一元二次方程高中教案

一元二次方程的應(yīng)用（2）導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）。

第9課時(shí)一元二次方程的應(yīng)用（2）
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)利用一元二次方程解答數(shù)字問(wèn)題
2．會(huì)利用一元二次方程解答營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題；
3．會(huì)利用一元二次方程解答動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.
二、知識(shí)回顧1.用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，一般要經(jīng)歷以下幾個(gè)基本步驟：
（1）審題找等量關(guān)系；
（2）設(shè)元列方程；
（3）求解并檢驗(yàn)；
（4）寫(xiě)出答案．
2.數(shù)字問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系有：
兩位數(shù)表示為：十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；
三位數(shù)表示為：百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；
三個(gè)連續(xù)整數(shù)可表示為：x-1,x,x+1;
三個(gè)連續(xù)奇數(shù)可表示為：2x-1,2x+1,2x+3;
三個(gè)連續(xù)偶數(shù)可表示為：2x-2,2x,2x+2.
三、新知講解一元二次方程的應(yīng)用——營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題（“每每型”問(wèn)題）
每每型問(wèn)題指“每降低多少單價(jià)，每次就增加多少銷(xiāo)量”或“每增加多少單價(jià)，每次就減少多少銷(xiāo)量”的問(wèn)題，關(guān)鍵是找出兩個(gè)“每次”代表的數(shù)量，并用未知數(shù)表達(dá)出來(lái)，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．
四、典例探究
1．一元二次方程的應(yīng)用——數(shù)字問(wèn)題
【例1】（2014秋冠縣校級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，求這個(gè)兩位數(shù)．

總結(jié)：對(duì)于數(shù)字問(wèn)題，首先要明確數(shù)的表示方法：
（1）如果是兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字設(shè)為a，十位數(shù)字設(shè)為b，那么這個(gè)兩位數(shù)可表示為10b+a；
（2）如果是三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字設(shè)為a，十位數(shù)字設(shè)為b，百位數(shù)字設(shè)為c，那么這個(gè)三位數(shù)可表示為100c+10b+a；
（3）設(shè)x為整數(shù)，三個(gè)連續(xù)整數(shù)可表示為x-1,x,x+1，三個(gè)連續(xù)奇數(shù)可表示為2x-1,2x+1,2x+3；三個(gè)連續(xù)偶數(shù)可表示為2x-2,2x,2x+2．
練1有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2，求這個(gè)兩位數(shù).

練2（2015河北模擬）劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國(guó)，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就會(huì)得到32+（﹣2）﹣1=6．現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)（m，﹣2m）放入其中，得到實(shí)數(shù)2，則m的值是（）
A．3B．﹣1C．﹣3或1D．3或﹣1

2．一元二次方程的應(yīng)用——營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題
【例2】（2015烏魯木齊）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定位多少元？

總結(jié)：
用一元二次方程解決的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題中，常用的關(guān)系式有：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量=總利潤(rùn).
用一元二次方程解決的每每型問(wèn)題，通常指“每降低多少單價(jià)，每次就增加多少銷(xiāo)量”或“每增加多少單價(jià)，每次就減少多少銷(xiāo)量”的問(wèn)題，注意兩個(gè)“每次”.
每每型問(wèn)題中，每次漲（降）價(jià)，會(huì)引起定價(jià)和銷(xiāo)量的變化，定價(jià)的變化又影響單件利潤(rùn)，等量關(guān)系式一般是單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量=總利潤(rùn).
每每型問(wèn)題中要注意題設(shè)中“在顧客得實(shí)惠的前提下”“減少庫(kù)存壓力”等語(yǔ)句，這是進(jìn)行答案取舍的重要信息.
練3（2015淮安）水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售，每天可售出100斤，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價(jià)銷(xiāo)售．
（1）若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷(xiāo)售量是斤（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）銷(xiāo)售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元？

3．一元二次方程的應(yīng)用——?jiǎng)討B(tài)幾何問(wèn)題
【例3】（2015春壽縣校級(jí)月考）如圖△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．點(diǎn)P從A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：
（1）經(jīng)過(guò)幾秒，△PBQ的面積等于8cm2？
（2）△PBQ的面積會(huì)等于10cm2嗎？若會(huì)，請(qǐng)求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

總結(jié)：
動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題指圖形中存在動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線(xiàn)、動(dòng)圖等方面的問(wèn)題.解決這類(lèi)題，要搞清楚圖形的變化過(guò)程，正確分析變量和其他量之間的聯(lián)系，動(dòng)中窺靜，以靜制動(dòng).
動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中常關(guān)心“不變量”.在求某個(gè)特定位置或特定值時(shí)，經(jīng)常建立方程模型求解.
練4（2015春慈溪市校級(jí)月考）如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？
（1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：
解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，
則B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程，
解方程得x1=，x2=，∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)米．
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下問(wèn)題：
梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？為什么？請(qǐng)你解答小聰提出的這個(gè)問(wèn)題．

