小學三角形教案

九年級數(shù)學競賽從三角形的內(nèi)切圓談起強化輔導講座。

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在用心的考慮自己的教案課件。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣接下來工作才會更上一層樓！有沒有好的范文是適合教案課件？小編特地為大家精心收集和整理了“九年級數(shù)學競賽從三角形的內(nèi)切圓談起強化輔導講座”，僅供您在工作和學習中參考。

注：設Rt△ABC的各邊長分別為a、b、c(斜邊)，運用切線長定理、面積等知識可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式：
(1)；
(2)．
請讀者給出證
【例題求解】
【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分相切于點D、E、F，若⊙O的半徑r＝2，則Rt△ABC的周長為．
思路點撥AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可．

【例2】如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(異于A、B)，過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，AC、BD相交于N點，連結(jié)ON，NP，下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP：③DPPC為定值；④FA為∠NPD的平分線，其中一定成立的是()
A．①②③B．②③④C．①③④D．①④
思路點撥本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識，注意基本輔助線的添出、基本圖形識別、等線段代換，推導出NP∥AD∥BC是解本例的關鍵．

【例3】如圖，已知∠ACP=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點的圓交AB于F，求證：F為△CDE的內(nèi)心．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
思路點撥連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線的交點，充分利用與圓有關的角，將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題的證明．

【例4】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結(jié)OE，并延長交AD的延長線于F．
(1)問∠BOZ能否為120°，并簡要說明理由；
(2)證明△AOF∽△EDF，且；
(3)求DF的長．

思路點撥分解出基本圖形，作出基本輔助線．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把計算與推理融合；(3)把相應線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關于DF的一元二次方程．
（范文資源網(wǎng) wWw.zY185.cOM）

注：如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應用廣泛的兩個性質(zhì)：
(1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切；
(2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切．
類似地，三角形三條中線的交點叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點叫三角形的垂心．外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應用．
【例5】如圖，已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC；△ACD、△BCD的角平分線的交點，求證：(1)O1O⊥CO2；(2)OC=O1O2．
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個直角三角形和原三角形相似，得對應角相等，所以通過證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相等．

學力訓練
1．如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長等于=cm．
2．如圖，在直角，坐標系中A、B的坐標分別為(3，0)、(0，4)，則Rt△ABO內(nèi)心的坐標是．
3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的⊙O與DC相切于E，則DC=．(云南省曲靖市中考題)

4．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于()
A．B．C．D．
(重慶市中考題)
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD為直徑的半圓O切AB于點E，這個梯形的面積為21cm2，周長為20cm，那么半圓O的半徑為()
A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm
6．如圖，△ABC中，內(nèi)切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點D、EF，則以下四個結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是()
A．點O是△DEF的外心B．∠AFE=(∠B+∠C)
C．∠BOC=90°+∠AD．∠DFE=90°一∠B
7．如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點分別為B、P，過C點的切線與AD交于點D，連結(jié)AO、DO．
(1)求證：△ABO∽△OCD；
(2)若AB、CD是關于x的方程的兩個實數(shù)根，且S△ABO+S△OCD=20，求m的值．

8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連結(jié)AD并延長，BC相交于點E．
(1)若BC=，CD=1，求⊙O的半徑；
(2)取BE的中點F，連結(jié)DF，求證：DF是⊙O的切線；
(3)過D點作DG⊥BC于G，OG與DG相交于點M，求證：DM＝GM．
9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1cm／秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2cm／秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．
(1)求⊙O的直徑；
(2)求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數(shù)關系式，并求當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCP的面積；
(3)是否存在某時刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(2002年煙臺市中考題)
10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為△ACD、△BCD的內(nèi)心，則OlO2=．
11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點，又PE⊥AB于點E，若BC=2，AC=3，則AEEB=．
12．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的()
A．內(nèi)心B．外心C．圓心D．重心
13．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點AB和BC相切于點P，和AB、AC分別交于點E，F(xiàn)，若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長為()
A．B．C．D．
14．如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果O為△ABC的內(nèi)心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為()
A．B．C．D．不能確定
(《學習報》公開賽試題)
15．如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB．在半圓上任取一點D，作DE⊥CD，交直線AB于點F，BF⊥AB，交線段AD的延長線于點F．
(1)設AD是x°的弧，并要使點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是；
(2)不論D點取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明．
16．如圖，△ABC的三邊滿足關系BC=(AB+AC)，O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，∠BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H．
求證：(1)AI=BD；(2)OI=AE．

