一元二次方程高中教案

解一元二次方程——公式法導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）。

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第4課時(shí)解一元二次方程-公式法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)了解掌握一元二次方程根的判別式，不解方程能判定一元二次方程根的情況；
理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；
掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的情況；
學(xué)會(huì)利用求根公式解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．
二、知識(shí)回顧1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
配方法：通過配方，先把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，然后運(yùn)用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．
配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）移常數(shù)項(xiàng)到方程右邊；
（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；
（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
（4）化方程左邊為完全平方式；
（5）若方程右邊為非負(fù)數(shù)，則利用直接開平方法解得方程的根．
2．怎樣用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？
解：移項(xiàng)，得
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得
配方，得
即：，
因?yàn)樗?br> 當(dāng)；
當(dāng)
三、新知講解一元二次方程根的判別式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即．
一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．
公式法解一元二次方程
一般地，對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)時(shí)，它的兩個(gè)根分別是
，，
這里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
公式法解一元二次方程的一般步驟
把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；
確定a，b，c的值；
求出的值，并判斷方程根的情況：
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
當(dāng)時(shí)，將a，b，c和的值代入公式（注意符號(hào)）．

四、典例探究

1．根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況
【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
兩個(gè)根都是自然數(shù)D．無實(shí)數(shù)根
總結(jié)：
求根的判別式時(shí)，應(yīng)該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.
根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
練1．（2015銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法不正確的是（）
A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定
練2．（2015泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判別方程根的情況；
（2）若方程有一個(gè)根為3，求m的值．

2．根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值或取值范圍
【例2】（2015溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
總結(jié)：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時(shí)：
先計(jì)算根的判別式；
再根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于根的判別式的等式或不等式求解；
若二次項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)了字母，應(yīng)注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”．
練3．（2015涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2

3．用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．

總結(jié)：
公式法的實(shí)質(zhì)是配方法，只不過省去了配方的過程，而直接利用了配方的結(jié)論；
運(yùn)用公式法求解一元二次方程要注意兩個(gè)前提：
（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；
（2）必須保證b2-4ac≥0．
練4．（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x﹣2）=3x+1．

練5．當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
2．（2015貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（2015煙臺(tái)）等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
4．（2015株洲）有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）
A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同
C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根
D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的較小根為x1，則下面對(duì)x1的估計(jì)正確的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
二、填空題
6．（2011秋冊(cè)亨縣校級(jí)月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．
三、解答題
7．（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．

8．（2014秋金溪縣校級(jí)月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．

9．（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．

10．（2015梅州）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．

11．（2015咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．

12．（2015昆山市一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

13．（2015南充一模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后說，它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）小華補(bǔ)充說，其中一個(gè)根與k無關(guān)．
請(qǐng)你說說其中的道理．
典例探究答案：
【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．兩個(gè)根都是自然數(shù)D．無實(shí)數(shù)根
分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2﹣4ac的值的符號(hào)就可以了．
解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．
練1．（2015銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法不正確的是（）
A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定
分析：先求出△的值，再判斷出其符號(hào)即可．
解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
練2．（2015泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判別方程根的情況；
（2）若方程有一個(gè)根為3，求m的值．
分析：（1）找出方程a，b及c的值，計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷；
（2）將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過解新方程即可求得m的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個(gè)根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
【例2】（2015溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
分析：根據(jù)方程根的情況與判別式的關(guān)系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
練3．（2015涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
分析：根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac的意義得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式組即可得到m的取值范圍．
解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范圍是m≤3且m≠2．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；
（3）求出b2﹣4ac的值是負(fù)數(shù)，即可得出原方程無解．
解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=﹣2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x==﹣1，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）這里a=1，b=﹣3，c=1．
∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴?y=，
∴y1=，y2=；
（3）移項(xiàng)，得x2﹣2x+3=0，
這里a=1，b=﹣2，c=3．?
∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．
∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．????
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號(hào)，再根據(jù)情況代入求根公式求解．
練4．（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
x=，
x1=，x2=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確運(yùn)用公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵，難度適中．
練5．當(dāng)x是何值時(shí)，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
分析：根據(jù)3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．
解答：解：根據(jù)題意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，
即x2+4x﹣7=0，
a=1，b=4，c=﹣7，
△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，
則x==﹣2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運(yùn)用的條件：判別式△≥0．
課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選A．
2．（2015貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整數(shù)a的最大值為0．
故選：B．
3．（2015煙臺(tái)）等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為
（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b兩種情況，
①當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
當(dāng)n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，
故n=9不合題意，
②當(dāng)a=b時(shí)，方程x2﹣6x+n﹣1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故選B．
4．（2015株洲）有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）
A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同
C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根
D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1
解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；
B、如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a與c符號(hào)相同，＞0，所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意；
C、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時(shí)除以25，得c+b+a=0，所以是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；
D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；
故選D．
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的較小根為x1，則下面對(duì)x1的估計(jì)正確的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故選：A．
二、填空題
6．（2011秋冊(cè)亨縣校級(jí)月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．
解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案為：41，，．
三、解答題
7．（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
解：原方程可化為：2x2﹣4x﹣5=0，
∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，
∴x=frac{4±sqrt{56}}{4}=1±．
∴x1=1+，x2=1﹣．
8．（2014秋金溪縣校級(jí)月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
解：這里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
9．（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．
解：整理得：x2+2x﹣4=0，
△=b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，
x=，
x1=﹣+，x2=﹣﹣．
10．（2015梅州）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，
解得：，
則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．
11．（2015咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．
解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，
∵不論m為何值時(shí)，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，
∴m=1或2，m=2不合題意，
∴m=1．
12．（2015昆山市一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵x1、x2是原方程的兩根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
13．（2015南充一模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后說，它總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）小華補(bǔ)充說，其中一個(gè)根與k無關(guān)．
請(qǐng)你說說其中的道理．
解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)x=1時(shí)，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根為1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，與k無關(guān)．