五、課后小測(cè)一、選擇題
1．已知兩數(shù)之差為4，積等于45，則這兩個(gè)數(shù)是（）
A．5和9B．﹣9和﹣5C．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣5
2．（2014鄂城區(qū)校級(jí)模擬）西瓜經(jīng)營(yíng)戶(hù)以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克．為了促銷(xiāo)，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)決定降價(jià)銷(xiāo)售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，為了減少庫(kù)存，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)要想每天盈利2O0元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低（）元．
A．0.2或0.3B．0.4C．0.3D．0.2
3.如圖，房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成．圖中，第1個(gè)黑色形由3個(gè)正方形組成，第2個(gè)黑色形由7個(gè)正方形組成，那么組成第12個(gè)黑色形的正方形個(gè)數(shù)是（）
A．44B．45C．46D．47．
二、填空題
4．（2014秋婁底校級(jí)期末）若兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是224，則這兩個(gè)數(shù)的和是______．
5．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）商場(chǎng)某種商品平均每天可銷(xiāo)售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計(jì)算：每件商品降價(jià)_____元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．
三、解答題
6．（2015谷城縣模擬）怎樣用一條長(zhǎng)40cm的繩子圍成一個(gè)面積為96cm2的矩形？能?chē)梢粋€(gè)面積為102cm2的矩形嗎？如果能，說(shuō)明圍法；如果不能，說(shuō)明理由．

7．（2015春江陰市期末）某大學(xué)生利用暑假社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)，該網(wǎng)店以每個(gè)20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)900個(gè)某新型商品．第一周以每個(gè)35元的價(jià)格售出300個(gè)，第二周若按每個(gè)35元的價(jià)格銷(xiāo)售仍可售出300個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷(xiāo)量，決定降價(jià)銷(xiāo)售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出50個(gè)）．
（1）若第二周降低價(jià)格1元售出，則第一周，第二周分別獲利多少元？
（2）若第二周單價(jià)降低x元銷(xiāo)售一周后，商店對(duì)剩余商品清倉(cāng)處理，以每個(gè)15元的價(jià)格全部售出，如果這批商品計(jì)劃獲利9500元，問(wèn)第二周每個(gè)商品的單價(jià)應(yīng)降低多少元？

8．（2014江西模擬）等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，PQ與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．

9.（2015春汕頭校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD（長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，每個(gè)角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，問(wèn)：
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？
（3）當(dāng)t=以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（直接寫(xiě)出答案）

典例探究答案：
【例1】【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是（x﹣3），則這個(gè)兩位數(shù)為[10（x﹣3）+x]，然后根據(jù)一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)字的平方即可列出方程求解．
解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是（x﹣3），
根據(jù)題意得10（x﹣3）+x=x2
原方程可化為：x2﹣11x+30=0，
∴x1=5，x2=6，
當(dāng)x=5時(shí)，x﹣3=2，兩位數(shù)為25；
當(dāng)x=6時(shí)，x﹣3=3，兩位數(shù)為36.
答：這個(gè)兩位數(shù)是25或36．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
練1．【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（x-2），則這個(gè)兩位數(shù)為10（x-2）+x，然后根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍列方程，并解方程即可.
解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（x-2）.
根據(jù)題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
原方程可化為：3x2-17x+20=0,
因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，
解得x1=，x2=4.
因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=不符合題意，x=4.
10（x-2）+x=24，所以這個(gè)兩位數(shù)是24.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中的數(shù)字問(wèn)題.注意：在求得解后，要進(jìn)行實(shí)際意義的檢驗(yàn)，舍去不符合題意的解.
練2．【解析】按照相應(yīng)的運(yùn)算方法與順序，讓得到的含m的一元二次方程的結(jié)果為2，列式求值即可．
解：由題意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，
m2﹣2m﹣3=0，
（m﹣3）（m+1）=0，
解得m1=3，m2=﹣1．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程的應(yīng)用；理解新定義的運(yùn)算方法是解決本題的關(guān)鍵．
【例2】【解析】設(shè)降價(jià)x元，表示出售價(jià)和銷(xiāo)售量，列出方程求解即可．
解：降價(jià)x元，則售價(jià)為（60﹣x）元，銷(xiāo)售量為（300+20x）件，
根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顧客得實(shí)惠，故取x=4，定價(jià)為：60-4=56（元），
答：應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定為56元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程應(yīng)用，從題中找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，并找出等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．
練3．【解析】（1）銷(xiāo)售量=原來(lái)銷(xiāo)售量﹣下降銷(xiāo)售量，據(jù)此列式即可；
（2）根據(jù)銷(xiāo)售量×每斤利潤(rùn)=總利潤(rùn)列出方程求解即可．
解：（1）將這種水果每斤的售價(jià)降低x元，則每天的銷(xiāo)售量是100+×20=100+200x斤；
（2）根據(jù)題意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，
解得：x=或x=1，
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
答：張阿姨需將每斤的售價(jià)降低1元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意的能力，第一問(wèn)關(guān)鍵求出每千克的利潤(rùn)，求出總銷(xiāo)售量，從而利潤(rùn)．第二問(wèn)，根據(jù)售價(jià)和銷(xiāo)售量的關(guān)系，以利潤(rùn)做為等量關(guān)系列方程求解．
【例3】【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△PBQ的面積等于8cm2．先用含x的代數(shù)式分別表示BP和BQ的長(zhǎng)度，再代入三角形面積公式，列出方程，即可求出時(shí)間；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y秒，△PBQ的面積等于10cm2．根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)△=b2﹣4ac進(jìn)行判斷．
解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，△PBQ的面積等于8cm2．
∵AP=1x=x，BQ=2x，
∴BP=AB﹣AP=6﹣x，
∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，
∴x2﹣6x+8=0，
解得：x=2或4，
即經(jīng)過(guò)2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2.
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y秒，△PBQ的面積等于10cm2，
則S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，
即y2﹣6y+10=0，
因?yàn)椤?b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，
所以△PBQ的面積不會(huì)等于10cm2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．關(guān)鍵是用含時(shí)間的代數(shù)式準(zhǔn)確表示BP和BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列出一元二次方程，進(jìn)行求解并作出判斷．
練4．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根據(jù)勾股定理求出A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；
（2）設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，根據(jù)勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．
解：（1）設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，
則B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，
解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合題意舍去），∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)0.8m．
故答案為（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合題意舍去），0.8；
（2）有可能．
設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，
則有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，
解得：x1=1.7或x2=0（不合題意舍去）．
故當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動(dòng)1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．