17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點F，問EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論．

18．如圖，已知點P在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的AB(不含端點)上運動，PH⊥OA于H，△OPH的重心為G．
(1)當點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中有無長度保持不變的線段?如果有，請指出并求出其相應的長度；
(2)設PH=x，GP=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍；
(3)如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長．

相關知識

九年級數(shù)學《三角形的內(nèi)切圓》學案滬教版

教案課件是老師工作中的一部分，大家在著手準備教案課件了。將教案課件的工作計劃制定好，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的九年級數(shù)學《三角形的內(nèi)切圓》學案滬教版，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

九年級數(shù)學《三角形的內(nèi)切圓》學案滬教版

1、教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
(2)重點、難點分析
重點：三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì).因為它是三角形的重要概念之一.
難點：①難點是“接”與“切”的含義，學生容易混淆;②畫三角形內(nèi)切圓，學生不易畫好.
2、教學建議
本節(jié)內(nèi)容需要一個課時.
(1)在教學中，組織學生自己畫圖、類比、分析、深刻理解三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì);
(2)在教學中，類比“三角形外接圓的畫圖、概念、性質(zhì)”，開展活動式教學.
教學目標：
1、使學生了解尺規(guī)作的方法，理解三角形和多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形和圓的外切多邊形、三角形內(nèi)心的概念;
2、應用類比的數(shù)學思想方法研究內(nèi)切圓，逐步培養(yǎng)學生的研究問題能力;
3、激發(fā)學生動手、動腦主動參與課堂教學活動.
教學重點：
三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).
教學難點：
三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).
教學活動設計
(一）提出問題
1、提出問題：如圖，你能否在△ABC中畫出一個圓?畫出一個最大的圓?想一想，怎樣畫?
2、分析、研究問題：
讓學生動腦筋、想辦法，使學生認識作三角形內(nèi)切圓的實際意義.
3、解決問題：
例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切.
引導學生結(jié)合圖，寫出已知、求作，然后師生共同分析，尋找作法.
提出以下幾個問題進行討論：
①作圓的關鍵是什么?
②假設⊙I是所求作的圓，⊙I和三角形三邊都相切，圓心I應滿足什么條件?
③這樣的點I應在什么位置?
④圓心I確定后半徑如何找.
A層學生自己用直尺圓規(guī)準確作圖，并敘述作法;B層學生在老師指導下完成.
完成這個題目后，啟發(fā)學生得出如下結(jié)論：和三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作出一個.
(二)類比聯(lián)想，學習新知識.
1、概念：和三角形各邊都相切的圓叫做，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.
2、類比：
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部.
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三邊的距離相等;
(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.
3、概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.
4、概念理解：
引導學生理解及圓的外切三角形的概念，并與三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念相比較，以加深對這四個概念的理解.使學生弄清“內(nèi)”與“外”、“接”與“切”的含義.“接”與“切”是說明三角形的頂點和邊與圓的關系：三角形的頂點都在圓上，叫做“接”;三角形的邊都與圓相切叫做“切”.
(三）應用與反思
例2如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，點O是三角形的內(nèi)心.
求∠BOC的度數(shù)
分析：要求∠BOC的度數(shù)，只要求出∠OBC和∠0CB的度數(shù)之和就可，即求∠l十∠3的度數(shù).因為O是△ABC的內(nèi)心，所以OB和OC分別為∠ABC和∠BCA的平分線，于是有∠1十∠3=(∠ABC十∠ACB)，再由三角形的內(nèi)角和定理易求出∠BOC的度數(shù).
解：(引導學生分析，寫出解題過程)
例3如圖，△ABC中，E是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D
求證：DE=DB
分析：從條件想，E是內(nèi)心，則E在∠A的平分線上，同時也在∠ABC的平分線上，考慮連結(jié)BE，得出∠3=∠4.
從結(jié)論想，要證DE=DB，只要證明BDE為等腰三角形，同樣考慮到連結(jié)BE.于是得到下述法.
證明：連結(jié)BE.
E是△ABC的內(nèi)心
又∵∠1=∠2
∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠4+∠5
∴∠BED=∠EBD
∴DE=DB
練習分析作出已知的銳角三角形、直角三角形、鈍角，并說明三角形的內(nèi)心是否都在三角形內(nèi).
(四)小結(jié)
1.教師先向?qū)W生提出問題：這節(jié)課學習了哪些概念?怎樣作已知?學習時互該注意哪些問題?
2.學生回答的基礎上，歸納總結(jié)：
(1)學習了三角形內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念.
(2)利用作三角形的內(nèi)角平分線，任意兩條角平分線的交點就是內(nèi)切圓的圓心，交點到任意一邊的距離是圓的半徑.
(3)在學習有關概念時，應注意區(qū)別“內(nèi)”與“外”，“接”與“切”;還應注意“連結(jié)內(nèi)心和三角形頂點”這一輔助線的添加和應用.
(五)作業(yè)
教材P115習題中，A組1(3)，10，11，12題;A層學生多做B組3題.
探究活動
問題：如圖1，有一張四邊形ABCD紙片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°.
(1)要把該四邊形裁剪成一個面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心，若能請你度量出圓的半徑(精確到0.1cm);
(2)計算出最大的圓形紙片的半徑(要求精確值).
提示：(1)由條件可得AC為四邊形似的對稱軸，存在內(nèi)切圓，能用折疊的方法找出圓心：
如圖2，①以AC為軸對折;②對折∠ABC，折線交AC于O;③使折線過O，且EB與EA邊重合.則點O為所求圓的圓心，OE為半徑.
(2)如圖3，設內(nèi)切圓的半徑為r，則通過面積可得：6r+8r=48，∴r=.

