y=（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=的對徑．
（2）若雙曲線y=（k＞0）的對徑是10，求k的值．
（3）仿照上述概念，概念雙曲線y=（k＜0）的對徑．

13．（2012紹興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
概念：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．
應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)．
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長．
14．（2012嘉興）將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．
（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為度；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換[θ，n]得△ABC，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABBC為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABBC為平行四邊形，求θ和n的值．
15．（2012臺州）概念：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．
（1）根據(jù)上述概念，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是；當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）為；
（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M，
①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動所圍成的封閉圖形的周長；
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
專題講座二：新概念型問題參考答案
三、中考典例剖析
對應(yīng)訓(xùn)練
1．
解：∵x1=-，
∴x2==，x3==4，x4=，
∴差倒數(shù)為3個循環(huán)的數(shù)，
∵2012=670×3+2，
∴x2012=x2=，
故答案為：．
2．64
解：∵（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，
∴（4，5）（6，8）=4×6+5×8=64，
故答案為64．
3．解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點(diǎn)A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故填：等腰．
（2）∵拋物線y=-x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
∴該拋物線的頂點(diǎn)（）滿足（b＞0）．
∴b=2．

（3）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB為等邊三角形．
作AE⊥OB，垂足為E，
∴AE=OE．
∴=（b′＞0）．
∴b′=2．
∴A（，3），B（2，0）．
∴C（-，-3），D（-2，0）．
設(shè)過點(diǎn)O、C、D的拋物線為y=mx2+nx，則
，
解得．
故所求拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x．
4．解：根據(jù)題意可得：
1⊕2=2⊕1=3=，
（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=-=，
（-3）⊕5=5⊕（-3）=-=，
則a⊕b==．
故答案為：．
5．C
解：∵f（-6，7）=（7，-6），
∴g（f（-6，7））=g（7，-6）=（-7，6）．
故選C．
四、中考真題演練
一、選擇題
1．A
2．B．
3．D
解：∵3，6，9，12，…稱為三角形數(shù)，
∴三角數(shù)都是3的倍數(shù)，
∵4，8，12，16，…稱為正方形數(shù)，
∴正方形數(shù)都是4的倍數(shù)，
∴既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是12的倍數(shù)，
∵2010÷12=167…6，
2012÷12=167…8，
2014÷12=167…10，
2016÷12=168，
∴2016既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)．
故選D．
二、填空題
4．4
解：∵3＜＜4，
∴3+1＜+1＜4+1，
∴4＜+1＜5，
∴[+1]=4，
故答案為：4．
5．C
解：如圖所示，所求的點(diǎn)有4個，
故選C．
6．x=3
解：根據(jù)題意可得：y=x+m-2，
∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1，m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴m-2=0，
解得：m=2，
則關(guān)于x的方程+=1變?yōu)?=1，
解得：x=3，
檢驗(yàn)：把x=3代入最簡公分母2（x-1）=4≠0，
故x=3是原分式方程的解，
故答案為：x=3．
7．4π
解：弧CD的長是=，
弧DE的長是：=，
弧EF的長是：=2π，
則曲線CDEF的長是：++2π=4π．
故答案是：4π．
8．（1）1；（2）或或
解：（1）存在另外1條相似線．
如圖1所示，過點(diǎn)P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC；
故答案為：1；
（2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2．
如圖2所示，共有4條相似線：
①第1條l1，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l1∥AC，∴=；
②第2條l2，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l2∥AC，∴=；
③第3條l3，此時(shí)BP與BC為對應(yīng)邊，且=，∴==；
④第4條l4，此時(shí)AP與AC為對應(yīng)邊，且=，∴，
∴=．
故答案為：或或．
三、解答題
9．解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC===AB，
∴ctan30°==．
故答案為：；

（2）∵tanA=，
∴設(shè)BC=3，AC=4，則AB=5，
∴ctanA==．
10．解：（1）由題意，得|x|+|y|=1，
所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形如圖所示。
（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，
又∵x可取一切實(shí)數(shù)，|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和-1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3．
∴點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3。
11．解：（1）點(diǎn)C（）是線段AB的“臨近點(diǎn)”．理由是：
∵點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，A、B的縱坐標(biāo)都是3，
∴AB∥x軸，3-1=2，3+1=4，
∴當(dāng)縱坐標(biāo)y在2＜y＜4范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（），
∴y=＞2，且小于4，
∵C（）在直線y=x-1上，
∴點(diǎn)C（）是線段AB的“臨近點(diǎn)”．
（2）由（1）知：線段AB的“臨近點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的范圍是2＜y＜4，
把y=2代入y=x-1得：x=3，
把y=4代入y=x-1得：x=5，
∴3＜x＜5，
∵點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“臨近點(diǎn)”，
∴m的取值范圍是3＜m＜5．
12．解：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組，得，，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=OC=，
∴AB=2OA=2，
∴雙曲線y=的對徑是2；

（2）∵雙曲線的對徑為10，即AB=10，OA=5，
∴OA=OC=AC，
∴OC=AC=5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25；

（3）若雙曲線y=（k＜0）與它的其中一條對稱軸y=-x相交于A、B兩點(diǎn)，
則線段AB的長稱為雙曲線y=（k＜0）的對徑．
13．解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，
∵CD為等邊三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=DB=AB，
與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；