課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)是x，另一個(gè)數(shù)是（x+4），依題意列出方程．
解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)是x，另一個(gè)數(shù)是（x+4），則
x（x+4）=45，
整理，得
（x+2）2=49，
x+2=±7，
解得x1=5，x2=﹣9．
則x+4=9或x+4=﹣5．
故這兩個(gè)數(shù)是5、9或﹣9、﹣5．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
2．【解析】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元．那么每千克的利潤(rùn)為：（3﹣2﹣x），由于這種小型西瓜每降價(jià)O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降價(jià)x元，則每天售出數(shù)量為：200+千克．本題的等量關(guān)系為：每千克的利潤(rùn)×每天售出數(shù)量﹣固定成本=200．
解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元．
根據(jù)題意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．
解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=0.3．
∵200+＞200+，
∴應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.3元．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，通過(guò)生活實(shí)際較好地考查學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)．注意題目的要求為了減少庫(kù)存，舍去不合題意的結(jié)果．
3.【解析】看后面每個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是在3的基礎(chǔ)上增加幾個(gè)4即可．
解：第1個(gè)黑色“”形由3個(gè)正方形組成，
第2個(gè)黑色“”形由3+4=7個(gè)正方形組成，
第3個(gè)黑色“”形由3+2×4=11個(gè)正方形組成，
…，
那么組成第n個(gè)黑色“”形的正方形個(gè)數(shù)是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．
故組成第12個(gè)“”的正方形個(gè)數(shù)是：4×12﹣1=47．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：考查圖形的變化規(guī)律；得到第n個(gè)圖形與第1個(gè)圖形中正方形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
4．【解析】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為x、x+2，根據(jù)“兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是224”作為相等關(guān)系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得這兩個(gè)數(shù)，再求它們的和即可．
解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為x、x+2，則x（x+2）=224
解之得x=14或x=﹣16
則x+2=16或x+2=﹣14
即這兩個(gè)數(shù)為14，16或﹣14，﹣16
所以這兩個(gè)數(shù)的和是30或﹣30．
點(diǎn)評(píng)：找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，用代數(shù)式表示兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．【解析】根據(jù)等量關(guān)系為：每件商品的盈利×可賣(mài)出商品的件數(shù)=2100，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算得到合適的解即可．
解：∵降價(jià)1元，可多售出2件，降價(jià)x元，可多售出2x件，盈利的錢(qián)數(shù)=50﹣x，
由題意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
化簡(jiǎn)得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，
∴降的越多，越吸引顧客，
∴選x=20，
故答案為：20．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用；得到可賣(mài)出商品數(shù)量是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)；得到總盈利2100的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題
6．【解析】首先設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為（20﹣x）cm，再利用矩形面積公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根據(jù)根的判別式的符號(hào)，進(jìn)而得出答案．
解：設(shè)所圍矩形的長(zhǎng)為xcm，則所圍矩形的寬為（20﹣x）cm，
（1）依題意，得x（20﹣x）=96，
化簡(jiǎn)，得x2﹣20x+96=0．
解，得x1=8，x2=12．
當(dāng)x=8時(shí)，20﹣x=12；
當(dāng)x=12時(shí)，20﹣x=8．
所以，當(dāng)所圍矩形的長(zhǎng)為12cm，寬為8cm時(shí)，它的面積為96cm2．
（2）依題意，得x（20﹣x）=102
化簡(jiǎn)，得x2﹣20x+102=0．
∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
所以用一條長(zhǎng)40cm的繩子不能?chē)梢粋€(gè)面積為102cm2的矩形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練應(yīng)用根的判別式是解題關(guān)鍵．
7．【解析】（1）根據(jù)利潤(rùn)=每個(gè)的利潤(rùn)×銷(xiāo)售量列式計(jì)算即可求解；
（2）設(shè)第二周每個(gè)商品的單價(jià)應(yīng)降低x元，根據(jù)這批商品計(jì)劃獲利9500元建立方程，解方程即可．
解：（1）第一周獲利：300×（35﹣20）=4500（元）；
第二周獲利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；
（2）根據(jù)題意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，
即：x2﹣14x+40=0，
解得：x1=4，x2=10（不符合題意，舍去）．
答：第二周每個(gè)商品的銷(xiāo)售價(jià)格應(yīng)降價(jià)4元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
8．【解析】由題可以看出P沿AB向右運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，所以一些問(wèn)題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)我們應(yīng)分條回答．
解：（1）當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線(xiàn)段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10﹣t
∴
當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線(xiàn)段AB得延長(zhǎng)線(xiàn)上，此時(shí)CQ=t，PB=t﹣10
∴（4分）
（2）∵S△ABC=（5分）
∴當(dāng)t＜10秒時(shí)，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0無(wú)解（6分）
當(dāng)t＞10秒時(shí)，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去負(fù)值）（7分）
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，S△PCQ=S△ABC（8分）
（3）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．
證明：過(guò)Q作QM⊥AC，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M
易證△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對(duì)角線(xiàn)EM的一半．
又∵EM=AC=10∴DE=5
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．
同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=5
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．
點(diǎn)評(píng)：做此類(lèi)題應(yīng)首先找出未知量與已知量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用已知量來(lái)表示未知量，許多問(wèn)題就會(huì)迎刃而解．
9.【解析】（1）如圖1，當(dāng)t=1時(shí)，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面積就可以得出四邊形BCQP的面積；
（2）如圖1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如圖2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情況討論，如圖3，當(dāng)PQ=DQ時(shí)，如圖4，當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖5，當(dāng)PD=QD時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論．
解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm，AP=2cm，
∴AB=6﹣2=4cm．
∴S==5cm2．
答：四邊形BCQP面積是5cm2；
（2）如圖1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四邊形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4=9，
解得：t=．
如圖2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四邊形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．
∵CQ=t，
∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4=9，
解得：t=．
綜上所述：t=或；
（3）如圖3，當(dāng)PQ=DQ時(shí)，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四邊形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．
∵PQ=DQ，
∴PQ=6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，
解得：t=．
如圖4，當(dāng)PD=PQ時(shí)，
作PE⊥DQ于E，
∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四邊形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm．
∵DQ=6﹣t，
∴DE=．
∴2t=，
解得：t=；
如圖5，當(dāng)PD=QD時(shí)，
∵AP=2t，CQ=t，
∴DQ=6﹣t，
∴PD=6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2=（6﹣t）2，
解得t1=，t2=（舍去）．
綜上所述：t=，，，．
故答案為：，，，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用．解答時(shí)靈活運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解方法是關(guān)鍵．

