幼兒園講故事的教案

八年級競賽講座(第24講配方法的解題功能)。

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八年級競賽講座(第35講應(yīng)用題)

第三十五講應(yīng)用題
?????在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．
當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個社會的各個領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學(xué)競賽的一個熱點．
應(yīng)用性問題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會，使學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．
解答應(yīng)用性問題，關(guān)鍵是要學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：

在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題
數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，由于它能夠有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
景點ABCDE
原價（元）1010152025
現(xiàn)價（元）55152530
平均日人數(shù)（千人）11232
（1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風(fēng)景區(qū)是怎樣計算的？
（2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計算的？
（3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？
思路點撥（1）風(fēng)景區(qū)是這樣計算的：
調(diào)整前的平均價格：，設(shè)整后的平均價格：
∵調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變．
∴平均日總收入持平．
（2）游客是這樣計算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
（3）游客的說法較能反映整體實際．
二、用方程模型解應(yīng)用題
研究和解決生產(chǎn)實際和現(xiàn)實生恬中有關(guān)問題常常要用到方程組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識和理解現(xiàn)實世界．
【例2】(重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2min內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4mln內(nèi)可以通過800名學(xué)生．
(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．
思路點撥列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時一般問什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學(xué)生總數(shù)．
(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×45=1440(名)．
擁擠時5min4道門能通過．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．
三、用不等式模型解應(yīng)用題
現(xiàn)實世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識．
【例3】(蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風(fēng)力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：
日平均風(fēng)速v(米/秒)v<3>日發(fā)電量(千瓦?時)A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150
B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
(1)若這個發(fā)電場購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為千瓦?時；
(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.3萬元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺，希望購機(jī)的費用不超過2.6萬元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機(jī)方案．
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
思路點撥(1)(100×36+60×150)x=12600x；
(2)設(shè)購A型發(fā)電機(jī)x臺，則購B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺,
解法一根據(jù)題意得：
解得5≤x≤6．
故可購A型發(fā)電機(jī)5臺，B型發(fā)電機(jī)5臺；或購A型發(fā)電機(jī)6臺，B型發(fā)電視4臺．
四、用函數(shù)知識解決的應(yīng)用題
函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．
【例4】(揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報刊零售點．對經(jīng)營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：
①買進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元；
②一個月內(nèi)(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；
③一個月內(nèi)，每天從報社買進(jìn)的報紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；
(1)填表：
一個月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(單位：元)
(2)設(shè)每天從報社買進(jìn)該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值．
思路點撥(1)填表：

一個月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個月內(nèi)的20天可獲利潤：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)，當(dāng)x=200時，月利潤y的最大值為440元．
注根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會提及統(tǒng)計型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．
【例5】(桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．
（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)．
(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規(guī)定時間內(nèi)：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工程；C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?
思路點撥這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．
(1)設(shè)乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據(jù)題意得：
,x=30合題意，
所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

(2)各種方案所需的費用分別為：
A．請甲隊需2000×20=40000元；
B．請乙隊需1400×30=4200元；
C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元．
所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．
【例6】(2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點，試問：科學(xué)考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天?
思路點撥挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!
設(shè)考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1．①
這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè)法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0=－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0<60，故僅當(dāng)t=1時才合題意，這時x+y>∴z=60—(x+y)=23．
答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．
注本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法．
【例7】(江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：
(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；
(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠；
(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．
小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?
思路點撥應(yīng)付198元購物款討論：
第一次付款198元，可是所購物品的實價，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論．
情形1當(dāng)198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元．
又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0.8=130(元)．
因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198+630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．
情形2當(dāng)198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198÷0.9=220(元)．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．
綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元
【例8】(2002年全國數(shù)學(xué)競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?
思路點撥關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數(shù)及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：
設(shè)甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．
則，解得
再設(shè)甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，
則，解得
于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000(元)．
由乙隊單獨承包，費用是29500×6=177000(元)．
而丙隊不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊承包費用最少．
學(xué)歷訓(xùn)練
（A級）
1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?
2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節(jié)約用水，對自來水妁收費標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)
3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?
4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標(biāo)準(zhǔn)是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?
(提示：根據(jù)目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價而不管其行駛里程是多少)
（B級）
1．(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī)臺．
2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：
購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上
每臺價格760元720元680元640元600元

乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折；每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．
（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價格的對照表；
(2)現(xiàn)在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?
3．(河北創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設(shè)計兌換方案．
4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級)．問：
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?
5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100㎏(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．
6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b

八年級競賽講座(第19講平行截割)

第十九講平行截割
平行線是初中平面幾何中基本而重要的圖形，平行線能改變角的位置并傳遞角，可“送”線段到恰當(dāng)處，完成等積變形，當(dāng)一組平行線截兩條直線時就得到比例線段，平行線分線段成比例定理是研究比例線段、相似形的重要理論．
利用、挖掘、創(chuàng)造平行線，是運用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵，另一方面，需要熟悉并善于從復(fù)雜圖形中分解或構(gòu)造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本圖形：

例題求解
【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點，DM、DN分別交AC于P、Q兩點，則AP：PQ：QC=．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題)

思路點撥圖中有形如“X”型的基本圖形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一條線段的代數(shù)式表示．
【例2】如圖，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD與CE相交于F，則的值為()
A．B．1C．D．2
(江蘇省泰州市中考題)
思路點撥已知條件沒有平行線，需恰當(dāng)作平行線，構(gòu)造基本圖形，產(chǎn)生含，的比例線段，并設(shè)法溝通已知比例式與未知比例式的聯(lián)系．
【例3】如圖，BD、BA，分別是∠ADC與它的鄰補(bǔ)角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
(1)求證：四邊形AEBD為矩形；
(2)若=3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB于點H，且，求證：△AHG是等腰三角形．
(廈門市中考題)

思路點撥對于(2)，由比例線段導(dǎo)出平行線，證明∠HAG=∠AHG．
【例4】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點，求證：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一點(中點除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF這個結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)

思路點撥對于(2)，先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB=PC+PF，即需證明，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與比例線段有關(guān)問題的證明．
注若題設(shè)條件無平行線，需作平行線．而作平行線要考慮好過哪一點作平行線，一般是由比的兩條線段啟發(fā)而得的，其目的是構(gòu)造基本圖形．
平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，比例線段豐富了我們研究幾何問題的方法，主要體現(xiàn)在：
(1)利用比例線段求線段的長度；
(2)運用比例線段證明線段相等，線段和差倍分關(guān)系、兩直線平行等問題．
【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線平行于BD，且與AB、DC、BC、AD及AC的延長線分別相交于點M、N、R、S和P，求證：PM×PN=PR×PS
(山東省競賽題)

思路點撥由于PM、PN、PR、PS在同一條直線上，所以不能直接應(yīng)用平行線分線段成比例推得結(jié)論，需觀察分解圖形，利用中間比溝通不同比例式的聯(lián)系
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，△ABC中有菱形AMPN，如果，則．
(南通市中考題)
2．如圖，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點，CF的延長線交AB于點E，若，則；若，則．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)

3．如圖，已知點D為△ABC中AC邊的中點，AE∥BC，ED交AB于點G，交BC的延長線于點F，若，BC=8，則AE的長為．
(蘇州市中考題)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD邊上一動點，AE、BC的延長線交于點F，設(shè)DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代數(shù)式表示y得．
(黑龍江省中考題)

5．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確比例式的個數(shù)有()
A．4個B．3個C．2個D．1個
6．如圖，BD、CE是△ABC的中線，P、Q是BD、CE的中點，則等于()
A．B．C．D．
7．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，O1、O2，O3為對角線BD上三點，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，連結(jié)AOl并延長交BC于點C，連結(jié)EO3延長交AD于點F，則AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考題)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=3CE，DE交BC于F，則DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江蘇省競賽題)
9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一點，AE=2BE，M是腰BC的中點，連結(jié)EM并延長交DC的延長線于點F，連結(jié)BD交EF于點N求證：BN：ND=l：10．(河南省中考題)
10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD．
(1)求證：OE=OF，(2)求的值；
（3）求證：．