延伸閱讀

解一元二次方程——配方法導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）

第3課時(shí)解一元二次方程-配方法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟；
2．學(xué)會(huì)利用配方法解一元二次方程.
二、知識(shí)回顧1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±，從而解出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫“直接開平方法”.
2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接開平方法可得x＝±或mx＋n=±．
三、新知講解1．配方法的依據(jù)
配方法解一元二次方程的依據(jù)是完全平方公式及直接開平方法．
2．配方法的步驟
（1）化——化二次項(xiàng)系數(shù)為1
如果一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，那么在方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.
（2）移——移項(xiàng)
通過移項(xiàng)使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).
（3）配——配方
在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，根據(jù)完全平方公式把原方程變?yōu)?≥0)的形式．
（4）解——用直接開平方法解方程.
四、典例探究
1．配方法解一元二次方程
【例1】（2015科左中旗校級(jí)一模）用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化為（x﹣1）2=100B．x2+8x+9=0化為（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化為（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化為（x﹣）2=
總結(jié)：配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（2）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
（4）用直接開平方法解這個(gè)方程.
練1用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多項(xiàng)式的最值
【例2】（2015春龍泉驛區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x，y取何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

總結(jié)：配方法是求代數(shù)式的最值問題中最常用的方法.基本思路是：把代數(shù)式配方成完全平方式與常數(shù)項(xiàng)的和，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求代數(shù)式的最值.
練2（2014甘肅模擬）用配方法證明：二次三項(xiàng)式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

練3（2014秋崇州市期末）已知a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)．
（1）求證：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）當(dāng)a2+2b2+c2=2b（a+c）時(shí)，試判斷△ABC的形狀．

五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015延慶縣一模）若把代數(shù)式x2﹣2x+3化為（x﹣m）2+k形式，其中m，k為常數(shù)，結(jié)果為（）
A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+2
2．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后為（）
A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17
二、填空題
3．（2015春鹽城校級(jí)期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后為（x﹣3）2=1，則a=．
4．（2014秋營山縣校級(jí)月考）當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式3x2﹣6x的值等于12．
三、解答題
5．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋安龍縣校級(jí)期末）試說明：不論x，y取何值，代數(shù)式x2+4y2﹣2x+4y+5的值總是正數(shù)．你能求出當(dāng)x，y取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小嗎？

7．（2014秋薊縣期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：
小李：能求出x2+4x﹣3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？
小華：能．求解過程如下：
因?yàn)閤2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7
而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
問題：
（1）小華的求解過程正確嗎？
（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，寫出你的求解過程．

8．（2014秋安陸市期末）閱讀下面的解答過程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值為4
仿照上面的解答過程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

9．（2014春乳山市期末）已知代數(shù)式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋江陰市期中）配方法可以用來解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此時(shí)a=0；同樣，因?yàn)椹?（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此時(shí)a=﹣1．
①當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3有最（填寫大或小）值為．
②當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫大或?。┲禐椋?br> ③矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是16m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？