延伸閱讀

一元二次方程的應(yīng)用學(xué)案

每個(gè)老師為了上好課需要寫(xiě)教案課件，大家在認(rèn)真寫(xiě)教案課件了。我們要寫(xiě)好教案課件計(jì)劃，這對(duì)我們接下來(lái)發(fā)展有著重要的意義！你們會(huì)寫(xiě)多少教案課件范文呢？以下是小編收集整理的“一元二次方程的應(yīng)用學(xué)案”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能根據(jù)題意找出正確的等量關(guān)系.

2.能正確的列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題.

學(xué)習(xí)過(guò)程：

前面我們學(xué)習(xí)過(guò)了一元一次方程、分式方程，并能用它們來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中的許多問(wèn)題，同樣，我們也可以用一元二次方程來(lái)解決一些問(wèn)題。

想一想，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？

一.自主學(xué)習(xí)

例1.如圖，有一塊長(zhǎng)40cm、寬30cm的矩形鐵片，在它的四角各截去一個(gè)全等的小正方形，然后拼成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子.如果這個(gè)盒子的底面積等于原來(lái)矩形鐵片面積的一半，那么盒子的高是多少？

分析：這個(gè)問(wèn)題中的等量關(guān)系是：

解：

例2.如圖，MN是一面長(zhǎng)10m的墻，要用長(zhǎng)24m的籬笆，圍成一個(gè)一面是墻、中間隔著一道籬笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的設(shè)計(jì)面積為45平方米，花圃的寬度應(yīng)當(dāng)是多少？

解：設(shè)矩形花圃ABCD的寬為x（m），那么長(zhǎng)____m.

根據(jù)問(wèn)題中給出的等量關(guān)系，得到方程_________________________________.

解這個(gè)方程，得＝，＝

根據(jù)題意，舍去_________________.

所以，花圃的寬是________m.

二.對(duì)應(yīng)練習(xí)

1.從一塊正方形木板上鋸掉2cm寬的矩形木條，剩余矩形木板的面積是48.求原正方形木板的面積.

2.有一塊矩形的草坪，長(zhǎng)比寬多4m.草坪四周有一條寬2m的小路環(huán)繞，已知小路的面積與草坪的面積相等地，求草坪的長(zhǎng)和寬.

三.當(dāng)堂檢測(cè)

1.兩個(gè)數(shù)的和是20，積是51，求這兩個(gè)數(shù).

2.如圖，道路AB與BC分別是東西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨練，小瑩從點(diǎn)A出發(fā)，以每分鐘150m的速度向東跑；同時(shí)小亮從點(diǎn)B出發(fā)，

以每分鐘200m的速度向北跑，二人出發(fā)后經(jīng)過(guò)幾分鐘，

他們之間的直線(xiàn)距離仍然是1000？

一元二次方程導(dǎo)學(xué)案

第1課時(shí)一元二次方程
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，會(huì)把一個(gè)一元二次方程化為一般形式；
3．會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；
4．理解一元二次方程根的概念．
二、知識(shí)回顧1．多項(xiàng)式3x2y-2x-1是三次二項(xiàng)式，其中最高次項(xiàng)是3x2y，二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為-2，常數(shù)項(xiàng)是-1．
2．含有未知數(shù)的等式叫方程，我們學(xué)過(guò)的方程類(lèi)型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．
三、新知講解1．一元二次方程的概念
等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
概念解讀：（1）等號(hào)兩邊都是整式；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2．三個(gè)條件缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；
bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
概念解讀：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要組成部分.如果明確了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件；
（2）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的，各項(xiàng)的系數(shù)包括它前面的符號(hào)．
3．一元二次方程的根的概念
使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．
概念解讀：（1）一元二次方程可能無(wú)解，但是有解就一定有兩個(gè)解；（2）可用代入法檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解．
四、典例探究

1．根據(jù)定義判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程
【例1】（2015浠水縣校級(jí)模擬）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+2x﹣y=3B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0D．x2﹣8=x
總結(jié)：一元二次方程必須滿(mǎn)足四個(gè)條件：
是整式方程；
含有一個(gè)未知數(shù)；
未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
