小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案

圖形分割類問題中考復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案。

第34課時圖形分割類
【課標(biāo)要求】
近幾年中考試題中出現(xiàn)一些別具特色的幾何作圖題一圖形的分割與拼合，這類問題趣味性強(qiáng)，想象空間廣闊，一般沒有很復(fù)雜的計算，但卻需要較強(qiáng)的分析問題、探索問題的能力，對提高學(xué)生的思維能力是不無裨益的．
【知識要點】
1、利用平行的等底同高的性質(zhì)進(jìn)行等積變形。
2、利用全等形等積變形。
3、利用對稱性進(jìn)行圖形變形。
【典型例題】
【例1】（荊門2005）在△ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四邊形EBCF可以拼成平行四邊形EBCP，剪切線與拼圖如圖示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作設(shè)計，并在規(guī)定位置畫出圖示，
⑴在△ABC中，增加條件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿著＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切線與拼圖畫在圖示2的位置；
⑵在△ABC中，增加條件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿著＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切線與拼圖畫在圖示3的位置；
⑶在△ABC中，增加條件＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，沿著＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切線與拼圖畫在圖示4的位置
⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要確定剪切線，其操作過程（剪切線的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
然后，沿著剪切線一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切線與拼圖畫在圖示5的位置.

【例2】（本題滿分10分）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．如，平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．
（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有________；
（2）如圖1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．請你給出這個結(jié)論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由．

【課堂檢測】
1、能夠把面積分為相等的直線為好線我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連結(jié)OA、OC。顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE‖AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”。
（1）試說明直線AE是“好線”的理由；
（2）如下圖，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點，請作出經(jīng)過F點的“好線”，并對畫圖作適當(dāng)說明(不需要說明理由)

2．（本小題滿分12分）如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線．請你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點．

【課后作業(yè)】
1.探究規(guī)律：如圖2－6－4所示，已知：直線m∥n，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．
（1）請寫出圖2－6－4中，面積相等的各對三角形；
（2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論P(yáng)點移動到任何位置，總有________與△ABC的面積相等．理由是：_________________.

解決問題：如圖2－6－5所示，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖2－6－6所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（2－6－6中折線CDE）還保留著；張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多．請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積）．
（1）寫出設(shè)計方案．并畫出相應(yīng)的圖形；
（2）說明方案設(shè)計理由．

2.如圖1，△ABC中，AD為BC邊上的的中線，則S△ABD=S△ADC.
實踐探究
（1）在圖2中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點，則S陰和S矩形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；

（2）在圖3中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，則S陰和S平行四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；
（3）在圖4中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，則S陰和S四邊形ABCD之間滿足的關(guān)系式為；
解決問題：
（4）在圖5中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、BC、CD的中點，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個小三角形的面積和，即S1+S2+S3+S4=？

3．在圖14-1—14-5中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．
操作示例
當(dāng)2b＜a時，如圖14-1，在BA上選取點G，使BG＝b，連結(jié)FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構(gòu)成四邊形FGCH．
思考發(fā)現(xiàn)
小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△FAG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連結(jié)CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖14-1），過點F作FM⊥AE于點M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．
實踐探究
（1）正方形FGCH的面積是；（用含a，b的式子表示）
（2）類比圖14-1的剪拼方法，請你就圖14-2—圖14-4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．
聯(lián)想拓展
小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．
當(dāng)b＞a時，如圖14-5的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．

4．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形．為此，請你解答問題(1)．
(1)已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；
(2)在證明了該命題后，小穎發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所畫等腰三角形兩個底角的度數(shù)；
(3)接著，小穎又發(fā)現(xiàn)：直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如：直角三角形斜邊上的中線可把它分成兩個小等腰三角形．請你畫出兩個具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出三角形各內(nèi)角的度數(shù)．
說明：要求畫出的兩個三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．

相關(guān)閱讀

中考數(shù)學(xué)開放探索問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

教案課件是老師需要精心準(zhǔn)備的，到寫教案課件的時候了。在寫好了教案課件計劃后，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！有沒有好的范文是適合教案課件？以下是小編收集整理的“中考數(shù)學(xué)開放探索問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案”，希望能為您提供更多的參考。

第5課開放探索問題

第一部分講解部分

一、專題詮釋

開放探究型問題，可分為開放型問題和探究型問題兩類．

開放型問題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的，它是條件或結(jié)論給定不完全、答案不唯一的一類問題．這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學(xué)們分析、探索能力以及思維的發(fā)散性，但難度適中．根據(jù)其特征大致可分為：條件開放型、結(jié)論開放型、方法開放型和編制開放型等四類．

探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的一類問題．根據(jù)其特征大致可分為：條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存在性探究型等四類．

二、解題策略與解法精講

由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們在復(fù)習(xí)時，首先對于基礎(chǔ)知識一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：

1．利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．

2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．

3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．

4．類比猜想法．即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證．

以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用．

三、考點精講

（一）開放型問題

考點一：條件開放型：

條件開放題是指結(jié)論給定，條件未知或不全，需探求與結(jié)論相對應(yīng)的條件．解這種開放問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求．

例1：（2011江蘇淮安）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是.(寫出一種即可)

分析：已知兩組對邊相等，如果其對角線相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，進(jìn)而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四邊形ABCD是矩形．

解：若四邊形ABCD的對角線相等，

則由AB=DC，AD=BC可得．

△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，

所以四邊形ABCD的四個內(nèi)角相等分別等于90°即直角，

所以四邊形ABCD是矩形，

故答案為：對角線相等．

評注：此題屬開放型題，考查的是矩形的判定，根據(jù)矩形的判定，關(guān)鍵是是要得到四個內(nèi)角相等即直角．

考點二：結(jié)論開放型：

給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這些問題都是結(jié)論開放問題．這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進(jìn)行猜想、類比、聯(lián)想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍．

例2：（2011天津）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1），且滿足y隨x的增大而增大，則該一次函數(shù)的解析式可以為．

分析：先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1）可確定出b的值，再根據(jù)y隨x的增大而增大確定出k的符號即可．