典例探究答案：
【例1】【解析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．根據(jù)以上步驟進(jìn)行變形即可．
解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A選項(xiàng)正確．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C選項(xiàng)正確．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D選項(xiàng)正確．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法解一元二次方程，選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
練1．【解析】（1）移項(xiàng)，得x2﹣2x=24，
配方，得：x2﹣2x+1=24+1，
即：（x﹣1）2=25，
開方，得：x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
（2）兩邊除以3，得：,
移項(xiàng)，得：，
配方，得：，
即：，
開方，得：
∴
（3）整理，得：，
配方，得：，
即：，
開方，得：
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
【例2】【解析】把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)的和，最小值應(yīng)為那個(gè)常數(shù)，從而確定最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值為﹣4．
∴當(dāng)x=﹣2，y=時(shí)有最小值為﹣4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查配方法的應(yīng)用；根據(jù)﹣4y，4x把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子的和是解決本題的關(guān)鍵．
練2．【解析】將﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后根據(jù)配方后的形式，再根據(jù)a2≥0這一性質(zhì)即可證得．
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．
練3．【解析】（1）將不等式的左邊因式分解后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷代數(shù)式的符號(hào)即可；
（2）將等式右邊的項(xiàng)移至左邊，然后配方即可．
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)，
∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a=b=c
∴△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)原式正確的配方．

課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方．
解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．
2．【解析】先移項(xiàng)，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上16，即可得到完全平方的形式．
解：移項(xiàng)，得x2﹣8x=1，
配方，得x2﹣8x+16=1+16，
即（x﹣4）2=17．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用配方法解一元二次方程，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，不僅應(yīng)用于解一元二次方程，還可以應(yīng)用于二次函數(shù)和判斷代數(shù)式的符號(hào)等，應(yīng)熟練掌握．
二、填空題
3．【解析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)后，即可確定出a的值．
解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；
故答案為：9．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4．【解析】根據(jù)題意列出方程，兩邊除以3變形后，再加上1配方后，開方即可求出解．
解：根據(jù)題意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，
開方得：x﹣1=±，
解得：x=1±．
故答案為：1±．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題
5．【解析】按照配方法的一般步驟計(jì)算：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2﹣2x=4，
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用配方法解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是牢記步驟，并能熟練運(yùn)用，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．
6．【解析】原式利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3
=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，
當(dāng)x=1，y=﹣時(shí)，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
7．【解析】對(duì)于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同時(shí)加上且減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．配成一個(gè)完全平方式與常數(shù)的和，利用完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到原代數(shù)式的最小值．
解：（1）正確
（2）能．過程如下：
x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+
∵（x﹣）2≥0，
所以x2﹣3x+4的最小值是．
點(diǎn)評(píng)：此題考查配方法的運(yùn)用，配方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法．不僅用于解方程，還可利用它解決某些代數(shù)式的最值問題．它的一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是要配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．同時(shí)要理解完全平方式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．
8．【解析】（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
則m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
則4﹣x2+2x的最大值為5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
9．【解析】先將原式變形為x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就可以求出最小值．
解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．
∵代數(shù)式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，
∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23
解得m=﹣2或m=
點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一個(gè)數(shù)的偶次冪為非負(fù)數(shù)的運(yùn)用．解答時(shí)配成完全平方式是關(guān)鍵．
10．【解析】①由完全平方式的最小值為0，得到x=1時(shí)，代數(shù)式的最大值為3；
②將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取﹣1，配方為完全平方式，根據(jù)完全平方式的最小值為0，即可得到代數(shù)式的最大值及此時(shí)x的值；
③設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)總長(zhǎng)度為16m，表示出平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時(shí)x的值．
解：①∵（x﹣1）2≥0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，（x﹣1）2的最小值為0，
則當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3的最大值為3；
②代數(shù)式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，
則當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+3的最大值為7；
③設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，
∴花園的面積為x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
則當(dāng)邊長(zhǎng)為4米時(shí)，花園面積最大為32m2．
故答案為：①1；大；3；②2；大；7
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．

解一元二次方程

每個(gè)老師在上課前需要規(guī)劃好教案課件，是時(shí)候?qū)懡贪刚n件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，才能更好的在接下來的工作輕裝上陣！你們會(huì)寫適合教案課件的范文嗎？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“解一元二次方程”，僅供參考，大家一起來看看吧。