數(shù)學競賽平面幾何講座：三角形的五心

教案課件是老師上課中很重要的一個課件，大家正在計劃自己的教案課件了。各行各業(yè)都在開始準備新的教案課件工作計劃了，未來工作才會更有干勁！你們知道多少范文適合教案課件？以下是小編為大家精心整理的“數(shù)學競賽平面幾何講座：三角形的五心”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第五講三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定理.

例1．過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作點P關于MN的對稱點P′.試證：P′點在△ABC外接圓上.

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP

=NC，故點M是△P′BP的外心，點

N是△P′PC的外心.有

∠BP′P=∠BMP=∠BAC，

∠PP′C=∠PNC=∠BAC.

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

從而，P′點與A，B，C共圓、即P′在△ABC外接圓上.

由于P′P平分∠BP′C，顯然還有

P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似.

分析：設O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六邊形

O1PO2QO3S后再由外

心性質(zhì)可知

∠PO1S=2∠A，

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.從而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

將△O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到△KSO3，易判斷△KSO1≌△O2PO1，同時可得△O1O2O3≌△O1KO3.

∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K

=(∠O2O1S+∠SO1K)

=(∠O2O1S+∠PO1O2)

=∠PO1S=∠A；

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

二、重心

三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每

條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便于解題.

例3．AD，BE，CF是△ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.

分析：設G為△ABC重心，直線PG與AB

，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別

作該直線的垂線，垂足為A′，C′，

D′，E′，F(xiàn)′.

易證AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，

∴EE′=DD′+FF′.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

兩邊各擴大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.