解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k≠0），

∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1），

∴b=1，

∵y隨x的增大而增大，

∴k＞0，

故答案為y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函數(shù)）．

評注：本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，即一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y隨x的增大而增大，與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上．

考點三：條件和結(jié)論都開放的問題：

此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，因此必須認(rèn)真觀察與思考，將已知的信息集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結(jié)論，多方面、多角度、多層次探索條件和結(jié)論，并進(jìn)行證明或判斷．

例3：（2010玉溪）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，請?zhí)砑舆m當(dāng)條件后，構(gòu)造出一對全等的三角形，并說明理由．

分析：先連接BE，再過D作DF∥BE交BC于F，可構(gòu)造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四邊形，可得出兩個條件，再結(jié)合DE∥BF，BE∥DF，又可得一個平行四邊形，那么利用其性質(zhì)，可得DE=BF，結(jié)合AD=BC，等量減等量差相等，可證AE=CF，利用SAS可證三角形全等．

解：添加的條件是連接BE，過D作DF∥BE交BC于點F，構(gòu)造的全等三角形是△ABE與△CDF．理由：∵平行四邊形ABCD，AE=ED，

∴在△ABE與△CDF中，

AB=CD，

∠EAB=∠FCD，

又∵DE∥BF，DF∥BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∴DE=BF，

又AD=BC，

∴AD﹣DE=BC﹣BF，

即AE=CF，

∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它條件）

評注：本題利用了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、以及等量減等量差相等等知識．

考點四：編制開放型：

此類問題是指條件、結(jié)論、解題方法都不全或未知，而僅提供一種問題情境，需要我們補(bǔ)充條件，設(shè)計結(jié)論，尋求解法的一類題，它更具有開放性．

例4：（2010年江蘇鹽城中考題）某校九年級兩個班各為玉樹地震災(zāi)區(qū)捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人數(shù)比1班的人數(shù)少10%．請你根據(jù)上述信息，就這兩個班級的“人數(shù)”或“人均捐款”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程．

分析：本題的等量關(guān)系是：兩班捐款數(shù)之和為1800元；2班捐款數(shù)-1班捐款數(shù)=4元；1班人數(shù)=2班人數(shù)×90%，從而提問解答即可．

解：解法一：求兩個班人均捐款各多少元？

設(shè)1班人均捐款x元，則2班人均捐款（x+4）元，根據(jù)題意得

1800x90%=1800x+4

解得x=36經(jīng)檢驗x=36是原方程的根

∴x+4=40

答：1班人均捐36元，2班人均捐40元

解法二：求兩個班人數(shù)各多少人？

設(shè)1班有x人，則根據(jù)題意得

1800x+4=180090x%

解得x=50，經(jīng)檢驗x=50是原方程的根

∴90x%=45

答：1班有50人，2班有45人．

評注：對于此類編制開放型問題，是一類新型的開放型問題，它要求學(xué)生的思維較發(fā)散，寫出符合題意的正確答案即可，難度要求不大，但學(xué)生容易犯想當(dāng)然的錯誤，敘述不夠準(zhǔn)確，如單位的問題、符合實際等要求，在解題中應(yīng)該注意防范．

（二）探究型問題

考點五：動態(tài)探索型：

此類問題結(jié)論明確，而需探究發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目．

例5：（2011臨沂）如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角扳的一邊交CD于點F．另一邊交CB的延長線于點G．

（1）求證：EF=EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B，其他條件不變，若AB=a、BC=b，求的值．

分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性質(zhì)，可利用SAS證得Rt△FED≌Rt△GEB，則問題得證；

（2）首先點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，然后利用SAS證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；

（3）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解：（1）證明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，

∴Rt△FED≌Rt△GEB，

∴EF=EG；

（2）成立．

證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，

則EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

（3）解：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，

則∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD．

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，

∴，即，

∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

∴∠GEM=∠FEN，

∵∠GME=∠FNE=90°，

∴△GME∽△FNE，

∴，

∴．

評注：此題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

考點六：結(jié)論探究型：

此類問題給定條件但無明確結(jié)論或結(jié)論不惟一，而需探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目．

例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）．

（1）當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），求PC的長；

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長．

分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；

（2）tan∠PEF的值不變．過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比==2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；

（3）如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O1，O2，連接O1O2，線段O1O2即為線段EF的中點經(jīng)過的路線長，也就是△BPC的中位線．

解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

AP=1，CD=AB=2，則PB=，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴即，

∴PC=2；

（2）tan∠PEF的值不變．

理由：過F作FG⊥AD，垂足為G，

則四邊形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴==2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，

∴tan∠PEF的值不變；

（3）線段EF的中點經(jīng)過的路線長為．

評注：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系證明相似三角形．

考點七：規(guī)律探究型：

規(guī)律探索問題是指由幾個具體結(jié)論通過類比、猜想、推理等一系列的數(shù)學(xué)思維過程，來探求一般性結(jié)論的問題，解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以運用.

例7：（2011四川成都）設(shè),,,…,

設(shè)，則S＝_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．

分析：由

，求，得出一般規(guī)律．

解：

故答案為：

評注：本題考查了二次根式的化簡求值．關(guān)鍵是由Sn變形，得出一般規(guī)律，尋找抵消規(guī)律．

考點八：存在探索型：

此類問題在一定的條件下，需探究發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目．

例8：（2011遼寧大連）如圖15，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

分析：（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）若想求Q點坐標(biāo)，Q到MB的距離應(yīng)該等于P到MB的距離，所以Q點應(yīng)該在經(jīng)過P點且平行于BM的直線上，或者在這條直線關(guān)于BM對稱的直線上，因此，求出這兩條直線的解析式，其與拋物線的交點即為所求Q點；（3）設(shè)出R點坐標(biāo)，分別用其橫坐標(biāo)表示出△RPM與△RMB的面積，利用相等列出方程即可求出R點坐標(biāo)．