28.2解一元二次方程
教學(xué)目的知識(shí)技能認(rèn)識(shí)形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，并會(huì)用直接開平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
數(shù)學(xué)思考用直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是用平方根的定義來進(jìn)行降次的，直接開平方法解一元二次方程，必須化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式來求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再應(yīng)用直接開平方法求解
解決問題通過兩邊同時(shí)開平方，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)往往由未知（新知識(shí)）向已知（舊知識(shí)）轉(zhuǎn)化，這是研究數(shù)學(xué)問題常用的方法，化未知為已知．
情感態(tài)度通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感覺到由未知向已知的轉(zhuǎn)化美.
教學(xué)難點(diǎn)用配方法解一元二次方程
知識(shí)重點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?br> 教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

教
學(xué)
過
程
問題一：填空
如果，那么.
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用開平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
學(xué)生活動(dòng)：在老師的引導(dǎo)下，初步了解一元二次方程的直接開平方法.
問題二：解方程
教師活動(dòng)：與學(xué)生一起探究此種形式的方程的解法.
學(xué)生活動(dòng)：仿照上題，解此問題，并總結(jié)出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
練習(xí)：解下列方程：
（1）(2)
問題三：解方程：
師生一起探究解法，通過配方把該方程轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接開平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例題1：解方程
教師活動(dòng)：給學(xué)生作出配方法解方程的示范.重點(diǎn)在配方的方法：在方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解.
學(xué)生總結(jié)配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.

從學(xué)生已知的知識(shí)入手，解決形如x2＝p（p≥0）類型的方程，引導(dǎo)進(jìn)入直接開平法法.

解決并練習(xí)形如（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，

在解決形如x2＝p（p≥0）和（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程的基礎(chǔ)上，給學(xué)生設(shè)置懸念，探究這個(gè)方程的解法.
引出配方法.

在轉(zhuǎn)化的同時(shí)，給學(xué)生講解配方的方法，為配方法解一元二次方程作準(zhǔn)備.

提高學(xué)生的總結(jié)歸納能力.
課堂練習(xí)解下列方程：
課本24頁習(xí)題2
學(xué)生完成后，交流結(jié)果，交流配方法解一元二次方程的步驟、方法

使學(xué)生體會(huì)在解決問題的過程中與他人合作的重要性.

小結(jié)與作業(yè)
課堂
小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直接開平方法和配方法進(jìn)行總結(jié).

本課
作業(yè)34頁習(xí)題1、3把學(xué)習(xí)延伸到課外，鞏固課上所學(xué).

課后隨筆（課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想）

解一元二次方程——因式分解法導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）

教案課件是老師不可缺少的課件，大家應(yīng)該開始寫教案課件了。只有寫好教案課件計(jì)劃，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！你們知道哪些教案課件的范文呢？下面是小編為大家整理的“解一元二次方程——因式分解法導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

第5課時(shí)解一元二次方程-因式分解法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)用因式分解法解一元二次方程；
2．會(huì)用換元法解一元二次方程；
3．靈活選用簡(jiǎn)便的方法解一元二次方程.
二、知識(shí)回顧1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
，，
（3）十字相乘法：

三、新知講解1．因式分解法
把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式叫做分解因式.
當(dāng)一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們可以使兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.
2．因式分解法解一元二次方程的步驟：
①把方程的右邊化為0；
②用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；
③令每一個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；
④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
3．因式分解法的條件、理論依據(jù)
因式分解法解一元二次方程的條件是：方程右邊等于0，而左邊易于分解；
理論依據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么至少有一個(gè)因式等于零.

四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.

總結(jié)：
用因式分解法解一元二次方程，是利用了“當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或者b=0”的結(jié)論.
因式分解法解一元二次方程的步驟：
（1）把方程的右邊化為0；
（2）用提公因式法、公式法（這里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左邊化成兩個(gè)一次因式乘積的形式；
（3）令每一個(gè)因式分別等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；
（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
練1（2014秋趙縣期末）用因式分解法解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2

2．用換元法解一元二次方程
【例2】（2014山西校級(jí)模擬）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0時(shí)，我們可以將x﹣1看成一個(gè)整體，設(shè)x﹣1=y，則原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時(shí)，即x﹣1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解為x1=2，x2=5．利用這種方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．

總結(jié)：
換元法在解特殊一元二次方程的時(shí)候用的較多，運(yùn)用了整體思想.
在一元二次方程中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，用一個(gè)字母來代替它可以簡(jiǎn)化問題時(shí)，我們可以考慮用換元法來解.
解高次方程時(shí)，通過換元的方法達(dá)到降次的目的．
練2（2015呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，則a+b=_______．
練3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.

