一元二次方程高中教案

用一元二次方程解決幾何圖形問題第3課時學案。

第3課時用一元二次方程解決幾何圖形問題
出示目標
1.能根據具體問題中的數(shù)量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型.并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理.
2.列一元二次方程解有關特殊圖形問題的應用題.
預習導學
自學指導閱讀教材第20至21頁探究3，完成預習內容.
知識探究
如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)
分析：封面的長寬之比是27∶21=9∶7，中央的長方形的長寬之比也應是9∶7，若設中央的長方形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是(27-9a)∶(21-7a).
怎樣設未知數(shù)可以更簡單的解決上面的問題？請你試一試.
自學反饋
要為一幅長29cm，寬22cm的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應是多少厘米？
解：設鏡框邊的寬度為xcm，則有(29+2x)(22+2x)=(14+1)×(29×22)，即4x2+102x-159.5=0，
解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).
答：鏡框邊的寬度應是1.48cm.
本題和上題一樣，利用矩形的面積公式作為相等關系列方程.
合作探究
活動1小組討論
例如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40米、寬為26米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積都是144m2，求馬路的寬.

解：假設三條馬路修在如圖所示位置.
設馬路寬為x，則有(40-2x)(26-x)=144×6，化簡，得:x2-46x+88=0，解得：x1=2，x2=44，由題意：40-2x0，26-x0，則x20.故x2=44不合題意，應舍去，∴x=2.
答：馬路的寬為2m.
這類修路問題，通常采用平移方法，使剩余部分為一完整矩形.
活動2跟蹤訓練
1.如圖，要設計一幅寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影部分)，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度(精確到0.1cm).
解：設橫彩條的寬度為3xcm，則豎彩條的寬度為2xcm.根據題意，
得(30-4x)(20-6x)=（1-）×20×30.解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合題意，舍去).
故3x=1.8，2x=1.2.
答：橫彩條寬為1.8cm，豎彩條寬為1.2cm.
2.用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.
(1)求此長方形的寬是多少？
(2)能圍成一個面積為101cm2的長方形嗎？如能，說明圍法.
(3)若設圍成一個長方形的面積為S(cm2)，長方形的寬為x(cm)，求S與x的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時，S的值最大？最大面積為多少？
解：(1)設此長方形的寬為xcm，則長為(20-x)cm.根據題意，得x(20-x)=75.
解得：x1=5，x2=15(舍去).
答：此長方形的寬是5cm.
(2)不能.由x(20-x)=101，即x2-20x+101=0，知Δ=202-4×101=-40，方程無解，故不能圍成一個面積為101cm2的長方形.
(3)S=x(20-x)=-x2+20x.由S=-x2+20x=-(x-10)2+100知當x=10時，S的值最大，最大面積為100cm2.
怎樣解決(2)中的能與不能的問題；用配方法解決第(3)問.
活動3課堂小結
用一元二次方程解決的特殊圖形問題時，通常要先畫出圖形，利用圖形的面積找相等關系列方程.
當堂訓練
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相關知識

用一元二次方程解決問題導學案

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4.3用一元二次方程解決問題（1）

班級姓名學號

學習目標

1.進一步理解方程是刻畫客觀世界的有效模型，

2.通過對實際問題的決實際問題的過程，知道解應用題的一般步驟和關鍵所在

學習重點：認識不等式

學習難點：文字語言轉化為數(shù)學不等式

教學過程

一、情境引入：

圍繞長方形公園的柵欄長280m.已知該公園的面積為4800m2.求這個公園的長與寬.

二、探究學習：

1．嘗試：

通常用一元一次方程解決實際問題要經歷怎樣的過程？

2．概括總結．

用方程解決實際問題的一般步驟為：找相等關系；設未知數(shù)，列方程，解方程，檢驗，答題。

3.典型例題：

例1、我社組團去龍灣風景區(qū)旅游，收費標準為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元，如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10元，但人均旅游費用不得低于今為500元。

甲公司分批組織員工到龍灣風景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？

例2、建造一個池底為正方形、深度為2米的長方體無蓋水池，池壁的造價為100元/平方米

池底的造價為200元/平方米，總造價為6400元，求正方形池底的長。

例3、兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)。

4.鞏固練習：

（1）在三位數(shù)345中，3，4，5是這個三位數(shù)的什么？

（2）如果a,b,c分別表示百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字，這個三位數(shù)能不能寫成abc形式？為什么？

（3）有一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是8，把這個兩位數(shù)的數(shù)字交換位置后所得的數(shù)乘以原來的數(shù)就得到1855，求原來的兩位數(shù)。

（4）已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，則這兩個是

（5）求x:(x-1)=(x+2):3中的x.

（6）三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘后，再求和，得362，求這三個數(shù)。

三、歸納總結：

1、列一元二次方程解決實際問題的一般步驟.

2、解的取舍情況.