解：（1）

（2）∵∴P（1，4）

BC：，M（1，2）P（1，4）；PB：，

當(dāng)PQ∥BC時：

設(shè)PQ1：

∵P（1，4）在直線PQ上；

∴PQ1：

解得，

∴：（2，3）；

將PQ向下平移4個單位得到

解得，

∴：（，）；：（，）

（3）存在，設(shè)R的坐標(biāo)為（，）

∵P（1，4），M（1，2）

∴

∵解得，（舍）

∴當(dāng)時，

∴R（，2）

評注：求面積相等問題通常是利用過頂點的平行線完成；在表示面積問題時，對于邊不在特殊線上的通常要分割．

四、真題演練

1．（2011山東濰坊）一個y關(guān)于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過(2，1)點；②當(dāng)時．y隨x的增大而減小，這個函數(shù)解析式為_______________(寫出一個即可)

2．（2011山西）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件：___________

_______________________，可使它成為矩形．

3．（2011泰州）“一根彈簧原長10cm，在彈性限度內(nèi)最多可掛質(zhì)量為5kg的物體，掛上物體后彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比，，則彈簧的總長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=10+0.5x（0≤x≤5）．”

王剛同學(xué)在閱讀上面材料時發(fā)現(xiàn)部分內(nèi)容被墨跡污染，被污染的部分是確定函數(shù)關(guān)系式的一個條件，你認(rèn)為該條件可以是：（只需寫出1個）．

3．（

4．（2011廣西百色）已知矩形ABCD的對角線相交于點O，M、N分別是OD、OC上異于O、C、D的點．

（1）請你在下列條件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位線，④MN∥AB中任選一個添加條件（或添加一個你認(rèn)為更滿意的其他條件），使四邊形ABNM為等腰梯形，你添加的條件是．

（2）添加條件后，請證明四邊形ABNM是等腰梯形．

第二部分練習(xí)部分

1．（2011賀州）寫出一個正比例函數(shù)，使其圖象經(jīng)過第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．

分析：先設(shè)出此正比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限確定出k的符號，再寫出符合條件的正比例函數(shù)即可．

解答：解：

2．（2011湖南張家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC與△DEF相似，則需添加的一個條件是（寫出一種情況即可）．

分析：

解答：解：則需添加的一個條件是：BC：EF=2：1．

∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，

∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，

∵BC：EF=2：1．

∴△ABC∽△DEF．

故答案為：．

3．（2010江蘇連云港中考題）若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實數(shù)根，則m的值可以為___________．(任意給出一個符合條件的值即可)

4．（2011廣東湛江）如圖，點B，C，F(xiàn)，E在同直線上，∠1=∠2，BC=EF，∠1_______（填“是”或“不是”）∠2的對頂角，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，可以是_______（只需寫出一個）

5．（2011福建省漳州市，19,8分）如圖，∠B=∠D，請在不增加輔助線的情況下，添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE，并證明．

（1）添加的條件是；

（2）證明：

6．（2010浙江杭州中考題）給出下列命題：

命題1．點(1,1)是直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點;

命題2．點(2,4)是直線y＝2x與雙曲線y＝的一個交點;

命題3．點(3,9)是直線y＝3x與雙曲線y＝的一個交點;

……．

（1）請觀察上面命題，猜想出命題(是正整數(shù));

（2）證明你猜想的命題n是正確的．

7．（2011德州）●觀察計算

當(dāng)a=5，b=3時，與的大小關(guān)系是＞．

當(dāng)a=4，b=4時，與的大小關(guān)系是=．

●探究證明

如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=a，BD=b．

（1）分別用a，b表示線段OC，CD；

（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．

●歸納結(jié)論

根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：≥．

●實踐應(yīng)用

要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．

8．（2011浙江紹興）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．

在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖．試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況探索結(jié)論

當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）．

★“真題演練”參考答案★

1．【分析】本題的函數(shù)沒有指定是什么具體的函數(shù)，可以從一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)三方面考慮，只要符合條件①②即可．

【答案】符合題意的函數(shù)解析式可以是y=，y=-x+3，y=-x2+5等，（本題答案不唯一）

故答案為：y=，y=-x+3，y=-x2+5等．

2．【分析】：由有一個角是直角的平行四邊形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由對角線相等的平行四邊形是矩形．想到添加AC＝BD．

【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）

3．解：根據(jù)彈簧的總長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=10+0.5x（0≤x≤5）可以得到：

當(dāng)x=1時，彈簧總長為10.5cm，

當(dāng)x=2時，彈簧總長為11cm，…

∴每增加1千克重物彈簧伸長0.5cm，

故答案為：每增加1千克重物彈簧伸長0.5cm．

4．解：（1）選擇①DM=CN；

（2）證明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN

∴△AND≌△BCN，

∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，

∴

∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB

∴四邊形ABNM是等腰梯形．

★“練習(xí)部分”參考答案★

1．【分析】設(shè)此正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k≠0），

∵此正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，

∴k＜0，

∴符合條件的正比例函數(shù)解析式可以為：y=﹣x（答案不唯一）．

【答案】故答案為：y=﹣x（答案不唯一）．

2．【分析】因為兩三角形三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形就相似，從題目知道有兩組個對應(yīng)邊的比為2：1，所以第三組也滿足這個比例即可．

【答案】BC：EF=2：1

3．【分析】由于這個方程有實數(shù)根，因此⊿＝≥0，即m2≥12．

【答案】答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等

4．【分析】根據(jù)對頂角的意義可判斷∠1不是∠2的對頂角．要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，BC=EF，則只需補(bǔ)充AC=FD或∠BAC=∠FED都可，答案不唯一．

【答案】解：根據(jù)對頂角的意義可判斷∠1不是∠2的對頂角

故填：不是．

添加AC=FD或∠BAC=∠FED后可分別根據(jù)SAS、AAS判定△ABC≌△DEF，

故答案為：AC=FD，答案不唯一．5．解：（1）添加的條件是：AB=AD，答案不唯一；

（2）證明：在△ABC和△ADE中，

∠B=∠D，

AB=AD，

∠A=∠A，

∴△ABC≌△ADE．

6．(1)命題n；點(n,n2)是直線y=nx與雙曲線y=的一個交點(是正整數(shù))．

(2)把代入y=nx，左邊=n2，右邊=nn=n2，

∵左邊=右邊，∴點(n，n2)在直線上．

同理可證：點(n，n2)在雙曲線上，

∴點(n，n2)是直線y=nx與雙曲線y=的一個交點，命題正確．

7．解：●觀察計算：＞，=．

●探究證明：

（1）∵AB=AD+BD=2OC，

∴OC=.