練1（2015科左中旗校級(jí)一模）關(guān)于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求當(dāng)a=時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)a=時(shí)，方程是一元一次方程．

2．把一元二次方程化成一般形式（寫(xiě)出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)）
【例2】（2014秋忠縣校級(jí)期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．
總結(jié)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）
（1）特別要注意a≠0的條件；
（2）在一般形式中，ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)，其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
練2將方程x(x-1)=5(x-2)化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)．

練3（2014東西湖區(qū)校級(jí)模擬）將一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次項(xiàng)系數(shù)是4，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．5，81B．5，﹣81C．﹣5，81D．5x，﹣81

3．根據(jù)一元二次方程的根求參數(shù)
【例3】（2015臨淄區(qū)校級(jí)模擬）若0是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，則m的值為（）
A．1B．0C．1或2D．2
總結(jié)：
使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能無(wú)解，但是有解就一定有兩個(gè)解.
可用代入法檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解.
已知一元二次方程的一個(gè)解，將這個(gè)解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母參數(shù).
若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母參數(shù)，求出的字母參數(shù)值要保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0.這一步容易被忽略，謹(jǐn)記.
練4（2014綿陽(yáng)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，則a=．
練5（2015綿陽(yáng)）關(guān)于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一個(gè)根為2，則n2+n﹣2=．
五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015春莒縣期中）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）
A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．x+y=2C．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0
2．（2014泗縣校級(jí)模擬）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．（2014秋沈丘縣校級(jí)期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）
A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠3
C．a(chǎn)≠1且b≠﹣1D．a(chǎn)≠3且b≠﹣1且c≠0
4．（2015石河子校級(jí)模擬）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（）
A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2
5．（2015石河子校級(jí)模擬）關(guān)于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一個(gè)根是1，則m的值是（）
A．0B．﹣C．D．0或，
6．（2014祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知x=3是關(guān)于方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，則關(guān)于y的方程y2﹣12=a的解是（）
A．B．﹣
C．±D．以上答案都不對(duì)
7．（2014秋南昌期末）關(guān)于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個(gè)根為（）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
二、填空題
8．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．
9．（2014秋西昌市校級(jí)期中）方程2x2﹣1=的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．
10．（2015廈門(mén)校級(jí)質(zhì)檢）若m是方程x2﹣2x=2的一個(gè)根，則2m2﹣4m+2010的值是．
三、解答題
11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
（1）5x2=3x；
（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；
（3）（7x﹣1）2﹣3=0；
（4）（﹣1）（+1）=0；
（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．