3．靈活選用方法解一元二次方程
【例3】（2014秋漳縣校級(jí)期中）選擇適當(dāng)方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．

總結(jié)：解一元二次方程常用的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，根據(jù)一元二次方程的特征，靈活選用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，應(yīng)選用直接開平方法.
（2）若常數(shù)項(xiàng)為0，即形如ax2+bx=0的形式，應(yīng)選用因式分解法.
（3）若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左邊的整式是否能夠因式分解，如果能，則宜選用因式分解法；不然選用公式法；不過當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用配方法也較簡(jiǎn)單.（4）公式法雖然是萬能的，對(duì)任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的.因此在解方程時(shí)，我們首先考慮能否應(yīng)用直接開平方法、因式分解法等簡(jiǎn)單方法，若不行，則再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）.
練4（2015春無錫校級(jí)期中）選擇合適的方法解下列方程.
（1）x2﹣5x﹣6=0；
（2）3x2﹣4x﹣1=0；
（3）x（x﹣1）=3﹣3x；
（4）x2﹣2x+1=0．

五、課后小測(cè)一、選擇題
1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（）
A.x1=-16，x2=8B.x1=16，x2=-8C.x1=16，x2=8D.x1=-16，x2=-8
2.方程5x(x+3)=3(x+3)的解為（）
A.B.C.D.
3.（2015滕州市校級(jí)模擬）方程x2﹣2x=3可以化簡(jiǎn)為（）
A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0
C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=0
二、填空題
4．（2015麗水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，請(qǐng)寫出其中的一個(gè)一元一次方程．
5．（2014杭州模擬）方程x（x+1）=2（x+1）的解是．
6．（2013秋蘇州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為．
三、解答題
7．（2014秋靜寧縣期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x+1=0
（2）x2﹣2x﹣2=0
（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．

8．（2014秋滄浪區(qū)校級(jí)期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣3=0
（2）（x﹣2）2=3（x﹣2）
（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0．

9．（2014秋宛城區(qū)校級(jí)期中）為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將x2﹣1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1=y，則（x2﹣1）2=y2，那么原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
當(dāng)y=1時(shí)，x2﹣1=1，x2=2，x=±．
當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣1=4，x2=5，x±．
故原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．
請(qǐng)借鑒上面的方法解方程（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0．