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°．

∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD．

∴△ACD∽△CBD．（4分）

∴．

即CD2=ADBD=ab，

∴CD=．（5分）

（2）當(dāng)a=b時，OC=CD，=；

a≠b時，OC＞CD，＞．

●結(jié)論歸納：≥．

●實踐應(yīng)用

設(shè)長方形一邊長為x米，則另一邊長為米，設(shè)鏡框周長為l米，則=4.

當(dāng)x=，即x=1（米）時，鏡框周長最?。?/p>

此時四邊形為正方形時，周長最小為4米．

8．解：（1）故答案為：=．

（2）故答案為：=．

證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴AE=AF=EF，

∴AB﹣AE=AC﹣AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC，

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）答：CD的長是1或3．

中考數(shù)學(xué)新情境應(yīng)用問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

第二輪復(fù)習(xí)五新情境應(yīng)用問題
Ⅰ、綜合問題精講：
以現(xiàn)實生活問題為背景的應(yīng)用問題，是中考的熱點，這類問題取材新穎，立意巧妙，有利于對考生應(yīng)用能力、閱讀理解能力。問題轉(zhuǎn)化能力的考查，讓考生在變化的情境中解題，既沒有現(xiàn)成的模式可套用，也不可能靠知識的簡單重復(fù)來實現(xiàn)，更多的是需要思考和分析，新情境應(yīng)用問題有以下特點：（1）提供的背景材料新，提出的問題新；（2）注重考查閱讀理解能力，許多中考試題中涉及的數(shù)學(xué)知識并不難，但是讀懂和理解背景材料成了一道“關(guān)”；（3）注重考查問題的轉(zhuǎn)化能力．解應(yīng)用題的難點是能否將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這也是應(yīng)用能力的核心.
Ⅱ、典型例題剖析
【例1】如圖（8），在某海濱城市O附近海面有一股臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風(fēng)侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴(kuò)張．
(1)當(dāng)臺風(fēng)中心移動4小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；又臺風(fēng)中心移動t小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米.
(2)當(dāng)臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)，)．
解：(1)100；（2）；
⑶作于點H，可算得（千米），設(shè)經(jīng)過t小時時，臺風(fēng)中心從P移動到H，則，算得（小時），此時，受臺風(fēng)侵襲地區(qū)的圓的半徑為：（千米）＜141（千米）
∴城市O不會受到侵襲。
點撥：對于此類問題常常要構(gòu)造直角三角形．利用三角函數(shù)知識來解決，也可借助于方程．
【例2】如圖2－1－5所示，人民海關(guān)緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務(wù)時，發(fā)現(xiàn)在其所處位置O點的正北方向10海里外的A點有一涉嫌走私船只正以24海里／時的速度向正東方向航行，為迅速實施檢查，巡邏艇調(diào)整好航向，以26海里／時的速度追趕，在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問：
⑴需要幾小時才能追上(點B為追上時的位置)
⑵確定巡邏艇的追趕方向（精確到0．1°）．
解：設(shè)需要t小時才能追上，則AB=24t，OB=26t．
（l）在Rt△AOB中，OB2=OA2+AB2，
即（26t）2=102+（24t）2
解得t=±l，t=－1不合題意，舍去，t=l，
即需要1小時才能追上．
（2）在Rt△AOB中，因為sin∠AOB=ABOB=24t26t=1213≈0.9231，所以∠AOB≈67．4°，
即巡邏艇的追趕方向為北偏東67．4°．
點撥：幾何型應(yīng)用題是近幾年中考熱點，解此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確讀圖．
【例3】某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)6臺機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞?，F(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示。經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過34萬元。
⑴按該公司要求可以有幾種購買方案？
⑵若該公司購進(jìn)的6臺機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種方案？
解：（1）設(shè)購買甲種機(jī)器x臺，則購買乙種機(jī)器（6－x）臺。
由題意，得，
解這個不等式，得，即x可以取0、1、2三個值，
所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：
方案一：不購買甲種機(jī)器，購買乙種機(jī)器6臺；
方案二：購買甲種機(jī)器1臺，購買乙種機(jī)器5臺；
方案三：購買甲種機(jī)器2臺，購買乙種機(jī)器4臺；
（2）按方案一購買機(jī)器，所耗資金為30萬元，新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為360個；按方案二購買機(jī)器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元；，新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個；按方案三購買機(jī)器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元；新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個。因此，選擇方案二既能達(dá)到生產(chǎn)能力不低于380個的要求，又比方案三節(jié)約2萬元資金，故應(yīng)選擇方案二。
【例4】某家庭裝飾廚房需用480塊某品牌的同一種規(guī)格的瓷磚，裝飾材料商場出售的這種瓷磚有大、小兩種包裝，大包裝每包50片，價格為30元；小包裝每包30片，價格為20元，若大、小包裝均不拆開零售，那么怎樣制定購買方案才能使所付費用最少?
解：根據(jù)題意，可有三種購買方案；
方案一：只買大包裝，則需買包數(shù)為：；
由于不拆包零賣．所以需買10包．所付費用為30×10=300(元)
方案二：只買小包裝．則需買包數(shù)為：
所以需買16包，所付費用為16×20＝320(元)
方案三：既買大包裝．又買小包裝，并設(shè)買大包裝包．小包裝包．所需費用為W元。
則