12．（2015春亳州校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．

13．（2015春嵊州市校級(jí)月考）已知，下列關(guān)于x的一元二次方程
（1）x2﹣1=0（2）x2+x﹣2=0（3）x2+2x﹣3=0…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0
（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜測(cè)方程（n）的根．
（2）請(qǐng)指出上述幾個(gè)方程的根有什么共同特點(diǎn)，寫(xiě)出一條即可．

14．關(guān)于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為多少．

典例探究答案：
【例1】【解析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿(mǎn)足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．
由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿(mǎn)足這四個(gè)條件者為正確答案．
解：A、方程含有兩個(gè)未知數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是整式方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合一元二次方程的定義，故選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
練1．【解析】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義進(jìn)行解答．
解：依題意得，a2+1=2且a﹣1≠0，
解得a=﹣1．
即當(dāng)a=﹣1時(shí)，方程是一元二次方程．
當(dāng)a2+1=0或a﹣1=0即a=1時(shí)，方程是一元一次方程．
故答案是：﹣1；1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程和一元一次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
【例2】【解析】將方程整理為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是8，常數(shù)項(xiàng)是﹣2．
故答案為：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在解題過(guò)程中容易忽視的地方．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
練2．【解析】將一元二次方程化為一般形式，主要包括幾個(gè)步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)．
去括號(hào)，得x2-x=5x－10.
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，
得x2-6x＋10=0．
其中二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)為-6，常數(shù)項(xiàng)為10．
練3．【解析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件，其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，可得答案．
解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式為4x2+5x﹣81=0，
二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為4，5，﹣81，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【例3】【解析】把方程的一個(gè)根0直接代入方程即可求出m的值．
解：∵0是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，
∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是直接把方程的一根代入方程，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．
練4．【解析】將一根0代入方程，再依據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，問(wèn)題可求．
解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0
∴a2﹣1=0，即a=±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a=1．
練5．【解析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到4n﹣2n2﹣2=0，兩邊除以2n得n+=2，再利用完全平方公式變形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案為：26．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．也考查了代數(shù)式的變形能力．

課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷．
解：A、當(dāng)a=0時(shí)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，它屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，它屬于二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
2．【解析】直接根據(jù)一元二次方程的定義可得到在所給的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．
解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．
3．【解析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
解：根據(jù)一元二次方程的定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為0得，a﹣3≠0，a≠3．故選：B．
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．當(dāng)a=0時(shí)，上面的方程就不是一元二次方程了，當(dāng)b=0或c=0時(shí)，上面的方程在a≠0的條件下，仍是一元二次方程，只不過(guò)是不完全的一元二次方程．
4．【解析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．
解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得
x2﹣3x+10=0，
∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