10．（2014秋薊縣期中）已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．

典例探究答案：
【例1】【解析】（1）移項(xiàng)，提取公因式；（2）移項(xiàng)并利用平方差公式分解因式求解.
解：（1）2(2x－1)2=(1－2x)
移項(xiàng)，得2(2x－1)2－(1－2x)=0，
即：2(2x－1)2+(2x－1)=0，
因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，
整理，得(2x-1)(4x-1)=0，
解得x1=12，x2=14；
（2）4(y＋2)2=(y－3)2
移項(xiàng)，得4(y＋2)2-(y－3)2=0
因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0
整理，得(3y+1)(y+7)=0
解得y1=－13，y2=－7.
練1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，進(jìn)而解方程得出即可；
解：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2，
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2=0，
因式分解得：（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0，
整理得：（2﹣x）（3x﹣8）=0，
解得：x1=2，x2=.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確分解因式是解題關(guān)鍵．
【例2】【解析】先設(shè)2x+5=y，則方程即可變形為y2﹣4y+3=0，解方程即可求得y（即2x+5）的值，進(jìn)一步可求出x的值．
解：設(shè)x﹣1=y，則原方程可化為y2﹣4y+3=0，
所以（y﹣1）（y﹣3）=0
解得y1=1，y2=3．
當(dāng)y=1時(shí)，即2x+5=1，
解得x=﹣2；
當(dāng)y=3時(shí)，即2x+5=3，
解得x=﹣1，
所以原方程的解為：x1=﹣2，x2=﹣1．
點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用換元法解一元二次方程．
練2．【解析】設(shè)a+b=x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，通過解該一元二次方程來求x（即a+b）的值．
解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得
（2x+1）（x﹣1）=0，
解得x1=﹣，x2=1．
則a+b的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．
練3【解析】設(shè)x2-3=y，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，通過解該一元二次方程來求y（即x2-3）的值．
解：設(shè)x2-3=y，則原方程可化為y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，
因式分解得：（y+1）(y+4)=0,
解得y1=-1，y2=-4.
當(dāng)y1=-1時(shí)，x2-3=-1，即x2=2，解得.
當(dāng)y2=-4時(shí)，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程無實(shí)數(shù)根.
綜上，.
【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根據(jù)直接開平方法求解；
（2）先變形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式法求解；
（4）先變形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣5x=﹣1，
x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
所以x1=，x2=；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48
x===，
所以x1=，x2=；
（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，
y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，
所以y1=﹣，y2=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的四種常見解法．
練4．【解析】（1）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；
（2）根據(jù)公式法，可得方程的解；
（3）根據(jù)因式分解法，可得方程的解；
（4）根據(jù)公式法，可得方程的解．
解：（1）因式分解，得
（x﹣1）（x﹣6）=0，解得x1=6，x2=﹣1；
（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x1=，x2=；
（3）方程化簡(jiǎn)得x2+2x﹣3=0，
因式分解，得（x+3）（x﹣1）=0，
解得x1=1，x2=﹣3；
（4）a=1，b=﹣2，c=1，x1=1+，x2=﹣1+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵．
課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出選項(xiàng)．
解：x2﹣2x=3，
x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確分解因式，題目比較好，難度不是很大．
2.【解析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.
解：5x(x+3)=3(x+3)，
移項(xiàng)，得5x(x+3)-3(x+3)=0，
分解因式，得（5x-3）（x+3）=0，
解得
故選D.
點(diǎn)評(píng)：注意本題不能兩邊約去（x+3），這樣會(huì)失去一個(gè)解.
3.【解析】先移項(xiàng)，再利用十字相乘法分解因式；或者方程兩邊同時(shí)加1，左邊配成完全平方式.
解：方法一：x2-2x=3,
移項(xiàng)，得x2-2x-3=0,
因式分解，得（x-3）(x+1)=0,
方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,
移項(xiàng)，得（x-1）2-4=0.
故選A.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程——因式分解法.
二、填空題
4．【解析】把方程左邊分解，則原方程可化為x﹣1=0或x+3=0．
解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0．
故答案為x﹣1=0或x+3=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
5．【解析】移項(xiàng)后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可
解：x（x+1）=2（x+1），
移項(xiàng)得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，
即（x+1）（x﹣2）=0，
∴x+1=0，x﹣2=0，
解方程得：x1=2，x2=﹣1，
故答案為：x1=2，x2=﹣1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
6．【解析】令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．
解：令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6，
即（t﹣1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=﹣4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用換元法解一元二次方程，注意題目中的整體是x2+y2．
三、解答題
7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移項(xiàng)，配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣2x+1=0，
因式分解，得（x﹣1）2=0，
解得x﹣1=0，即x1=x2=1；
（2）x2﹣2x﹣2=0，
移項(xiàng)，得x2﹣2x=2，
配方，得x2﹣2x+1=2+1，
即：（x﹣1）2=3，
解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；
（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，
因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，此題是一道中檔題目，難度適中．
8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）原式利用因式分解法求出解即可；
（3）將方程變形后，設(shè)y=x﹣，得到關(guān)于y的一元二次方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，可列出關(guān)于x的一元一次方程，分別求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：（1）方程變形得：x2﹣4x=3，
配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，
開方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）方程變形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，
解得：x1=2，x2=5；
（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，
變形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，
設(shè)y=x﹣，則原方程可化為2y2﹣y﹣1=0，
因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，
解得：y=﹣或y=1，
當(dāng)y=﹣時(shí)，x﹣=﹣，解得：x=0；
當(dāng)y=1時(shí)，x﹣=1，解得：x=，
∴x1=，x2=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、換元法等，熟練掌握解一元二次的方法是解本題的關(guān)鍵．
9．【解析】設(shè)x2﹣x=y，原方程可化為y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．
解：設(shè)x2﹣x=y，則（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化為y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．
當(dāng)y=2時(shí)，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．
當(dāng)y=3時(shí)，x2﹣x=3，x3=，x4=．
故原方程的解為x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用換元法解一元二次方程．找出整體是解題的關(guān)鍵．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
10．【解析】先設(shè)z=x2+y2，則原方程變形為z2﹣2z﹣15=0，運(yùn)用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．
解：設(shè)z=x2+y2，
原方程變形為（z﹣3）（z+1）=12，
整理，得z2﹣2z﹣15=0，
因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，
解得z1=5，z2=﹣3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2的值為5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法解一元二次方程．