分析：將△ABC簡記為△，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為△′.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則△′就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差數(shù)列△∽△′.

若△ABC為正三角形，易證△∽△′.

不妨設a≥b≥c，有

CF=，

BE=，

AD=.

將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得

CF=，BE=，AD=.

∴CF:BE:AD=::

=a:b:c.

故有△∽△′.

(2)△∽△′a2，b2，c2成等差數(shù)列.

當△中a≥b≥c時，

△′中CF≥BE≥AD.

∵△∽△′，

∴＝()2.

據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=.

∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2

a2+c2=2b2.

三、垂心

三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.

例5．設A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為

△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置.

分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑

為R.由△A2A3A4知

=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；

由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.

易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，

故得H1H2A2A1.設H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關于M點成中心對稱.

同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設為Q，Q與O也關于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.

例6．H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的⊙H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.

求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.

分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設

BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外

接圓半徑為R，⊙H的半徑為r.

連HA1，AH交EF于M.

A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2

=r2+(AM2-MH2)，①

又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2

=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2

=cosAbc-AH2，②

而=2RAH2=4R2cos2A,

=2Ra2=4R2sin2A.

∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③

由①、②、③有

A=r2+bc-(4R2-a2)

=(a2+b2+c2)-4R2+r2.

同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，

=(a2+b2+c2)-4R2+r2.

故有AA1=BB1=CC1.

四、內(nèi)心

三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關系：

設I為△ABC的內(nèi)心，射線AI交△ABC外接圓于A′，則有A′I=A′B=A′C.換言之，點A′必是△IBC之外心(內(nèi)心的等量關系之逆同樣有用).

例7．ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取

△DAB，△ABC，△BCD，

△CDA的內(nèi)心O1，O2，O3，

O4.求證：O1O2O3O4為矩形.

(1986，中國數(shù)學奧林匹克集訓題)

證明見《中等數(shù)學》1992；4

例8．已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點P是△ABC之內(nèi)心.

分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當AB≠AC，怎樣證明呢？

如圖，顯然EF中點P、圓心Q，BC中點K都在∠BAC平分線上.易知AQ=.

∵QKAQ=MQQN，

∴QK=

==.

由Rt△EPQ知PQ=.

∴PK=PQ+QK=+=.

∴PK=BK.

利用內(nèi)心等量關系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心.

五、旁心

三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于

一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，

旁心還與三角形的半周長關系密切.

例9．在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.

式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周.

分析：設Rt△ABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

∵p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c)

=[(a+b)2-c2]

=ab；

(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c)

=[c2-(a-b)2]=ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①

觀察圖形，可得

ra=AF-AC=p-b，

rb=BG-BC=p-a，

rc=CK=p.

而r=(a+b-c)

=p-c.

∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及圖形易證.

例10．M是△ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是△AMC，△BMC，△ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在∠ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明：=.

(IMO-12)

分析：對任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′

=A′B′

=A′B′，

O′E=A′B′.

∴.

亦即有

=

==.

六、眾心共圓

這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.

例11．設在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點；

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.

分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE，

IF=EF=FA，

IB=AB=BC.

再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用不等式有：

BI+DI+FI≥2(IP+IQ+IS).

不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

∴AB+BC+CD+DE+EF+FA

=2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)

=AD+BE+CF.

I就是一點兩心.

例12．△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是△ACD的重心.證明OE丄CD.

分析：設AM為高亦為中線，取AC中點

F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設

CD交AM于G，G必為△ABC重心.

連GE，MF，MF交DC于K.易證：

DG:GK=DC:()DC=2:1.

∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.

易證OE丄CD.

例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE.

分析：輔助線如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K.

易證△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用內(nèi)心張角公式，有

∠AIB=90°+∠C=105°，

∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

∵∠AKB=30°+∠DAO

=30°+(∠BAC-∠BAO)

=30°+(∠BAC-60°)

=∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK，

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一條高.

同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.

由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14．銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距

離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.