11．已知如圖1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD于F，我們可以證明成立．若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB，交BD于點F，則：
(1)還成立嗎?如成立，請給出證明；如不成立，請說明理由；
(2)請找出S△ABD，S△BED，S△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．
(黃岡市中考題)
12．如圖，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，BE延長后交AD于F，那么=．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)

13．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，過O任作一直線與CD、BC的延長線分別交于F、E點，設(shè)BC=a，CD=b，CE=c，則CF=．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分別是AD、BC的中點，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長為．
15．如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15m，分別自兩桿上高出地面4m、6m的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D、B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為m．
(2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
16．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E，F(xiàn)是BC的三等分點．AE、AF分別交BD于M、N兩點，則BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武漢市選拔賽試題)

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的長為()
A．B．C．D．
(山東省競賽題)
18．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、F分別是邊AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，試判斷下列結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正確的結(jié)論有()
A．1個B．2個C．3個D．4個

19．如圖，已知△ABC，，，AD、BE交于F，則的值()
A．B．C．D．
20．如圖，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山東省競賽題)

21．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為AB邊的中點，AF=FD，F(xiàn)E與AC相交于G，求證：AG=AC．
22．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點，且滿足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F，求證：EF=3DE．
(湖北省黃岡市競賽題)
23．在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O．某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實：
(1)當(dāng)時，有(如圖甲)；
（2）當(dāng)時，有(如圖乙)；
(3)當(dāng)時，有(如圖丙)；
在圖丁中，當(dāng)時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用表示的一般結(jié)論，并給出證明(其中n是正整數(shù))
(山西省中考題)

24．如圖，在平行四邊形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分點，連結(jié)AP2并延長交BC于點E，連結(jié)APn-2并延長交CD于點F．
(1)求證：EF∥BD；
(2)設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，若S△AEF=S，求n的值．(山東省競賽題)

八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題-配方法

專題25配方法
閱讀與思考
把一個式子或一個式子的部分寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.
配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.
配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運用配方解題的關(guān)鍵在于：
(1)具有較強(qiáng)的配方意識，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如能聯(lián)想起配方法.
(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解
【例1】已知實數(shù)，，滿足，那么_____
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
解題思路：對題設(shè)條件實施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實數(shù)，，c滿足，則代數(shù)式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
解題思路：運用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項及完全平方式的形式.

配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；
(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；
(2)有限個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個非負(fù)數(shù)都為零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解題思路：題設(shè)條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.
復(fù)合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項都是一個完全平方數(shù).
解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過程即可.

幾個有趣的結(jié)論：
(1)
(2)
這表明：只出現(xiàn)1個奇數(shù)或只出現(xiàn)1個偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個.

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對這個代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞?，進(jìn)而求出代數(shù)式的最小值.
把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.
配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得為完全平方數(shù)，求n的值.
(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.

能力訓(xùn)練
1、計算=_________.
(“希望杯”邀請賽試題)
2、已知，則.
3、，y為實數(shù)，且，則+y的值為__________.
4、當(dāng)＞2時，化簡代數(shù)式，得___________.
5、已知，當(dāng)=________，y=______時，的值最小.
(全國通訊賽試題)

6、若，則M－N的值()
A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、可正可負(fù)
7、計算的值為()
A、1B、C、D、
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
8、設(shè)，,為實數(shù)，，則x，y，z中至少有一個值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)
9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知實數(shù)，，c滿足，則a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省競賽試題)
解“存在”、“不存在”“至少存在一個”等形式的問題時，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：
設(shè)x1，x2，x3,…xn為實數(shù).
(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個為零；
(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個大于零；
(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個小于零.

11、解方程組(蘇州市競賽試題)

12、能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13、已知，且，，為自然數(shù)，求，的值.
(天津市競賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且，求，的值.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜＜160)；
(2)從經(jīng)濟(jì)效益來看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？