∵，且為正整數(shù)，
∴9時，290(元)．
∴購買9包大包裝瓷磚和l包小包裝瓷磚時，所付費用最少．為290元。
答：購買9包大包裝瓷磚和l包小包裝瓷磚時，所付費用最少為290元。
點撥：數(shù)學(xué)知識來源于生活，服務(wù)于生活，對于實際問題，要富有創(chuàng)新精神和初中能力，借助于方程或不等式來求解。
【例5】如圖2-2-4所示，是某次運動會開幕式上點燃火炬時在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在有O、A兩個觀測點，分別測得目標(biāo)點火炬C的仰角分別為α，β，OA=2米，tanα=35,tanβ=23,位于點O正上方2米處的點D的發(fā)身裝置可以向目標(biāo)C同身一個火球點燃火炬，該火球運行地軌跡為一拋物線，當(dāng)火球運行到距地面最大高度20米時，相應(yīng)的水平距離為12米(圖中E點)。
⑴求火球運行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
⑵說明按⑴中軌跡運行的火球能否點燃目標(biāo)C？
解：⑴由題意可知：拋物線頂點坐標(biāo)為(12,20)，D點的坐標(biāo)為(0，2)，所以拋物線解析式為即
∵點D在拋物線上，所以2=
∴拋物線解析式為：
⑵過點C作CF丄x軸于F點，設(shè)CF=b，AF=a，則
解得：
則點C的坐標(biāo)為(20,12)，當(dāng)x=20時，函數(shù)值y=
所以能點燃目標(biāo)C．
點撥：本題是三角函數(shù)和拋物線的綜合應(yīng)用題，解本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．
Ⅲ、綜合鞏固練習(xí)：（100分90分鐘）
1.選擇題（每題3分，共30分）
1．某研究結(jié)果顯示，由父母的身高預(yù)測子女身高的公式為：若父親的身高為a米，母親的身高為b米，則兒子成年后的身高約為a+b2×1．08米，女兒成年后身高約為0.923a+b2米，初一女學(xué)生趙楠的父親身高為1．75米，母親身高為1．62米，請同學(xué)們根據(jù)公式預(yù)測一下趙楠成年后的身高約為（）
A．1．65米B．1．62米C．1．75米D．l．60米
2．小亮同學(xué)想在房子附近開辟一塊綠化場地，現(xiàn)共有。米長的籬笆材料，他設(shè)計了兩種方案，一種是圍成正方形的場地，另一種是圍成圓形的場地，那么選用哪一種方案圍成場地的面積較大（）
A、圍成正方形B．圍成圓形C、兩者一樣大D．不能確定
3、將一張矩形白紙對折，再沿著與折痕方向平行的方向反復(fù)對折，問經(jīng)過n（1≤n≤7）次后，將紙展開共可得到的折痕條數(shù)為（）
A、2n－1B．2nC、2n-1D．2n
4、在昆明“世博會”期間，為方便游客參觀，鐵道部門臨時加開了南寧至昆明的直達(dá)列車．已知南寧至昆明的路程為828km，普快列車與直快列車由昆明到南寧時，直快列車平均速度是普快的1.5倍，若直快列車比普快列車晚出發(fā)2h而先到4h，求兩列車的平均速度分別是多少？設(shè)普快列車的速度為x
Km/h，則直快列車的速度為1．5xkm／h．依題意，所列方程正確的是（）
；
；
5、某公司市場營銷部的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2-2-5所示，由圖給出息可知，營銷人員沒有銷售時的收入是（）
A．310元B．300元C．290元D．280元
6．小美開了一家服裝店，有一次去批發(fā)市場進(jìn)貨，發(fā)現(xiàn)一款牛仔褲，預(yù)想能暢銷，就用4000元購買了一個批發(fā)商的所有這種褲子，還想買二倍數(shù)量的這種牛仔褲，又到另一個批發(fā)商處用8800元購進(jìn)，只是單價比前面購進(jìn)的貴5元．回來后小美按每件89元銷售，銷路很好，最后剩下10件，按七五折銷售，很快售完，則小美這筆生意盈利（）
A．8335元；B．8337．5元；C．8340元；D．8342．5元
7．某產(chǎn)品的生產(chǎn)流水線每小時可生產(chǎn)100件產(chǎn)品，生產(chǎn)前無產(chǎn)品積壓，生產(chǎn)3小時后安排工人裝箱，若每小時裝產(chǎn)品150件．未裝箱的產(chǎn)品數(shù)量y是時間t的函數(shù)，那么這個函數(shù)的大致圖象（如圖2－2－6所示）只能是（）
8．60名初三學(xué)生在畢業(yè)典禮晚會上，男女生各自相互握手道別已知男生比女生多2人，班長是一名女生，她與所有男生握過手．那么在這次晚會上，全班學(xué)生共握手的次數(shù)為（）
A．1770B．902C．899D．886
9．隨著通訊市場競爭日異激烈，某通訊公司的手機(jī)市話收費標(biāo)拍每分鐘降低了a元后，再次下調(diào)了25％，現(xiàn)在的收費標(biāo)準(zhǔn)是每分鐘b元，則原收費標(biāo)準(zhǔn)每分鐘為（）
A．；B．；C．；D．
10某公司員工分別住在A、B、C三個住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，位置如2－2－7所示，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個?？奎c，為使所有員工步行到停靠點的路程之和最小，那么停靠點的位置應(yīng)設(shè)在（）
A．A區(qū)B．B區(qū)C．C區(qū)D．A、B兩區(qū)之間
二、填空題（每題3分，共15分）
11經(jīng)測算，某林場現(xiàn)有生長著的木材存量為a立方米,已知木材生長的年增長率為25％，為滿足生產(chǎn)、生活的需要，該林場每年需采伐加工x立方米木材．
⑴用含a與x的代數(shù)式表示一年后該林場的木材存量為_______立方米；
⑵用含a與x的代數(shù)式表示二年后該林場的木材存量為_______立方米；
⑶若條件中的a=122萬，要保證三年后該林場的木材存量至少達(dá)到1.5a立方米，則該林場每年采伐加工的木材最多是__________立方米．
12有一群猴子，在小樹林中玩耍，總數(shù)的8的平方只猴子在歡樂地蹦跳，還有12只猴子愉快地啼叫，則小樹林中的猴子總數(shù)為_______只．
131平方千米的土地，一年內(nèi)從太陽得到的能量相當(dāng)于燃燒1.3×105噸煤所產(chǎn)生的能量．已知，我國西部的廣大地區(qū)約有6．4×106平方千米的廣闊面積，那么，我國西部地區(qū)一年內(nèi)從太陽得到的能量相當(dāng)于燃燒__________噸煤所產(chǎn)生的能量．
14某小區(qū)規(guī)劃在一個長40米，寬26米的矩形場地上修建三條同樣寬的兩路，使其中兩條與短邊平行，另一條與長邊平行，其余部分種草．若使每塊草坪的面積都是144平方米，則兩路寬_________米．
15某居民小區(qū)按照分期付款形式福利分房，小明家購得一套現(xiàn)價為120000元的住房，購房時首期（第一年）付款30000元，從第二年起，以后每年應(yīng)付的房款為5000元與上一年剩余欠款的利息之和，設(shè)剩余欠款的年利率為0．4％，若第x年小明家交房款y元，則y與x的函數(shù)解析式為__________．
三、解答題（16～20題各9分，21題10分，共55分）
16.某公司欲招聘甲、乙、丙三個工種的工人，這三個工種每人的月工資分別為800元、1000元、1500元．已知甲、乙兩工種合計需聘30人，乙、丙兩種工種合計需聘20人，且甲工種的人數(shù)不少于乙工種人數(shù)的2倍，丙工種人數(shù)不少于12人．問甲、乙、兩三個工種各招聘多少人，可使每月所付的工資總額最少？