5．【解析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是把x的值代入原方程，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)的一元二次方程，然后求解．
6．【解析】由于x=3是關(guān)于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，根據(jù)方程解的含義，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出關(guān)于y的方程的解．
解：∵x=3是關(guān)于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一個(gè)根，
∴3×32+2a×3﹣3a=0，
解得：a=﹣9，
則關(guān)于y的方程是y2﹣12=﹣9，
解得y=．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程解的含義，解題的關(guān)鍵是確定方程中待定系數(shù)的值．
7．【解析】分別把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，當(dāng)k為任意值時(shí)，則對(duì)應(yīng)的x的值一定為方程的解．
解：A、當(dāng)x=1時(shí)，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一個(gè)根為1，所以A選項(xiàng)正確；
B、當(dāng)x=﹣1時(shí)，k+2+k﹣2=0，所以當(dāng)k=0時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為﹣1，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)x=2時(shí)，4k+8﹣2k﹣2=0，所以當(dāng)k=﹣3時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為2，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)x=﹣2時(shí)，4k+8+2k﹣2=0，所以當(dāng)k=﹣1時(shí)，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一個(gè)根為﹣2，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．
二、填空題
8．【解析】根據(jù)一元二次方程的定義得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．
解：根據(jù)題意得m﹣2≠0，
所以m≠2．
故答案為：m≠2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，
二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣，常數(shù)項(xiàng)是﹣1．
點(diǎn)評(píng)：要確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把法方程化成一般形式．注意在說(shuō)明二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一定要帶上前面的符號(hào)
10．【解析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2﹣2m=2，再變形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
解：根據(jù)題意得m2﹣2m=2，
所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．
故答案為2014．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．
三、解答題
11．【解析】各項(xiàng)方程整理后，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為5，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣3，常數(shù)項(xiàng)為0；
（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，常數(shù)項(xiàng)為﹣3；
（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為49，一次項(xiàng)為﹣14，常數(shù)項(xiàng)為﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣1=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為﹣1；
（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為11，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣4，常數(shù)項(xiàng)為﹣5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
12．【解析】（1）首先利用關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0得出m2﹣3m+2=0，進(jìn)而得出即可；
（2）分別將m的值代入原式求出即可．
解：（1）∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值為1或2；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
當(dāng)m=1時(shí)，5x=0，
解得x=0．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解法，正確解一元二次方程是解題關(guān)鍵．
13．【解析】（1）利用因式分解法分別求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根據(jù)以上3個(gè)方程的根，可猜測(cè)方程（n）的根；
（2）觀察即可得出上述幾個(gè)方程都有一個(gè)公共根是1．
解：（1）（1）x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x+1=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=1；
（2）x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
x+2=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣2，x2=1；
（3）x2+2x﹣3=0，
（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0，或x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=1；
…
猜測(cè)方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根為x1=﹣n，x2=1；
（2）上述幾個(gè)方程都有一個(gè)公共根是1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．
14．【解析】令y=1，即可確定出方程的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和．
解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，
則方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．

解一元二次方程——配方法導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）

第3課時(shí)解一元二次方程-配方法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟；
2．學(xué)會(huì)利用配方法解一元二次方程.
二、知識(shí)回顧1．形如(≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m=±，從而解出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫“直接開(kāi)平方法”.
2．如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式,那么利用直接開(kāi)平方法可得x＝±或mx＋n=±．
三、新知講解1．配方法的依據(jù)
配方法解一元二次方程的依據(jù)是完全平方公式及直接開(kāi)平方法．
2．配方法的步驟
（1）化——化二次項(xiàng)系數(shù)為1
如果一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，那么在方程的兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.
（2）移——移項(xiàng)
通過(guò)移項(xiàng)使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).
（3）配——配方
在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，根據(jù)完全平方公式把原方程變?yōu)?≥0)的形式．
（4）解——用直接開(kāi)平方法解方程.
四、典例探究
1．配方法解一元二次方程
【例1】（2015科左中旗校級(jí)一模）用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化為（x﹣1）2=100B．x2+8x+9=0化為（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化為（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化為（x﹣）2=
總結(jié)：配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（2）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
（4）用直接開(kāi)平方法解這個(gè)方程.
練1用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.

2．用配方法求多項(xiàng)式的最值
【例2】（2015春龍泉驛區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x，y取何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．

總結(jié)：配方法是求代數(shù)式的最值問(wèn)題中最常用的方法.基本思路是：把代數(shù)式配方成完全平方式與常數(shù)項(xiàng)的和，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求代數(shù)式的最值.
練2（2014甘肅模擬）用配方法證明：二次三項(xiàng)式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．

練3（2014秋崇州市期末）已知a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)．
（1）求證：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）當(dāng)a2+2b2+c2=2b（a+c）時(shí)，試判斷△ABC的形狀．

五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015延慶縣一模）若把代數(shù)式x2﹣2x+3化為（x﹣m）2+k形式，其中m，k為常數(shù)，結(jié)果為（）
A．（x+1）2+4B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4D．（x+1）2+2
2．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后為（）
A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15
C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17
二、填空題
3．（2015春鹽城校級(jí)期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后為（x﹣3）2=1，則a=．
4．（2014秋營(yíng)山縣校級(jí)月考）當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式3x2﹣6x的值等于12．
三、解答題
5．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

6．（2013秋安龍縣校級(jí)期末）試說(shuō)明：不論x，y取何值，代數(shù)式x2+4y2﹣2x+4y+5的值總是正數(shù)．你能求出當(dāng)x，y取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小嗎？

7．（2014秋薊縣期末）閱讀下面的材料并解答后面的問(wèn)題：
小李：能求出x2+4x﹣3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？
小華：能．求解過(guò)程如下：
因?yàn)閤2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7
而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．
問(wèn)題：
（1）小華的求解過(guò)程正確嗎？
（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，寫(xiě)出你的求解過(guò)程．

8．（2014秋安陸市期末）閱讀下面的解答過(guò)程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值為4
仿照上面的解答過(guò)程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．