探究：解：∵BC=5，AB=3，
∴AC===4，
①若PB=PC，設(shè)PA=x，則x2+32=（4-x）2，
∴x=，即PA=，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
14．解：（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案為：3，60；
（2）∵四邊形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在Rt△ABC中，∠ABB=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n==2；

（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB2=CBBB′=CB（BC+CB′），
而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB2=1（1+AB），
∴AB=，
∵AB＞0，
∴n==．
15．解：（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，
如題圖1，線段BC與線段OA的距離等于平行線之間的距離，即為2；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，
如答圖1，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB==．
（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d===．
（3）①依題意畫出圖形，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡如答圖3中粗體實(shí)線所示：
由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．
②結(jié)論：存在．
∵m≥0，n≥0，∴點(diǎn)M位于第一象限．
∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．
如圖4所示，相似三角形有三種情形：

（I）△AM1H1，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)左側(cè)．
如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，
由相似關(guān)系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），
∴m=1；

（II）△AM2H2，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)右側(cè)．
如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，
由相似關(guān)系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），
∴m=3；
（III）△AM3H3，此時(shí)點(diǎn)B落在⊙A上．
如圖，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，
過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則BN=M3H3=n，AN=m-4，
由相似關(guān)系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n（1）
在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2（2）
由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，
當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，故舍去，
∴m=．
綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或．

中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題

老師會對課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有制定教案課件工作計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？下面是由小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學(xué)專題10幾何圖形的歸納,猜想,證明問題

【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯了這一道。對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對這種新題型。

第一部分真題精講

【例1】
如圖，+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，則=；=____（用含的式子表示）．
【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯。但是如果不標(biāo)就會有同學(xué)誤以為所求的面積是,這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先所代表的三角形的底邊是三角形的底邊,而這個三角形和△是相似的.所以邊長的比例就是與的比值.于是.接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個最大的共性就是高相等,為（連接上面所有的B點(diǎn)，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn).例如就是的一個三等分點(diǎn).于是(n+1-1是什么意思?為什么要減1?)

【例2】
在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn)正方形，如圖，菱形的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)是_______個；若菱形的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，（為正整數(shù)），則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個數(shù)為_________（用含有的式子表示）．
【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n),自然可以寫出直線解析式為,斜率意味著什么?看上圖,注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形,這些RT三角形一共有2n/2=n個,他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是?而且這些直角三角形都是全等的,面積均為兩個單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個的△AOB的面積自然就是,所有n個空白小三角形的面積之和為,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積,也就是數(shù)量了.所以整個菱形的正方形格點(diǎn)就是.

【例3】
如圖，，過上到點(diǎn)的距離分別為的點(diǎn)作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為．則第一個黑色梯形的面積；觀察圖中的規(guī)律，第(為正整數(shù))個黑色梯形的面積．
【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個直角梯形，而因?yàn)?，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離,而高則是固定的2。第一個梯形上底是1，下底是3，所以.第二個梯形面積,第三個是,至此,我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上4。于是第n個梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一個梯形的上底1加上(n-1)個4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.

【例4】
在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．請你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每個正方形四條邊上的整點(diǎn)的個數(shù)．按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點(diǎn)共有個．
【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個關(guān)鍵就可以了。對于來說,每條邊的長度是2n,那么自然整點(diǎn)個數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1)x4-4=8n(個)(要減去四個被重復(fù)算的頂點(diǎn)),于是就是80個.

【例5】
如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與△ABC的BC邊重疊為止，此時(shí)這個三角形的斜邊長為_____．

【思路分析】本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個45°。于是繞到第八次就可以和BC重疊了，此時(shí)邊長為△ABC的，故而得解。

【例6】
如圖，以等腰三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形，……，如此作下去，若，則第個等腰直角三角形的面積________（n為正整數(shù)）.
【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是

【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時(shí)，不妨先寫出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。這類題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請考生細(xì)心掌握。
第二部分發(fā)散思考

【思考1】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，
，…，以為對角線作第一個正方形，以
為對角線作第二個正方形，以為對角線作第
三個正方形，…，如果所作正方形的對角線都在
y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點(diǎn)都在第一象
限內(nèi)（n≥1，且n為整數(shù)）．那么的縱坐標(biāo)為；用n
的代數(shù)式表示的縱坐標(biāo)：．

【思考2】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)處開始跳動，第一
次跳到點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于y軸
的對稱點(diǎn)處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)處，…，
如此循環(huán)下去．當(dāng)跳動第2009次時(shí)，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是
．

【思考3】
對于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是，自然數(shù)n的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.

【思考4】
一個質(zhì)點(diǎn)在第一象限及軸、軸上運(yùn)動，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動到，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動,即，且每秒移動一個單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_______

【思考5】
如圖，將邊長為的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應(yīng)的正方形的中心依次為A1,A2,A3,….①若擺放前6
個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）
之和為；②若擺放前n（n為大于1的正
整數(shù)）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為.

第三部分思考題解析

【思考1答案】2；
【思考2答案】（3，－2）
【思考3答案】13；2n-1
【思考4答案】（5，0）
【思考5答案】10，