17.如圖2－2－8所示，大江的一側(cè)有甲、乙兩個工廠，它們都有垂直于江邊的小路，長度分別為m千米及n千米，設(shè)兩條小路相距l(xiāng)千米，現(xiàn)在要在江邊建立一個抽水站，把水送到甲、乙兩廠去，欲使供水管路最短．抽水站應(yīng)建在哪里？

18.某商場有一座自下向上運動著的電動扶梯，李明到商場買東西，他從電動扶梯底部走到頂，共走了75級，而當(dāng)他買完東西向下走時，他的行走速度（以單位時間走多少級計算）是上行時速度的3倍．結(jié)果他走了150級到達(dá)底部，那么這個電動扶梯露在外面能夠看到的有多少級？
19.如圖2－2－9所示：這是某防空部隊進(jìn)行射擊訓(xùn)練時在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在地面O、A兩個觀測點測得空中固定目標(biāo)的仰角分別為α和β，OA=1千米，tanα=928,tanβ=38,于O點正上方53km的D點處的直升飛機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運行達(dá)到距地面最大高度3km時，相應(yīng)的水平距離為4km(即圖中E點).
⑴若導(dǎo)彈運行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式；
⑵說明問）中軌道運行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C的理由．

21.某園林門票每張10元，只供一次使用，考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多游客，該園林除保留原有的售票方法外，還推出一種“購個人年票”的售票方法（個人年票從購買之日起，可供持票者使用一年八年票分A、B、C三類；A類年票每張120元，持票者進(jìn)人園林時無需再購買門票出類年票每張60元，持票者進(jìn)入園林時，需再購買門票，每次2元幾類年票每張440元，持票者進(jìn)入該園林時，需再購買門票，每次3元．
⑴如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進(jìn)人該園林的次數(shù)最多的購票方式；
⑵求一年中進(jìn)人該園林至少超過多少次時，購買A類票比較合算．

21.閱讀下列材料：
十六大提出全面建設(shè)小康社會，國際上常用恩格爾系數(shù)（記作n）來衡量一個國家和地區(qū)人民生活水平的狀況，它的計算公式為：
n=
各類家庭的恩格爾系數(shù)如下表所示：
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
小明對我市一個鄉(xiāng)的農(nóng)民家庭進(jìn)行抽樣調(diào)查，從1998年至2003年間，該鄉(xiāng)每戶家庭消費支出總額每年平均增加500元；其中食品消費支出總額平均每年增加200元．1998年該鄉(xiāng)農(nóng)民家庭平均剛達(dá)到溫飽水平，已知該年每戶家庭消費支出總額平均為8000元．
⑴1998年該鄉(xiāng)平均每戶家庭食品消費支出總額為多少元？
⑵設(shè)從1998年起m年后該鄉(xiāng)平均每戶的恩格爾系數(shù)nm(m為正整數(shù))，請用m的代數(shù)式表示該鄉(xiāng)平均每戶當(dāng)年恩格爾系數(shù)nm，則并利用這個公式計算2004年該鄉(xiāng)平均每戶以恩格爾系數(shù)（百分號前保留整數(shù)）
⑶按這樣的發(fā)展，該鄉(xiāng)農(nóng)民能否實現(xiàn)十六大提出的2020年我國全面進(jìn)人小康社會的目標(biāo)？

中考數(shù)學(xué)歸納猜想型問題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

2012年中考復(fù)習(xí)二輪材料

歸納猜想型問題

一．專題詮釋

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實情況相吻合，必要時可以進(jìn)行驗證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實際意義。

二．解題策略和解法精講

歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點。

三．考點精講

考點一：猜想數(shù)式規(guī)律

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。

例1．（2011云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)律排成x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5…則排在第六個位置的整式為．

【分析】符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時，單項式為正號，n為偶數(shù)時，符號為負(fù)號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第n個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個對應(yīng)的指數(shù)是n．

【解答】根據(jù)分析的規(guī)律，得：第六個位置的整式為：﹣26x6=﹣32x6．

故答案為：﹣32x6．

【評注】此題考查的知識點是單項式，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．

例2．（2011山東濟(jì)寧）觀察下面的變形規(guī)律：

＝1－；＝－；＝－；……

解答下面的問題：

（1）若n為正整數(shù)，請你猜想＝；

（2）證明你猜想的結(jié)論；

（3）求和：＋＋＋…＋.