9．（2014春乳山市期末）已知代數(shù)式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．

10．（2014秋江陰市期中）配方法可以用來(lái)解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決很多問(wèn)題．例如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此時(shí)a=0；同樣，因?yàn)椹?（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此時(shí)a=﹣1．
①當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3有最（填寫(xiě)大或?。┲禐椋?br> ②當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫(xiě)大或?。┲禐椋?br> ③矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是16m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？

典例探究答案：
【例1】【解析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．根據(jù)以上步驟進(jìn)行變形即可．
解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A選項(xiàng)正確．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C選項(xiàng)正確．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D選項(xiàng)正確．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法解一元二次方程，選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
練1．【解析】（1）移項(xiàng)，得x2﹣2x=24，
配方，得：x2﹣2x+1=24+1，
即：（x﹣1）2=25，
開(kāi)方，得：x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
（2）兩邊除以3，得：,
移項(xiàng)，得：，
配方，得：，
即：，
開(kāi)方，得：
∴
（3）整理，得：，
配方，得：，
即：，
開(kāi)方，得：
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
【例2】【解析】把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)的和，最小值應(yīng)為那個(gè)常數(shù)，從而確定最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值為﹣4．
∴當(dāng)x=﹣2，y=時(shí)有最小值為﹣4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查配方法的應(yīng)用；根據(jù)﹣4y，4x把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子的和是解決本題的關(guān)鍵．
練2．【解析】將﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后根據(jù)配方后的形式，再根據(jù)a2≥0這一性質(zhì)即可證得．
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．
練3．【解析】（1）將不等式的左邊因式分解后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷代數(shù)式的符號(hào)即可；
（2）將等式右邊的項(xiàng)移至左邊，然后配方即可．
解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
∵a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)，
∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，
∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．
（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a=b=c
∴△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)原式正確的配方．

課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．【解析】二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方．
解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．
2．【解析】先移項(xiàng)，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上16，即可得到完全平方的形式．
解：移項(xiàng)，得x2﹣8x=1，
配方，得x2﹣8x+16=1+16，
即（x﹣4）2=17．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用配方法解一元二次方程，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，不僅應(yīng)用于解一元二次方程，還可以應(yīng)用于二次函數(shù)和判斷代數(shù)式的符號(hào)等，應(yīng)熟練掌握．
二、填空題
3．【解析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)后，即可確定出a的值．
解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；
故答案為：9．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4．【解析】根據(jù)題意列出方程，兩邊除以3變形后，再加上1配方后，開(kāi)方即可求出解．
解：根據(jù)題意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，
開(kāi)方得：x﹣1=±，
解得：x=1±．
故答案為：1±．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題
5．【解析】按照配方法的一般步驟計(jì)算：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2﹣2x=4，
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用配方法解一元二次方程的步驟，解題的關(guān)鍵是牢記步驟，并能熟練運(yùn)用，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．
6．【解析】原式利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．
解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3
=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，
當(dāng)x=1，y=﹣時(shí)，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
7．【解析】對(duì)于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同時(shí)加上且減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．配成一個(gè)完全平方式與常數(shù)的和，利用完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到原代數(shù)式的最小值．
解：（1）正確
（2）能．過(guò)程如下：
x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+
∵（x﹣）2≥0，
所以x2﹣3x+4的最小值是．
點(diǎn)評(píng)：此題考查配方法的運(yùn)用，配方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法．不僅用于解方程，還可利用它解決某些代數(shù)式的最值問(wèn)題．它的一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是要配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．同時(shí)要理解完全平方式的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．
8．【解析】（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
則m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
則4﹣x2+2x的最大值為5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
9．【解析】先將原式變形為x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就可以求出最小值．
解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．
∵代數(shù)式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，
∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23
解得m=﹣2或m=
點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一個(gè)數(shù)的偶次冪為非負(fù)數(shù)的運(yùn)用．解答時(shí)配成完全平方式是關(guān)鍵．
10．【解析】①由完全平方式的最小值為0，得到x=1時(shí)，代數(shù)式的最大值為3；
②將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取﹣1，配方為完全平方式，根據(jù)完全平方式的最小值為0，即可得到代數(shù)式的最大值及此時(shí)x的值；
③設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)總長(zhǎng)度為16m，表示出平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，表示出花園的面積，整理后配方，利用完全平方式的最小值為0，即可得到面積的最大值及此時(shí)x的值．
解：①∵（x﹣1）2≥0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，（x﹣1）2的最小值為0，
則當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3的最大值為3；
②代數(shù)式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，
則當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+3的最大值為7；
③設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（16﹣2x）m，
∴花園的面積為x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
則當(dāng)邊長(zhǎng)為4米時(shí)，花園面積最大為32m2．
故答案為：①1；大；3；②2；大；7
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．