4.3用一元二次方程解決問題（1）

【課后作業(yè)】

班級姓名學號

1、某電視機廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機的成本降低36%,若每年下降的百分數(shù)相同,則這個百分數(shù)為（）

A、10%B、20%C、120%D、180%

2、若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們的和是()

A、±15B、15C、-15D、11

3、一種藥品經過兩次降價后,每盒的價格由原來的60元降至48.6元,那么平均每次降價的百分率是。

4、某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)”活動三年來，接受科技培訓的人員累計達95萬人次，其中第一年培訓了20萬人次。設每年接受科技培訓的人次的平均增長率都為x，根據題意列出的方程是___________。

5、西瓜經營戶以2元/kg的價格購進一批小型西瓜，以3元/kg的價格出售，每天可售出200kg，為了促銷，該經營戶決定降價銷售，經調查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經營戶要想每天盈利潤200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？

6、如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為a為15米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。

（1）如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？

（2）能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由。

用一元二次方程解決實際問題

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28.3用一元二次方程解決實際問題

教學目的知識技能使學生會用列一元二次方程的方法解決有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

數(shù)學思考提高將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力以及用數(shù)學的意識，滲透轉化的思想、方程的思想及數(shù)形結合的思想.

解決問題通過列一元二次方程的方法解決日常生活及生產實際中遇到的有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

情感態(tài)度通過探究性學習,抓住問題的關鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題的簡潔性的數(shù)學美.

教學難點審題，從文字語言中挖掘有價值的信息.

知識重點會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

教學過程設計意圖

教

學

過

程

問題一：列方程解應用題的一般步驟？

師生共同回憶

列方程解應用題的步驟：

（1）審題；（2）設未知數(shù)；

（3）列方程；（4）求解；

（5）檢驗；（6）答.

問題二：矩形的周長和面積？長方體的體積？

問題三：如圖，某小區(qū)內有一塊長、寬比為1：2的矩形空地，計劃在該空地上修筑兩條寬均為2m的互相垂直的小路，余下的四塊小矩形空地鋪成草坪，如果四塊草坪的面積之和為312m2，請求出原來大矩形空地的長和寬.

教師活動：引導學生讀題，找到題目中的關鍵語句.

學生活動：在關鍵語句中找到反映相等關系的語句，探究解決辦法.

教師活動：用多媒體演示分析，解題方法.

做一做

如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個角各剪去一個同樣的小正方形，用剩余部分做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.

課堂練習：將一個長方形的長縮短5cm，寬增長3cm，正好得到一個正方形.已知原長方形的面積是正方形面積的，求這個正方形的邊長.

問題四：某商場銷售一種服裝，平均每天可售出20件，每件贏利40元.經市場調查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，平均每天能多售出2件.在國慶節(jié)期間，商場決定采取降價促銷的措施，以達到減少庫存、擴大銷售量的目的.如果銷售這種服裝每天贏利1200元，那么每件服裝應降價多少元？

學生活動：在眾多的文字中，找到關鍵語句，分析相等關系.

教師活動：用多媒體幫助學生分析試題.提示學生檢驗解的合理性.

課堂練習：1.經銷商以每雙21元的價格從廠家購進一批運動鞋，如果每雙鞋售價為a元，那么可以賣出這種運動鞋（350-10a）雙.物價局限定每雙鞋的售價不得超過進價的120％.如果商店要賺400元，每雙鞋的售價應定為多少元？需要賣出多少雙鞋？

2.某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出(320-10a)件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價25％的．如果商店計劃要獲利400元，則每件商品的售價應定為多少元？需要賣出這種商品多少件？（每件商品的利潤＝售價進貨價）

復習列方程解應用題的一般步驟.

本題為后面解決有關面積、體積方面問題做鋪墊.

提高學生的審題能力.使學生會解決有關面積的問題.

解決體積問題的問題

培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法.

強調對方程的解進行雙重檢驗.

小結與作業(yè)

課堂

小結利用一元二次方程解決實際問題時，要注意通過實際要求檢驗根的合理性，要注意審題能力的培養(yǎng).

本課

作業(yè)課本第43頁習題2

課后隨筆（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）

一元二次方程

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第二十二章一元二次方程
教材內容
本單元教學的主要內容：
1.一元二次方程及其有關概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關系，運用一元二次方程分析和解決實際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學目標
1.一分析實際問題中的等量關系并求解其中未知數(shù)為背景，認識一元二次方程及其有關概念。
2.根據化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學模型作用，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數(shù)學工具的基本能力。
教學重點、難點
重點：
1．一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。
難點：
1.一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關系以及靈活運用
課時安排
本章教學時約需課時，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時
22．2降次7課時
22．3實際問題與一元二次方程3課時
教學活動、習題課、小結
22.1一元二次方程
教學目的
1．使學生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式．
教學重點、難點
重點：一元二次方程的定義．
難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別．
教學過程
復習提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結合上述有關方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復習，引導學生答出）
學過的幾類方程是
沒學過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據此得出復習中學生未學過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時指導學生把學過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導學生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導學生認識到：任何一個一元二次方程，經過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數(shù)項；a，b分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)．
【注意】二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)(a=0時，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
課堂練習P271、2題
歸納總結
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個整式方程，經化簡形成只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習題22.11、2題．
達標測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.關于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數(shù),一次項和常數(shù)項,下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項是,一次項是,常數(shù)項是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時
直接開平方法
教學目的
1．使學生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導學生通過特殊情況下的解方程，小結、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學重點、難點
重點：準確地求出方程的根．
難點：正確地表示方程的兩個根．
教學過程
復習過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學生回答下列問題，并說明解決問題的依據．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據是：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經學過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習：P281、2
歸納總結
1．本節(jié)主要學習了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習題22.14、6題
達標測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是
C.當c≥0時,方程可化為:
D.當c=0時,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思