【分析】（1）根據(jù)的定義規(guī)則，可知，，，．則有．

（2）觀察數(shù)表可知，第1問中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發(fā)現(xiàn)．

【解答】（1）

（2）證明：－＝－＝＝

（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝

【評注】歸納猜想題，提供的信息是一種規(guī)律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開發(fā)，一般只要注重觀察數(shù)字（式）變化規(guī)律，經(jīng)歸納便可猜想出結(jié)論．本題屬于典型的開放性探究題，其中的分?jǐn)?shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差1，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。問題設(shè)置層次感較強(qiáng)，遵循了從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律．從培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓(xùn)練思維的好題．

考點二：猜想圖形規(guī)律

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來，再對所列式進(jìn)行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。

例1．（2011重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，…則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）

A、55B、42C、41D、29

【分析】規(guī)律的歸納：通過觀察圖形可以看到每轉(zhuǎn)動4次后便可重合，即4次一個循環(huán)，10÷4＝2…2，所以應(yīng)和圖②相同．

【解答】∵圖②平行四邊形有5個=1+2+2，

圖③平行四邊形有11個=1+2+3+2+3，

圖④平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴圖⑥的平行四邊形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．

故選C．

【評注】本題是規(guī)律的歸納題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題歸納出規(guī)律，然后套用題目提供的對應(yīng)關(guān)系解決問題，具有一定的區(qū)分度．根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．

例2．（2011浙江舟山）一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）

A、2010B、2011C、2012D、2013

【分析】該紙鏈?zhǔn)?的倍數(shù)，中間截去的是剩下3+5n，從選項中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．

【解答】由題意設(shè)被截去部分為5n+2+1=5n+3，從其選項中看，故選D．

【評注】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．

考點三：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問題時，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。

例1．（2011江西南昌，25，10分）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.

活動一：

如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒.

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)AA1=A1A2=A2A3=1.

①=度；

②若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.

圖甲

活動二：

如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)向右擺放了3根小棒，則=，=，=；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

圖乙

【分析】（1）顯而易見，能。

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴，∴a3==(+1)2.

an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【解答】（1）能

（2）①22.5°

②an=(+1)n-1.

(3)

(4)由題意得，∴15°＜≤18°.

【評注】這是一道典型的歸納猜想型問題，以物理學(xué)中反射的知識作為命題載體，而三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解決問題的主干數(shù)學(xué)知識。

例2．（2011浙江衢州）是一張等腰直角三角形紙板，.

要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由.

圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去…則第10次剪取時，.

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.

【分析】解決問題的關(guān)鍵看內(nèi)接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上，通過對例題的分析，直角三角形的內(nèi)接正方形有兩種，比較兩者的大小，可知，直角邊上的內(nèi)接正方形的邊長比斜邊上的內(nèi)接正方形的邊長大。

【解答】(1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設(shè)，則由題意，得

又

甲種剪法所得的正方形的面積更大

說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為的中點，

解法2：如圖甲，由題意得

如圖乙，設(shè)

甲種剪法所得的正方形的面積更大

(2)

(3)

(3)解法1：探索規(guī)律可知：‘

剩余三角形的面積和為：

解法2：由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為

第二次剪取后剩余三角形面積和為

第三次剪取后剩余三角形面積和為

……

第十次剪取后剩余三角形面積和為

【評注】類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種數(shù)學(xué)方法，它可以使一些數(shù)學(xué)問題簡單化，也可以使我們的思維更加廣闊。數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)形式是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求在教學(xué)過程中，有目的地進(jìn)行思維訓(xùn)練，通過思維類比，不斷在解決問題中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會得到相應(yīng)的提高。

考點四：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負(fù)號要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。

例1．（2010河北）將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1．在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是

A．6B．5C．3D．2

【分析】不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來。如右圖所示。

前三次變換過程為下圖所示：

可以發(fā)現(xiàn)，三次變換可還原成初始狀態(tài)。十次意味著三輪還原后又變換了一次，所以狀態(tài)為上圖所示，骰子朝上一面的點數(shù)是5。

【解答】B。

【評注】歷年以“骰子”形式出現(xiàn)的中考題不在少數(shù)。本題以考查學(xué)生空間想象能力為出發(fā)點，將空間轉(zhuǎn)化融入到正方體的旋轉(zhuǎn)中。正方體表面展開圖識別對面本不難，但這樣一來難度陡然上升。三次變換循環(huán)的規(guī)律也要煞費周折。有點動手操作題的味道。題目呈現(xiàn)方式靈活，考查形式新穎，使日常熟悉的東西平中見奇。要求考生有很強(qiáng)的空間感，給平時靠死記硬背得分的同學(xué)一個下馬威，也給教學(xué)中不重視動手探究的老師敲響了警鐘。

例2.（2011湖南邵陽）數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示了一道試題：

如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。

（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補(bǔ)充完整。

證明：在AB上截取EA=MC，連結(jié)EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°?！?/p>

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM為等邊三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵_(dá)_________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是∠D1C1P1的平分線上一點，則當(dāng)∠A1M1N1=90°時，結(jié)論A1M1=M1N1是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）

（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請你猜想：當(dāng)∠AnMnNn=______°時，結(jié)論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

【分析】證明線段相等，三角形全等是一種重要的方法。根據(jù)題目條件，結(jié)合圖形，對應(yīng)邊角還是不難找的。關(guān)鍵是到正方形、正多邊形，哪些條件變了，哪些沒變。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）結(jié)論成立；

（3）。

【評注】三角形全等的判定是初中數(shù)學(xué)中的重點知識，第一問明顯考查“角邊角”方法的條件尋找。而從三角形到正方形的變化，抓住不變的東西，透視問題的本質(zhì)，也不難得到正確答案。再到正多邊形，是一個質(zhì)的飛躍。在這道題中，先探討簡單情景下存在的某個結(jié)論，然后進(jìn)一步推廣到一般情況下，原來結(jié)論是否成立，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，難度不算大，具有一定的區(qū)分度．

四．真題演練

1.（2011四川成都）設(shè),,,…,

設(shè)，則S=_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．

2.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個圖形有個小圓.（用含n的代數(shù)式表示）

3．（2011河北）如圖9，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數(shù)字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”.