求證：1d垂+2d外=3d重.

分析：這里用三角法.設△ABC外接圓

半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，

C.易知d外=OO1+OO2+OO3

=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①

∵AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，

同樣可得BH2CH3.

∴3d重=△ABC三條高的和

=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)②

∴=2，

∴HH1=cosCBH=2cosBcosC.

同樣可得HH2，HH3.

∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)③

欲證結(jié)論，觀察①、②、③，

須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.

練習題

1.I為△ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交△ABC外接圓于A′，

B′，C′.則AA′+BB′+CC′＞△ABC周長.

2.△T′的三邊分別等于△T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.

3.I為△ABC的內(nèi)心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求證：△O1O2O3與△ABC有公共的外心.(

4.AD為△ABC內(nèi)角平分線.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.則△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C＜90°，從AB上M點作CA，CB的垂線MP，MQ.H是△CPQ的垂心.當M是AB上動點時，求H的軌跡.(IMO-7)

6.△ABC的邊BC=(AB+AC)，取AB，AC中點M，N，G為重心，I為內(nèi)心.試證：過A，M，N三點的圓與直線GI相切.

7.銳角△ABC的垂心關于三邊的對稱點分別是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.

8.已知△ABC的三個旁心為I1，I2，I3.求證：△I1I2I3是銳角三角形.

9.AB，AC切⊙O于B，C，過OA與BC的交點M任作⊙O的弦EF.求證：(1)△AEF與△ABC有公共的內(nèi)心；(2)△AEF與△ABC有一個旁心重合.

九年級數(shù)學相似三角形

相似三角形專題復習

【課前熱身】

1．兩個相似三角形對應邊上中線的比等于3：2，則對應邊上的高的比為______，周長之比為________，面積之比為_________．

2．若兩個相似三角形的周長的比為4：5，且周長之和為45，則這兩個三角形的周長分別為__________．

3．如圖，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，則下列等式成立的是（）

A．B．

C．D．

4．在△ABC與△A′B′C′中，有下列條件：

（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．

如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△A′B′C′的共有多少組（）A．1B．2C．3D．4

【考點鏈接】

一、相似三角形的定義

三邊對應成_________，三個角對應________的兩個三角形叫做相似三角形．

二、相似三角形的判定方法

1.若DE∥BC（A型和X型）則______________．

2.射影定理：若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）

則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．

3.兩個角對應相等的兩個三角形__________．

4.兩邊對應成_________且夾角相等的兩個三角形相似．

5.三邊對應成比例的兩個三角形___________．

三、相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的對應邊_________，對應角________．

2.相似三角形的對應邊的比叫做________，一般用k表示．

3.相似三角形的對應角平分線，對應邊的________線，對應邊上的_______線的比等于_______比，周長之比也等于________比，面積比等于_________．

【典例精析】

例1如圖在△ABC中，AB=ACAD是中線，P是AD上一點，過點C作CF∥AB，延長BP交AC于點E，交CF與點F，試證明：BP=PEPF

例2如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

例3如圖,△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB＝0，點P從B點出發(fā)，沿BC方向以2m/s的速度移動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1m/s的速度移動。若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，經(jīng)過多少時間△CPQ與△CBA相似？

例4如圖，直線y=分別交x、y軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PB⊥x軸，B為垂足，S△ABP＝9

①求點P的坐標；

②設點R與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直線PB的右側(cè)。作RT⊥x軸，T為垂足，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標。

【中考演練】

1.2010，寧德）圖，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，則FC等于_____．

（2010，甘肅）在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則這棵樹的高度為______米.

2.（2010，黔東南）如圖，若為斜邊上的高，的面積與的面積比的值是（）

A.B.C.D.

3.（2010，寧夏）關于對位似圖形的表述，下列命題正確的是_________________．（只填序號）

①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．

4．如圖，BD、CE為△ABC的高，求證∠AED＝∠ACB．

5.（2010，肇慶）如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．

(1)求證：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的長．