如：小宇在編號為3的頂點時，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達(dá)編號為1的頂點；然后從1→2為第二次“移位”.

若小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”后，則他所處頂點的編號是____________.

4.（2010四川內(nèi)江）閱讀理解：

我們知道，任意兩點關(guān)于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對稱中心的坐標(biāo)為（x1＋x22，y1＋y22）.

觀察應(yīng)用：

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點P1(0，－1)、P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標(biāo)為；

（2）另取兩點B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一電子青蛙從點P1處開始依次關(guān)于點A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P1關(guān)于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關(guān)于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關(guān)于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關(guān)于點A的對稱點P5處，…．則P3、P8的坐標(biāo)分別為，;

拓展延伸：

（3）求出點P2012的坐標(biāo)，并直接寫出在x軸上與點P2012、點C構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo).

答案：

1.．

==

=

∴S=+++…+.

接下去利用拆項法即可求和．

2.或

3.根據(jù)“移位”的特點，然后根據(jù)例子尋找規(guī)律，從而得出結(jié)論．

∵小宇在編號為3的頂點上時，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時他到達(dá)編號為1的頂點；然后從1→2為第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五個頂點五次移位為一個循環(huán)返回頂點3，

同理可得：小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”，即連續(xù)循環(huán)兩次，故仍回到頂點3．

故答案為：3．

4.設(shè)A、P3、P4、…、Pn點的坐標(biāo)依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且為正整數(shù)).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x＝0＋22＝1，y＝－1＋32＝1，

∴A（1，1）

（2）∵點P3與P2關(guān)于點B成中心對稱，且B(－1.6，2.1),

∴2＋x32＝－1.6，3＋y32＝2.1，

解得x3＝－5.2，y3＝1.2，

∴P3(－5.2，1.2).

∵點P4與P3關(guān)于點C成中心對稱，且C(－1，0),

∴－5.2＋x42＝－1，1.2＋y32＝0，

解得x4＝3.2，y4＝－1.2，

∴P4(3.2，－1.2).

同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8(2,3)…

∴P7的坐標(biāo)和P1的坐標(biāo)相同，P8的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6為周期循環(huán)，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐標(biāo)與P2的坐標(biāo)相同，為P2012(2，3);

在x軸上與點P2012、點C構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo)為

（－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分練習(xí)部分

1.（2011湖南常德）先找規(guī)律，再填數(shù)：

2.（2011四川內(nèi)江）同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為12+22+32+…+n2．但n為100時，應(yīng)如何計算正方形的具體個數(shù)呢?下面我們就一起來探究并解決這個問題．首先，通過探究我們已經(jīng)知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)時，我們可以這樣做：

(1)觀察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)

12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3

=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+

=(1+2+3+4)+()

……

(2)歸納結(jié)論：

12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n

=()+

=+

=×

(3)實踐應(yīng)用：

通過以上探究過程，我們就可以算出當(dāng)n為100時，正方形網(wǎng)格中正方形的總個數(shù)是．

3.（2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第（是大于0的整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．

4.（2011廣東東莞）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為.

5．（2011廣東汕頭）如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.

（1）表中第8行的最后一個數(shù)是，它是自然數(shù)的平方，第8行共有個數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是，最后一個數(shù)是，第n行共有個數(shù)；

（3）求第n行各數(shù)之和．

6.（2011四川涼山）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù)等等。

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式。

（2）利用上面的規(guī)律計算：

7.（2011江蘇南通）如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線y＝33x相切．設(shè)三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3，則當(dāng)r1＝1時，r3＝．

8.（2010年湖北恩施）(1)計算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C，求OA的長（用含的代數(shù)式表示）.

（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.

（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數(shù)最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）

答案：

1.

2.（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4

1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n

n(n+1)(n—1)

n(n+1)(2n+1)

3.

4.

5.（1）64，8，15；

（2），，；

（3）第2行各數(shù)之和等于3×3；第3行各數(shù)之和等于5×7；第4行各數(shù)之和等于7×7-13；類似的，第n行各數(shù)之和等于=.

6.⑴

⑵原式=

7.設(shè)直線y＝33x與三個半圓分別切于A，

B，C，作AEX軸于E，則在RtAEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。則。同理，。

8.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

3．方案二裝運鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1.（1）

=1260

2.根據(jù)如圖所示的運算程序，分情況列出算式，當(dāng)x為偶數(shù)時，結(jié)果為；當(dāng)x為奇數(shù)時，結(jié)果為，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為12，第三次輸出的結(jié)果為6，第四次輸出的結(jié)果為3，第五次輸出的結(jié)果為3，以后每次輸出的結(jié)果都是3．所以選擇B。

3.圖案是一圈一圈的。可以根據(jù)每圈中棋子的個數(shù)得出規(guī)律。第1個圖案需要7＝1＋6枚棋子，第2個圖案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3個圖案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此規(guī)律可得第6個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×＝枚棋子。所以，擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子．

4.正△A1B1C1的面積，第二個正三角形的面積是前一個正三角形面積的四分之一，第8個正△A8B8C8的面積是第一個正方形面積的，所以，第8個正△A8B8C8的面積是，選擇C。

5.當(dāng)OAn與軸正半軸重合時，度數(shù)為360m＋90是10的倍數(shù)，從2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必須是8的倍數(shù)或是8的倍數(shù)多4，當(dāng)m為1，2，3時，無解，當(dāng)m為4時，360m＋90＝1530，符合題意。故答案選B。

7.(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，

∴OO=OO=OO=a

又∵OA=OA

∴OA⊥OO

∴OA=

=

（2）=

=

4．方案二裝運鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.

根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，

設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得

解得

∵為正整數(shù)∴=35

鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）

4.（2010年浙江紹興中考題）(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,

CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的長.

(3)已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)如圖2,過點A作AM//GH交BC于M，

過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n。